陳佳宏

(喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆喀什　844006)

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Carlitz反演公式的推廣

陳佳宏

(喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆喀什844006)

本文運用和式重整的技巧，同時結(jié)合其他基本組合方法證明了一個新的反演公式，并給出其相應(yīng)的矩陣形式和旋轉(zhuǎn)形式.此反演公式包含經(jīng)典的Carlitz反演公式作為其特例，是后者的一個自然、簡潔的推廣.

反演公式；Gould-Hsu反演；Carlitz反演①

0　引言

一些學(xué)者很早就已經(jīng)運用反演的方法來證明組合恒等式及其他相關(guān)的數(shù)學(xué)問題. Riordan在其經(jīng)典專著中專門用兩章內(nèi)容第一次系統(tǒng)闡述了包括最簡單的二項式反演在內(nèi)的一系列當時已知的反演關(guān)系[1].在Gould關(guān)于二項式反演的系列工作的基礎(chǔ)之上，Gould和徐利治給出了一對具有基本重要性的反演公式[2].它包含了上述Gould的二項式反演公式在內(nèi)的許多反演公式作為其特例，現(xiàn)常稱之為Gould-Hsu反演.同年，Carlitz在同一雜志上給出了Gould-Hsu反演的q-模擬，該反演公式包含Gould-Hsu反演作為其特例，現(xiàn)常稱之為Carlitz反演，但作者沒有給出更多的應(yīng)用[3].Carlitz反演的重要性是逐漸才為人們所認識.Andrews發(fā)現(xiàn)對于基本超幾何級數(shù)具有里程碑意義的Bailey變換等價于Carlitz反演的特殊情形[4].Gessel和Stanton[5,6]應(yīng)用Carlitz反演矩陣(Carlitz反演的等價形式)導(dǎo)出了一系列的求和公式和變換以及一些Rogerse-Ramanjuane型的等式.此后,關(guān)于這方面的研究層出不窮.鑒于Carlitz反演的重要性，尋求它的各種推廣是一件有意義的工作.為此，本文特給出Carlitz反演的一個推廣.

為后文敘述方便，首先引進一些記號

(1)

其中pq是任意復(fù)數(shù)，n為任意正整數(shù)，且使得piqi≠1，i=1,2,…,n.又約定(p,q)0=1.

(2)

(3)

此處ai=ai(p,q)，bi=bi(p,q)是兩個與p，q有關(guān)的給定數(shù)列.且對任意非負整數(shù)x，Ω(x,n,p,q)恒不為零，并約定Ω(x,0,p,q)=1.

1　主要定理及其證明

在前述記號和約定之下，有如下主要結(jié)果：

定理1.1 記號及約定同上，則有如下反演公式成立

(4)

在上述定理中令p=1，既是Carlitz反演公式.

引理1.2在定理1.1的條件下，以下等式成立

(5)

(6)

pn-1(1-pkqk)ck=(pnqn-pk-1qk-1)ck-1

(7)

定理1.1的證明 由反演關(guān)系，任意假定公式(4)中的兩個等式之一成立，則能由其推出另外一個等式即可.故若公式(4)中的第二個等式成立，將其代入第一個等式有

(8)

(9)

考慮到k為一變下標，將k-j依然記作k，則此式等價于

(10)

如此只要證明

(11)

其中δn,j為Kronecker符號.進一步，轉(zhuǎn)化為證明

(12)

當n=0時，(12)式左邊為

(13)

此時該等式成立.當n=1時，(12)式左邊為

(14)

此時該等式也成立.當n≥2時，(12)式左邊的和式為

(15)

(16)

上述倒數(shù)第二個等式由引理1.2得到，故等式(12)成立.進而定理1.1得證.

注：若在公式(1)中假定第一個等式成立，以此推證第二個等式，則轉(zhuǎn)化為證明

(17)

上式可以通過如下分裂因子的辦法得到：

(18)

2　定理1.1的變式

定理1.1可改寫為如下形式

(19)

記無窮維列向量α=(f(0),f(1),…f(n),…)T，β=(g(0),g(1),…g(n),…)T， A=(αn,k)，B=(βn,k)為無窮下三角矩陣，其中k,n取任意非負整數(shù).則定理1.1有如下的矩陣形式：

定理2.1記號如上，條件同定理1.1有

(20)

定理2.2記號如上，條件同定理1.1有

(21)

上式等價于

(22)

其中下標k的上限可以取有限或無限值，視具體情況而定，沒有標明.也可等價的寫成

(23)

綜上所述，本文主要運用和式重整的技巧并結(jié)合其他基本組合方法得到了Carlitz反演公式的一個自然推廣(定理1.1).同時，還給出了此推廣的矩陣形式(定理2.1)和旋轉(zhuǎn)形式(定理2.1).應(yīng)用這些定理，可以得到一些經(jīng)典等式的推廣[7,8,9].

[1]J. Riordan. Combinatorial Identities[M]. New York: John Wiley and Sons,1968.

[2]H.W. Gould, L. C. Hsu. Some new inverse series relations[J]. Duke Math. J,1973,40:885-891.

[3]L. Carlitz. Some inverse relations[J]. Duke Math. J,1973,40:893-901.

[4]G.E. Andrews. Connection coefficient problems and partitions[C].D. Ray-Chaudhuri (Ed.). Proc. Symp. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc.,1979,34:1-24.

[5]I.M. Gessel, D. Stanton. Application of q-Lagrange inversion to basic hypergeometric series[J]. Trans. Amer. Math. Soc.,1983, (277):173-203.

[6]I.M. Gessel, D. Stanton. Another family of q-Lagrange inversion formulas[J]. Rocky Moutain J. Math,1986, (16):373-384.

[7]劉治國. Carlitz反演與Rogers-Ramanujan恒等式及五重積恒等式[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，1995, (1):70-74.

[8]張彩環(huán),張之正. 基本超幾何級數(shù)的變換公式及Rogers-Amanujan恒等式[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2010,53(3):579-584.

[9]張之正,吳云.幾個基本超幾何級數(shù)變換公式的U(n+1)拓廣[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2013,56(5): 787-798.

[責任編輯：房永磊]

An Extension of Carlitz’s Reciprocal Formulas

CHEN Jia-hong

(School of Mathematics and Statistics, Kashi University, Kashi 844006, China)

In this paper, we provide a new pair of reciprocal formulas by using the skill of exchanging summation symbols and other basic combinatorial methods, and then exhibit two various forms of this extension. This new pair of reciprocal formulas contains Carlitz’s reciprocal formulas as its special case, and can be considered as a nature and concise extension of Carlitz’s reciprocal formulas.

reciprocal formula; gould-hsu inverse; carlitz inverse

2016-07-20

喀什大學(xué)科研基金(項目編號：152568).

陳佳宏(1981-)，男，寧夏銀川人，喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院助教，理學(xué)碩士，主要從事代數(shù)研究.

O157.1

A

1004-7077(2016)05-0039-04