楊繼明，羅存勇

(湖南工程學院 理學院，湘潭 411104)

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基于ShiShkin網(wǎng)格的奇異攝動問題的兩網(wǎng)格方法

楊繼明，羅存勇

(湖南工程學院 理學院，湘潭 411104)

對于一類奇異攝動問題，基于ShiShkin網(wǎng)格采用迎風差分格式進行離散，給出了求解離散代數(shù)系統(tǒng)的兩網(wǎng)格算法，并對算法進行了理論分析.數(shù)值實驗表明，兩網(wǎng)格算法提高了奇異攝動問題求解的效率.

奇異攝動；兩網(wǎng)格方法；ShiShkin網(wǎng)格

0 引言

考慮一類奇異攝動兩點邊值問題

-εu″(x)-p(x)u′(x)=f(x),x∈(0,1),

(1)

u(0)=0,u(1)=0,

其中u(x)表示物體的溫度或濃度，ε是擴散系數(shù)，也稱攝動參數(shù)，0<ε?1，

p(x)表示介質(zhì)的速度.

假定p(x)∈C1[0,1]且存在常數(shù)α和β使得

0<α≤p(x)≤β,|p(x)|≤β,?x∈[0,1]

成立.我們也假定f(x)充分光滑.在以上假設(shè)條件下，問題(1)存在唯一解.

該問題在左邊界x=0處有一個厚為O(ε)的邊界層.在邊界層區(qū)域其解的導數(shù)很大，解的變化非常劇烈，被稱之為奇異攝動問題[1].對于這類問題的數(shù)值方法，在均勻網(wǎng)格上很難得到理想的數(shù)值解.為了得到問題(1)穩(wěn)定可靠的數(shù)值解，有必要在邊界層區(qū)域放置更多的網(wǎng)格點[2-10]，以適應(yīng)問題的奇異攝動特性.ShiShkin網(wǎng)格[11-13]就是這樣一類特殊的層適應(yīng)網(wǎng)格.我們將基于ShiShkin網(wǎng)格，采用迎風差分格式對問題(1)進行離散，設(shè)計兩網(wǎng)格求解算法并作分析.

1 數(shù)值格式

定義ShiShkin網(wǎng)格為

ΩN={xi|xi=

(2)

ξ=2τ/N,η=2(1-τ)/N,τ=min(ελlnN,1/2).}

λ=σ/α,σ決定邊界層內(nèi)網(wǎng)格的疏密，比如取λ=2.0.

記網(wǎng)格尺寸為hi=xi-xi-1.

在網(wǎng)格ΩN上的標準迎風差分格式為：

(3)

格式(3)的第一式可以改寫為：

(4)

(5)

即(4)式是一個代數(shù)方程組LNuN=FN.

格式(3)可以用迭代解法

u(m+1)=G(u(m))

(6)

求解，其中u(0)為已知的迭代初值.

2 兩網(wǎng)格算法

設(shè)Ωn是與ΩN同結(jié)構(gòu)的具有更少節(jié)點的粗網(wǎng)格，其網(wǎng)格節(jié)點數(shù)n?N.

求解問題(1)的兩網(wǎng)格算法描述為：

第1步:在粗網(wǎng)格Ωn上求得格式(3)的解un；

(7)

為止，其中Mn為迭代次數(shù).

(8)

3 算法分析

由于格式(3)的系數(shù)矩陣是M陣，根據(jù)文獻[14]，有估計

其中C1為不依賴ε和N的正常數(shù).

那么，

從而，

類似地，

4 數(shù)值實驗

表1 當ε=10-3時單網(wǎng)格迭代解法和兩網(wǎng)格算法的迭代次數(shù)

由以上數(shù)據(jù)可以看出，我們的兩網(wǎng)格算法求解問題(1)是高效的.由于粗網(wǎng)格的維數(shù)遠遠小于細網(wǎng)格的維數(shù)，在粗網(wǎng)格上迭代求解的工作量相對較小，以粗網(wǎng)格上求得的解作為初始值在細網(wǎng)格上求解會明顯減少迭代次數(shù)，從而大大縮短了計算時間，提高了計算效率，而且這種計算速度的提高不會降低誤差精度.

[1] 周 琴.移動網(wǎng)格方法和層適應(yīng)網(wǎng)格在幾類奇異攝動問題上的應(yīng)用[D].湘潭大學碩士學位論文,2008.

[2] 楊繼明.奇異攝動問題自適應(yīng)移動網(wǎng)格迭代算法研究[D].湘潭大學碩士學位論文,2004.

[3] 楊 銀.奇異攝動問題的自適應(yīng)方法[D].湘潭大學碩士學位論文,2006.

[4] 陳艷萍,劉利斌.一類奇異攝動對流擴散方程組的自適應(yīng)移動網(wǎng)格方法[J].華南師范大學學報(自然科學版),2013，45(6)：1-5.

[5] 楊繼明,陳艷萍.一類奇異攝動對流擴散邊值問題的移動網(wǎng)格方法[J].湘潭大學自然科學學報,2014，26(3)：24-29.

[6] 申冬蘇.奇異攝動問題標準迎風格式自適應(yīng)網(wǎng)格收斂性分析[D].湘潭大學碩士學位論文,2007.

[7] 劉 鶯.基于等分原理的奇異攝動問題的近似解及其導數(shù)誤差分析[D].湘潭大學碩士學位論文,2007.

[8] 楊繼明，陳艷萍.自適應(yīng)迎風格式求解奇異攝動兩點邊值問題的高精度算法(二)[J].高等學校計算數(shù)學學報,2009，31(3)：277-288.

[9] 楊繼明.在自適應(yīng)網(wǎng)格上用迎風格式求解對流擴散問題的誤差分析[J].浙江大學學報(理學版),2009，36(5)：508-513.

[10] 楊繼明.用等分布原理求解一類奇異攝動兩點邊值問題的數(shù)值算法[J].湖南工程學院學報(自然科學版),2004，14(2)：84-87.

[11]miller,J.J.,O'Riordan E.,Shishkin G.I.,Fitted Numericalmethods for Singular Perturbed Problems[M].Singapore: World Scientific，1995.

[12]miller,J.J.,O'Riordan E.,Shishkin G.I.,Solution of Singularly Perturbed Problems with ε-uniform Numericalmethods-Introduction to the Theory of Linear Problems in one and two Dimensions[M].Singapore: World Scientific,1996.

[13] Tao Tang,Jinchao Xu ,Adaptive Computations: Theory and Algorithms[M].Beijing: Science Press,2007.

[14] Roos H.G.,Stynesm.,Tobiska L.,Robust Numericalmethods for Singularly Perturbed Differential Equations[M].Berlin : Springer,2008.

A Two-gridmethod for a Singularly Perturbed Problem on Shishkinmesh

YANG Ji-ming,LUO Cun-yong

(College of Science,Hunan Institute of Engineering,Xiangtan 411104,China)

For akind of singularly perturbed problems,an upwind difference scheme on the ShiShkinmesh is used for discretization.A two-grid algorithm for the discrete algebra system is investigated.And the analysis of the proposed algorithm is carried out.The numerical experiments show that the two-grid algorithm has improved the efficiency of solving the singular perturbed problem.

singular perturbation; two-gridmethod; ShiShkinmesh

2015-12-11基金項目：湖南省教育廳科研資助項目(14A034);湖南工程學院2016年大學生科技創(chuàng)新項目(校教字[2016]26號).作者簡介：楊繼明(1975-)，男，博士，教授，研究方向：微分方程數(shù)值解法.

O241.8

A

1671-119X(2016)02-0050-03