金　艷, 胡碧昕, 姬紅兵

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710071)

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α穩(wěn)定分布噪聲下一種穩(wěn)健加權(quán)濾波的統(tǒng)一框架

金艷, 胡碧昕, 姬紅兵

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710071)

針對傳統(tǒng)濾波方法在α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下性能退化的問題,從加權(quán)Myriad濾波以及加權(quán)Merid濾波方法出發(fā),以M估計理論為基礎(chǔ),推導(dǎo)得到穩(wěn)健加權(quán)(robust weighted,RW)濾波方法的統(tǒng)一算法結(jié)構(gòu),并據(jù)此提出了基于RW濾波的新算法,即基于穩(wěn)健加權(quán)濾波的統(tǒng)一框架,從而將加權(quán)Myriad、加權(quán)Merid以及基于廣義柯西分布的加權(quán)濾波器統(tǒng)一起來。此外,針對線性調(diào)頻(linear frequency modulation, LFM)信號采用基于RW的LVD(RW-LVD)方法估計其參數(shù),并根據(jù)估計性能對RW方法的抑噪效果進(jìn)行分析。仿真結(jié)果表明,與基于加權(quán)Myriad濾波、加權(quán)Merid濾波以及基于廣義柯西分布的加權(quán)濾波等多種方法相比,在強(qiáng)脈沖噪聲下RW濾波方法能有效抑制脈沖噪聲,并具有良好的穩(wěn)健性。

α穩(wěn)定分布噪聲; 參數(shù)估計; 代價函數(shù); 穩(wěn)健加權(quán)濾波

0　引　言

在雷達(dá)、聲吶、生物工程、地震探測等領(lǐng)域中,實際噪聲具有明顯的非高斯脈沖特性,較厚的概率密度函數(shù)拖尾,與傳統(tǒng)高斯模型相比,α穩(wěn)定分布可以更好地描述[1-4]。α穩(wěn)定分布是唯一滿足廣義中心極限定理的分布,因而在信號處理領(lǐng)域得到快速發(fā)展。針對該類噪聲下基于傳統(tǒng)高斯模型的信號處理方法性能下降的問題,已有學(xué)者提出了基于加權(quán)Myriad濾波[5-8]以及加權(quán)Merid濾波[9-11]等多種降噪方法。這些方法在一定程度上抑制了α穩(wěn)定分布噪聲,但在強(qiáng)脈沖噪聲環(huán)境下性能均會下降。

對此,本文提出了可有效抑噪的穩(wěn)健加權(quán)(robust weighted,RW)濾波新方法,該方法基于M估計原理,構(gòu)造了適用于較強(qiáng)脈沖噪聲的代價函數(shù)。由于α穩(wěn)定分布噪聲不存在統(tǒng)一的封閉概率密度函數(shù)表達(dá)式,加權(quán)Myriad、加權(quán)Merid濾波器均基于α穩(wěn)定分布中唯一存在封閉概率密度函數(shù)表達(dá)式的柯西分布,并采用最大似然估計方法對噪聲進(jìn)行抑制,然而在強(qiáng)脈沖噪聲下其抑噪性能退化。本文構(gòu)造的代價函數(shù)無需獲得樣本的概率密度函數(shù),從而解決了傳統(tǒng)加權(quán)濾波器采用最大似然估計,與α穩(wěn)定分布噪聲不存在封閉的概率密度函數(shù)表達(dá)式的矛盾。此外,基于該代價函數(shù)的RW濾波方法,建立了α穩(wěn)定分布噪聲下穩(wěn)健加權(quán)濾波的統(tǒng)一框架,從而將加權(quán)Myriad、加權(quán)Merid以及基于廣義柯西分布的加權(quán)(weighted maximum-likelihood generalized Cauchy,WMGC)濾波器[12]有機(jī)統(tǒng)一起來,構(gòu)建起RW濾波的統(tǒng)一理論基礎(chǔ),并從濾波器輸出及代價函數(shù)兩個方面說明以上3種濾波器服從于本文提出的RW濾波框架。

線性調(diào)頻(linear frequency modulation, LFM)信號是研究最早且應(yīng)用最廣的一種脈沖壓縮信號,在通信、雷達(dá)和地震勘探等方面均有廣泛應(yīng)用[13-14]。Lv’s分布(Lv’s distribution,LVD)算法結(jié)合相位尺度變換[15],無需進(jìn)行二維搜索,具有較高的時頻分辨率,但在脈沖性較強(qiáng)的α穩(wěn)定分布噪聲下該方法性能退化嚴(yán)重。因此,本文首先對α穩(wěn)定分布噪聲下的LFM信號進(jìn)行RW濾波,隨后對濾波后信號進(jìn)行LVD時頻分析,并利用LFM信號參數(shù)估計的結(jié)果表明該方法的噪聲抑制性能。此外,需要說明的是,該方法不僅適用于線性調(diào)頻信號,在α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下均可適用,采用線性調(diào)頻信號僅是作為驗證噪聲抑制性能的一個角度,用以說明方法在α穩(wěn)定分布噪聲下的有效性。

1　最大似然估計與M估計原理

(1)

式中,f(xi;θ)為樣本的概率密度函數(shù),對似然函數(shù)求導(dǎo),令

(2)

(3)

式(3)也可描述為

(4)

式中,ρ(·)是代價函數(shù);φ(·)為ρ(·)關(guān)于θ的導(dǎo)數(shù)[16]。最大似然估計中求取似然函數(shù)最大值的問題,可轉(zhuǎn)化為求取似然函數(shù)倒數(shù)最小值的問題。因此,最大似然估計與M估計理論均可等效為最小值求取問題。當(dāng)代價函數(shù)為ρ(X)=X2時,式(3)所描述的M估計即等價于高斯假設(shè)下的最大似然估計。此外,通過構(gòu)造合適的代價函數(shù),M估計可應(yīng)用于脈沖噪聲環(huán)境并具有良好的穩(wěn)健性。

2　RW濾波原理及RW原理統(tǒng)一框架

2.1RW濾波方法

廣義柯西(generalized Cauchy,GC)分布的概率密度函數(shù)為

(5)

式中

(6)

式中，k為尺度參數(shù);p是拖尾參數(shù),在區(qū)間(0,2]取值;Γ(·)是Gamma函數(shù)。由于廣義柯西分布的拖尾參數(shù)僅可在較小范圍內(nèi)取值,導(dǎo)致基于該分布的濾波器的適用范圍、抑噪效果等性能受限。對此,本文引入輔助參數(shù)q,以擴(kuò)大拖尾參數(shù)的選取范圍,進(jìn)而擴(kuò)大濾波器的適用范圍。在此基礎(chǔ)上構(gòu)造基于RW濾波的代價函數(shù)為

(7)

根據(jù)式(3)和式(5),RW濾波的目標(biāo)函數(shù)可表示為

(8)

此時,若給定一組觀測樣本{x1,x2,…,xN}及非負(fù)濾波權(quán)值{h1,h2,…,hN},由M估計理論可得RW濾波的輸出為

(9)

(10)

(11)

由式(10)和式(11)可得

(12)

式中

令觀測樣本X=[x1,x2,…,xN],對應(yīng)的初始權(quán)值向量H=[h1,h2,…,hN],尺度參數(shù)為k,可得該濾波器的輸出和估計誤差分別為θ(h,X),e=θ-d,其中d是濾波器期望輸出。根據(jù)平均絕對誤差最小的準(zhǔn)則求得最佳權(quán)系數(shù),設(shè)誤差函數(shù)J(h,k)為

(13)

由式(13)可知,J(h,k)可能存在多重極小值點,而最優(yōu)權(quán)值就是其中的一個。令

(14)

即可得濾波器權(quán)值的迭代關(guān)系式為

(15)

式中,μ是迭代步長;函數(shù)P[·]為矩形函數(shù);變量hj是第j個權(quán)值,hj(n),hj(n+1)分別為第n次和第n+1次迭代值[11]。

當(dāng)h取實數(shù)時,RW濾波的輸出和權(quán)值迭代表達(dá)式分別為

(16)

(17)

式中,zi=sgn(hi)xi。

2.2RW濾波的統(tǒng)一框架

本文提出的RW濾波方法適用范圍廣泛,并且建立了一種RW濾波統(tǒng)一框架,該框架將加權(quán)Myriad、加權(quán)Merid以及WMGC濾波器統(tǒng)一起來,構(gòu)建了RW濾波的統(tǒng)一理論基礎(chǔ)。本節(jié)從濾波器輸出和代價函數(shù)的構(gòu)造兩個角度,說明以上3種濾波器均可用本文提出的基于RW濾波器的統(tǒng)一框架描述。

加權(quán)Myriad濾波器是從樣本序列服從柯西分布的Myriad平滑器中推導(dǎo)得來的,若給定一組觀測樣本及非負(fù)濾波權(quán)值{h1,h2,…,hN},Myriad濾波器輸出可表示為

(18)

與式(9)對比可知,RW濾波器中參數(shù)滿足p=-q=2時即為加權(quán)Myriad濾波。

加權(quán)Merid濾波器的樣本序列服從p=1時的GC分布,其濾波器輸出可表示為

(19)

與式(9)對比可知,RW濾波器中參數(shù)滿足p=-q=1時即為加權(quán)Merid濾波。

假設(shè)N個獨立樣本{x1,x2,…,xN}滿足位置參數(shù)為θ、尺度參數(shù)為k的GC分布,由式(5)及式(6)可知,WMGC濾波器輸出可表示為

(20)

與式(9)對比可知,RW濾波器中參數(shù)滿足p=-q時即為WMGC濾波。可見以上3種濾波器均可用本文提出的基于RW濾波器的統(tǒng)一框架描述。

此外,通過對最大似然函數(shù)與M估計分析比較,可知基于最大似然估計原理的3種濾波器,均可從M估計角度進(jìn)行定義:當(dāng)代價函數(shù)為ρ(xi)=lg{k2+hi|xi-θ|2}時,可定義加權(quán)Myriad濾波器;選取為ρ(xi)=lg{k+hi|xi-θ|}時,可定義加權(quán)Merid濾波器;選取為ρ(xi)=lg{kp+hi|xi-θ|p}時,可定義WMGC濾波器。將以上3種濾波器的代價函數(shù)分別與式(7)對比也可看出,三者均服從本文構(gòu)造的RW統(tǒng)一框架。

綜上所述,加權(quán)Myriad、加權(quán)Merid以及WMGC濾波器均可用本文構(gòu)造的RW統(tǒng)一框架描述。由于α穩(wěn)定分布噪聲不具備封閉的概率密度函數(shù)表達(dá)式,以上3種穩(wěn)健濾波器均基于α穩(wěn)定分布下的特例,并采用最大似然估計獲得濾波器輸出,導(dǎo)致該類濾波器在脈沖噪聲下濾波性能有限。本文構(gòu)造的RW統(tǒng)一框架則從M估計角度出發(fā),無需依靠樣本的概率密度函數(shù),可在α穩(wěn)定分布環(huán)境下具有更好的噪聲抑制性能。此外,其有機(jī)地將多種傳統(tǒng)加權(quán)濾波器統(tǒng)一起來,構(gòu)建了RW濾波的統(tǒng)一理論基礎(chǔ)。

3　LVD原理

RW濾波從M估計角度構(gòu)造穩(wěn)健性較強(qiáng)的代價函數(shù),實現(xiàn)了對較強(qiáng)脈沖噪聲的抑制。為驗證各濾波器的抑噪效果,本文采用LVD對濾波后的信號進(jìn)行時頻分析。LVD算法能夠使LFM信號在初始頻率-調(diào)頻斜率(centroidfrequency-chirprate,CFCR)域表現(xiàn)為一峰值,該峰值對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)即為LFM信號的初始頻率和調(diào)頻斜率值。首先,對信號的對稱參數(shù)瞬時自相關(guān)函數(shù)(parametricsymmetricinstantaneousautocorrelationfunction,PSIAF)做尺度變換,消除時間變量之間的耦合關(guān)系。PSIAF定義如下：

(21)

(22)

式中，h是尺度因子[15]。對尺度變換后的PSIAF分別關(guān)于τ和tn進(jìn)行二維傅里葉變換,即得LVD的定義式:

(23)

LVD具有較高的能量聚集性,可較為準(zhǔn)確地對LFM信號進(jìn)行參數(shù)估計,但其在脈沖性較強(qiáng)的α穩(wěn)定分布噪聲下性能嚴(yán)重退化。因此,本文首先對信號進(jìn)行RW濾波,再采用LVD對濾波后LFM信號進(jìn)行參數(shù)估計,并用其結(jié)果表示各濾波方法的抑噪效果。

4　仿真實驗及分析

LFM信號的數(shù)學(xué)模型定義如下:

(24)

(25)

仿真中LFM信號參數(shù)為:采樣頻率fs=256Hz,初始頻率f0=50Hz,調(diào)頻斜率k=25Hz/s,采樣點數(shù)N=256。

4.1方法性能比較

本文提出的RW濾波方法分別與基于加權(quán)Myriad濾波器[5-8]的LVD(myriadLVD,MYRLVD)、基于加權(quán)Merid濾波器[9-11]的LVD(meridLVD,MELVD)以及基于WMGC濾波器[12]的LVD(WMGCLVD)方法進(jìn)行對比。RW濾波中參數(shù)p與GC分布的拖尾參數(shù)一致,均在區(qū)間(0,2]取值。由于GC分布加權(quán)濾波器拖尾參數(shù)選取范圍較窄,導(dǎo)致其適用范圍、抑噪效果等性能受限。本文針對脈沖性較強(qiáng)的α穩(wěn)定分布,構(gòu)造了可擴(kuò)大拖尾參數(shù)選取范圍的參數(shù)q。大量仿真實驗證明,在p∈(0,2],p+q∈(0,80]區(qū)間內(nèi),RW濾波均可抑制脈沖噪聲,而WMGC濾波器則僅適用于p∈(0,2],p+q=0,可見,通過引入輔助參數(shù)q,RW濾波有效地擴(kuò)大了拖尾參數(shù)的選取范圍,進(jìn)而獲得更為廣泛的適用范圍。特別地,當(dāng)參數(shù)選取為p∈(0,2],p+q∈(0,5]時,RW濾波可在α穩(wěn)定分布噪聲下取得良好的抑噪效果。為方便說明且不失一般性,本文設(shè)置RW濾波器參數(shù)p=1.4,q=2.0,窗長N=5,初始權(quán)向量h=[0,0,5,0,0],步長因子μ=0.05。

圖1(a)為LFM信號的LVD等高線圖,可見,LFM信號在CFCR域清晰明確,可直接獲得LFM信號初始頻率和調(diào)頻斜率。圖1(b)～圖1(f)是α=0.8,GSNR=3dB的α穩(wěn)定分布噪聲下,采用不同方法所得的LVD等高線圖。圖1(b)為脈沖噪聲環(huán)境下采用LVD所得的等高線圖,由圖可知,受脈沖噪聲影響LVD分析方法性能嚴(yán)重退化。由圖1(c)、圖1(d) 以及圖1(e)可知,Myriad、Merid以及WMGC3種濾波器能夠較為有效地抑制脈沖噪聲,但仍難以對噪聲下的LFM信號進(jìn)行準(zhǔn)確分析。圖1(f)為RW濾波下的LVD(RW-LVD)等高線圖,可以看出,其與LFM信號的LVD等高線圖接近,RW濾波具有良好的脈沖噪聲抑制效果。

圖1　各方法下LVD等高線圖Fig.1　LVD contour map of each method

4.2參數(shù)估計結(jié)果及分析

下面采用所估計參數(shù)的歸一化均方根誤差(normalizedrootmeansquareerror,NRMSE)來比較在α穩(wěn)定分布噪聲下不同參數(shù)估計方法的優(yōu)劣,經(jīng)過200次蒙特卡羅實驗,仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

特征指數(shù)α=0.8時,由圖2(a)、圖2(b)可知,當(dāng)GSNR≥-7dB時,采用RW-LVD可以準(zhǔn)確估計LFM信號的調(diào)頻斜率和初始頻率;GSNR≥6dB時,采用MELVD和WMGCLVD可獲得LFM信號的調(diào)頻斜率,GSNR≥5dB時,可得到LFM信號的初始頻率;GSNR≥8dB時,MYRLVD才可得到LFM信號調(diào)頻斜率和初始頻率的準(zhǔn)確估計;傳統(tǒng)LVD方法受脈沖噪聲影響嚴(yán)重,性能嚴(yán)重退化,難以對信號的參數(shù)做出有效估計。特征指數(shù)α=1.5時,由圖3(a)、圖3(b)可知,當(dāng)GSNR≥-12dB時,采用RL可以準(zhǔn)確估計LFM信號的調(diào)頻斜率和初始頻率;GSNR≥2dB時,采用MELVD和WMGCLVD;GSNR≥0dB時,采用MYRLVD可得到LFM信號調(diào)頻斜率和初始頻率;傳統(tǒng)LVD方法難以實現(xiàn)LFM信號的參數(shù)估計。

綜上所述,同一GSNR下,RW-LVD比其他方法具有更小的歸一化均方根誤差,可在較低GSNR下準(zhǔn)確估計信號的參數(shù);隨著α的減小,各方法的性能都會下降,本文提出的RW濾波新方法則明顯優(yōu)于其他方法。因此,本文提出的RW濾波方法可有效抑制α穩(wěn)定分布噪聲,在較低信噪比下仍具有良好的穩(wěn)健性。

圖2　α=0.8時LFM信號參數(shù)歸一化均方根誤差Fig.2　NRMSE of the estimated LFM signal parameters for α=0.8

圖3　α=1.5時LFM信號參數(shù)歸一化均方根誤差Fig.3　NRMSE of the estimated LFM signal parameters for α=1.5

5　結(jié)　論

針對傳統(tǒng)加權(quán)濾波器在α穩(wěn)定分布噪聲下性能退化的問題,本文從M估計角度出發(fā)提出了RW濾波新方法。通過對最大似然估計與M估計分析比較,構(gòu)造了一種能夠有效應(yīng)用于α穩(wěn)定分布噪聲的代價函數(shù),解決了傳統(tǒng)穩(wěn)健加權(quán)濾波器,需獲得樣本概率密度函數(shù)表達(dá)式的問題。該方法不僅可有效抑制脈沖噪聲,而且構(gòu)造了一種RW濾波器的統(tǒng)一框架,構(gòu)建了RW濾波的統(tǒng)一理論基礎(chǔ)。仿真實驗表明,加權(quán)Myriad濾波、加權(quán)Merid濾波以及WMGC濾波等多種方法,均可較為有效地對脈沖噪聲進(jìn)行抑制,但在強(qiáng)脈沖噪聲下其抑噪性能下降。本文提出的RW濾波方法在強(qiáng)脈沖下也可對噪聲進(jìn)行有效抑制。仿真結(jié)果表明,RW濾波方法可有效抑制α穩(wěn)定分布噪聲,從而提高了時頻平面分辨率,并獲得了較高的估計精度。

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Unified framework of robust weighted filtering in α stable noise

JIN Yan, HU Bi-xin, JI Hong-bing

(School of Electronic Engineering, Xidian University, Xi’an 710071, China)

In order to solve the problem that the performance of traditional filtering methods degrades significantly inαstable noise environment, a unified structure of robust weighted (RW) filtering is derived based on the M estimation theory, the weighted Myriad and the weighted Merid filtering methods, and accordingly a RW filtering method, i.e., the unified framework, is proposed. The weighted Myriad, the weighted Merid and the generalized Cauchy distribution based weighted filtering methods are interpreted within the unifying framework. The parameters of noisy linear frequency modulation (LFM) signals can be estimated by the Lv’s distribution method based on the RW (RW-LVD) theory, and the estimation results are used to analyze the noise suppression performance. Simulation results show that compared with the weighted Myriad, the weighted Merid as well as the generalized Cauchy distribution based filtering methods, the proposed RW filtering method has better performance and it is robust toαstable noise.

αstable noise; parameter estimation; cost function; robust weighted (RW) filtering

2015-11-03；

2016-05-25；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-07-05。

國家自然科學(xué)基金(61201286)；陜西省自然科學(xué)基金(2014JM8304)資助課題

TN 911.7

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.10.01

金艷(1978-),女,副教授,博士,主要研究方向為現(xiàn)代信號處理、統(tǒng)計信號處理、非高斯噪聲處理、信號檢測與估計、通信信號偵測。

E-mail:yjin@mail.xidian.edu.cn

胡碧昕(1991-),女,碩士研究生,主要研究方向為非高斯噪聲下LFM信號處理。

E-mail:15353624268@163.com

姬紅兵(1963-),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,主要研究方向為光電信息處理、微弱信號檢測與識別、醫(yī)學(xué)影像處理。

E-mail:hbji@xidian.edu.cn

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