姚　瀾，趙　兵，徐景文，劉　瀟，周國(guó)濤

（1.西北工業(yè)大學(xué)，西安 710072；2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076）

功率分流式齒輪系統(tǒng)均載特性影響因素分析

姚瀾1，趙兵2，徐景文2，劉瀟2，周國(guó)濤2

（1.西北工業(yè)大學(xué)，西安 710072；2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076）

為了提出功率分流式齒輪系統(tǒng)有效的均載方法，對(duì)其進(jìn)行了均載特性影響因素分析。采用動(dòng)力學(xué)分析方法，建立了功率分流式齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過對(duì)齒輪副特征矩陣進(jìn)行裝配快速的形成了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，并對(duì)動(dòng)力學(xué)模型中激勵(lì)參數(shù)的計(jì)算進(jìn)行了分析。通過定義均載系數(shù)衡量均載性能，嚙合誤差、耦合剛度、支撐剛度和轉(zhuǎn)速被認(rèn)為是影響均載的主要因素，分析了其對(duì)均載系數(shù)的影響規(guī)律。研究得出：減小嚙合誤差和耦合剛度、增大支撐剛度，以及選取合適的工作轉(zhuǎn)速有利于提高功率分流式齒輪系統(tǒng)的均載性能。提出的有效均載方法包括：提高加工精度，設(shè)計(jì)合理結(jié)構(gòu)使系統(tǒng)具有軟耦合、硬支撐，選取合適工作轉(zhuǎn)速。

功率分流；均載特性；動(dòng)力學(xué)；均載影響因素；均載方法

0　引言

功率分流式齒輪系統(tǒng)因其具有大功重比、高安全性和可靠性、大減速比和低振動(dòng)噪聲等優(yōu)點(diǎn)，在航空傳動(dòng)中已替代行星傳動(dòng)，應(yīng)用于先進(jìn)的直升機(jī)主減速器中。雖然功率分流式齒輪系統(tǒng)具有眾多優(yōu)點(diǎn)，但是Kish［1］研究發(fā)現(xiàn)其載荷分配不均的問題更加突出。

針對(duì)多支路齒輪系統(tǒng)的均載問題，相關(guān)學(xué)者進(jìn)行了大量研究，主要采用動(dòng)力學(xué)分析方法，通過定義基于齒輪嚙合力的均載系數(shù)衡量均載性能。Krantz［2］研究發(fā)現(xiàn)，功率分流式齒輪系統(tǒng)雖然布局形式對(duì)稱但是其受力形式非對(duì)稱，不均載是系統(tǒng)的固有特性，同時(shí)分析了不同摩擦狀態(tài)下系統(tǒng)的均載特性。Kahraman［3］和Guo［4］等研究了不同誤差大小和不同工況條件時(shí)行星傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性的變化規(guī)律。Ligata和Kahraman等［5］分析了不同類型加工誤差變化時(shí)行星傳動(dòng)系統(tǒng)均載系數(shù)的變化規(guī)律。付晨曦［6］等研究得出系統(tǒng)參數(shù)對(duì)分扭傳動(dòng)的均載性能影響較大。

Kahraman［3］指出，針對(duì)多支路齒輪系統(tǒng)均載問題的研究，旨在對(duì)均載建立全面的認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提出有效的均載方法。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)一些影響均載的關(guān)鍵因素，進(jìn)行均載特性影響因素分析，在此基礎(chǔ)上提出有效的均載方法。

以功率分流式齒輪系統(tǒng)為研究對(duì)象，采用動(dòng)力學(xué)分析方法，建立了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過定義均載系數(shù)衡量系統(tǒng)均載性能。分析了嚙合誤差、扭轉(zhuǎn)剛度、支撐剛度和轉(zhuǎn)速對(duì)功率分流式齒輪系統(tǒng)均載特性的影響規(guī)律。根據(jù)分析結(jié)果提出了提高功率分流式齒輪系統(tǒng)均載性能的有效方法。

1　系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

某功率分流式齒輪系統(tǒng)［2］如圖1所示，該系統(tǒng)屬于兩支路功率分流式齒輪系統(tǒng)。傳動(dòng)系統(tǒng)分為兩級(jí)傳動(dòng)，第一級(jí)采用斜齒輪，第二級(jí)采用直齒輪，傳動(dòng)系統(tǒng)中大斜齒輪和小直齒輪安裝在一根雙聯(lián)齒輪軸上。

圖1　某功率分流式齒輪系統(tǒng)示意圖

圖2為功率分流式齒輪系統(tǒng)坐標(biāo)系示意圖。系統(tǒng)中小斜齒輪、左側(cè)大斜齒輪、右側(cè)大斜齒輪、左側(cè)小直齒輪、右側(cè)小直齒輪和大直齒輪依次標(biāo)記為齒輪1～6，系統(tǒng)兩支路分別標(biāo)記左、右（L、R）。

如圖2所示，傳動(dòng)系統(tǒng)中x軸方向由O2指向O3，y軸方向由O1指向O4，x×y為z軸方向，由此建立了傳動(dòng)系統(tǒng)廣義坐標(biāo)系。傳動(dòng)系統(tǒng)廣義位移如式（1）所示，每個(gè)齒輪具有沿x、y、z軸方向的平動(dòng)廣義位移和繞z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)廣義位移。

圖2　功率分流式齒輪系統(tǒng)坐標(biāo)系示意圖

建立的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，如式（2）所示。

式中：M為質(zhì)量矩陣，如式（3）所示；C為阻尼矩陣，采用瑞利阻尼進(jìn)行模擬，如式（4）所示；總剛度矩陣K=Km+Kc+Kxy，為齒輪嚙合剛度矩陣Km、齒輪間的耦合剛度矩陣Kc、齒輪支撐剛度矩陣Kxy之和，嚙合剛度矩陣Km和耦合剛度矩陣Kc見式（5），支撐剛度矩陣Kxy見式（10）；F為外載荷矩陣，見式（11）；F（e）為由誤差引起的彈性力矩陣，見式（12）。

式中：m和I分別為齒輪的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

式中：α、β為瑞利阻尼系數(shù)。

式中：Km，ij為齒輪i和齒輪j嚙合時(shí)形成的嚙合剛度矩陣，見式（6）；Kc，ij為齒輪i和齒輪j間形成的耦合剛度矩陣，見式（7）；Rij為2×6的分塊稀疏矩陣，各子矩陣維數(shù)相同，見式（8）。

式中：k（M）為嚙合平面內(nèi)接觸線上任意接觸點(diǎn)M處的嚙合剛度，ijφ為從y軸正向到嚙合線正向（從動(dòng)輪指向主動(dòng)輪）逆時(shí)針的夾角，ijβ為基圓螺旋角。

式中：ks，ij、kb，ij、ka，ij分別為齒輪i和齒輪j之間形成的扭轉(zhuǎn)、彎曲和拉壓剛度，Rb，i、Rb，j為齒輪i、齒輪j的基圓半徑。

式中：子矩陣R1i和R2i的表達(dá)式為：

式中：kx、ky為齒輪徑向支撐剛度，kz為齒輪軸向撐剛度。

式中：Tin和Tout分別為系統(tǒng)輸入、輸出扭矩。

式中：e為齒輪i和齒輪j嚙合時(shí)形成的嚙合誤差。

2　激勵(lì)參數(shù)分析

本文在計(jì)算齒輪副嚙合剛度時(shí)假設(shè)嚙合平面內(nèi)接觸線上任意接觸點(diǎn)處的嚙合剛度為定值，任意時(shí)刻的接觸線長(zhǎng)度時(shí)變［7］，由此任意時(shí)刻的齒輪副嚙合剛度可按照式（13）進(jìn)行計(jì)算。

式中：k0為任意接觸點(diǎn)處的嚙合剛度，可根據(jù)ISO6336進(jìn)行計(jì)算；L為接觸線長(zhǎng)度，可根據(jù)接觸狀態(tài)判斷得出。

加工誤差形成齒輪副嚙合誤差，嚙合誤差在動(dòng)力學(xué)模型中通常通過一種周期性的位移激勵(lì)進(jìn)行模擬，此處采用正弦函。

式中：e0為嚙合誤差幅值，f為嚙合頻率。

3　均載系數(shù)定義

定義系統(tǒng)均載系數(shù)如式（15）所示，均載系數(shù)越小表明系統(tǒng)的均載性能越好。

式中：FL、FR分別為小斜齒輪兩支路動(dòng)態(tài)嚙合力的平均值，F(xiàn)0為小斜齒輪單側(cè)支路的靜態(tài)嚙合力。

小斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力和靜態(tài)嚙合力的計(jì)算公式如式（16）、式（17）所示。

式中：qL，R、xL，R、eL，R分別為左、右兩側(cè)斜齒輪副的方向矢量、廣義位移和嚙合誤差。

式中：Rb1為小斜齒輪基圓半徑。

4　均載影響因素分析

某功率分流式齒輪系統(tǒng)參數(shù)［2］如表1所示。系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)輸入功率372.85kW、轉(zhuǎn)速8780r/min，材料9310鋼，安裝角Ф1、Ф2分別為48.4°、116.28°。

表1　某功率分流式齒輪系統(tǒng)參數(shù)［2］

根據(jù)相關(guān)研究［2，3，6］可知，影響多支路齒輪系統(tǒng)均載性能的因素主要包括嚙合誤差、耦合剛度、支撐剛度和轉(zhuǎn)速，本文對(duì)功率分流式齒輪系統(tǒng)均載特性影響因素的分析主要從這幾個(gè)方面展開。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程在MATLAB軟件中編程求解，采用四階五級(jí)Runge-Kutta算法，調(diào)用ode45函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

在分析嚙合誤差對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響時(shí)，主要研究加工精度等級(jí)變化引起各齒輪副嚙合誤差幅值改變對(duì)系統(tǒng)均載性能的影響。如圖3所示，計(jì)算得到了各齒輪副不同誤差幅值變化時(shí)的均載系數(shù)曲線。

圖3　不同誤差幅值變化時(shí)的均載系數(shù)曲線

可以看出，隨著系統(tǒng)中各齒輪副嚙合誤差幅值的增加，均載系數(shù)逐漸增大，均載性能變差，同時(shí)均載系數(shù)的增加呈近似線性遞增的關(guān)系。值得注意的是，當(dāng)各齒輪副嚙合誤差幅值為0時(shí)，即系統(tǒng)不存在誤差，均載系數(shù)仍沿大于1，傳動(dòng)系統(tǒng)不均載，這一結(jié)果印證了Krantz指出該傳動(dòng)系統(tǒng)不均載是系統(tǒng)固有特性的觀點(diǎn)。

功率分流式齒輪系統(tǒng)的耦合剛度主要指雙聯(lián)齒輪軸提供的大斜齒輪和小直齒輪間的扭轉(zhuǎn)、彎曲和拉壓剛度，某功率分流式齒輪系統(tǒng)的耦合剛度如表2所示。

計(jì)算得到耦合剛度大小變化時(shí)系統(tǒng)均載系數(shù)曲線如圖4所示，圖中橫坐標(biāo)為表2所示耦合剛度的倍數(shù)，為了更加有效的對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，采用指數(shù)坐標(biāo)?？梢钥闯鲭S著耦合剛度的增加系統(tǒng)均載系數(shù)逐漸增加，均載性能變差。當(dāng)耦合剛度在現(xiàn)有耦合剛度附件變化時(shí)，系統(tǒng)均載系數(shù)變化率較大，隨著耦合剛度變化增大，均載系數(shù)變化率逐漸減小，當(dāng)耦合剛度接近現(xiàn)有耦合剛度0.1倍和10倍時(shí)，耦合剛度變化率接近于0。

由此說明，調(diào)節(jié)耦合剛度在一定范圍時(shí)系統(tǒng)均載系數(shù)會(huì)發(fā)生較大變化，當(dāng)耦合剛度過大或過小時(shí)，調(diào)節(jié)耦合剛度對(duì)均載系數(shù)的改變影響有限。

某功率分流式齒輪系統(tǒng)的支撐剛度如表3所示。計(jì)算得到支撐剛度大小變化時(shí)系統(tǒng)均載系數(shù)曲線如圖5所示，橫坐標(biāo)為表3所示支撐剛度的倍數(shù)，同樣采用指數(shù)坐標(biāo)。可以看出隨著支撐剛度的增加，系統(tǒng)均載系數(shù)逐漸減小，均載性能變好，隨著支撐剛度的增加均載系數(shù)變化率逐漸減小。說明減小支撐剛度會(huì)引起均載系數(shù)較大變化，增加支撐剛度當(dāng)達(dá)到一定程度時(shí)均載系數(shù)變化較小。

圖4　不同耦合剛度變化時(shí)的均載系數(shù)曲線

表3　某功率分流式齒輪系統(tǒng)支撐剛度

圖5　不同支撐剛度變化時(shí)的均載系數(shù)曲線

計(jì)算得出系統(tǒng)不同工作轉(zhuǎn)速時(shí)均載系數(shù)曲線如圖6所示，圖中橫坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)工作轉(zhuǎn)速的倍數(shù)?？梢钥闯鱿到y(tǒng)均載系數(shù)對(duì)應(yīng)于不同工作轉(zhuǎn)速時(shí)無明顯變化規(guī)律，當(dāng)轉(zhuǎn)速接近標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)速1.1倍時(shí)均載系數(shù)出現(xiàn)極大值，均載性能局部最優(yōu)；當(dāng)轉(zhuǎn)速接近標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)速0.7倍時(shí)均載系數(shù)出現(xiàn)了極小值，均載性能局部最差。

圖6　不同轉(zhuǎn)速變化時(shí)的均載系數(shù)曲線

5　結(jié)論

本文建立了功率分流式齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，給出了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，分析了動(dòng)力學(xué)模型中主要激勵(lì)參數(shù)的計(jì)算方法。通過定義系統(tǒng)均載系數(shù)衡量均載性能，研究了誤差、耦合剛度、支撐剛度和轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)均載的影響，得到以下結(jié)論。

1）減小嚙合誤差和耦合剛度、增大支撐剛度，以及選取合適的工作轉(zhuǎn)速有利于提高功率分流式齒輪系統(tǒng)的均載性能。同時(shí)在一定范圍內(nèi)減小耦合剛度、增加支撐剛度均載性能能夠得到快速提升。

2）對(duì)于功率分流式齒輪系統(tǒng)有效的均載方法包括：提高加工精度，設(shè)計(jì)合理結(jié)構(gòu)使系統(tǒng)具有軟耦合、硬支撐，選取合適工作轉(zhuǎn)速。

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Influence factor analysis of load sharing characteristic of power split gear system

YAO Lan1，ZHAO Bing2，XU Jing-wen2，LIU Xiao2，ZHOU Guo-tao2

TH132.41

A

1009-0134（2016）09-0050-04

2016-06-30

姚瀾（1986 -），女，山東人，博士研究生，研究方向?yàn)閭鲃?dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)與優(yōu)化。