邢維巍，張碩，樊尚春

（北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京100191）

動(dòng)態(tài)軸向載荷下諧振梁振動(dòng)響應(yīng)分析*

邢維巍*，張碩，樊尚春

（北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京100191）

在航空航天飛行控制中，為實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵參數(shù)的高精度高動(dòng)態(tài)測量，急需發(fā)展具有快速響應(yīng)特性的諧振式傳感器。諧振式傳感器本質(zhì)上是輸入與諧振器振動(dòng)狀態(tài)之間的映射。這種映射一般通過跟隨輸入的軸向載荷調(diào)制諧振梁的固有頻率實(shí)現(xiàn)。高動(dòng)態(tài)應(yīng)用中的核心問題是動(dòng)態(tài)軸向載荷下諧振梁的振動(dòng)響應(yīng)。利用基本的微元力學(xué)平衡關(guān)系建立了動(dòng)態(tài)軸向力作用下諧振梁振動(dòng)行為的數(shù)學(xué)模型。此模型比Mathieu方程的適用面更廣，在一般假設(shè)下更難以進(jìn)行解析或數(shù)值求解。為此引入了等效電路方法進(jìn)行模型求解。通過對(duì)等效電路的仿真，得到了諧振梁在多種典型動(dòng)態(tài)載荷下的振動(dòng)響應(yīng)。動(dòng)態(tài)軸向載荷對(duì)于諧振梁的作用具有強(qiáng)烈的非線性和獨(dú)特的規(guī)律，值得進(jìn)一步深入研究探討。

諧振傳感器；動(dòng)態(tài)載荷；等效電路；振動(dòng)響應(yīng)；Mathieu方程

EEACC：0220；1200；7310Gdoi：10.3969/j.issn.1004-1699.2016.09.013

硅微機(jī)械諧振式壓力傳感器具有高精度、高分辨率、高穩(wěn)定性的優(yōu)點(diǎn)［1］，是航空航天高精度壓力測量的主要手段之一。隨著飛行器技術(shù)要求的提高，高精度壓力傳感器應(yīng)用場合從普通的飛行狀態(tài)監(jiān)測逐漸擴(kuò)展到飛行控制，成為閉環(huán)控制系統(tǒng)的一環(huán)。應(yīng)用的升級(jí)對(duì)傳感器的性能，尤其是動(dòng)態(tài)性能提出了苛刻的要求。

諧振式傳感器利用諧振器的固有振動(dòng)特性進(jìn)行測量，本質(zhì)上是輸入與諧振器振動(dòng)狀態(tài)之間的映射［2］。硅微機(jī)械諧振式壓力傳感器中，這種映射通過跟隨輸入的軸向載荷調(diào)制諧振梁的固有頻率實(shí)現(xiàn)。高動(dòng)態(tài)應(yīng)用中的核心問題是動(dòng)態(tài)軸向載荷下諧振梁的振動(dòng)響應(yīng)。

關(guān)于動(dòng)態(tài)載荷下梁的振動(dòng)，一類研究主要關(guān)注移動(dòng)力作用下梁的響應(yīng)問題［3-7］，另一類主要研究微機(jī)械諧振式陀螺中的諧振梁，屬于動(dòng)態(tài)軸向載荷問題。其中的最新研究將振梁的動(dòng)力學(xué)特性歸一到Mathieu方程，利用小參數(shù)攝動(dòng)法得到具有調(diào)頻特性的穩(wěn)定近似解，并應(yīng)用到陀螺的信號(hào)解調(diào)［8］。這種方法只能解決正弦周期載荷問題。本文試圖從理論上探討動(dòng)態(tài)載荷對(duì)歐拉梁振動(dòng)特性的作用機(jī)理，建立更一般形式的動(dòng)態(tài)軸向載荷下梁的振動(dòng)模型，并給出求解該模型的便捷實(shí)用的技術(shù)方法。

1　動(dòng)態(tài)軸向載荷下梁的振動(dòng)模型

假設(shè)諧振梁在動(dòng)態(tài)軸向載荷的作用下，各截面的中心慣性軸在同一平面內(nèi)，諧振梁在該平面內(nèi)做橫向振動(dòng)，這時(shí)梁的主要變形是彎曲變形，可以忽略剪切變形和截面繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，稱為伯努利-歐拉梁。受力模型如圖1所示。以微段dx為研究對(duì)象，受力分析如圖2所示。

圖1　動(dòng)態(tài)軸向載荷作用下雙端固支梁彎曲振動(dòng)示意圖

圖2　諧振梁微段dx受力分析

圖中各項(xiàng)的物理意義：F為梁承受的軸向載荷；ρ為梁的密度；E為梁的彈性模量；I為梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；A、L、h、b分別為梁的橫截面積、長度、高度、寬度。設(shè)y（x，t）是梁上距原點(diǎn)為x處的截面在t時(shí)刻的橫向位移，由力矩平衡公式與彎矩平衡公式共同聯(lián)立得梁橫向彎曲振動(dòng)的方程為：

用分離變量法求該方程的解，設(shè)方程的解為：

其中ω為梁振動(dòng)的固有頻率，Y（x）為梁振動(dòng)的模態(tài)函數(shù)。則式可變形為：

分析諧振梁在不受外力自由振動(dòng)情況，將雙端固支梁的邊界條件（固定端梁的撓度和轉(zhuǎn)角均等于零）代入，解得梁自由振動(dòng)振型公式：

根據(jù)文獻(xiàn)［9］，可知諧振梁振動(dòng)的第1階振型固有頻率解為：

諧振梁以一階振型為工作模態(tài)，根據(jù)文獻(xiàn)［9］，表6.3查得λL=4.730，對(duì)應(yīng)參數(shù)：

得出梁自由振動(dòng)一階振型公式：

式兩邊都乘以Y（x），再對(duì)x進(jìn)行積分，由分部積分法以及齊次邊界條件可得：

式簡化可寫為：

其中C，D為常量。這就是一般載荷形式作用下梁的振動(dòng)模型。

輸入載荷為正弦時(shí)，通過如式的變量代換：

式可轉(zhuǎn)換為式：

此即標(biāo)準(zhǔn)形式的Mathieu方程［10］。

由公式可得Mathieu方程雖然可以推導(dǎo)出在動(dòng)態(tài)輸入載荷下諧振梁的振動(dòng)模型，但是Mathieu方程要求輸入載荷F為正弦信號(hào)［10］，因此有局限性。由于該法公式模型的局限性，動(dòng)態(tài)輸入載荷F只可以為三角函數(shù)的形式，且動(dòng)態(tài)輸入載荷F不滿足疊加性。故本論文用建立等效電路的方法［11-12］模擬動(dòng)態(tài)軸向載荷下諧振梁振動(dòng)方程特性，來實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)輸入載荷的普遍性。

2　動(dòng)態(tài)軸向載荷下諧振梁振動(dòng)模型電路模擬

根據(jù)已經(jīng)建立的動(dòng)態(tài)軸向載荷下諧振梁振動(dòng)模型建立輸出諧振梁振動(dòng)信號(hào)的等效電路，如圖3所示。

其中電壓源V2即對(duì)應(yīng)系統(tǒng)中的動(dòng)態(tài)軸向載荷，通過改變電壓源的輸出來模擬動(dòng)態(tài)力的加載模式（在本文中用載荷來表示電壓源）。

圖3　輸出諧振梁振動(dòng)響應(yīng)的等效電路

取R11=R12=R13，則其輸出方程為：

通過調(diào)節(jié)電阻電容的值，使式與式相對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)關(guān)系：

3　動(dòng)態(tài)軸向載荷下諧振梁振動(dòng)模型等效電路輸出結(jié)果分析

首先分析固有頻率部分，當(dāng)電壓源無輸出時(shí)，電路自激振蕩周期為15 μs，與諧振梁固有頻率相符合。輸出波形如圖（如下無特殊說明，幅值比較小的曲線為電壓激勵(lì)，仿真圖橫軸標(biāo)度50 μs/div）。

圖4　未加載荷時(shí)輸出波形

直流電壓載荷下，改變載荷的強(qiáng)度對(duì)比輸出波形。波形如圖5（縱軸輸出與輸入標(biāo)度比為25∶1）。

圖5　直流載荷下的輸出波形

由圖5輸出的波形圖，當(dāng)載荷數(shù)值變大時(shí)，輸出的波形幅值變小，頻率變小。對(duì)應(yīng)在諧振系統(tǒng)中，改變軸向載荷的大小能影響諧振梁振動(dòng)的幅值與頻率。軸向載荷越大，諧振梁振幅越小，頻率越小。

轉(zhuǎn)換電壓載荷模型為具有一定頻率交流模型來分析。保持電壓值不變，改變電壓載荷頻率。繼續(xù)進(jìn)行仿真（縱軸輸出與輸入標(biāo)度比為100∶1）。

從圖6仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)保持載荷不變，通過調(diào)節(jié)載荷頻率會(huì)對(duì)輸出波形的幅值及頻率都有影響，當(dāng)載荷頻率變大時(shí)，輸出頻率以及幅值隨之變大。當(dāng)載荷頻率超過一定值時(shí)，輸出頻率及幅值不再隨之，變大。因此得出動(dòng)態(tài)軸向載荷大小不變，而頻率在變動(dòng)時(shí)，對(duì)諧振梁振動(dòng)頻率及幅值都有影響。

圖6　保持載荷幅值10 mV不變改變頻率時(shí)輸出波形

保持載荷頻率不變，改變電壓載荷幅值。繼續(xù)進(jìn)行仿真。

繼續(xù)增加電壓載荷幅值出現(xiàn)輸出波形被調(diào)制的現(xiàn)象（圖8縱軸與圖7縱軸坐標(biāo)比為2∶1）。

圖7　載荷頻率10kHz幅值不同時(shí)輸出波形

圖8　電壓載荷為50 mV 10 kHz時(shí)的輸出波形

從圖7、圖8可以明顯看出，當(dāng)頻率不變而載荷的幅值變大時(shí)，輸出響應(yīng)的幅值隨之變大，輸出響應(yīng)的頻率也隨之改變，從圖9可以看出此規(guī)律同樣適用于特殊波形如三角波。而當(dāng)載荷幅值超過一定數(shù)值時(shí)（如圖8），輸出響應(yīng)的頻率被調(diào)制的現(xiàn)象比較明顯，此時(shí)參數(shù)的取值在Mathieu方程的穩(wěn)定范圍內(nèi)，振蕩過程同時(shí)存在著振幅調(diào)制與頻率調(diào)制。當(dāng)外載荷達(dá)到極大值點(diǎn)時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)剛度最大，振蕩頻率最高，但伴隨著有幅度下降的現(xiàn)象出現(xiàn)振幅下降的現(xiàn)象。與文獻(xiàn)［8］結(jié)論一致。

圖9　載荷為60 mV 10 kHz三角波時(shí)的輸出波形

對(duì)比軸向載荷下諧振梁振動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)，當(dāng)外載荷達(dá)到極小值點(diǎn)時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)剛度最小，由于剛度的松弛，諧振頻率下降的同時(shí)可以看出振蕩幅度顯著上升。這種幅度調(diào)制現(xiàn)象隨著頻率調(diào)制力度的增強(qiáng)而增強(qiáng)，屬于參數(shù)載荷系統(tǒng)固有的現(xiàn)象。

4　結(jié)語

本文根據(jù)力學(xué)平衡建立了動(dòng)態(tài)軸向載荷下諧振梁振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，利用等效電路方法獲得了該模型在一系列典型載荷下的響應(yīng)。諧振梁在動(dòng)態(tài)載荷下的響應(yīng)對(duì)于載荷的幅度、頻率、相位、占空比都極其敏感，并表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性特征?？梢姡C振梁在動(dòng)態(tài)載荷下的行為是相當(dāng)豐富的，值得繼續(xù)深入研究。

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邢維?。?973-），男，副教授，現(xiàn)于北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院任教，主從事諧振式傳感器的動(dòng)態(tài)特性及信號(hào)處理的研究，xingweiwei@buaa.edu.cn；

張碩（1993-），女，北京航空航天大學(xué)儀器儀表工程專業(yè)碩士研究生，主要研究方向?yàn)橹C振式傳感器的動(dòng)態(tài)特性及信號(hào)處理，xiaoshuo@bupt.edu.cn。

Resonant Beam Vibrating Response under Dynamic Axial Load Analysis*

XING Wewei*，ZHANG Shuo，F(xiàn)AN Shangchun
（School of Instrument Science&Opto-electronics Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China）

In the field of aero and space flight control，in order to realize high accuracy and high dynamic measure?ment of key parameters，it is urgent to develop resonant transducers with fast response feature.A resonant sensor is essentially a mathematical mapping between the input and the vibration state of the resonator.This mapping is usu?ally implemented by modulating the natural frequency of the resonant beam by an axial load following the input.The core issue in high dynamic applications is the vibration response of the resonant beam under dynamic axial load.The mathematical model of resonant beam vibrating behavior under dynamic axial load was established through the basic micro element mechanical balance relationship.This model can be applied in more fields than the Mathieu equation，and it is more difficult to be solved analytically or numerically.Thus the equivalent circuit meth?od was introduced to solve the model.By simulation on the equivalent circuit，vibration response of resonant beam under several typical dynamic loads was obtained.Dynamic axial load has a strong nonlinear effect on the resonant beam with unique rules，indicating that this problem is valuable for further research and discuss.

resonant sensor；dynamic load；equivalent circuit；vibration response；Mathieu equations

TP212.1

A

1004-1699（2016）09-1372-04

項(xiàng)目來源：國家重大科學(xué)儀器設(shè)備開發(fā)專項(xiàng)項(xiàng)目（2014YQ350461）；國家自然基金項(xiàng)目（61273060，60804062）；長江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（IRT1203）

2016-03-08修改日期：2016-04-13