王　碩, 張奕群

(北京電子工程總體研究所, 北京 100854)

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檢測低信噪比運動目標(biāo)的改進(jìn)DP算法

王碩, 張奕群

(北京電子工程總體研究所, 北京 100854)

研究了用于檢測低信噪比目標(biāo)的動態(tài)規(guī)劃(dynamic programming, DP)算法。鑒于傳統(tǒng)各DP算法對低信噪比運動目標(biāo)的檢測能力較弱的問題,提出了一種改進(jìn)算法。該算法利用二階Markov模型描述目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程,并在此基礎(chǔ)上將DP的目標(biāo)尋優(yōu)過程改進(jìn)為一系列二維尋優(yōu)的嵌套。這樣,在充分考慮目標(biāo)的各種運動可能性的前提下,改進(jìn)算法仍能具有較小的目標(biāo)搜索范圍,從而改善了DP對低信噪比運動目標(biāo)的檢測性能。

動態(tài)規(guī)劃; 二階Markov模型; 低信噪比; 運動點目標(biāo); 檢測

0　引　言

目標(biāo)檢測的一般做法是先通過檢測門限對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分割,再從分割出的觀測點中甄別目標(biāo)。分割門限的選擇要遵循兩點要求:既要保證目標(biāo)存在于分割后的圖像中,又要保證分割后的圖像是相對“干凈”的,即噪聲引起的虛警點較少。在對低信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)目標(biāo)檢測時,上述兩點要求通常難以同時得到保證,檢測門限很難選擇。而在實際應(yīng)用中,我們總希望檢測算法可以在目標(biāo)距離傳感器更遠(yuǎn)、目標(biāo)的SNR更低時完成檢測任務(wù),因此,研究低SNR目標(biāo)的檢測問題很有必要。在研究過程中,人們提出了一類無需門限分割,而對原始數(shù)據(jù)中所有潛在目標(biāo)進(jìn)行跟蹤,逐漸確定目標(biāo)的實際位置并得到目標(biāo)軌跡的“先跟蹤后檢測”(track before detect, TBD)方法。

動態(tài)規(guī)劃(dynamic programming, DP)算法是一種最常見的TBD方法。為解決最優(yōu)決策問題,TBD方法最初由文獻(xiàn)[1]提出,隨后文獻(xiàn)[2-3]將之應(yīng)用到信號與圖像處理領(lǐng)域。文獻(xiàn)[4]首先將DP算法用于低SNR目標(biāo)的檢測,給出了一套完整的低SNR目標(biāo)檢測算法[4]。在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[5]改進(jìn)評價函數(shù),提高了算法在混合高斯噪聲下的檢測性能[5]。但是,這兩種DP算法均需要假定目標(biāo)速度來確定搜索范圍——假定速度越大,搜索范圍也就越大。文獻(xiàn)[6]指出,DP算法的檢測性能隨搜索范圍增大而下降[6],故上述兩算法檢測運動目標(biāo)的性能較弱。為此,文獻(xiàn)[6-10]先后提出了改進(jìn)方法,其共同點是引入“目標(biāo)速度”,減小了搜索范圍,提高了DP算法對運動目標(biāo)的檢測性能。然而,該“目標(biāo)速度”一般是由目標(biāo)歷史軌跡外推得到的。在相同時間內(nèi),SNR越低,外推的目標(biāo)軌跡越容易受噪聲干擾,使得對速度的估計出錯,進(jìn)而影響檢測性能。因此,上述改進(jìn)方法對SNR很低的目標(biāo)的檢測能力較弱。文獻(xiàn)[11]指出,利用二階Markov模型來描述目標(biāo)的運動狀態(tài)可提高目標(biāo)檢測性能,并給出了一種改進(jìn)算法。然而,該算法的推導(dǎo)過程存在錯誤,導(dǎo)致算法在尋優(yōu)中并沒有利用二階模型,其尋優(yōu)過程仍然是一維的,事實上與Pulford方法類似。

本文深入研究了如何利用DP算法檢測低SNR(特別是SNR低于2)的運動目標(biāo)的問題,在Tonissen、Pulford等人的DP算法基礎(chǔ)上,提出了一種新的基于二階Markov模型的DP算法改進(jìn)算法,改進(jìn)了DP算法對低SNR運動目標(biāo)的檢測能力。此外,本文還給出了計算改進(jìn)算法的評價函數(shù)的分布的方法,并在此基礎(chǔ)上分析了算法的檢測性能。

1　傳統(tǒng)DP方法

1.1目標(biāo)檢測問題的描述

設(shè)傳感器的分辨率為M×M,各像元尺寸均為Δx×Δy(Δx=Δy=Δ),且目標(biāo)的成像面積遠(yuǎn)小于單個像元尺寸,可視為點目標(biāo)。將各時刻k的M×M維測量矩陣表示為

(1)

式中,1≤i,j≤M;zij(k)為像元(i,j)處的測量值,且

(2)

記真實的目標(biāo)軌跡為

(3)

式中,上標(biāo)“0”表示目標(biāo),下同。用評價函數(shù)s(θ(n),θ(n-1),…,θ(1))來衡量下述目標(biāo)狀態(tài)序列(θ(n),θ(n-1),…,θ(1))為目標(biāo)軌跡的可能性,并將目標(biāo)軌跡估計為評價函數(shù)值最大的狀態(tài)序列(θ(n),θ(n-1),…,θ(1))。這樣,對Θ0(n)的估計就轉(zhuǎn)化為一個n維尋優(yōu)問題:

(4)

1.2Arnold的DP算法

以Arnold采用的評價函數(shù)[5]為例

(5)

式中,Z(n)={z(n),z(n-1),…,z(1)}為連續(xù)n個時刻的測量矩陣的集合；(θ(n),θ(n-1),…,θ(1))指各時刻k(1≤k≤n)目標(biāo)在θ(k)處存在的假設(shè),與之相反,H0是在各θ(k)處無目標(biāo)的假設(shè)。

由于式(4)的計算量很大,n維尋優(yōu)難以在工程中應(yīng)用。故為簡化尋優(yōu)過程,將式(5)整理為遞歸形式

(6)

并假設(shè)目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移滿足一階Markov模型,即

(7)

這樣,將式(6)、式(7)代入式(4),n維尋優(yōu)過程就可以拆分為

(8)

其中

(9)

在上述算法中,式(7)是關(guān)鍵,其假設(shè)確保了式(8)成立,使得式(4)這一n維尋優(yōu)問題簡化成一系列的一維尋優(yōu)問題的嵌套,將算法的計算量從M2n減小為M4n。

圖1　DP算法的目標(biāo)搜索區(qū)域RBFig.1　Search region RB of DP algorithm

然而,上述算法僅在檢測運動速度不大的目標(biāo)時,能夠提供比較高的檢測概率。這是因為,若目標(biāo)運動得慢,RB可選得較小,這樣尋優(yōu)過程中受噪聲干擾小。但若目標(biāo)速度大,RB就需選得大一些,則尋優(yōu)過程中受噪聲干擾的機會變大,使得算法的性能下降。

為此,文獻(xiàn)[6-10]利用“目標(biāo)速度”改進(jìn)并減小了DP算法對運動目標(biāo)的搜索區(qū)域,提高了算法對運動目標(biāo)的檢測性能。以Pulford的方法為例[7],其做法是:先利用Kalman濾波由狀態(tài)θ(k-1)及之前各時刻的狀態(tài)來估計目標(biāo)速度并外推在k時刻目標(biāo)出現(xiàn)的范圍Rθ(k-1),如圖2所示。若θ(k)落在Rθ(k-1)當(dāng)中,則θ(k)在往回尋優(yōu)時考慮該θ(k-1),而若θ(k)落在Rθ(k-1)之外,則在尋優(yōu)中該θ(k-1)不再予以考慮。這樣,對DP算法來說,每一步尋優(yōu)相當(dāng)于只考慮RB中那一部分與目標(biāo)速度一致的狀態(tài),也就減小了搜索范圍。如果目標(biāo)信噪比比較高、對目標(biāo)速度估計得準(zhǔn)確,上述做法的確有效縮小了目標(biāo)的搜索范圍,提高了檢測性能。然而,若目標(biāo)的信噪比很低,對目標(biāo)速度的估計就可能受噪聲干擾,使θ(k)被排除在Rθ(k-1)之外,導(dǎo)致評價函數(shù)無法沿目標(biāo)軌跡有效“累積”,從而使得目標(biāo)檢測能力下降。

而對Barniv、Arnold的DP算法來說,由于算法考慮搜索區(qū)域內(nèi)的所有狀態(tài)(包括被Pulford方法排除的狀態(tài)),假如目標(biāo)運動得慢、搜索范圍選得很小,當(dāng)目標(biāo)的SNR很低時評價函數(shù)反而更有機會沿目標(biāo)軌跡“累積”,成功檢測到目標(biāo)。例如,后文的仿真結(jié)果表明,當(dāng)目標(biāo)的SNR很低時,Pulford方法對目標(biāo)的檢測能力比傳統(tǒng)的DPA更弱。

圖2　Pulford方法的搜索范圍確定過程Fig.2　Search region of Pulford’s algorithm

所以,Barniv、Arnold這一類傳統(tǒng)算法解決了對SNR很低且運動較慢的目標(biāo)的檢測,Tonissen、Pulford等人的改進(jìn)算法解決了對SNR稍高且運動較快的目標(biāo)的檢測,但它們都沒有很好解決對SNR很低、運動又很快的目標(biāo)的檢測問題。

(10)

(11)

這樣,將DP算法演變?yōu)橐幌盗卸S尋優(yōu)的嵌套,通過考慮更多的狀態(tài)關(guān)聯(lián)可能性,以保證沿目標(biāo)速度方向的評價函數(shù)更優(yōu)。雖然這樣做增加了算法的復(fù)雜度,卻能提供比Pulford方法更好的對低SNR目標(biāo)的檢測能力?；谶@種想法,我們提出了下述基于二階Markov模型的改進(jìn)DP算法。

2　改進(jìn)的DP算法

2.1算法描述

改進(jìn)算法采用與式(5)一樣的評價函數(shù),但不同的是,采用二階Markov模型描述目標(biāo)的運動,即

(12)

這樣,評價函數(shù)變?yōu)橄率鲞f歸形式,即

(13)

初值

將式(13)代入式(4)中,得到

(14)

由式(14),對θ(k-2)尋優(yōu)總會涉及到接下來兩個時刻的狀態(tài)θ(k)和θ(k-1)。因此,θ(k)和θ(k-1)可用來反推θ(k-2)以獲得目標(biāo)速度和位置。檢測運動目標(biāo)時,類似于上述Pulford方法,在推測位置周圍搜索目標(biāo)可使搜索范圍更小,從而減小搜索區(qū)域內(nèi)的噪聲對尋優(yōu)過程的干擾,使算法能夠更好的檢測運動目標(biāo)。

2.2搜索區(qū)域設(shè)置

如前文所述,改進(jìn)算法的重點在于利用速度對目標(biāo)位置反推、并以推測點為中心設(shè)置搜索區(qū)域的過程。

與常規(guī)跟蹤方法類似,對勻速直線運動的目標(biāo)來說,反推目標(biāo)位置可利用線性外推實現(xiàn)。若已知θ(k)及,θ(k-2)的外推點可表示為

(15)

圖3　θ(k-2)的改進(jìn)搜索區(qū)域Fig.3　Search region of θ(k-2)

(16)

一般來說,外推精度越低,目標(biāo)就越可能遠(yuǎn)離外推點,那么rI就要增大。工程中,我們可以給定一個漏檢概率Pmiss,并將滿足

(17)

的r的最小值作為rI。由于θ(k)在x,y方向上相對像元中心的誤差不超過,故由式(15),相對在x,y方向的誤差不超過,因此可取。這樣,若假設(shè)Pmiss=0.01,則相對應(yīng)的σI=Δ/2。

改進(jìn)算法在搜索目標(biāo)方面相比傳統(tǒng)DP算法以及Tonissen、Pulford等方法的區(qū)別主要在以下兩方面。

(2) 對Tonissen、Pulford等方法,目標(biāo)的搜索范圍與目標(biāo)的歷史軌跡有關(guān)。如前文所述,若目標(biāo)的SNR低,歷史軌跡就可能不準(zhǔn)。這樣,搜索范圍雖得以縮小,卻可能因?qū)λ俣裙烙嫴粶?zhǔn)確而導(dǎo)致漏掉目標(biāo),影響評價函數(shù)沿目標(biāo)軌跡的累積,降低算法對低SNR目標(biāo)的檢測性能。但對本文的改進(jìn)算法來說,在減小搜索范圍的同時,通過假設(shè)不同的目標(biāo)速度,從而考慮更多目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的可能性,也就減少了漏掉目標(biāo)的情況的發(fā)生,提高了對低SNR目標(biāo)的檢測性能。

圖4　搜索區(qū)域RB與RI的關(guān)系Fig.4　Relationship of search region RBand RI

2.3算法實現(xiàn)

至此,利用改進(jìn)算法,低SNR的運動目標(biāo)得以被有效檢測。式(14)的計算過程可由下述步驟實現(xiàn):

步驟 1k=3時,任給θ(3),以其為中心設(shè)置包含qB個像元的搜索區(qū)域RB,將θ(3)與RB中任意θ(2)關(guān)聯(lián),形成關(guān)聯(lián)對(θ(3),θ(2));

步驟 3重復(fù)步驟2,完成對RB中qB個θ(2)的遍歷;

3　檢測性能的分析

Barniv給出分析算法檢測性能的方法[12]:先分別沿噪聲和目標(biāo)軌跡獲得各自評價函數(shù)值的分布,然后將噪聲和目標(biāo)軌跡的評價函數(shù)值超過門限VT的概率分別定義為虛警概率PFA及檢測概率PD,利用PFA及PD分析算法的檢測性能。

可見,能否對算法的檢測性能加以正確分析的關(guān)鍵在于是否能準(zhǔn)確獲得噪聲和目標(biāo)軌跡評價函數(shù)值的分布。下文我們分別給出Arnold的DP算法以及我們的改進(jìn)算法的評價函數(shù)值分布的描述方法。

3.1Arnold的DP算法的評價函數(shù)值的分布

(18)

一般情況下,max[·]不是正態(tài)的,故評價函數(shù)值的分布函數(shù)很難準(zhǔn)確得到[13]。為此,我們給出下面這種計算評價函數(shù)值分布的方法。

(19)

(20)

即T(z(k))的概率密度fz(x)可由測量z(k)的分布得到。

而對fmax(x;k-1),若假設(shè)max[·]中的qB個評價函數(shù)值獨立同分布,則它們的最大值分布是它們各自分布的乘積[15],即

(21)

利用式(19)～式(21),評價函數(shù)值的分布可以遞歸得到,初值Fs(x;1)為T(z(1))的分布函數(shù)Fz(x)。

沿目標(biāo)軌跡,類似有

(22)

其中

(23)

3.2改進(jìn)DP算法的評價函數(shù)值的分布

接下來用類似的方法,研究改進(jìn)DP算法的評價函數(shù)值的分布。

改進(jìn)算法的尋優(yōu)過程相比傳統(tǒng)DP算法的復(fù)雜一些,為此,將式(14)中前n-1步尋優(yōu)拆分為以下3個階段:

(24a)

(24b)

(24c)

式中各p(θ(k)|θ(k-1),θ(k-2))可按式(16)計算并歸一化得到,下文簡記為p1,…,pqI。

沿噪聲軌跡,與式(24a)～式(24c)對應(yīng),各時刻評價函數(shù)值的分布可表示為

(25a)

式中,初值Fs(x;1)為T(z(1))的分布Fz(x)。

(25b)

(25c)

分別與式(24a)～式(24c)對應(yīng),各時刻評價函數(shù)值的分布可表示為

(26a)

(26b)

(26c)

3.3檢測性能的分析

利用上面得到的評價函數(shù)值的分布,對改進(jìn)算法的檢測性能進(jìn)行分析,并比較其與傳統(tǒng)DP算法的差別。

按照對PFA及PD所下的定義,PFA及PD可表示為

(27)

(28)

分別利用由式(19)、式(21)及式(25)給出的Arnold及改進(jìn)DP算法沿噪聲軌跡評價函數(shù)值的分布,可以確定與給定虛警概率所對應(yīng)的檢測門限VT,再分別利用由式(22)、式(23)及式(26)給出的兩算法沿目標(biāo)軌跡評價函數(shù)值的分布,可以計算得到它們各自的檢測概率。

定義目標(biāo)的SNR為

SNR=a/σ

(29)

在噪聲n(k)～N(0,1.52)、虛警概率PFA=0.01的條件下,對兩種算法的檢測性能加以分析比較。

圖5給出了在qB=9及25、qI=9時,兩種算法的檢測概率PD與總檢測幀數(shù)n的關(guān)系。比較圖5(a)和圖5(c)。雖qB=qI=9,即兩種算法的搜索區(qū)域相同,但對相同檢測幀數(shù),改進(jìn)算法的檢測概率更高,即能更好的檢測低SNR目標(biāo)。換句話說,對同一目標(biāo),改進(jìn)算法在達(dá)到相同檢測概率時相比傳統(tǒng)DP算法所需的檢測幀數(shù)更少,即算法的檢測效率更高。

此外,比較圖5(b)和圖5(d),隨著目標(biāo)搜索范圍的擴大,相同幀數(shù)下改進(jìn)算法的檢測概率比傳統(tǒng)DP算法的高很多。而且在分別比較與圖5(a)～圖5(d)后發(fā)現(xiàn),改進(jìn)算法的檢測性能相對受目標(biāo)搜索范圍大小的影響更弱,故改進(jìn)算法更適合于檢測運動目標(biāo)。

由上述對比可見,改進(jìn)DP算法不僅可改善對低SNR運動目標(biāo)的檢測能力,還可縮短所需的檢測幀數(shù),實現(xiàn)了對運動目標(biāo)更快、更準(zhǔn)地檢測效果。

4　算法仿真分析

我設(shè)計了下述仿真場景。傳感器的分辨率為128×128,背景噪聲n(k)～N(0,1.52)。目標(biāo)做勻速直線運動,其幀間運動速度分別為1個像元和2個像元。對各DP算法,當(dāng)目標(biāo)幀間速度為1個像元時取RB為3×3像元,而當(dāng)目標(biāo)幀間速度為2個像元時取RB為5×5像元,RI取為3×3像元。對Pulford方法,將Rθ(k-1)取為3×3像元,Kalman濾波的初始速度由各軌跡前兩幀狀態(tài)經(jīng)線性外推得到,目標(biāo)幀間速度為1個像元時初始方差陣為E,幀間速度為2個像元時初始方差陣為4E,其中E為4×4的單位陣。檢測門限為恒虛警門限,對應(yīng)虛警概率PFA=0.01。

首先比較Arnold的DP算法、Pulford的DP算法以及本文的改進(jìn)算法在檢測SNR為1.6～2.5的目標(biāo)時所需的檢測幀數(shù)。我們對不同速度不同SNR的目標(biāo)各做了100次仿真,并將各次檢測結(jié)果的平均值定義為“平均檢測幀數(shù)”。在每次仿真中,測量噪聲及目標(biāo)初始位置及速度方向隨機。仿真結(jié)果示于圖6,可以看出,相比Arnold方法,如果目標(biāo)的速度較快,Pulford方法檢測目標(biāo)有明顯的性能優(yōu)勢。但當(dāng)目標(biāo)速度慢時,Pulford方法檢測SNR低于1.8的目標(biāo)時所需的幀數(shù)卻反多于Arnold方法,說明此時估計的“目標(biāo)速度”不夠準(zhǔn)確,搜索范圍有偏差,影響了檢測性能。對改進(jìn)算法,它的平均檢測幀數(shù)是3種方法中最少的,且目標(biāo)的SNR越低,與其他兩種方法的差別越明顯,證明了它檢測低SNR運動目標(biāo)的有效性。

(30)

圖5　算法檢測概率與檢測幀數(shù)的關(guān)系Fig.5　Relationship of detection probability and detection frame

圖6　SNR與檢測幀數(shù)的關(guān)系Fig.6　Relationship of SNR and detection frame

這里用errT衡量算法的跟蹤精度。圖7給出在n=40時,errT與SNR的關(guān)系。圖中errT的數(shù)據(jù)是對各信噪比目標(biāo)做100次仿真,并將結(jié)果取平均值得到的。每次仿真中,目標(biāo)做勻速直線運動,測量噪聲及目標(biāo)初始位置及速度方向隨機?？梢钥闯?3種算法在SNR≥2.5時均能夠較準(zhǔn)確地跟蹤目標(biāo)。SNR<2.5時,隨信噪比降低,3種DP方法的跟蹤誤差均逐漸開始增大。目標(biāo)運動較快時,Pulford方法的誤差始終小于Arnold方法,但若目標(biāo)運動得慢,當(dāng)SNR低于1.8,Pulford方法的誤差反而超過了Arnold方法,再次證明目標(biāo)SNR很低時Pulford方法對“目標(biāo)速度”的錯誤估計會對檢測結(jié)果產(chǎn)生負(fù)作用。相比而言,改進(jìn)算法的跟蹤誤差最小,體現(xiàn)出對低SNR目標(biāo)更好的跟蹤性能。

圖7　SNR與跟蹤誤差的關(guān)系Fig.7　Relationship of SNR and tracking error

5　結(jié)　論

本文通過研究在檢測運動目標(biāo)時,傳統(tǒng)DP算法的檢測性能顯著下降的原因,提出了基于二階Markov模型的改進(jìn)DP算法。改進(jìn)算法在尋優(yōu)過程中利用目標(biāo)速度對目標(biāo)位置進(jìn)行反推,減小了搜索范圍,從而減小了噪聲對尋優(yōu)過程的干擾。通過對算法性能的分析及仿真發(fā)現(xiàn),改進(jìn)算法具有很好的低SNR檢測能力,同時提高了對運動目標(biāo)的檢測性能,在檢測低SNR運動目標(biāo)方面有一定優(yōu)勢。

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Improved dynamic programming algorithm for low signal-to-noise ratio moving target detection

WANG Shuo, ZHANG Yi-qun

(Beijing Institute of Electronic System Engineering, Beijing 100854, China)

The dynamic programming (DP) algorithm for detecting dim targets is investigated. Due to the poor performance of detecting dim moving targets with traditional DP, an improved DP algorithm is proposed. The algorithm models the process of target state transition with a second-order Markov model, and on this basis transfers the optimization of traditional DP to a series of 2-dimensional optimizations. Thus, the target search region of the improved algorithm is narrowed on condition of considering a variety of target velocities, and the detection performance of dim moving targets for the DP algorithm is improved.

dynamic programming (DP); second-order Markov model; low signal-to-noise ratio; moving point target; detection

2015-04-02；

2016-03-04；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-06-07。

TN 911.73

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.10.04

王碩(1987-),男,博士,主要研究方向為目標(biāo)檢測與識別。

E-mail:daniel-ws@163.com張奕群(1962-),男,研究員,博士,主要研究方向為導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

E-mail:yiqunzhang@hotmail.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160607.1605.014.html