葉緒康，李郝林

(上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

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基于靈敏度分析的主軸熱特性有限元模型修正

葉緒康，李郝林

(上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

提出了一種基于靈敏度分析的模型修正方法。以某機床廠高精度磨床主軸系統(tǒng)為研究對象，通過有限元法仿真主軸系統(tǒng)溫度場，結合試驗測得幾個關鍵測量點的實測溫度，推導出修正邊界條件的靈敏度矩陣，并反求出待修正參數的優(yōu)化值，修正該主軸系統(tǒng)的熱特性有限元模型。試驗結果表明，基于靈敏度分析的模型修正方法經過4次迭代就能收斂到最優(yōu)值，且經修正后的模型參數能使仿真的溫度場最大誤差從11.99%減小到2.88%。

靈敏度分析；有限元模型修正；熱特性

機床主軸系統(tǒng)熱變形誤差是影響精密機床加工精度的主要原因之一[1-3]。近年來，國內外諸多學者提出了機床主軸系統(tǒng)熱特性研究的有限元分析法，其關鍵所在是建立精確的有限元熱分析模型[4-5]。

由于初始建模的多種簡化假設以及邊界條件模擬的不精確等因素的影響，導致了有限元模型計算得到的結果與實驗測試結果之間存在較大誤差[6]。需要評估證明其可信度，由此有限元模型修正技術便應運而生[7]。近年來，將有限元模型修正問題轉化為參數優(yōu)化問題進行求解是模型修正領域的發(fā)展趨勢。其中，基于靈敏度分析的模型修正方法具有物理意義明確、計算過程直觀等特點，是模型修正方法中最具應用前景的方法之一[8-10]。但由于靈敏度矩陣需要求解目標函數的偏導數，通常的數值解析法計算量大，且當特征值與反求參數間是隱函數關系時，參數的偏導數可能無法求出。故研究靈敏度的數值計算方法具有重大意義。

本文以某機床廠高精度磨床主軸系統(tǒng)為研究對象，引入Lyness和Moler[11]提出的復變量求導法，計算靈敏度矩陣?；谠摲椒▽χ鬏S有限元模型進行修正，以提高模型參數修正的精度與效率。

1　靈敏度分析

1.1靈敏度分析

熱誤差有限元模型修正過程實際上是參數反求的過程，將該反問題描述為對應的目標方程即

(1)

(2)

{Δt}=S{Δp}

(3)

其中，{Δt}={t(p+Δp)}-{t(p)}為溫度殘差矩陣；{Δp}=[Δp1,Δp2,…,Δpn]T為邊界條件參數的變化量；S為t對P的一階靈敏度矩陣。即

由于環(huán)境和試驗條件限制，儀器本身精度、讀數技巧、安裝位置和方法等因素的影響，特征測量值難免存在誤差。為避免模型修正過程中解的收斂困難，有必要根據試驗中各測點的測量精度引入加權矩陣[10]。由式(3)可看出，第i個溫度測點的誤差僅對{Δt}的第i行有影響；而第j個參數加載誤差僅對{Δt}的第j列有影響。因此，通過對殘差矩陣{Δt}左乘測點對角加權矩陣[Wt]和右乘參數對角矩陣[Wp]來處理。即

(4)

對n個設計參數，m個特征量測試點，進行N次線性無關加載，則[Wt]為一對角陣

(5)

同理，[Wp]也為對角矩陣

(6)

1.2靈敏度矩陣求解

由式(3)可看出，靈敏度分析法的主要步驟在于靈敏度矩陣的計算。而求解靈敏度矩陣的關鍵在于求解特征量對設計參數的偏導數，對于溫度場與邊界參數間是復雜的隱式關系，一般的解析法無法實現。本文應用復變量求導法來確定靈敏度矩陣中的各系數。復變量求導法由Lyness和Moler提出，用于計算實函數的偏導數，被應用于輻射反問題[11]，取得較滿意的計算結果。復變量求導法的數學描述如下：將t(p)轉化為以p+ih為自變量的復變函數t(p+ih)。當h較小時將其泰勒展開為

(7)

對比式(7)等式兩邊的實部和虛部可得

(8)

(9)

由式(8)可看出，求解函數的一階偏導數只要將原函數轉化為復變函數，取其虛部除以一個小量h(h取10-20)即可。則靈敏度矩陣S轉化成

(10)

由式(10)可看出，參數的偏導數求解轉化為復域函數值的計算，求解n個帶修正參數的靈敏度矩陣只需進行n次正計算，且無需計算函數差值，避免了迭代過程中的急劇振蕩問題。

1.3修正參數反求

工程中常用Matlab編寫迭代程序來反求待修正參數。取原始模型計算得來的設計參數值P0作為初值。由于式(3)是一個變態(tài)矩陣方程，因此應用最小二乘法得到{Δp}穩(wěn)定的解，于是有

(11)

利用式(10)和式(11)實現參數迭代反求。對于第k+1次迭代，Gauss法有下述迭代關系式

{p}k+1={p}k+{Δpk}

當迭代得到殘差矩陣的二范數<ε時迭代終止，即max{Δpk-1}<ε1;max{Δpk-1/pk-1}<ε2時。其中，ε1和ε2是較小的值。本文計算時取ε1=10-6,ε2=10-4。

2　有限元模型修正試驗研究

2.1主軸系統(tǒng)溫度場試驗概況

本文以某高精度磨床的主軸系統(tǒng)為例，證明所提出模型修正方法的有效性。該主軸系統(tǒng)由主軸、主軸箱、主軸軸承以及連接件等組成，主要熱源是軸承的摩擦發(fā)熱[12-13]。計算中使用有限元分析軟件建立了經過簡化的有限元模型，如圖1所示。設定環(huán)境溫度為23 ℃，當主軸轉速為2 700r/min時，計算得到主軸軸承的發(fā)熱量分別為125W、110W和86W，將軸承發(fā)熱量作為熱源邊界條件以生熱率的形式施加到主軸有限元模型上。主軸與空氣間的對流換熱系數可按努謝爾特準則方程計算得到對流傳熱系數為395W/(m·K)，箱壁自由換熱表面的對流傳熱系數取10W/(m·K)。

圖1　機床主軸系統(tǒng)熱分析有限元模型

根據有關機床溫度傳感器布置的優(yōu)化實驗和理論分析結果[12]，結合本文所用磨床主軸的結構特點，確定關鍵溫度傳感器分布在前后軸承對應的箱體表面，如圖2所示。

圖2　溫度傳感器的布置

本文將利用溫度巡檢儀提取圖2所示的9個關鍵測點的實驗數據，并導出25組測點對于坐標的有限元仿真數據，結合上文所提的靈敏度法對機床主軸系統(tǒng)熱分析有限元模型進行修正。

2.2基于靈敏度分析的有限元模型修正

由于基于靈敏度分析的模型修正的效果以及效率受到待修正參數的影響較大。因此，正確的選定待修正參數成為模型修正一項重要任務[14]。通過對有限元模型的邊界條件進行相關性分析，可知熱源對溫度場的影響因子最大。因此，本文以生熱率pj為待修正參數，以溫度場ti(p1,p2,…,pn)為特征量對所選用的高精度磨床主軸系統(tǒng)有限元模型進行修正。

由經驗公式計算所得生熱率p1=0.50,p2=0.40,p3=0.20(單位:106W/m3)為初始邊界條件進行加載，并對初始模型數據進行分析，可獲得表1所示的對比結果。通過對比初始生熱率加載情況下，溫度測試點的計算值與實測值可發(fā)現，關鍵測點處有限元模型的分析偏差均在5%以上，測點4的偏差更是達到11.99%。故需要對初始有限元模型進行修正。

表1　修正前模型計算結果與測試結果比較

基于靈敏度分析的模型修正法關鍵在于計算參數的靈敏度矩陣。本文根據靈敏度分析方法建立該磨床主軸系統(tǒng)的熱誤差有限元模型修正問題的目標方程(1)，通過Matlab對關鍵測點的25組分析值及實驗值進行擬合分析。并結合上文所提的靈敏度矩陣計算方法，由式(10)計算靈敏度矩陣。通過Matlab軟件編寫Gauss法參數反求的迭代程序，可得到如圖3所示的收斂過程。

結果表明，經過4次迭代各個待修正參數的估計值均趨于穩(wěn)定，3個待修正生熱率p1、p2、p3均能收斂到最優(yōu)值。經過靈敏度迭代反求出修正后的生熱率分別為：p1=0.41,p2=0.32,p3=0.18(單位:106W/m3)。

圖3　參數修正迭代曲線

將反求得到的修正參數重新加載到有限元模型中，提取測點的溫度數據。表2給出了修正后模型計算值與測試值比較?？梢钥闯?，經過靈敏度分析法修正后的模型與實際主軸的偏差大幅減小，測點的最大偏差為2.88%。因此，說明基于靈敏度分析的模型修正方法可有效提高有限元模型修正精度，經修正后的模型能預測主軸的熱特性。

表2　修正后模型計算結果與測試結果比較

(12)

Δfmax=max(|Δfi|),i=1,2,…,n

(13)

3　結束語

(1)本文通過對某機床廠的高精度磨床主軸系統(tǒng)進行有限元熱分析，結合幾個關鍵測點的實際溫度測量值，運用基于靈敏度分析的模型修正法對主軸有限元模型進行修正，經修正后的模型溫度場與測試結果之間的最大偏差從11.99%減小到2.88%，證明與實驗相結合的機床有限元仿真能使所建立的模型更加精確；

(2)靈敏度分析模型修正方法的修正對象是生熱率、材料、幾何參數等邊界條件，修正后的模型物理意義明確，修正的結果可方便地應用到有限元分析軟件，便于工程應用；

(3)靈敏度分析以泰勒展開為基礎，受到計算效率及計算難度的限制，由于存在著泰勒展開的截斷誤差。因此，靈敏度分析方法是一種近似方法。盡管靈敏度分析技術較為成熟，但仍存在不少問題：如重根問題、迭代收斂性問題、病態(tài)矩陣問題等，且目標函數選取問題；當待修正的結構參數較多時，靈敏度矩陣計算量過大，阻礙了物理參數型修正方法的實際應用。

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Updating Finite Element Model of Spindle Thermal Properties Based on the Sensitivity Analysis

YE Xukang, LI Haolin

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

A theory of finite element (FE) model updating based on the sensitivity analysis is proposed. A finite element model of spindle systems for a high precision grinder is established to analyze the thermal properties. However, the outcomes of the theoretical and experimental modal analyses do not match. Therefore, the analytical models of the structures need to be updated according to the experimental test results. This study addresses an updating algorithm to modify the numerical models by deducing the sensitivity analysis for unknown properties. The result shows that the FE model updating based on the sensitivity analysis can reduce the error between the experimental and analytical results from11.99% to 2.88% by only four iterations.

sensitivity analysis; finite element model updating; thermal properties

2015- 12- 24

葉緒康(1991-)，男，碩士研究生。研究方向：數控技術。李郝林(1961-)，男，博士，教授，博士生導師。研究方向：精密測量與智能控制等。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.09.022

TG502

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1007-7820(2016)09-079-04