李文略

（湛江師范學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江　524037）

磁各向異性電各向同性介質(zhì)中電磁場矢勢達(dá)朗貝爾方程的具體坐標(biāo)形式

李文略

（湛江師范學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江524037）

磁各向異性電各向同性介質(zhì)中電磁場矢勢達(dá)朗貝爾方程是張量方程。由張量方程的協(xié)變性，應(yīng)用張量分析的矩陣方法推導(dǎo)出電磁場矢勢達(dá)朗貝爾方程在球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)下的具體形式。

磁各向異性；電各向同性介質(zhì)；電磁場矢勢；達(dá)朗貝爾方程；張量分析；矩陣

陳燊年、洪清泉等［1］推導(dǎo)得到了磁各向異性（文中的磁各向異性是指有且僅有3個(gè)正交主軸方向）電各向同性介質(zhì)中電磁場矢勢達(dá)朗貝爾方程（簡稱介質(zhì)異性達(dá)朗貝爾方程），并推導(dǎo)出了該方程在主軸坐標(biāo)系下的具體形式，但沒有推導(dǎo)出其在常用曲線坐標(biāo)系下的具體形式。達(dá)朗貝爾方程是研究磁各向異性電各向同性介質(zhì)中電磁場的重要方程［1-3］，采用何種坐標(biāo)系表述達(dá)朗貝爾方程視求解相關(guān)的電磁場問題的方便而定，因此有必要對(duì)其在常用曲線坐標(biāo)系下的具體形式進(jìn)行研究。李洲圣，唐長紅［4］系統(tǒng)的定義了張量分析的矩陣方法，文［5-6］應(yīng)用該方法研究了介質(zhì)為各向異性的電磁場。本文將從達(dá)朗貝爾方程出發(fā)，應(yīng)用張量分析的矩陣方法推導(dǎo)出達(dá)朗貝爾方程在球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系下的具體形式。

1　介質(zhì)異性達(dá)朗貝爾方程及在直角坐標(biāo)系的表達(dá)式

陳燊年［1］等應(yīng)用麥克斯韋方程組、電和磁各向異性介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程和電荷守恒律，并在滿足洛倫茲條件的情況下，推導(dǎo)得到了磁各向異性電各向同性介質(zhì)中電磁場矢勢達(dá)朗貝爾方程為

并由式（2）推導(dǎo)出了該方程在笛卡爾直角坐標(biāo)系下的具體表達(dá)式為［1］

2　介質(zhì)異性達(dá)朗貝爾方程在球坐標(biāo)系的表達(dá)式

以磁各向異性的3個(gè)正交主軸為坐標(biāo)軸建立笛卡爾坐標(biāo)系O-xyz，記為χ→（i→1，i→2，i→3），χ→T為χ→的轉(zhuǎn)置形態(tài)。建立球坐標(biāo)系，坐標(biāo)參量為r（球半徑），θ（極角），φ（方位角）；協(xié)變球坐標(biāo)系記為ψ→（e→r，e→θ，e→φ），e→r、e→θ、e→φ為協(xié)變坐標(biāo)基矢量，ψ→T為ψ→的轉(zhuǎn)置形態(tài)；逆變球坐標(biāo)系記為Ψ→=（h→r，h→θ，h→φ），h→r、h→θ、h→φ為逆變坐標(biāo)基矢量，Ψ→T為Ψ→的轉(zhuǎn)置形態(tài)。設(shè)電磁場矢勢A→在協(xié)變球坐標(biāo)系下逆變物理分量分別為Ar、Aθ、Aφ。

現(xiàn)計(jì)算式（2）中等號(hào)左邊第一項(xiàng)

計(jì)算式（2）等號(hào)左邊第二項(xiàng)和右邊的項(xiàng)

式（6）中，jr、jθ、jφ分別為→在協(xié)變球坐標(biāo)系下的逆變物理分量。

由式（4）（5）（6）可得電磁場矢勢的達(dá)朗貝爾方程在球坐標(biāo)系下的具體形式

由式（8）可得A→的變換關(guān)系同理可得的變換關(guān)系:

3　介質(zhì)異性達(dá)朗貝爾方程在柱坐標(biāo)系的表達(dá)式

以磁各向異性介質(zhì)的3個(gè)正交主軸為坐標(biāo)軸建立笛卡爾坐標(biāo)系O-xyz，記為建立柱坐標(biāo)系，坐標(biāo)參量為r，φ，z；協(xié)變柱坐標(biāo)系記為為協(xié)變坐標(biāo)基矢量；逆變球坐標(biāo)系記為為逆變坐標(biāo)基矢量。設(shè)電磁場矢勢在協(xié)變柱坐標(biāo)系下的逆變物理分量為Aρ、Aφ、Az。

現(xiàn)計(jì)算式（2）中等號(hào)左邊第一項(xiàng)

計(jì)算式（2）等號(hào)左邊第二項(xiàng)和右邊的項(xiàng)

式（11）中，jρ、jφ、jz分別為j→在協(xié)變柱坐標(biāo)系下的逆變物理分量。

由式（9）（10）（11）可得電磁場矢勢的達(dá)朗貝爾方程在柱坐標(biāo)系下的具體形式

若令μr11=μr22=μr33=μr，則可得電和磁各向同性電介質(zhì)中的電磁場矢勢的達(dá)朗貝爾方程在柱坐標(biāo)系下的具體形式與式（12）形式一致，其電磁算符□'的具體形式為

與前文式（8）推導(dǎo)的過程一樣，可得A→和j→在笛卡爾坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系下具體形式的變換關(guān)系為

4　結(jié)語

研究電和磁各向異性介質(zhì)的電磁場，張量分析的矩陣方法不失為一種有益的數(shù)學(xué)方法，應(yīng)用它可方便的推導(dǎo)出磁各向異性電各向同性介質(zhì)中電磁場矢勢達(dá)朗貝爾方程在球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系下的具體形式。另外，本文能成功推導(dǎo)出該結(jié)果的關(guān)鍵是，式（2）表示的達(dá)朗貝爾方程是張量方程，其具有協(xié)變性，這一點(diǎn)有助于加深對(duì)磁各向異性電各向同性介質(zhì)電磁屬性的理解。由式（7）（12）可知達(dá)朗貝爾方程在球、柱坐標(biāo)系下的具體形式是很復(fù)雜的，在μr11=μr22=μr33=μr的假設(shè)下，可過渡到電和磁各向同性介質(zhì)的達(dá)朗貝爾方程在球、柱坐標(biāo)系下的具體形式。

［1］陳燊年，洪清泉，王建成.介質(zhì)為各向異性的電磁場［M］.北京：科學(xué)出版社，2012：257-263.

［2］陳燊年，王建成.各向異性磁矢勢A的微分方程及其解［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1996，17（1）：90-97.

［3］魏騰雄，蘇武潯.各向異性介質(zhì)中的波動(dòng)方程［J］.江西科學(xué)，2005，23（5）：597-599.

［4］李洲圣，唐長紅.三維空間張量分析的矩陣方法［M］.北京：航空工業(yè)出版社，2010：10-25、154.

［5］李文略.電各向異性介質(zhì)中泊松方程的具體形式［J］.泉州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，33（2）：93-96.

［6］李文略.各向異性磁介質(zhì)中空間與空間的變換關(guān)系及應(yīng)用［J］.廣西物理，2015，36（2）：20-23.

（責(zé)任編輯：朱聯(lián)九）

The Specific Coordinate Forms of d'Alembert Equation of Vector Potential in Magnetic Anisotropic and Electric Isotropic Medium

LI Wen-lue
（College of Basic Education，Institute of Zhanjiang Normal University，Zhangjiang 524037，China）

d'Alembert equation of vector potential in magnetic anisotropic and electric isotropic medium is a tensor equation.Because the covariance of tensor equations，the specific expressions of d'Alembert equation are deduced in the spherical coordinate system and in the cylindrical coordinate system with matrix method of tensor analysis.

magnetic anisotropic；electric isotropic medium；vector potential；d'Alembert equation；tensor analysis；matrix

O441.4

A

1673-4343（2016）02-0006-04

10.14098/j.cn35-1288/z.2016.02.002

2015-10-19

李文略，男，廣東茂名人，講師。主要研究方向：張量分析和電磁場理論。