王茂飛　卜　京　侯　洋

（南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京　210094）

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基于Root-MUSIC頻率估計(jì)的改進(jìn)加窗插值FFT相位測(cè)量算法研究

王茂飛卜京侯洋

（南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京210094）

在微電網(wǎng)高精度相位測(cè)量領(lǐng)域中，為了克服間諧波對(duì)加窗插值FFT中的插值多項(xiàng)式擬合算法的精度影響而使相位測(cè)量精度明顯下降的問(wèn)題，本文提出了一種加窗插值快速傅里葉改進(jìn)算法，即采用Root-MUSIC算法準(zhǔn)確頻率估計(jì)，修正Blackman窗三譜線插值FFT頻率公式，得到多項(xiàng)式兩個(gè)變量準(zhǔn)確值，修正了之前加窗插值FFT算法由于間諧波等擾動(dòng)的長(zhǎng)范圍及短范圍頻譜泄露造成的變量不準(zhǔn)確問(wèn)題，在得到修正后變量基礎(chǔ)上修正相位表達(dá)式，從而得到準(zhǔn)確地相位值。仿真表明，本算法在存在間諧波擾動(dòng)的情況下可以很好地估計(jì)頻率，具有很高的相位測(cè)量精度，同時(shí)抗噪聲干擾能力較強(qiáng)。

間諧波；加窗插值FFT；Root-MUSIC；頻率估計(jì)；相位測(cè)量

微網(wǎng)內(nèi)存在大量的電力電子設(shè)備和非線性負(fù)荷，如風(fēng)機(jī)、光伏電池、燃料電池、燃?xì)廨啓C(jī)等分布式電源和儲(chǔ)能元件都需要通過(guò)電力電子變流器才能與系統(tǒng)相連接。這些電力電子變流裝置擔(dān)負(fù)著負(fù)荷的投切和電量的傳遞等重要任務(wù)，但對(duì)其進(jìn)行操作會(huì)引起電網(wǎng)電壓、電流波形畸變，導(dǎo)致電網(wǎng)的諧波和間諧波污染［1］。隨著微網(wǎng)的不斷推廣和應(yīng)用，如風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的波動(dòng)性，以及交直交、交交變頻器在DG中的大量應(yīng)用，都為微網(wǎng)帶來(lái)大量的間諧波。

加窗插值FFT算法被廣泛的應(yīng)用在電力系統(tǒng)相位測(cè)量領(lǐng)域，文獻(xiàn)［2-3］提出了一種加Blackman窗的三譜線插值傅里葉算法，雖然Blackman窗能一定程度上抑制長(zhǎng)范圍的頻譜泄露，三譜線插值算法也能有效抑制短范圍的頻譜泄露，但在微電網(wǎng)平臺(tái)應(yīng)用過(guò)程中，由于微電網(wǎng)間諧波的波動(dòng)性，會(huì)造成插值多項(xiàng)式的變量估計(jì)不準(zhǔn)確，從而直接導(dǎo)致短范圍頻譜泄露抑制不明顯，相位測(cè)量精度不夠。文獻(xiàn)［4］中提出了一種加窗頻移算法，在非同步采樣的情況下，可以采用該算法進(jìn)行諧波測(cè)量，該算法一定程度改善了在頻率波動(dòng)下的測(cè)量精度問(wèn)題，但該算法仍依賴于頻率估計(jì)的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)［5］采用了插值FFT算法與MUSIC算法相結(jié)合的思路進(jìn)行諧波分析，利用了MUSIC算法本身具有分析數(shù)據(jù)窗短，抗干擾能力強(qiáng)，能夠區(qū)分相鄰較近的不同諧波量的優(yōu)點(diǎn)，但未考慮在間諧波擾動(dòng)情況下，插值FFT算法的不準(zhǔn)確性問(wèn)題，導(dǎo)致相位測(cè)量的精度不高。文獻(xiàn)［6］提出了拉格朗日時(shí)域同步插值算法。有效抑制了采樣非同步程度較大，采樣窗口較長(zhǎng)時(shí)，理想插值點(diǎn)有可能不落在插值區(qū)間里，且插值運(yùn)算量較大的不良影響，但所需數(shù)據(jù)窗較長(zhǎng)，實(shí)時(shí)性不夠。在準(zhǔn)確區(qū)分相鄰譜線方面，由于FFT算法本身的局限性，不少學(xué)者采用了子空間分解的方法，文獻(xiàn)［7-11］分別提出了基于參數(shù)模型的 Prony算法、基于非參數(shù)模型的MUSIC算法和Root-MUSIC算法、ESPRIT和三線性等算法進(jìn)行頻率估計(jì)，對(duì)上述方法進(jìn)行總結(jié)，可以發(fā)現(xiàn)，基于現(xiàn)代譜估計(jì)算法是基于信號(hào)自相關(guān)性理論及子空間理論，在相對(duì)比較短的時(shí)間窗內(nèi)具有很高的頻率分辨率。

本文在綜合比較加窗插值 FFT算法和Root-MUSIC算法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，加窗插值FFT算法在分析無(wú)噪聲擾動(dòng)和無(wú)間諧波擾動(dòng)時(shí)，相位測(cè)量的精度比較高，但在擾動(dòng)情況下，插值多項(xiàng)式系數(shù)擬合不準(zhǔn)確，測(cè)量精度會(huì)降低，Root-MUSIC算法可以在比較短的時(shí)間窗情況下很好的區(qū)分相鄰的信號(hào)分量，測(cè)量的頻率精度比較高，同時(shí)抗擾動(dòng)能力強(qiáng)［12］，但計(jì)算相位幅值方面計(jì)算量比較大。本文將加窗插值FFT算法和Root-MUSIC算法綜合運(yùn)用，在存在間諧波擾動(dòng)時(shí)，修正了由于短范圍頻譜泄露造成原有插值算法參量不準(zhǔn)確的問(wèn)題，仿真表明，本文所提出改進(jìn)加窗插值FFT算法能夠在間諧波擾動(dòng)情況下，準(zhǔn)確估計(jì)基波相位。

1　改進(jìn)加窗插值FFT算法數(shù)學(xué)模型

1.1Root-MUSIC算法頻率測(cè)量實(shí)現(xiàn)過(guò)程

實(shí)際采集的交流電壓或電流為實(shí)值周期信號(hào)，且滿足狄里赫利條件，故根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)理論，可將離散諧波信號(hào)表示為p個(gè)實(shí)正弦信號(hào)與噪聲信號(hào)的疊加，即

式中，p為諧波次數(shù)；P為最高諧波次數(shù)；Ap、fp、p?分別第p次諧波的幅值、頻率和初相位；N為采樣點(diǎn)數(shù)；采樣率fs，e（n）是與x（n）不相關(guān)的零均值且方差為σ2的高斯噪聲。

為分析方便，將連續(xù)M個(gè)（M＞2P）采集量及噪聲量分別表示為觀測(cè)矢量x（n）和噪聲矢量e（n），即

式（2）可以簡(jiǎn)潔的矢量形式表示為

接下來(lái)對(duì)式（3）建立的數(shù)學(xué)模型所描述的實(shí)值周期信號(hào)進(jìn)行偽譜分析，進(jìn)而估計(jì)其諧波分量的頻率分布。

觀測(cè)矢量x（n）的自相關(guān)矩陣Rx也可表示為其外積的期望函數(shù)，同時(shí)考慮到e（n）與x（n）互不相關(guān)，故可得

矩陣Rx的特征值分解可表示為

式中：λk和 uk分別是Rx第k個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的特征矢量，且；US由Rx前2P特征矢量構(gòu)成，其張成Rx的信號(hào)子空間；UN由Rx的后M?2P特征矢量構(gòu)成，其張成Rx的噪聲子空間［3］。

1.2Blackman窗三譜線插值FFT算法

為了減少FFT算法應(yīng)用過(guò)程的頻譜泄露，可以選用典型的余弦窗函數(shù)。余弦窗的一般表達(dá)式為

用采樣頻率fs對(duì)信號(hào)x（t）進(jìn)行均勻采樣，得到如式（1）的離散信號(hào)。

加窗后得到下列信號(hào)：

由于柵欄效應(yīng)，頻譜泄露到整個(gè)頻帶，峰值點(diǎn)k附近幅值最大譜線kα，其左右兩邊譜線分別為kα?1、kα+1，顯然。

三條譜線的幅值可以確定為y0、y1和y2

令α=（y2?y0），δ=k?kα，δ∈［?0.5，0.5］。即

當(dāng)N較大時(shí)，式（12）一般可以簡(jiǎn)化為α=g（δ），其反函數(shù)記為δ=g?1（α）。當(dāng)窗函數(shù)w（n）為實(shí)系數(shù)時(shí)，其幅頻響應(yīng)W（2πf）是偶對(duì)稱(chēng)的，因而函數(shù)g（?）及其反函數(shù)g?1（α）都是奇函數(shù)。

通過(guò)多項(xiàng)式擬合，可以得到Blackman窗三譜線插值FFT算法的擬合多項(xiàng)式：

頻率修正公式如下：

相位修正公式：

在仿真過(guò)程中，施加微網(wǎng)信號(hào)進(jìn)行加Blackman窗三譜線插值FFT算法校驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下兩個(gè)問(wèn)題：

1）在間諧波波動(dòng)情況下，插值多項(xiàng)式所得到的頻率修正式（13）里的變量δ存在誤差增大的問(wèn)題。

2）間諧波的引入，雖然不會(huì)對(duì)FFT算法準(zhǔn)確估計(jì)最大譜線kα產(chǎn)生影響，但會(huì)對(duì)原有的信號(hào)相位譜產(chǎn)生影響，從而式（15）中的這個(gè)相位譜會(huì)產(chǎn)生不同程度的誤差，進(jìn)而影響真實(shí)相位測(cè)量的精度。

2　改進(jìn)加窗插值傅里葉算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程

本文針對(duì)加Blackman窗三譜線插值FFT算法的改進(jìn)主要考慮在間諧波擾動(dòng)下，加窗后插值多項(xiàng)式參數(shù)變量產(chǎn)生誤差后參數(shù)修正的問(wèn)題，從頻率修正多項(xiàng)式作為著力點(diǎn)，采用子空間分解的 Root-MUSIC算法準(zhǔn)確估計(jì)實(shí)際的基波頻率，從而得到了真實(shí)譜線與相鄰最大譜線之間的誤差δ′，此處得到的誤差δ′是經(jīng)過(guò)修正的，代入到信號(hào)加窗后的多項(xiàng)式里，可以得到修正后相位譜，代入到相位修正式（15）中，就可以得到準(zhǔn)確的基波相位。

具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

1）為了從前文中建立的信號(hào)模型中的特征矢量獲各信號(hào)參數(shù)信息，實(shí)值求根MUSIC多項(xiàng)式可用式（16）表示：

對(duì)上述的多項(xiàng)式求根，所得到的解是鏡像對(duì)稱(chēng)的，每對(duì)根都是共軛的。在其中，共有4p個(gè)根，它們的幅值是最大的，同時(shí)分布在單位圓上，可解得上述根，即

2）通過(guò)實(shí)值Root-MUSIC準(zhǔn)確估計(jì)信號(hào)頻率，即使在噪聲環(huán)境復(fù)雜的情況下，也能準(zhǔn)確地估計(jì)出信號(hào)的基波頻率，將估計(jì)出的基波頻率1f代入Blackman窗三譜線插值的頻率修正式（14），可以求得修正之后的誤差δ′。

此處誤差δ′就是考慮呢間諧波擾動(dòng)對(duì)相位譜的影響，從而對(duì)關(guān)鍵變量誤差δ′進(jìn)行修正。

求解出修正的誤差δ′之后，將之代入式（13）中，可得到修正之后的真實(shí)譜線值，如式（20）所示：

將修正之后的真實(shí)譜線代入式（15）中，便可得到了修正之后的基次諧波的相位值，如式（21）所示：

此處修正之后的加窗插值函數(shù)關(guān)系式，考慮了間諧波引入對(duì)多項(xiàng)式變量的影響，彌補(bǔ)了原有加窗插值FFT算法對(duì)間諧波引入時(shí)因誤差δ不準(zhǔn)而造成相位譜不準(zhǔn)造成相位測(cè)量不準(zhǔn)確。具體算法流程如圖1所示。

圖1　改進(jìn)加窗插值FFT算法流程圖

3　改進(jìn)加窗插值FFT算法仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所提算法的性能，采用Matlab軟件，對(duì)加Blackman窗的三譜線插值FFT算法在有無(wú)實(shí)值Root-MUSIC頻率估計(jì)下，不同信號(hào)特性下的相位精度進(jìn)行仿真分析。電網(wǎng)中干擾噪聲的幅值一般為基波幅值的0～1%，在仿真計(jì)算中加入不同信噪比的高斯白噪聲［8-9］。

1）算例1：設(shè)基波和間諧波信號(hào)為

仿真條件設(shè)為：采樣點(diǎn)數(shù)N為500，采樣頻率為4kHz，f1為間諧波頻率，f1在0～80Hz波動(dòng)波動(dòng)，選取三種典型窗函數(shù)在三譜線插值FFT算法下，觀察三種算法的相位測(cè)量精度波動(dòng)情況。

圖2　三種典型窗函數(shù)三譜線插值FFT算法

從圖2中可以看出，三種窗函數(shù)三譜線插值FFT算法在間諧波波動(dòng)時(shí)，譜線誤差是存在波動(dòng)的，前面已經(jīng)敘述，加窗插值的譜線誤差是與信號(hào)分量無(wú)關(guān)的，而仿真過(guò)程中，卻發(fā)現(xiàn)譜線誤差δ 是變化的，那么可以進(jìn)一步分析，由此造成的相位譜也是變化的，而原有的加窗插值并未考慮到間諧波的擾動(dòng)會(huì)對(duì)相位譜產(chǎn)生變化，從而對(duì)相位估計(jì)會(huì)產(chǎn)生比較大的。

從圖3中可以看出，三種窗函數(shù)三譜線插值FFT算法相位估計(jì)，在間諧波幅值固定情況下，間諧波頻率在50Hz附近時(shí)，相位估計(jì)誤差比較顯著。

圖3　三種典型窗函數(shù)三譜線插值FFT算法

2）算例2：仿真驗(yàn)證實(shí)值Root-MUSIC算法的頻率估計(jì)準(zhǔn)確性。

經(jīng)過(guò)Matlab進(jìn)行MUSIC頻率估計(jì)仿真，如圖4所示。

圖4　實(shí)值MUSIC譜分析的頻率估計(jì)圖

圖4可以看出，在加入 30dB的白色噪聲后，MUSIC頻率估計(jì)的精度仍然是比較好的，見(jiàn)表1。相比而言，不經(jīng)過(guò)實(shí)值Root-MUSIC頻率估計(jì)的加窗插值FFT算法在噪聲的影響下，特別是30dB以下。

3）算例3：仿真驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)FFT算法的正確性。

考慮到相位測(cè)量誤差的主要產(chǎn)生原因，下面主要對(duì)兩種算法在不同信噪比白噪聲干擾、不同頻率段間諧波和基波頻率波動(dòng)這三種情況下的估計(jì)精度進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果見(jiàn)表2、表3和表4。

表1　基于實(shí)值求根MUSIC頻率估計(jì)精度

表2　不同算法在不同信噪比白噪聲干擾下的相位精度

表3　在間諧波頻率波動(dòng)時(shí)不同算法的相位精度

表4　在基波頻率波動(dòng)時(shí)不同算法的相位精度

通過(guò)比較表2、表3和表4，可以發(fā)現(xiàn)，本文所選取的方法在信噪比比較小、間諧波在0～80Hz頻率段波動(dòng)，基波頻率在2.5±Hz范圍波動(dòng)的情況下，相比未進(jìn)行基波頻率預(yù)估計(jì)的加窗插值FFT方法，相位估計(jì)的精度有效地改善。

4　結(jié)論

1）仿真表明，本文所提出的基于實(shí)值 Root-MUSIC改進(jìn)加窗插值FFT算法在白噪聲擾動(dòng)下，可以很好地估計(jì)頻率，進(jìn)而精確估計(jì)相位。

2）本文所提算法有效地改善了加窗插值 FFT算法在間諧波擾動(dòng)情況下相位估計(jì)誤差問(wèn)題。

3）本文所提算法雖然計(jì)算量比較大，但估計(jì)精度還是比較好的，兩種算法的結(jié)合，可以并行運(yùn)算，達(dá)到了互補(bǔ)的效果。

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Windows and Interpolated FFT Algorithm for Precision Phase Measurement Method Research based on Frequency Estimation with the Method of Root-MUSIC

Wang MaofeiBu JingHou Yang
（Institute of Automation，Nanjing University of Science & Technology，Nanjing210094）

When the high precision phase measurement is made for the field of micro grid，the accuracy of the interpolation polynomial fitting formula formed by the use of the Windows and Interpolation FFT algorithm decreases significantly under the interference of the inter-harmonic，which will decrease the accuracy of phase measurement. In order to solve the problem above，an improved Windows and Interpolation FFT algorithm is proposed in this paper. To obtain the precise frequency of the fundamental harmonic by the use of the Root-MUSIC algorithm，getting the two corrected variables，and the wrong variables in the fitting formula above caused by long range and short range spectrum leakage is fixed. Based on the corrected variables above，the variable in phase correction formula is fixed meanwhile and the precise phase measurement can be achieved. The simulation results show that the algorithm can precisely estimate the frequency of the harmonic under the inter-harmonic disturbance，which has a high accuracy of phase measurement，and anti-noise interference ability of the proposed algorithm is strong.

inter harmonic； windows and interpolated FFT； Root-MUSIC； frequency estimation；phase measurement

王茂飛（1991-），男，南京理工大學(xué)在讀碩士研究生，研究方向?yàn)橹悄茈娋W(wǎng)及智能變電站。