康厚軍，解維東，郭鐵丁

(湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙　410082)

?

CFRP索斜拉梁面內(nèi)自由振動建模及參數(shù)分析

康厚軍?，解維東，郭鐵丁

(湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙410082)

利用張緊弦和歐拉梁振動理論分別描述斜拉梁結(jié)構(gòu)中索與梁的振動，通過索梁連接處的動態(tài)平衡條件，建立斜拉梁平面內(nèi)自由振動理論.利用傳遞矩陣法和邊界條件對斜拉梁結(jié)構(gòu)平面內(nèi)自由振動的特征值問題進(jìn)行求解.同時，建立斜拉梁的有限元模型，有限元法所得結(jié)果與本文理論研究非常吻合，證明了本文理論和方法的正確性.最后對CFRP索斜拉梁平面內(nèi)自由振動進(jìn)行參數(shù)分析.研究表明,CFRP索斜拉梁的基本動力學(xué)性能優(yōu)于傳統(tǒng)鋼索斜拉梁.

CFRP索；斜拉梁；傳遞矩陣法；振動分析；頻率；振型

碳纖維增強復(fù)合材料(Carbon Fiber Reinforced Polymer，簡稱CFRP)是由多股連續(xù)有機纖維絲在惰性氣體中經(jīng)高溫炭化，并經(jīng)拉擠成型技術(shù)和必要的表面處理而形成的一種新型復(fù)合材料.采用CFRP制成的拉索具有耐腐蝕性強、自重輕(僅為鋼材的1/5左右)、強度高(鋼材的8～10倍，彈性模量最高可達(dá)1 000 GPa，抗拉強度可達(dá)2 700 MPa[1])、抗疲勞性能好等優(yōu)點，相比傳統(tǒng)鋼拉索優(yōu)勢明顯,因此，CFRP斜拉索將有很好的應(yīng)用前景.目前，國內(nèi)外學(xué)者已從理論上證明了CFRP索相對于鋼索的靜動力特性有不同程度的改善[2-4]，CFRP索也已投入實際應(yīng)用[5-6].截至目前國內(nèi)外已建成CFRP索斜拉橋6座，其進(jìn)一步的應(yīng)用研究和基礎(chǔ)研究已成為國內(nèi)外研究的一個熱點.我國已成功采用CFRP拉索替換鋼拉索建造試驗性質(zhì)的人行斜拉橋[5]，未來斜拉橋也有采用CFRP拉索的趨勢，尤其是對于特大跨徑橋梁，CFRP索將具有足夠的優(yōu)勢.然而，我國對于CFRP的研究還主要集中在應(yīng)用加固方面，作為大跨度柔性結(jié)構(gòu)，其動力學(xué)問題比較突出，相關(guān)研究卻很少見到.

斜拉梁結(jié)構(gòu)由于其良好的受力性能和優(yōu)美的外觀被廣泛應(yīng)用于土木工程和海洋工程，如斜拉橋、房屋建筑中的雨棚、塔吊以及桅桿結(jié)構(gòu)等.由于斜拉梁中索和梁2種結(jié)構(gòu)單元有著很大的力學(xué)差異，特別是索跟梁的耦合，歷來是國內(nèi)外學(xué)者研究的重點和難點.Fung[7]通過Hamilton原理和有限元法推導(dǎo)出的非線性時變微分方程研究了斜拉梁中索的長度和張力隨時間變化的振動問題.Gattulli等人[8-9]通過經(jīng)典變分公式得到了斜拉梁橫向振動的運動控制方程，將其與有限元方法和試驗進(jìn)行對比，并考慮了面內(nèi)和面外的振動；趙躍宇等人[10]利用索-梁組合結(jié)構(gòu)的連接條件和邊界條件，建立了索-梁組合結(jié)構(gòu)的約化運動學(xué)控制方程，利用Galerkin模態(tài)截斷得到了該系統(tǒng)的多模態(tài)離散動力學(xué)方程；Wang等人[11]通過Halmilton原理得到索梁組合結(jié)構(gòu)的動力學(xué)運動方程，通過邊界和連續(xù)性條件以及分離變量法，得到結(jié)構(gòu)的頻率方程和相應(yīng)的振型表達(dá)式，并對固有頻率進(jìn)行了討論.這些研究工作都只考慮了梁的橫向振動，沒有考慮縱向振動問題，并且在索梁連接條件的處理上各不相同，存在較大的局限性.

傳遞矩陣法(Transfer Matrix Method，簡稱TMM)是20世紀(jì)20年代建立起來的一種用矩陣來描述多輸入多輸出的線性系統(tǒng)的輸出與輸入之間關(guān)系的方法.相比于有限元方法，該方法計算精度不隨劃分段數(shù)而改變，許多學(xué)者和工程技術(shù)人員將傳遞矩陣法應(yīng)用于解決工程實際問題，例如Kang和Wang等人[12-14]用傳遞矩陣法來研究索-拱結(jié)構(gòu)和懸索橋的動力學(xué)問題.

針對以上問題和方法，本文將同時考慮索和梁的縱橫向振動，利用張緊弦和歐拉梁振動微分方程，在索梁結(jié)合處考慮它們的動態(tài)平衡并將索端和梁端內(nèi)力和縱橫向位移進(jìn)行耦合，利用傳遞矩陣法求解系統(tǒng)振動的特征值問題.為了驗證本文中索梁理論和傳遞矩陣法運用的正確性，我們將建立斜拉梁的有限元模型，對本文理論研究和有限元法結(jié)果進(jìn)行對比，對本文的理論和求解方法進(jìn)行驗證.最后將對CFRP索斜拉梁的特征值問題進(jìn)行參數(shù)分析，同時和傳統(tǒng)鋼索斜拉梁進(jìn)行對比研究.

1　斜拉梁動力學(xué)模型

本文所研究的斜拉梁模型如圖1所示，其中斜拉索初始軸力為N0，α為拉索傾角，vc,Qc,uc和Nc分別為拉索橫向振動時的動態(tài)位移、剪力、縱向振動時的動態(tài)位移和軸力，vb,Qb,ub和Nb分別為梁橫向振動時的動態(tài)位移、剪力、縱向振動時的動態(tài)位移和軸力.為了使梁在斜拉索初始應(yīng)力的作用下仍能保持水平，在斜拉梁右端部施加豎直向下的力f0=N0sin α，在工程實際中為了保持梁水平通常用梁的自重來平衡拉索初始應(yīng)力的分力或設(shè)置預(yù)拱度.

圖1　斜拉梁簡化模型

眾所周知，對于斜拉梁結(jié)構(gòu)內(nèi)的斜拉索，用一根張緊的弦來描述即可滿足工程實際，特別是CFRP索，即使跨徑非常大、應(yīng)力非常小，等效彈性模量和切線模量差別也很小[2].因此本文將利用一根張緊的弦來模擬拉索，不考慮垂度的影響.斜拉梁面內(nèi)自由振動，同樣不考慮垂度.可將斜拉梁的振動分解為4種振動：索的縱向振動和橫向振動、梁的縱向振動和橫向振動.

對于索，其縱橫向振動微分方程分別為[15-16]：

(1)

(2)

梁的縱向振動微分方程與拉索一致，但橫向振動應(yīng)該考慮拉索的初始軸力N0對其影響，所以應(yīng)該用包含軸力影響的梁的彎曲振動理論，其縱橫向振動微分方程分別為[15]：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Uc(x),Ub(x)分別為索和梁的縱向振動振型函數(shù);Vc(x),Vb(x)分別為索和梁的橫向振動振型函數(shù).通過求解偏微分方程(1)～(4)可以得到Uc(x),Ub(x),Vc(x)和Vb(x)通解形式為：

Uc(xc)=C1sin (βcxc)+C2cos (βcxc),

(7)

Vc(xc)=C3sin (δcxc)+C4cos (δcxc),

(8)

Ub(xb)=C5sin (βbxb)+C6cos (βbxb),

(9)

Vb(xb)=C7cos (δbxb)+C8sin (δbxb)+

C9sinh(εbxb)+C10cosh(εbxb).

(10)

式中：Ci(i=1,2,…,10)為實常數(shù)系數(shù)；

根據(jù)力-位移關(guān)系，由式(7)～(10)可推導(dǎo)出軸力N,轉(zhuǎn)角θ,彎矩M和剪力Q的表達(dá)式：

Nc(xc)=C1EcAcβccos (βcxc)-

C2EcAcβcsin (βcxc);

(11)

Qc(xc)=C3Ncδccos (δcxc)-

C4Ncδcsin (δcxc);

(12)

Nb(xb)=C5EbAbβbcos (βbxb)-

C6EbAbβbsin (βbxb);

(13)

θb(xb)=C7δbcos (δbxb)-C8δbsin (δbxb)+

C9εbcosh (εbxb)+C10εbsinh (εbxb);

(14)

(15)

(16)

值得注意的是，式(7)～(16)是索和梁的平面內(nèi)自由振動的精確解.

2　傳遞矩陣法求解

將式(7)～(16)寫成矩陣的形式：

t=TC.

(17)

T=

根據(jù)式(17)可得到最左端的狀態(tài)矢量：

tL=T0C.

(18)

式中：T0=T|x=0，下標(biāo)L代表左端，因此積分常系數(shù)矢量C可寫為：

(19)

斜拉梁整體可視為一段，狀態(tài)矢量只傳遞一次即可.因此，本文中斜拉梁體系中最右端的狀態(tài)向量可寫為：

tR=T1C=T1T0tL.

(20)

然后建立斜拉梁結(jié)構(gòu)最右端索和梁狀態(tài)矢量的關(guān)系，如圖2所示.由索梁鉸接、位移協(xié)調(diào)和力平衡條件得：

URb-URccosα-VRcsinα=0,

NRb-NRccosα-QRcsinα=0,

VRb+URcsinα-VRccosα=0,

QRb+NRcsinα-QRccosα=0,

MRb=0.

(21)

圖2　索梁連接處的位移和內(nèi)力的分布

(22)

然后分析斜拉梁左邊的邊界條件，拉索一般為鉸支，而梁可固支也可鉸支，所以一般有梁左端固支和鉸支兩種情況.

對于第一種情況(梁左端固支)，左端的狀態(tài)矢量可表示為：

(23)

對于第二種情況(梁左端鉸支)，左端的狀態(tài)矢量可表示為：

(24)

下面討論第一種情況.

將式(20)代入式(22)得：

(25)

式中：全局傳遞矩陣TG中的元素為ti,j(i,j= 1,2,3,…,10)，均為圓頻率ω的函數(shù)，經(jīng)過適當(dāng)變換，式(25)可轉(zhuǎn)化為以下齊次形式：

(26)

要使系統(tǒng)的振動有非零解，即

(27)

(28)

通過讓矩陣(27)和(28)的行列式值為零，可得到兩種情況下的斜拉梁面內(nèi)自由振動的各階頻率ω，再將ω的值回代入式(20)即可求得斜拉梁面內(nèi)自由振動的各階振型.

3　特征值分析

為研究CFRP索斜拉梁的特征值問題，即固有頻率和模態(tài)，選取如下物理參數(shù)：索為CFRP索，單位長度質(zhì)量為10.4 kg/m，橫截面積為6.273×10-3m2，彈性模量為210 GPa，初始索力為1 MN，傾斜角度為30°；梁為鋼筋混凝土箱梁，長100 m，單位長度質(zhì)量為4.4×104kg/m，橫截面面積為16.3 m2，截面慣性矩為9.8 m4,彈性模量為34.5 GPa.

為了驗證本文理論方法在斜拉梁結(jié)構(gòu)中運用的正確性，我們用有限元軟件ANSYS12.0建立了同樣參數(shù)的斜拉梁有限元模型，其中索用Link1單元，梁用Beam3單元，劃分單元數(shù)為200，然后比較本文理論和有限元法得到的頻率和振型.表1分別列出了通過有限元法和本文理論研究兩種情況下(左端梁固支和簡支)的斜拉梁的前5階頻率.圖3給出了第一種情況(左端梁固支)的前5階振型.可以發(fā)現(xiàn)，兩種方法所得的結(jié)果幾乎完全吻合.因此，表1和圖3不僅可以說明本文理論的正確性，還為下面的CFRP索斜拉梁面內(nèi)自由振動的研究作了鋪墊.考慮到工程實際中第一種情況(梁左端固支)的斜拉梁更常見，下面的研究只考慮梁左端固支情況的斜拉梁.

表1　斜拉梁的前五階頻率

(a)第1階振型

(b)第2階振型

(c)第3階振型

(d)第4階振型

(e)第5階振型

索力/MN

拉索傾斜角度/(°)

圖5給出了斜拉索在不同索力、材料和彈性模量下對斜拉梁結(jié)構(gòu)一階頻率的影響.其中，Ecc中下標(biāo)第二個c表示CFRP索，Ecg中下標(biāo)g表示鋼索.從中可發(fā)現(xiàn),當(dāng)采用CFRP索時，索力對一階頻率的影響微乎其微；當(dāng)采用鋼索且索力小于0.5 MN時，一階頻率隨索力的增大而增大，當(dāng)索力大于0.5 MN時，CFRP索和鋼索斜拉梁的一階頻率隨索力變化的曲線幾乎是重合的.這是因為CFRP索斜拉梁不論是大索力下還是小索力下其一階振型均如圖3(a)所示，這樣一種模態(tài)是梁拖動索振動的模態(tài)，所以隨著索力的增加其頻率基本不變.當(dāng)采用鋼索時，由于其質(zhì)量要比CFRP索質(zhì)量大，受其影響振型隨索力的變化如圖6所示.可看到一階振型的變化過程是由索振動為主到索梁整體振動再到梁振動為主.因此其一階頻率變化曲線是先增大后持平的變化過程.另外，CFRP索斜拉梁一階頻率隨拉索彈性模量的增大而增大，說明可以通過提高拉索彈性模量來提高斜拉梁整體結(jié)構(gòu)的剛度，這是因為4種彈性模量下斜拉梁的振型均如圖3(a)所示，此時斜拉梁可以看成是一端固支一端彈簧支撐的梁模型，其振動頻率與彈簧剛度有關(guān)，彈簧剛度越大，振動頻率越大，反之越小.

圖7反映了斜拉索在不同材料、索力和彈性模量下對斜拉梁結(jié)構(gòu)二階和三階頻率的影響.可以看出CFRP索斜拉梁的4條曲線均有一個上升段，之后持平，持平段曲線特征與圖6類似.因此我們猜測，上升段的振型是漸變的過程，當(dāng)?shù)竭_(dá)持平段后，振型基本不再變化.為了驗證我們的猜測，我們提取出彈性模量為210 GPa的CFRP索斜拉梁索力在0.3 MN,0.6 MN和1 MN的二階振型和索力在1 MN,5 MN和10 MN的三階模態(tài)如圖8所示.從圖8可看出隨著索力的增加，第二、三階振型均是從拉索振動為主到斜拉梁整體振動再到梁振動為主的變化過程，證明我們的猜測是正確的.另外，可以發(fā)現(xiàn)使用鋼索的斜拉梁要相比于使用CFRP索的斜拉梁隨著索力的增加較慢進(jìn)入持平狀態(tài)，說明振動階數(shù)越高，拉索質(zhì)量對其影響越明顯.

索力/MN

長度/m

綜合分析圖6和圖8，可發(fā)現(xiàn)索力對斜拉梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性的影響，主要體現(xiàn)在索與梁剛度相對變化.當(dāng)索力較小時，拉索振動明顯，隨著索力的增大，索振動慢慢地弱化，最后變?yōu)殡S梁振動的“擺動”.這是因為索力增大使拉索的橫向剛度顯著增大(應(yīng)力剛化)，最后拉索所表現(xiàn)出的性質(zhì)就類似于剛度很大的彈簧.

索力/MN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　索力/MN

跨度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　跨度

4　結(jié)　論

本文建立了不考慮垂度影響的CFRP索斜拉梁面內(nèi)自由振動的力學(xué)模型，利用簡單的張緊弦和歐拉梁振動理論，采用分離變量法得到它們的振型函數(shù)，通過考慮索梁連接處的動態(tài)平衡條件，將索和梁的振動耦合到一起，利用傳遞矩陣法得到斜拉梁面內(nèi)自由振動的各階頻率方程，從而求得各階頻率值.最后討論了斜拉梁面內(nèi)自由振動在不同索力、拉索傾角和拉索材料的變化情況.這種研究方法不僅將復(fù)雜的問題簡單化，而且能反映實際工程中斜拉梁應(yīng)有的振動特性，并由此得到以下結(jié)論：

1) CFRP斜拉梁結(jié)構(gòu)的面內(nèi)第一階自振頻率幾乎不受索力變化的影響，但隨著拉索傾角的改變有不同程度的變化，而鋼索斜拉梁第一階頻率則隨索力和傾角變化較大.這說明CFRP索斜拉梁的剛度相對穩(wěn)定.

2) 斜拉梁結(jié)構(gòu)的面內(nèi)二階以上振動模態(tài)表現(xiàn)出受索力和傾角變化的敏感性，都可能出現(xiàn)頻率變化曲線轉(zhuǎn)向(veering)現(xiàn)象，因此為了避免內(nèi)共振對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不利影響，設(shè)計或建造斜拉梁時應(yīng)該避免使用這些可能產(chǎn)生內(nèi)共振的參數(shù).

3) CFRP索斜拉梁基本動力學(xué)性能優(yōu)于鋼索斜拉梁，特別是在較低索力下和高階頻率上尤為突出，并且彈性模量的增大，對結(jié)構(gòu)的一階頻率的影響較大，振動階數(shù)越高，影響越小.由于工程實際中，高階振動出現(xiàn)的概率要遠(yuǎn)小于低階振動，所以高彈性模量的CFRP索在斜拉梁結(jié)構(gòu)中有著更廣闊的應(yīng)用前景.

4) 隨著索力的增加，各階振動的振型均經(jīng)歷從索振動為主到索梁全局振動再到梁振動為主的變化過程，拉索表現(xiàn)出的性質(zhì)越來越像一根彈簧，這對拉索振動控制具有重要參考意義.

[1]ACI 440.4R-04Prestressing concrete structures with FRP tendons[S].Farmington Hills,USA: American Concrete Institute,2004: 440.4R-10.

[2]梅葵花,呂志濤.CFRP斜拉索的靜力特性分析[J].中國公路學(xué)報,2004,17(2): 43-45.

MEI Kui-hua,LV Zhi-tao.Static characteristic analysis of CFRP cables[J].China Journal of Highway and Transport,2004,17(2): 43-45.(In Chinese)

[3]梅葵花,呂志濤,孫勝江.CFRP拉索的非線性參數(shù)振動特性[J].中國公路學(xué)報,2007,20(1): 52-57.

MEI Kui-hua,LV Zhi-tao,SUN Sheng-jiang.Property of nonlinear parametric vibration of CFRP cables[J].China Journal of Highway and Transport,2007,20(1): 52-57.(In Chinese)

[4]康厚軍，趙躍宇，朱志輝，等.強迫激勵下CFRP斜拉索面內(nèi)分叉特性[J].湖南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2014,41(9): 8-13.

KANG Hou-jun,ZHAO Yue-yu,ZHU Zhi-hui,et al.In-plane bifurcation behavior of inclined CFRP cables subject to external excitation[J].Journal of Hunan University: Natural Sciences,2014,41(9): 8-13.(In Chinese)

[5]呂志濤,梅葵花.國內(nèi)首座CFRP索斜拉橋的研究[J].土木工程學(xué)報,2007,40(1): 54-59.

LV Zhi-tao,MEI Kui-hua.First application of CFRP cables for a cable-stayed bridge in China[J].China Civil Engineering Journal,2007,40(1): 54-59.(In Chinese)

[6]GRACE N F,NAVARRE F C,NACEY R B,et al.Design-construction of bridge street bridge-first CFRP bridge in the United States[J].PCI Journal,2002,47(5): 20-35.

[7]FUNG R,LU L,HUANG S.Dynamic modeling and vibration analysis of a flexible cable-stayed beam structure[J].Journal of Sound and Vibration,2002,254(4): 717-726.

[8]GATTULLI V,MORANDINI M,PAOLONE A.A parametric analytical model for non-linear dynamics in cable-stayed beam[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,2002,31:1281-1300.

[9]GATTULLI V,LEPIDI M.Nonlinear interactions in the planar dynamics of cable-stayed beam[J].International Journal of Solids and Structures,2003,40: 4729-4748.

[10]趙躍宇,蔣麗忠,王連華,等.索-梁組合結(jié)構(gòu)的動力學(xué)建模理論及其內(nèi)共振分析[J].土木工程學(xué)報,2004,37(3): 69-72.

ZHAO Yue-yu,JIANG Li-zhong,WANG Lian-hua,et al.The dynamical modelling theory and internal resonance of cable-beam composite structure[J].China Civil Engineering Journal,2004,37(3): 69-72.(In Chinese)

[11]WANG Z Q,YI Z P,LUO Y S.Modeling and nonlinear modal characteristics of the cable-stayed beam[J].European Journal of Mechanics A/Solids,2014,47: 58-69.

[12]ZHAO Y Y,KANG H J.In-plane free vibration analysis of cable-arch structure[J].Journal of Sound and Vibration,2008,172: 363-379.

[13]KANG H J,ZHAO Y Y,ZHU H P.Out-of-plane free vibration analysis of a cable-arch structure[J].Journal of Sound and Vibration,2013,332: 907-921.

[14]WANG Z Q,KANG H J,SUN C S,et al.Modeling and parameter analysis of in-plane dynamics of a suspension bridge with transfer matrix method[J].Acta Mechanic,2014,225: 3423-3435.

[15]CLOUGH R W,PENZIEN J.Dynamics of structures[M].3rd ed.Berkeley,CA,USA: Computers & Structures,Inc,2003: 368-375.

[16]HUANH Z H,JONES N P.Damping of taut-cable systems: effects of linear elastic spring support[J].Journal of Engineering Mechanics,2011,137: 512-518.

[17]GATTULLI V,LEPIDI M.Localization and veering in the dynamics of cable-stayed bridges[J].Computers & Structures,2007,85: 1661-1678.

附錄A：

T1,1=sin (βcxc),T1,2=cos (βcxc),

T2,1=EcAcβccos (βcxc),

T2,2=-EcAcβcsin (βcxc)，T3,3=sin (δcxc),

T3,4=cos (δcxc)，T4,3=Ncδccos (δcxc)，

T4,4=-Ncδcsin (δcxc)，T5,5=sin (βbxb)，

T5,6=cos (βbxb)，T6,5=EbAbβbcos (βbxb)，

T6,6=-EbAbβbsin (βbxb)，T7,7=sin (δbxb)，

T7,8=cos (δbxb)，T7,9=sinh (εbxb)，

T7,10=cosh (εbxb)，

T9,7=δbcos (δbxb)，T9,8=-δbsin (δbxb),

T9,9=εbcosh (εbxb)，T9,10=εbsinh (εbxb)，

Modeling and Parameters Analysis on In-plane Free Vibration of Cable-stayed Beam

KANG Hou-jun?,XIE Wei-dong,GUO Tie-ding

(College of Civil Engineering,Hunan Univ,Changsha,Hunan410082,China)

Based on the dynamic theory of taut string and Euler beam as well as the dynamic equilibrium conditions at the joint of cable and beam,the in-plane free vibration theory of a cable-stayed beam was established.The transfer matrix method and boundary conditions were considered to solve the eigenvalue problem of the in-plane free vibration of a cable-stayed beam structure.Meanwhile,a finite element model of the cable-stayed beam was also developed to verify the proposed theory and method.he predictions by the proposed method match well with those of the finite element analysis.Finally,the parametric analysis was conducted,which shows that the fundamental dynamic properties of the cable-stayed beam are improved by replacing steel cables with CFRP cables.

CFRP cable; cable-stayed beam; transfer matrix method; vibration analysis; frequency; mode shape

1674-2974(2016)09-0018-08

2015-09-19

國家自然科學(xué)基金資助項目(11572117，11502076),National Natural Science Foundation of China(11572117，11502076)

康厚軍(1977-)，四川安岳人，湖南大學(xué)副教授，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail:kang.echo@gmail.com

O343.9

A