（1.西南交通大學(xué)風(fēng)工程試驗(yàn)研究中心，四川成都610031；2.風(fēng)工程四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610031）

（1.西南交通大學(xué)風(fēng)工程試驗(yàn)研究中心，四川成都610031；2.風(fēng)工程四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610031）

隨著自激氣動(dòng)力的非線性部分在橋梁風(fēng)致振動(dòng)中地位的顯現(xiàn)，非線性自激氣動(dòng)力參數(shù)的合理確定顯得至關(guān)重要.結(jié)合非線性自激氣動(dòng)力的解析表達(dá)式，基于分狀態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)，提出了一種特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法和非線性最小二乘法相結(jié)合的非線性自激氣動(dòng)力參數(shù)的解析識(shí)別方法.理想平板數(shù)值仿真結(jié)果表明：在無噪聲情況下，識(shí)別結(jié)果與理論值完全一致；在20%白噪聲情況下，識(shí)別最大誤差僅3.7%，表現(xiàn)出較強(qiáng)的抗噪聲能力.非線性氣動(dòng)力仿真結(jié)果表明：解析法能夠精確確定非線性自激氣動(dòng)力諧波階數(shù)，在20%白噪聲情況下，各諧波幅值及相位的識(shí)別最大誤差僅3.2%.將解析法運(yùn)用于實(shí)際風(fēng)洞試驗(yàn)，進(jìn)一步論證了該方法的可行性和有效性.

強(qiáng)迫振動(dòng)；非線性自激氣動(dòng)力；參數(shù)識(shí)別

1971年，Scanlan等［1］引入航空領(lǐng)域顫振導(dǎo)數(shù)的概念，將橋梁主梁斷面自激氣動(dòng)力表達(dá)為運(yùn)動(dòng)參數(shù)的線性函數(shù).事實(shí)上，橋梁斷面的自激氣動(dòng)力存在明顯的非線性效應(yīng).Halfman［2］利用強(qiáng)迫振動(dòng)法識(shí)別機(jī)翼顫振導(dǎo)數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)自激氣動(dòng)力頻譜存在高階諧波成分.Falco等［3］在利用強(qiáng)迫振動(dòng)裝置對墨西拿海峽大橋進(jìn)行顫振導(dǎo)數(shù)識(shí)別時(shí)觀察到自激氣動(dòng)力高階諧波分量.陳政清等［4］在利用強(qiáng)迫振動(dòng)裝置進(jìn)行顫振導(dǎo)數(shù)識(shí)別時(shí)，發(fā)現(xiàn)在鈍體斷面的自激氣動(dòng)力中，高階諧波分量所占比例接近20%.廖海黎等［5］通過對流線型箱梁節(jié)段模型的風(fēng)洞試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)在大振幅、大攻角條件下，非線性高階諧波分量十分明顯.Diana等［6-7］采用強(qiáng)迫振動(dòng)裝置對墨西拿大橋主梁斷面的氣動(dòng)力進(jìn)行研究，觀測到橋面斷面顯著的高階諧波分量，及自激氣動(dòng)力存在的明顯遲滯現(xiàn)象.

非線性自激氣動(dòng)力的存在將直接影響橋梁的氣動(dòng)穩(wěn)定性，因此需要對其進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，而關(guān)于非線性自激氣動(dòng)力的數(shù)學(xué)模型，已有不少研究成果，如：徐旭等［8］基于Maclaurin級(jí)數(shù)展開的非線性自激氣動(dòng)力表達(dá)式；Diana等［9］提出了以瞬態(tài)攻角和瞬態(tài)角速度為變量表示的非線性氣動(dòng)力表達(dá)式；Wu等［10］提出了基于Volterra泛函級(jí)數(shù)的非線性氣動(dòng)力模型；王騎等［11］基于Taylor級(jí)數(shù)，將Scanlan模型進(jìn)一步拓展，建立了不同諧波分量疊加的非線性自激氣動(dòng)力數(shù)學(xué)模型.由于文獻(xiàn)［11］的數(shù)學(xué)模型物理意義明確，能夠清晰地表達(dá)各階諧波分量，因此，本文非線性自激氣動(dòng)力模型采用Taylor展開的非線性自激氣動(dòng)力表示式.基于強(qiáng)迫振動(dòng)裝置，提出一種特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法和非線性最小二乘法相結(jié)合的非線性自激氣動(dòng)力參數(shù)的解析識(shí)別方法.該方法可以準(zhǔn)確地確定自激氣動(dòng)力的非線性階數(shù)，并能精確識(shí)別出各階自激氣動(dòng)力所對應(yīng)的氣動(dòng)參數(shù)，具有抗噪聲能力強(qiáng)、識(shí)別精度高、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn).該方法可用于分狀態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)識(shí)別非線性自激氣動(dòng)力氣動(dòng)參數(shù)，試驗(yàn)結(jié)果表明了該方法的有效性.

1 非線性自激氣動(dòng)力模型

根據(jù)文獻(xiàn)［11］，將非線性自激氣動(dòng)力表示為速壓與非定常氣動(dòng)力系數(shù)乘積的形式：

式中：

ρ為空氣密度；

U為來流速度；

B為橋梁斷面寬度；

CL、CM為非定常氣動(dòng)力系數(shù)；

（.h，h，.α，α）為斷面的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

假設(shè)斷面發(fā)生振動(dòng)頻率ω的單自由度簡諧振動(dòng)h=h0eiωt和α=α0eiωt，將非定常氣動(dòng)力系數(shù)在平衡位置展開為n階Taylor級(jí)數(shù)，以CL為例.

若斷面僅發(fā)生單自由度豎向運(yùn)動(dòng)h=h0eiωt，省略定常項(xiàng)，自激升力系數(shù)為

其中一次項(xiàng)與Scanlan線性自激氣動(dòng)力對應(yīng)

式中：

hr0=h0/B；

K=ωB/U；

由式（5）可看出，與非定常氣動(dòng)力系數(shù)一次項(xiàng)相關(guān)的氣動(dòng)參數(shù)包含了Scanlan自激氣動(dòng)力模型中的顫振導(dǎo)數(shù).

非定常氣動(dòng)力系數(shù)二次項(xiàng)為

將與二次項(xiàng)有關(guān)的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)代入

依此可得其它項(xiàng)的表達(dá)式，進(jìn)而可得非定常氣動(dòng)力系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式：

借助歐拉公式，將非線性自激氣動(dòng)力表達(dá)式由復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)形式，并根據(jù)實(shí)際測試和分析的需要取實(shí)部或虛部的運(yùn)動(dòng)形式.本文研究取虛部，即運(yùn)動(dòng)為正弦函數(shù).由此，單自由度豎向運(yùn)動(dòng)引起的自激升力非定常氣動(dòng)力系數(shù)為同理可得其它3項(xiàng)非定常氣動(dòng)力系數(shù).

由式（9）可知，若橋梁斷面在強(qiáng)迫振動(dòng)裝置驅(qū)動(dòng)下只發(fā)生穩(wěn)態(tài)單自由度簡諧運(yùn)動(dòng)，且存在非線性自激氣動(dòng)力分量的話，那么自激氣動(dòng)力將包含整數(shù)倍的諧波分量.若能識(shí)別出非線性自激氣動(dòng)力信號(hào)中各諧波分量所對應(yīng)的幅值和初始相位參數(shù)，就可以從上述表達(dá)式中獲得各階自激氣動(dòng)力對應(yīng)的氣動(dòng)參數(shù).

2 參數(shù)識(shí)別方法

2.1 諧波階次的確定

強(qiáng)迫振動(dòng)產(chǎn)生的自激氣動(dòng)力信號(hào)為周期諧波信號(hào)，在確定信號(hào)諧波次數(shù)方面，經(jīng)典的方法為功率譜估計(jì)（PSD），此外還有小波變化法、旋轉(zhuǎn)矢量不變技術(shù)、奇異值分解（SVD）等.其中SVD具有抗噪能力高、計(jì)算精度高且速度快等優(yōu)點(diǎn)［12-13］，SVD方法基本思路如下.

對采集數(shù)據(jù)信號(hào)Y構(gòu)造的Hankel矩陣：

奇異值（SVD）分解：

式中：

U、V為奇異向量矩陣；

S為奇異值矩陣.

奇異值分解后可通過奇異值來確定諧波的階次.如果奇異值按大小順序排列有明顯的突變，則突變處即是系統(tǒng)的階次.但是在數(shù)據(jù)采集過程中會(huì)有隨機(jī)噪聲的存在，奇異值沒有明顯的突變分界線，因此可能無法從奇異值大小出發(fā)直觀對系統(tǒng)進(jìn)行定階.

由于奇異值存在明顯的特征：真實(shí)模態(tài)的值較大，虛假模態(tài)的值很小，隨著階次的增大，奇異值越來越小.基于這種現(xiàn)象，可以采用奇異值差值法來進(jìn)行定階［14］，簡單的說就是將奇異值按大小順序排列，并將相鄰兩值相減，通過差值趨于0這一條件來確定諧波階次.

2.2 自激氣動(dòng)力的擬合

定義強(qiáng)迫振動(dòng)測得自激氣動(dòng)力的模型為

式中：

Ai、fi、φi分別為各諧波信號(hào)的幅值、頻率和相位；

n（t）為噪聲.

對強(qiáng)迫振動(dòng)裝置獲得的自激氣動(dòng)力信號(hào)而言，高階諧波頻率是基頻諧波的整數(shù)倍，只要獲得了基頻諧波頻率，即可知高階諧波頻率.

在理想狀態(tài)下，自激氣動(dòng)力的基頻諧波頻率應(yīng)與裝置的驅(qū)動(dòng)頻率完全一致，此時(shí)不需要對信號(hào)的頻率進(jìn)行識(shí)別，可直接采用驅(qū)動(dòng)頻率.但是，試驗(yàn)誤差的存在會(huì)使自激氣動(dòng)力基頻諧波頻率與驅(qū)動(dòng)頻率存在微小差異.這時(shí)就需要對自激氣動(dòng)力的諧波頻率進(jìn)行精確識(shí)別，才能對其準(zhǔn)確擬合，獲得準(zhǔn)確的幅值和相位值.信號(hào)頻率的識(shí)別方法可以采用特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法進(jìn)行.

在確定系統(tǒng)階數(shù)n之后，保留前n個(gè)奇異值和相應(yīng)的奇異向量矩陣，就可得到系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣

對系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A進(jìn)行特征值分解：

由此可以得到A的特征值矩陣：

系統(tǒng)的頻率為

在確定信號(hào)頻率之后，各諧波的幅值和相位可以通過非線性最小二乘法來進(jìn)行識(shí)別.

由式（12）可知各諧波的幅值和相位可表示為

式中：Mi=sin φi；Ni=cos φi.

將自激氣動(dòng)力表達(dá)式寫成矩陣形式：

式中：e為識(shí)別誤差向量.

2.3 氣動(dòng)力相位的確定

在進(jìn)行分狀態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)識(shí)別氣動(dòng)參數(shù)時(shí)，不僅要采集自激氣動(dòng)力時(shí)程信號(hào)，還要同步采集位移時(shí)程信號(hào).由式（9）可知，在利用解析方法識(shí)別自激氣動(dòng)力參數(shù)時(shí)，需要確定位移零相位所對應(yīng)的自激氣動(dòng)力相位.具體方法如下：

（1）首先對采集的位移時(shí)程信號(hào)進(jìn)行擬合，得到位移信號(hào)的初始相位φ.如單自由度扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)位移擬合

（2）通過計(jì)算找到位移0相位所對應(yīng)的時(shí)刻t0.如上面位移0相位對應(yīng)的時(shí)刻

t0=（2π-φ）/2πf.

（3）自激氣動(dòng)力t0時(shí)刻的相位值即為所需要的相位值.在得到氣動(dòng)力相位值后就可以通過解析的方式識(shí)別氣動(dòng)參數(shù).

3 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 理想平板顫振導(dǎo)數(shù)識(shí)別

模擬理想平板分狀態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)，通過解析方法識(shí)別平板的顫振導(dǎo)數(shù)來驗(yàn)證該方法的可行性.

分狀態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)頻率設(shè)為2 Hz，強(qiáng)迫振動(dòng)振幅3°，平板寬450 mm，試驗(yàn)風(fēng)速10 m/s，采樣頻率為128 Hz.為計(jì)算方便，將純扭轉(zhuǎn)強(qiáng)迫振動(dòng)位移初相位設(shè)定為0，理論位移諧波信號(hào)為

理論氣動(dòng)力動(dòng)態(tài)系數(shù)諧波信號(hào)為

向位移信號(hào)和非定常氣動(dòng)力系數(shù)信號(hào)中各加入20%的白噪聲，含噪聲的非定常氣動(dòng)力系數(shù)時(shí)程信號(hào)如圖1所示.對不含噪聲和含噪聲的信號(hào)進(jìn)行氣動(dòng)參數(shù)識(shí)別，采用上述解析方法對顫振導(dǎo)數(shù)進(jìn)行識(shí)別，表1為識(shí)別結(jié)果.由結(jié)果可知，在無噪聲情況下，解析方法對顫振導(dǎo)數(shù)能精確地識(shí)別，在含20%噪聲情況下，該方法的識(shí)別誤差最大僅為3.706%，可見上述識(shí)別方法可以應(yīng)用于小振幅下分狀態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的顫振導(dǎo)數(shù)識(shí)別，并且具有較強(qiáng)的抗噪聲能力和較高的識(shí)別精度.

3.2 非線性氣動(dòng)力參數(shù)識(shí)別

以自激升力動(dòng)態(tài)系數(shù)為例，構(gòu)造四階正弦諧波信號(hào)，其中一階基頻f=2 Hz.各諧波參數(shù)分別設(shè)定為

諧波模型為

可以看出，高階諧波振幅分別為一階諧波振幅的20%、10%和5%.可見該信號(hào)為非線性較強(qiáng)的信號(hào).向原始信號(hào)中加入20%的白噪聲，然后運(yùn)用解析法對各諧波的參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，表2為參數(shù)識(shí)別結(jié)果.

圖1 含噪聲非定常氣動(dòng)力系數(shù)信號(hào)Fig.1 Unsteady aerodynamics coefficient signal with noise

由識(shí)別結(jié)果可知，識(shí)別誤差最大僅為3.224 7%，這說明解析法具有很好的抗噪聲能力，能夠較精確地對非線性自激氣動(dòng)力諧波信號(hào)的參數(shù)進(jìn)行識(shí)別.

在進(jìn)行參數(shù)識(shí)別時(shí)，還需利用該方法對同步采集的時(shí)程位移信號(hào)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，找到相位為0所對應(yīng)的時(shí)刻，然后利用自激力解析表達(dá)式識(shí)別出各階諧波對應(yīng)的氣動(dòng)參數(shù).

表1 理想平板顫振導(dǎo)數(shù)識(shí)別結(jié)果Tab.1 Identification results of flutter derivatives for ideal flat plate

表2 非線性氣動(dòng)力參數(shù)識(shí)別結(jié)果Tab.2 Identification results of nonlinear aerodynamic parameter

4 風(fēng)洞試驗(yàn)

利用強(qiáng)迫振動(dòng)裝置，基于1∶70的剛性節(jié)段測壓模型和電子壓力掃描閥，運(yùn)用解析方法對斷面的非線性自激氣動(dòng)力參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，以驗(yàn)證該方法的可行性.

橋梁節(jié)段模型強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)具有4套伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，可單獨(dú)驅(qū)動(dòng)節(jié)段模型作單自由度豎向或扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)時(shí)可實(shí)現(xiàn)常振幅、常頻率的穩(wěn)態(tài)振動(dòng).試驗(yàn)選取某一流線型箱梁斷面進(jìn)行，模型高0.050 m，寬0.554 m，長1.500 m，采用玻璃鋼纖維和碳纖維制作.斷面如圖2所示.試驗(yàn)采樣頻率設(shè)置為128 Hz，采樣時(shí)長為32 s，氣動(dòng)力在不同時(shí)刻對應(yīng)的位移由強(qiáng)迫振動(dòng)裝置的測量系統(tǒng)采集.圖2為模型斷面圖，圖3為試驗(yàn)現(xiàn)場圖片.

試驗(yàn)針對單自由度扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行.由文獻(xiàn)［5］可知，在大攻角、大振幅條件下，橋梁斷面自激力的非線性特性較明顯.因此，試驗(yàn)選擇在攻角α=5°，振幅A=10°下進(jìn)行.表3為試驗(yàn)具體工況.

圖2 流線型箱梁斷面Fig.2 Streamlined box girder section

圖3 強(qiáng)迫振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)Fig.3 Wind tunnel test for forced vibration

表3 試驗(yàn)參數(shù)Tab.3 Test parameters

采用上述解析方法對試驗(yàn)獲得的非線性自激氣動(dòng)力信號(hào)進(jìn)行擬合.擬合結(jié)果顯示：非線性自激氣動(dòng)力諧波階次均為3次；氣動(dòng)力的頻率與驅(qū)動(dòng)頻率存在微小的差異（見表3）；自激氣動(dòng)力具有明顯的非線性性質(zhì)，其中，升力的基頻諧波幅值比重在88%～91%之間，升力矩相應(yīng)的值在64%～76%之間；自激氣動(dòng)力線性成分隨折算風(fēng)速增大而減弱.圖4為折算風(fēng)速23的非線性自激氣動(dòng)力諧波信號(hào)及擬合結(jié)果.基于同步采集獲取的位移信號(hào)，識(shí)別出斷面的非線性自激氣動(dòng)力參數(shù)（見圖5）.

圖4 自激氣動(dòng)力諧波信號(hào)及曲線擬合Fig.4 Harmonic signal of motion-induced aerodynamic forces and curve fitting

圖5 非線性自激氣動(dòng)力參數(shù)Fig.5 Parameters of nonlinear motion-induced aerodynamic force

5 結(jié) 論

結(jié)合分狀態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)，提出一種解析方法用于橋梁非線性自激氣動(dòng)力參數(shù)識(shí)別.該方法具有較強(qiáng)的抗噪聲能力，識(shí)別精度較高，能夠?qū)Ψ蔷€性高階諧波項(xiàng)做出很好的辨識(shí)，可以應(yīng)用于分狀態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)法識(shí)別非線性自激氣動(dòng)力參數(shù)，具有一定的實(shí)際意義.

數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能夠直接識(shí)別出含噪自激力信號(hào)的頻率、振幅及相位參數(shù)，并可以準(zhǔn)確地判定非線性自激氣動(dòng)力中高階諧波的階數(shù)，在此條件下，運(yùn)用非線性自激力解析表達(dá)式可以識(shí)別相應(yīng)的氣動(dòng)參數(shù).風(fēng)洞試驗(yàn)也進(jìn)一步證明了該方法的可行性.

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橋梁非線性自激氣動(dòng)力參數(shù)解析識(shí)別

熊 龍1，2， 廖海黎1，2，王 騎1，2， 馬存明1，2

Analytic Identification of Bridge Nonlinear Motion-Induced Aerodynamic Parameter

XIONG Long1，2， LIAO Haili1，2，WANG Qi1，2， MA Cunming1，2
（1.Research Center for Wind Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；2.Key Laboratory for Wind Engineering of Sichuan Province，Chengdu 610031，China）

As nonlinearity component of motion-induced force plays a key role in wind-induced vibration of bridge，it is very important to reasonably determine the nonlinear aerodynamic parameters. According to the detached-forced vibration wind tunnel tests，an analytic identification method for nonlinear aerodynamic parameters，which combines the eigensystem realization algorithm and nonlinear least square，was proposed with consideration of the analytical expression of nonlinear self-excited force.Numerical simulation results of ideal flat plate show that the identification results are in good agreement with the theoretical values in the noise-free case，and the maximum identification error is only 3.7%when there is additional 20%Gaussian noise.It means that the proposed analytic method has strong anti-noise ability.In addition，the numerical simulation results of nonlinear aerodynamic force show that the analytic method can accurately estimate the order of nonlinear motion-induced aerodynamic force，and with additional 20%Gaussian noise，the maximum identification error of the phase and amplitude of each harmonic is only 3.2%.Finally，wind tunnel tests were carried out to verify the feasibility and effectiveness of proposed method.

forced vibration；nonlinear motion-induced aerodynamic force；parameter identification

熊龍，廖海黎，王騎，等.橋梁非線性自激氣動(dòng)力參數(shù)解析識(shí)別［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，51（5）：824-831.

0258-2724（2016）05-0824-08

10.3969/j.issn.0258-2724.2016.05.002

TU997；U448.27

A

2015-07-29

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目（2013CB036300）；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51308478，51378442）

熊龍（1983—），男，博士研究生，研究方向?yàn)榇罂缍葮蛄嚎癸L(fēng)，E-mail：xionglong210@126.com

（中文編輯：徐 萍 英文編輯：周 堯）