謝 暄，高 樂，呂 玨，李西峰，謝三山，謝永樂

?

測量不確定度估計的極限費舍爾信息方法

謝 暄1，高 樂1，呂 玨1，李西峰1，謝三山2，謝永樂1

(1. 電子科技大學(xué)自動化工程學(xué)院 成都 611731；2. 成都工業(yè)學(xué)院機械工程學(xué)院 成都 610031)

極限費舍爾信息(EFI)是源于極限物理信息理論下的一種信息測度。由于在測量實踐中，很難一一準確且高效地定義與補償所有影響測量結(jié)果的因素并估計測量不確定度。因此，該文提出了采用根據(jù)EFI推導(dǎo)的概率密度函數(shù)(PDFs)來估計被測量的測試邊界信息，即待測系統(tǒng)的測量不確定度。該方法能夠根據(jù)不同的不確定度影響因素以及待測系統(tǒng)的物理規(guī)則更加動態(tài)地刻畫測量不確定性。從物理應(yīng)用角度進行了詳細的數(shù)理推導(dǎo)與討論，相比不考慮物理意義的數(shù)學(xué)模型，該方法更適用于實際應(yīng)用。最后，用兩組實例驗證了該EFI方法的有效性。

極限Fisher信息; 信息論; 測量不確定度; 參數(shù)估計; 可靠性

在測量學(xué)科中通常認為測量結(jié)果僅能提供一個被測量的近似情況，即僅能無限接近真值。測量學(xué)科遭遇的挑戰(zhàn)之一是對這種知識的不完備性的估計[1]，即對測量結(jié)果的有效性評估[2-3]。

測量不確定度來源于兩個方面：1) 隨機影響(隨機誤差的來源)。在看似相同的重復(fù)觀測條件下，其實有不可預(yù)測的或隨機的時間和空間變量而造成的隨機影響。2) 系統(tǒng)影響(系統(tǒng)誤差的來源)。由測量儀器性能的局限性、對已知系統(tǒng)效應(yīng)的不完備補償、對系統(tǒng)效應(yīng)的忽視引起的未知的系統(tǒng)影響。

從數(shù)學(xué)觀點的角度分析，為了確定測量不確定度，GUM(guide to the expression of uncertainty in measurement)中推薦的方法是一種概率論框架下的方法，并假設(shè)所有對測量不確定度有貢獻的系統(tǒng)效應(yīng)都是已知的且已補償?shù)腫2]。然而這種對系統(tǒng)影響的修正在實際中幾乎不能實現(xiàn)[1]。近年來，已有不少文獻提出一些解決方法，如用概率論和模糊變量來處理未知影響和系統(tǒng)影響，但卻難以處理隨機效應(yīng)[4-6]。文獻[7-10]中提出的用證據(jù)理論框架下的隨機-模糊變量(random-fuzzy variable, RFV)方法來計算和表征測量不確定度，可以用于處理隨機和系統(tǒng)效應(yīng)都存在的一般情況，但對于該方法，如何更有效地獲得后驗信息還有更多工作要做[10]。

從物理的角度來看，測量是一種對含有由隨機影響和系統(tǒng)影響引起的噪聲和波動的觀測數(shù)據(jù)的量化[11]。從這種意義上，很自然地將因隨機影響和系統(tǒng)影響引起的不完全知識或信息看作一個已知概率密度函數(shù)(PDF)的隨機變量，這個不完全信息就是測量不確定度。

事實上，測量不確定度通常被表示為一個置信區(qū)間，它通過被分配給被測量的PDF獲得。為了獲得不確定度，難以避免地要將PDF分配給所有可能影響測量結(jié)果的輸入量，并計算感興趣的量的PDF[12]。在某些先驗信息已獲得的情況下，極限費舍爾信息(EFI)方法可以根據(jù)不同的情況，給所有的輸入量分配一個合適的PDF。

1 EFI方法

Fisher信息被公認為是信息的一個測度，在信息領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。Fisher信息曾經(jīng)被用來描述復(fù)雜系統(tǒng)[13]，用于信號重建、處理[14]和參數(shù)估計[15]。Fisher信息矩陣和它的標量形式“Fisher信息數(shù)”近年來也持續(xù)得到關(guān)注[16-17]。在文獻[18]中，EFI即最小值Fisher信息第一次被用到魯棒性估計中。但是EFI尚未被用于評估測量的性能。本文將應(yīng)用文獻[11]提出的EFI方法來確定測量不確定度。

EFI方法可以簡單理解為：在所有包含了先驗信息的PDF中，最小值Fisher信息對應(yīng)的PDF至少包含了與其他PDF相同的信息(即最小Fisher信息對應(yīng)的PDF包含的信息等于或者多于其他PDF)。因為任何一個參數(shù)估計的均方誤差都會大于或等于Cramer-Rao界，而用最小值Fisher信息方法估計的均方誤差能夠達到Cramer-Rao界，因此，EFI方法推導(dǎo)的PDF所包含的信息多于或等于其他可能的PDF。

在已獲得的先驗信息的約束下，相比于其他可能的PDF，使用EFI對應(yīng)的PDF可以獲得更好的估計。

約束條件取決于已確定的先驗信息，如：

1) 僅有歸一化條件；2) 包括歸一化條件與已知的一階矩；3) 包括歸一化條件、一些已知的高階統(tǒng)計矩和PDF的非零范圍。

為了在某種約束下，獲得按照式(1)定義的Fisher信息的EFI，必須采用一種更一般形式的拉格朗日算子[19]，其通過引入與約束數(shù)目一致的一系列拉格朗日乘數(shù)來獲得。并可以按照文獻[20]用Levenberg- Marquardt方法得到一般解[21-22]。

在實際中，當一個量的范圍是半無限的(稱為情況1)或者有限的(稱為情況2)，基于一階矩先驗信息的PDF可以被直接分配給相關(guān)的被測量。

2 EFI方法產(chǎn)生的PDF

首先在期望已知的前提下用EFI方法推算PDF的形式，然后基于得到的PDF的形式具體闡述上面提到的兩種情況。

本文的目標是確定一個特定期望下的分布，也就是解決下面的變化性問題(VP)：

2.1 EFI的微分方程表示

式中，和分別是歸一化約束條件和期望值約束條件的拉格朗日參數(shù)。由文獻[24]，根據(jù)變分理論，式(7)的最小值可以通過求解歐拉-拉格朗日方程得到，有：

進一步得到：

2.2 通解

命題 2 根據(jù)文獻[25]，通過替換變量和函數(shù)：

微分方程式(9)可以化簡為艾里微分方程(Airy’s differential equation)：

證明：應(yīng)用全微分有：

利用微分的鏈式法則和式(11)容易得到：

于是：

將式(10)和式(15)代入到式(9)中即可得到式(12)。

命題 3[26]微分方程式(12)的解可以表示為艾里函數(shù)Ai()和Bi()的線性組合：

式中，1和2是常數(shù)。證明從略。

命題 4 方程式(9)的解具有以下形式：

且最終滿足式(4)的PDF是：

式中，Ai(×)是艾里函數(shù)；是常數(shù)。

證明：用式(16)中的艾里函數(shù)驗證式(9)的解。首先確認解的范圍局限在。艾里函數(shù)Bi()的漸近展開式為[27]：

在式(18)中，由于僅提供原始解的任意移位形式，所以可以令=0。參數(shù)和可以分別由一階矩條件和歸一化條件唯一確定。

2.3 定義在正半軸上的解——變量范圍是半無限的情況

命題 5 滿足條件式(6)的概率分布為：

證明：根據(jù)式(4)中對概率分布的約束有：

從文獻[27]中可知：

利用式(18)、式(21)～式(24)，最終可得：

2.4 定義在緊支集的解——變量有限的情況

命題 6 滿足條件式(6)的概率分布為：

式中，Ai(×)表示艾里函數(shù)；1和2分別由下面兩個等式?jīng)Q定：

得到：

3 實 驗

這部分將利用兩個實驗的數(shù)值結(jié)果來說明EFI方法的正確性和有效性。

3.1 實驗1

首先，使用GUM第14頁4.3.8中的一個例子作為例證驗證EFI方法在估計測量不確定度上的有效性。本文實驗中考慮的是純銅在20℃的線性熱膨脹系數(shù)。由GUM，該系數(shù)的期望值為=16.52′10-6℃-1。

在GUM中，最小可能值為16.40′10-6℃-1，最大可能值為16.92′10-6℃-1。該系數(shù)可以看作一個隨機變量：

之后，可以用EFI方法和指定的先驗信息來估計測量不確定度。令的PDF為，F(xiàn)isher信息即為：

用下面的約束條件來最小化Fisher信息，有：

得到：

3.2 實驗2

實驗2通過確定電阻的功率比較了測量不確定度的不同計算方法。在設(shè)置中，電阻兩端電壓是通過NI-16Bit-USB 6251 High-Speed M系列多功能數(shù)據(jù)采集卡測量，電阻值是用Agilent 34401A萬用表測量。電路裝置如圖1所示。

圖1 實驗2測試電路裝置圖

3.2.1 TSM方法

如上文所述，電阻的電壓通過多功能數(shù)據(jù)采集卡獲得，電阻阻值用萬用表獲得。測量數(shù)為503，電阻均值為119.906 9kW。測量儀器Agilent 34401A 6 1/2的準確度為(儀器量程選為100 kW)：

按照TSM方法，假設(shè)阻值分布為均勻分布，和阻值相關(guān)的不確定度為：

電阻的電壓的不確定度為：

其中，V表示電壓；表示方差；表示不確定度。

根據(jù)NI 625x說明書，多功能數(shù)據(jù)采集卡的不確定度源如下：

AbsoluteAccuracy=Reading(GainError)+

Range(OffsetError)+NoiseUncertainty

其中，

GainError=ResidualAIGainError+

GainTempco(TempChangeFromLastInternalCall)+

ReferenceTempco(TempChangeFromLastExternalCal)

OffsetError=ResidualAIOffsetError+

OffsetTempco(TempChangeFromLastInternalCal)+

INL_Error

對于一個3收斂因子和平均100個點，有：

在實驗2中，測量比例為[-5, 5]，其他實驗參數(shù)設(shè)置如下：

TempChangeFromLastExternalCal=10 ℃

TempChangeFromLastInternalCal=1 ℃

Number_of_readings=503

CoverageFactor=3

GainError=70 ppm+(13 ppm/1℃)′1℃+

(1 ppm/1℃)×1℃=84 ppm

OffsetError=20 ppm+60 ppm(21 ppm/1℃)′1℃=

101 ppm

絕對準確度為：

假設(shè)均勻分布，電壓B類不確定度為：

電壓的相對聯(lián)合標準不確定度為：

功率為：

實驗2中，聯(lián)合不確定度可以表示為：

式中，

利用式(39)可以得到：

假定功率的PDF為高斯函數(shù)，在置信水平為95%下，可以得到：

3.2.2 蒙特卡洛方法

利用式(39)進行功率的蒙特卡洛模擬仿真，最終的測量結(jié)果為：

3.2.3 最大熵方法

由文獻[12]利用最大熵方法得功率的最終概率密度函為：

所以置信度為95%的最終區(qū)間為：

[196.245 0′10-6, 196.354 5′10-6] (46)

3.2.4 EFI方法

根據(jù)命題6有：

由：

由上述實驗可得，取置信區(qū)間為95%時，EFI方法得到的結(jié)果與傳統(tǒng)方法如GUM方法和蒙特卡洛方法保持一致。

4 討 論

從實踐的角度來看，EFI方法提供了另一類符合國際標準化組織的計算測量不確定度的方法。更重要的是，EFI方法提出了直接從信息論角度來看測量和測量不確定度。從信息論觀點來看，任何測量過程都是一個信息流輸出的過程。一般來說，由于測量中引入的信使效應(yīng)(messenger effect)，信息很容易丟失，即不完美的測量導(dǎo)致關(guān)于測量值信息的不完備。所以從這個意義上，被測量的值不是直接被測量到，而是通過測量中對收集到的數(shù)據(jù)的觀察而獲得的，也就是被測量的值其實是通過對邊界信息的估計而獲得的。

在EFI方法中，測試結(jié)果的邊界信息直接通過作為信息測度的Fisher信息來測量的。所以用EFI方法估計測量不確定度等價于利用信息流的知識來發(fā)現(xiàn)被測源及其他影響因素的共同物理效應(yīng)的數(shù)學(xué)形式的過程。對于一次具體的測量，數(shù)據(jù)中包含的信息是唯一的，在EFI的幫助下，這種適合當前環(huán)境的唯一信息可以被挖掘出來，同時基于這種信息的不確定度的估計也變得客觀和可靠。

根據(jù)數(shù)學(xué)推導(dǎo)不難看出，微分方程式(9)可以有一組分析解，也即是在不同的邊界約束條件下會有不同的結(jié)果。所以EFI方法提供了在不必一一確認不同影響源的情況下、根據(jù)不同精度的需要動態(tài)估計不確定度的途徑。

5 結(jié)束語

本文提出了測量不確定度估計的極限Fisher方法，極限Fisher信息模型下給出的PDF能夠刻畫各不確定度影響因素以及待測系統(tǒng)的物理規(guī)則的綜合物理效應(yīng)。該方法既納入了傳統(tǒng)基礎(chǔ)統(tǒng)計特征信息(如二階矩)，又突破了傳統(tǒng)GUM測量不確定度模型的限制，且可根據(jù)不同的約束條件動態(tài)地估計測量不確定度。仿真與實測實驗驗證了該方法的正確性與有效性。對于獲取EFI對應(yīng)的PDF的變化性問題，提出了Fisher信息的動力學(xué)微分方程模型，并根據(jù)被測量的不同可變?nèi)≈底蛹o出了其顯式解。微分方程模型的建立，從理論上保證了極限Fisher方法可以實現(xiàn)對測量不確定度的動態(tài)估計。根據(jù)測量實際情況而獲得的顯式解，增強了該方法的實用性。

參 考 文 獻

[1] FERRERO A, SALICONE S. Modeling and processing measurment uncertainty within the theory of evidence: Mathematics of random-fuzzy variables[J]. IEEE Transactions on Instrument and Measurement, 2007, 56(3): 704-716.

[2] BIPM, IEC, IFCC, et al. Evaluation of measurement data-guide to the expression of uncertainty in measurement JCGM 100: 2008[EB/OL]. [2015-03-15]. http://www. bipm. org/utils/common/documents/jcgm/.JCGM_100_2008_E.pdf.

[3] BIPM, IEC, IFCC, et al. International vocabulary of metrology-basic and general concepts and associated terms (VIM) JCGM 200: 2008[EB/OL]. [2015-03-20]. http:// www. bipm.org/en/publications/guides/vim.html.

[4] MAURIS G, BERRAH L, FOULLOY L, et al. Fuzzy handling of measurement errors in instrumentation[J]. IEEE Transactions on Instrument and Measurement, 2000, 49(1): 89-93.

[5] MAURIS G, LASSERRE V, FOULLOY L. A fuzzy approach for the expression of uncertainty in measurement [J]. Measurement, 2001, 29(3): 165-177.

[6] URBANSKY M, WASOWSKI J. Fuzzy approach to the theory of measurement inexactness[J]. Measurement, 2003, 34(1): 67-74.

[7] FERRERO A, SALICONE S. The random-fuzzy variables: a new approach to the expression of uncertainty in measurement[J]. IEEE Transactions on Instrument and Measurement, 2004, 53(5): 1370-1377.

[8] FERRERO A, RAMBA R, SALICONE S. A method based on random fuzzy variables for on-line estimation of the measurement uncertainty of DSP-based instruments[J]. IEEE Transactions on Instrument and Measurement, 2009, 53(5): 1362-1369.

[9] FERRERO A, SALICONE S. The construction of random- fuzzy variables from the available relevant metrological information[J]. IEEE Transactions on Instrument and Measurement, 2009, 58(2): 365-374.

[10] FERRERO A, SALICONE S. Uncertainty: Only one mathematical approach to its evaluation and expression?[J]. IEEE Transactions on Instrument and Measurement, 2012, 61(8): 2167-2178.

[11] FRIEDEN A R. Science from Fisher information-a unification[M]. NewYork: Cambridge University Press, 2004.

[12] IUCULANO G, NIELSEN L, ZANOBINI A, et al. The principle of maximum entropy applied in the evaluation of the measurement uncertainty[J]. IEEE Transactions on Instrument and Measurement, 2007, 56(3): 717-722.

[13] MAKALIC E, SCHMIDT D F. Fast computation of the Kullback-Leibler divergence and exact Fisher information for the first-order moving average model[J]. IEEE Signal Processing Letter, 2010, 17(4): 391-393.

[14] SONG Xiu-feng, WILLETT P, ZHOU Sheng-li. On Fisher information reduction for range-only location with imperfect detection[J]. IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems, 2012, 48(4): 3694-3702.

[15] YILMAZ Y, WANG Xiao-dong. Sequential decentralized parameter estimation under randomly observed fisher information[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2013, 60(2): 1281-1300.

[16] ZHANG Jiang-fan, BLUM R S, LU Xuan-xuan, et al. Asymptotically optimum distributed estimation in the presence of attacks[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 63(5): 1086-1101.

[17] GUO Sheng-han. Analysis of data-based methods for approximating fisher information in the scalar case[C]//The 49 Annual Conference on Information Sciences and Systems. Baltimore, USA: IEEE, 2015: 1-5.

[18] HUBER P J. Robust statistics: a review[J]. The Annals of Mathematical Statistics, 1972, 43(3): 1041-1167.

[19] FRIEDEN B, GATENBY R, ROBERT A. Exploratory data analysis using Fisher information[M]. London: Springer, 2007.

[20] DANTONA G. Expanded uncertainty and coverage factor computation by higher order moments analysis[C]//The 21 IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference. Como, Italy: IEEE, 2004: 234-238.

[21] FLETCHER R. Practical methods of optimization[M]. New York: Wiely, 1991.

[22] SCALES L E. Introduction to nonlinear optimization[M]. London: Macmillan, 1985.

[23] COHEN M. The Fisher information and convexity[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1968, 14(4): 591-592.

[24] GELFAND I M, FOMIN S V. Calculus of variations[M]. New York: Dover Publications, 2000.

[25] FRIEDEN B R. Applications to optics and wave mechanics of the criterion of maximum Cramer-Rao bound[J]. Journal of Modern Optics, 1988, 35(8): 1297-1316.

[26] WANG Zhu-xi. Special functions[M]. Singapore: World Scientific, 1989.

[27] VALLEE O, SOARES M. Airy functions and applications to physics[M]. Singapore: World Scientific, 2004.

編 輯 漆 蓉

Extreme Fisher Information Approach for Measurement Uncertainty Evaluation

XIE Xuan1, GAO Le1, Lü Jue1, LI Xi-feng1, XIE San-shan2, and XIE Yong-le1

(1. School of Automation Engineering, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731; 2. College of Mechanical Engineering, Chengdu Technological University Chengdu 610031)

The extreme Fisher information (EFI) is originally a measure within the theory of extreme physical information (EPI). In measurement activities, it is hard to accurately and efficiently identify and compensate every effect in measurement and evaluate the incompleteness of the measurement results. So we propose to employ the probability density functions (PDFs) derived from the EFI for estimating the boundary information of the measurement results, that is, the associated measurement uncertainty. The proposed method can characterize the measurement uncertainty more dynamically, with considering the different behaviors of the uncertainty effects and the law governing the system under measurement at the same time. The proposed approach yields the possible distribution of the measurement result in a more practical way rather than the pure mathematical approach, which is more applicable. Finally, the effectiveness of the proposed EFI method is demonstrated by the numerical results of two practical instances.

extreme Fisher information (EFI); information theory; measurement uncertainty; parameter estimation; reliability

TM930

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.05.012

2016-01-01；

2016-03-04

國家自然科學(xué)基金(60871056,61371049)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金(20120185110013)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(267ZYGX2015KYQD021)；四川應(yīng)用基礎(chǔ)研究項目(2013JY0058)

謝暄(1983-)，女，博士，主要從事混合電路故障診斷、測試測量不確定度等方面的研究.