孫獻，趙曉暉

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認知無線電系統(tǒng)中干擾對齊的自由度分析

孫獻，趙曉暉

（吉林大學通信工程學院，吉林長春 130012）

在信號空間維度有限的情況下，大部分認知無線電系統(tǒng)（主用戶個數(shù)大于1）中干擾對齊的可行性條件是不明確的。針對這一問題，把有多個主用戶和多個次用戶的認知系統(tǒng)中的干擾對齊問題分成主用戶干擾對齊問題和次用戶干擾對齊問題的2個子問題，給出了一種實現(xiàn)次用戶網絡干擾對齊的必要性條件（主用戶網絡干擾對齊的必要性條件在之前的研究中已存在）。根據(jù)必要性條件，給出了次用戶網絡的平均自由度上界，提出了一種改進的最小干擾泄露算法，并以此驗證了必要性條件結果。

認知系統(tǒng)；干擾對齊；可行性條件；自由度

1 引言

隨著無線通信技術的發(fā)展，傳統(tǒng)的單用戶、少用戶系統(tǒng)逐漸被多用戶系統(tǒng)取代，系統(tǒng)中每對用戶的發(fā)射機和接收機所配置的天線也由一根變?yōu)槎喔?。MIMO、無線局域網等技術會造成用戶密集區(qū)域存在多個用戶工作在相同頻段的現(xiàn)象，而這會產生嚴重的干擾問題。傳統(tǒng)的抗干擾處理技術（解碼干擾信號，把干擾當作噪聲，利用正交性等）很難推廣到多用戶多天線場景，或者在多用戶多天線場景下無法達到系統(tǒng)傳輸容量的優(yōu)化要求。

干擾對齊技術[1]是針對多用戶多天線場景而提出來的一種新干擾處理技術。它以自由度為優(yōu)化目標（無線系統(tǒng)的容量域是一個公認難題，而自由度可以被認為是系統(tǒng)容量的一階對數(shù)近似），通過最大化系統(tǒng)的總自由度來間接提高系統(tǒng)容量，進而擴大系統(tǒng)的吞吐量。這種技術自提出伊始，就吸引了國內外許多學者們的關注和研究。

干擾對齊技術通過壓縮干擾信號子空間的維度，使系統(tǒng)獲得復用增益，因此能夠成倍地增加系統(tǒng)容量。在文獻[2]中，Cadamb等研究了多用戶MIMO干擾網絡中的干擾對齊問題，指出通過信道擴展，每個用戶都能夠得到其信道空間總維度一半的自由度，這一結論說明系統(tǒng)的總自由度隨著用戶數(shù)的增加呈線性增長的趨勢，而之前的正交化策略只能夠使每個用戶獲得個自由度（為系統(tǒng)的用戶數(shù)）。類似的結論在X網絡、蜂窩網絡、MIMO中繼網絡等系統(tǒng)中已經得到了驗證。

然而，干擾對齊技術獲得高自由度只能是在無限獨立擴展信道的基礎上。如文獻[2, 3]中每個用戶獲得信號空間一半維度的自由度，需要信號空間的維度達到，其中，為收發(fā)機所配置的天線數(shù)。而無限的時域或者頻域擴展是不現(xiàn)實的。因此，研究在信號空間維度有限情況下的干擾對齊性質十分必要。事實上，在信號空間維度有限的情況下，干擾對齊問題通常不一定是可行的。因此，研究在什么樣的系統(tǒng)配置下，干擾對齊技術是可行的，即干擾對齊的可行性問題是非常有意義的研究問題。

到目前為止，關于該問題的研究方法主要有2種方式。一是基于代數(shù)幾何的思想，把干擾對齊的可行性問題轉化為多元高次方程的求解問題，進而根據(jù)代數(shù)幾何的相關理論得出干擾對齊可行的相關條件。文獻[4]研究了兩用戶MIMO干擾信道的干擾對齊問題，給出了這一案例下干擾對齊可行的必要條件。文獻[5~7]在文獻[4]的基礎上，基于代數(shù)幾何中的貝竹定理、伯恩斯坦定理等理論，把干擾對齊的可行性問題有條件地轉化為適合性問題，并給出了干擾對齊適合的必要性條件。然而由于“可行”和“適合”這2個概念之間存在差異，因而該條件僅僅適用于單波束干擾對齊問題；文獻[8, 9]在文獻[6]的基礎上，強化了可行性的必要條件，并提出了一個干擾對齊可行的充分條件，然而該充分條件僅僅適用于整除案例。文獻[10]則是在文獻[6]的基礎上對算法進行了改進，降低了文獻[6]中算法的復雜度。文獻[11]結合代數(shù)幾何和遞推方法提出了一種處理混合約束問題（約束條件中既有等式約束也有不等式約束）的方法，但是該方法也僅適用于單波束情況。第2種方式是從映射的角度來研究干擾對齊的可行性問題。文獻[12]研究了MIMO網絡中干擾對齊可行性問題的全對稱情況，提出了干擾對齊問題可行的充分條件，并進一步指出，干擾對齊技術的可達自由度上限為2，這一結論有別于之前干擾對齊技術可達自由度的研究結論[1]。文獻[13]在文獻[12]的基礎上進一步分析了全對稱案例，并針對三用戶MIMO干擾信道給出了詳細結論。然而，由于該文獻中僅考慮了干擾對齊可行性2個約束條件中的一個，因而結論存在一定片面性。文獻[14]則綜合了代數(shù)幾何和映射兩方面優(yōu)點，根據(jù)代數(shù)獨立、線性獨立及方程組解的存在性這3個概念之間的相互轉化，得出了MIMO干擾信道干擾對齊可行性問題的充要條件。

相對于MIMO干擾網絡中的干擾對齊，國內外學者關于認知無線電系統(tǒng)中的干擾對齊問題的研究較少。文獻[15]研究了一個主用戶的認知無線電系統(tǒng)中的干擾對齊問題，將這種配置的認知無線電系統(tǒng)轉化為與之等價的MIMO干擾系統(tǒng)，之后給出了一些結論（可行性條件、干擾對齊策略以及3個次用戶對稱次級網絡的一種閉式解）。文獻[16]則研究了一個主用戶與次用戶協(xié)作通信的干擾對齊策略。本文在前面研究結果的基礎上，研究具有多個主用戶和多個次用戶認知無線電系統(tǒng)的干擾對齊條件。

本文的主要研究成果有以下2點：一是把認知無線電系統(tǒng)中的干擾對齊問題分為2個子問題，主用戶網絡干擾對齊問題和在主用戶網絡能夠進行干擾對齊的基礎上的次用戶網絡的干擾對齊問題，這種問題分離方式與認知網絡的思想相符；二是在主用戶網絡可以進行干擾對齊的基礎上，給出了次用戶網絡干擾對齊的必要性條件，由該條件可以得出次用戶網絡的可達自由度上界。

2 系統(tǒng)模型

在本文中，考慮如圖1所示的認知無線電系統(tǒng)。該認知無線電系統(tǒng)由個主用戶所構成的主用戶網絡和個次用戶所構成的次用戶網絡（認知網絡）組成，并且所有的主用戶和次用戶都工作在相同的頻段上（系統(tǒng)的頻譜共享方式為underlay）。不失一般性，主用戶編號，次用戶編號，。每個用戶的發(fā)射機和接收機分別配置M和N根天線，并且需要傳遞d個獨立的數(shù)據(jù)流。

把式(2)代入式(1)中，得到

(3)

式(3)所包含的所有等式整體向量化之后，可以表示為

(4)

其中，表示所有用戶收發(fā)機之間的信道增益矩陣，表示以所有用戶的干擾消除矩陣為對角子塊所構成的總的干擾消除矩陣，表示以所有用戶的預編碼矩陣為對角子塊所構成的總的預編碼矩陣，分別表示總的傳輸信號向量和總的估計信號向量，。根據(jù)主次網絡之分，矩陣的各個子塊也有各自的意義：、、和分別表示主用戶發(fā)射機和主用戶接收機之間的信道增益矩陣、主用戶發(fā)射機和次用戶接收機之間的信道增益矩陣、次用戶發(fā)射機和主用戶接收機之間的信道增益矩陣、次用戶發(fā)射機機和次用戶接收機機之間的信道增益矩陣；和分別表示所有主用戶的接收機干擾消除矩陣、所有次用戶的接收機干擾消除矩陣；和分別表示所有主用戶的發(fā)射機預編碼矩陣、所有次用戶的發(fā)射機預編碼矩陣。

根據(jù)已有的干擾對齊研究結果，預編碼矩陣和干擾消除矩陣需要滿足如下2個等式

，(6)

式(5)表示預編碼過程和干擾消除過程需要滿足每個接收機都能夠無損失接收到所有來自對應發(fā)射機發(fā)射的數(shù)據(jù)流；式(6)表示每個接收機都能通過干擾消除過程把來自非對應發(fā)射機的干擾信號消除。為方便起見，式(5)和式(6)分別稱為直接鏈路信道約束和交叉鏈路信道約束。

式(5)和式(6)矩陣化之后，可轉化為

(7)

式(7)等價于如下的4個等式

(9)

(10)

3 模型假設和問題轉化

由于本文不考慮信道擴展的情況，因此可假設信道為恒參信道，并且假設信道增益矩陣中的每一個元素都服從同一個連續(xù)分布，并且相互獨立。噪聲向量為零均值高斯白噪聲，并且協(xié)方差矩陣為，即，為研究方便，不妨假設所有用戶的噪聲功率都是相同的。

在實際的無線通信系統(tǒng)中，信道狀態(tài)信息需要通過相應的技術來估計。對于恒參信道，主用戶之間可以通過發(fā)送導頻序列，較為容易地獲取主用戶網絡的信道狀態(tài)信息（LCSI），同樣的方法可以被次用戶用來獲取次用戶網絡的信道狀態(tài)信息；而次用戶獲取主用戶網絡的信道狀態(tài)信息則可以通過以下2種方式：一是次用戶和主用戶之間采取一定的協(xié)作方式，如次用戶在主用戶附近布置反饋傳感器來獲取主用戶網絡的信道狀態(tài)信息；二是次用戶通過“竊聽”的方式來獲取主用戶的信道狀態(tài)信息，進而得到整個系統(tǒng)的全部信道狀態(tài)信息（GCSI）。

由于主用戶網絡是授權網絡，其通信需求需要優(yōu)先于次用戶網絡獲得滿足，而次用戶網絡能不能接入主用戶頻帶進行通信則是次一級考慮的問題。基于此，把認知無線電系統(tǒng)中的干擾對齊分析過程分為2步：第一，考慮主用戶網絡中的干擾對齊問題；第二，在主用戶網絡可以達到干擾對齊的基礎上，研究次用戶網絡的干擾對齊問題。

3.1 主用戶網絡干擾對齊

首先，考慮主用戶網絡中的干擾對齊。由于主用戶不知道次用戶信道狀態(tài)信息，甚至不知道次用戶是否存在，因此主用戶只考慮在主用戶網絡中滿足干擾對齊的情況下進行通信，即主用戶網絡的預編碼矩陣和干擾消除矩陣僅需要滿足約束式(8)。易得，主用戶網絡中的干擾對齊就等價于用戶MIMO干擾網絡中的干擾對齊。

基于文獻[14]的結論，因為信道增益矩陣中的元素之間是相互獨立的，這使?jié)M足交叉鏈路約束的滿秩預編碼矩陣和干擾消除矩陣以無限接近于1的概率滿足直接鏈路信道約束。這個結論說明主用戶網絡的干擾對齊約束可以做如下轉化。

構造矩陣

(12)

因此，主用戶網絡的干擾對齊的可行性問題等價于如下問題。

如果主用戶網絡不能達到干擾對齊，即不存在滿足式(12)和式(13)的解，此時討論次用戶網絡的干擾對齊的可行性及策略是沒有意義的。只有在主用戶網絡是干擾對齊可行的基礎上，通過一定的策略設計好主用戶網絡的預編碼矩陣和干擾消除矩陣之后，才能探討次用戶網絡干擾對齊的可行性。

3.2 次用戶網絡干擾對齊

假設主用戶網絡可以達到干擾對齊，在這種情況下，考慮次用戶網絡的干擾對齊問題。次用戶作為機會用戶，是在主用戶網絡存在的情況下接入主用戶網絡的頻帶進行通信的；同時，根據(jù)假設，次用戶知道所有的信道狀態(tài)信息，由此，次用戶可以通過相應的一些算法來估算出主用戶的預編碼矩陣和干擾消除矩陣，例如在一般的時分雙工信道中，次用戶的發(fā)射機可以通過主用戶接收機發(fā)射的反饋信息以及已知的信道狀態(tài)信息來估算出主用戶的干擾消除矩陣，次用戶的接收機同樣可以估算出主用戶的預編碼矩陣。因此，本文假設，次用戶知道主用戶網絡的預編碼矩陣和干擾消除矩陣。

因此，設計次用戶的干擾對齊策略時不僅要考慮次用戶網絡內的干擾對齊問題（約束式(11)），還要考慮主用戶和次用戶交叉信道的干擾以適應主用戶的預編碼和干擾消除策略（約束式(9)和式(10)）。前者等價于用戶MIMO干擾網絡的干擾對齊問題，后者則是2個線性約束。因此，次用戶網絡的干擾對齊約束等價于一個用戶的MIMO干擾信道對齊約束和2個線性約束的疊加。

類似于主用戶網絡，次用戶網絡的干擾對齊約束式(11)以概率1等價于

(15)

因此，次用戶網絡的干擾對齊的可行性問題等價于如下問題。

4 可行性條件

4.1 主用戶網絡干擾對齊的可行性條件

由于主用戶網絡中的干擾對齊等價于用戶MIMO干擾網絡的干擾對齊問題，因此前者的干擾對齊條件也等價于用后者的干擾對齊條件。

結論1 主用戶網絡如果是干擾對齊可行的，則其系統(tǒng)配置需要滿足如下條件

(17)

(18)

結論1是文獻[14]關于不考慮信道拓展情況下的用戶MIMO干擾信道中干擾對齊的可行性條件，在這里把它列出來是為了本文結論的連貫性，其證明可參考文獻[14]中定理1的證明。

值得一提的是，結論1給出的是干擾對齊的必要性條件，即主用戶網絡能夠達到干擾對齊時系統(tǒng)所必須要滿足的條件。但是滿足結論1中的幾個等式的系統(tǒng)卻不一定是干擾對齊可行的。

4.2 次用戶網絡干擾對齊的可行性條件

現(xiàn)假設問題1是有解的，即主用戶網絡存在預編碼矩陣和干擾消除矩陣使主用戶的接收機能夠對齊干擾，并且預編碼矩陣和干擾消除矩陣都已設計完畢（主用戶網絡的預編碼矩陣和干擾消除矩陣的設計方案在4.3節(jié)中闡述），可認為是已知的。

下面給出次用戶網絡干擾對齊可行的必要性條件。

定理1 在主用戶網絡干擾對齊可行的前提下，如果次用戶網絡干擾對齊是可行的，則系統(tǒng)配置必滿足條件

(19)

(20)

(21)

定理1的證明見附錄。

定理2 一方面給出了次用戶網絡干擾對齊可行的必要性條件，另一方面，通過聯(lián)合必要性條件式(19)~式(21)，能夠確定次用戶網絡所能獲得的總自由度的上界。

基于定理2，針對對稱系統(tǒng)，可得到如下幾個推論。

針對系統(tǒng)主用戶網絡和次用戶網絡都是對稱網絡的情況，即對任意的，都有，，；類似地，對任意的，都有，，。此時，可以得推論1。

推論1給出了對稱網絡的次用戶所能獲得的平均自由度的上限，記為。從的表達式可以得出以下兩方面結論。

一方面，在所有的主用戶配置參數(shù)中，只有主用戶的個數(shù)和自由度需求0與次用戶的平均自由度上限有關。而主用戶發(fā)射機和接收機所配置的天線數(shù)目0、0并不影響次用戶的平均自由度上限。這一結論與之前一個主用戶、一個次用戶和一個主用戶、多個次用戶的認知無線電系統(tǒng)中的干擾對齊的研究結論相吻合[15]。

另一方面，次用戶平均自由度與次用戶發(fā)射機和接收機配置的天線數(shù)目、成正比，與次用戶個數(shù)近似成反比，而且次用戶所能獲得的總信道自由度也存在一定的上限，即。

進一步，當系統(tǒng)為半全對稱系統(tǒng)和全對稱系統(tǒng)時，可得到了推論2和推論3，并給出了半全對稱系統(tǒng)和全對稱系統(tǒng)的可達自由度的上界。

(24)

4.3 特殊主用戶網絡配置下的可行性分析

在討論次用戶網絡的干擾對齊問題之前，需要先確定主用戶網絡的預編碼矩陣和干擾消除矩陣。已知的干擾對齊設計方法主要分為2種：直接法和迭代法。直接法是指根據(jù)封閉解形式，直接構造預編碼矩陣和干擾消除矩陣；迭代法則是通過迭代的方式，利用數(shù)值解法逐步獲得預編碼矩陣和干擾消除矩陣。目前，只有兩用戶MIMO干擾對稱信道[6]和三用戶MIMO干擾對稱信道[13]存在封閉解形式，因此，在主用戶網絡是兩用戶或者三用戶對稱信道的情況時，可以直接構造主用戶網絡的預編碼矩陣和干擾消除矩陣。對于其他主用戶網絡，只能通過迭代算法求得預編碼矩陣和干擾消除矩陣（在此不再詳述）。

下面分別討論主用戶網絡為兩用戶和三用戶對稱網絡時次用戶網絡的干擾對齊問題。

4.3.1 主用戶網絡為兩用戶對稱MIMO主網絡

當主用戶網絡為兩用戶對稱網絡時，即=3，且對，有，成立。利用如下策略設計主用戶網絡的預編碼矩陣和干擾消除矩陣：對矩陣進行奇異值分解，，都是酉矩陣，任取矩陣的個列向量，不失一般性，前列構成矩陣，然后在矩陣的列向量的張成空間的正交補空間中任取個相互正交的單位向量構成。利用相同的方法構造矩陣和矩陣。

然后，討論次用戶網絡的干擾對齊。假設次用戶網絡也是對稱的，則對，有，成立。根據(jù)定理1，可得次用戶網絡干擾對齊可行必須要滿足如下條件

式(25)給出了兩用戶對稱MIMO主網絡情況下，對稱次用戶網絡能獲得的平均自由度的上界。

4.3.2 主用戶網絡為三用戶對稱MIMO主網絡

在主用戶網絡為三用戶對稱網絡時，即=3，且對，有，成立。此時主用戶網絡的預編碼矩陣和干擾消除矩陣根據(jù)文獻[13]提出的封閉解的形式構造。

然后在此基礎上，討論次用戶網絡的干擾對齊。假設次用戶網絡也是對稱的，則對，有，成立。根據(jù)定理1，可得次用戶網絡干擾對齊可行必須要滿足如下條件

式(27)給出了3用戶對稱MIMO主網絡情況下，對稱次用戶網絡能獲得平均自由度的上界。

5 干擾對齊算法

第4節(jié)提出了認知無線電系統(tǒng)中主用戶網絡干擾對齊、次用戶網絡干擾對齊的必要性條件以及一些相關推論。這節(jié)在文獻[17]提出的最小干擾泄露（interference leakage）算法的基礎上，針對本文的系統(tǒng)模型以及相關假設，提出了改進后的認知無線電系統(tǒng)中的最小干擾泄露算法。利用這種算法，可以驗證本文的相關結論。

干擾泄露是指干擾信號功率在估計信號總功率中所占的百分比，可表示為

(30)

對偶信道的干擾協(xié)方差矩陣為

認知無線電系統(tǒng)中的最小干擾泄露算法流程如下。

1) 首先利用直接法，確定主用戶網絡的預編碼矩陣和干擾消除矩陣；

2) 初始化正向信道的次用戶網絡的預編碼矩陣，不失一般性，設為列單位矩陣；

9) 重復算法步驟4)~步驟8)，直至干擾百分比達到系統(tǒng)要求。

類似于原始的用戶MIMO干擾信道中的最小干擾泄露算法，一方面，由于干擾協(xié)方差矩陣是Hermite矩陣，因此其特征值都是非負的，另一方面，每經過一次正向信道和對偶信道的迭代，任意用戶的干擾協(xié)方差矩陣的最小d個特征值的和不增大，用戶的干擾泄露是遞減的，因而是局部收斂。但是整個系統(tǒng)總的干擾百分比的收斂性不能確定，因此該算法是局部收斂，整體收斂性未知。

6 仿真和結果分析

本節(jié)利用第5節(jié)中提出的干擾對齊算法進行仿真。在本節(jié)中，干擾泄露均指所有用戶的平均干擾泄露；仿真信道為瑞利衰落信道，并且信道增益矩陣中的各個元素獨立同分布于衰落參數(shù)為的瑞利分布。

圖2是這樣一組系統(tǒng)（記為第一組）的仿真結果：次用戶網絡是3用戶對稱網絡，主用戶網絡分別是零用戶、一用戶和二用戶對稱網絡（主用戶個數(shù)為0的認知網絡即為三用戶MIMO干擾網絡），每個用戶的收發(fā)機都配置6根天線。信噪比設為30 dB。圖中的節(jié)點是10 000次蒙特卡洛實驗結果的平均值。

根據(jù)文獻[12]的結論，對稱MIMO干擾網絡干擾對齊可行的充要條件為。因此，對于無主用戶3個次用戶對稱認知網絡，其干擾對齊可行等價于，因此對于信道總自由度不大于9的情況下，3用戶MIMO網絡的干擾泄露為0（在誤差范圍內），而主用戶個數(shù)為1和2的認知無線電網絡，假設主用戶的自由度為，根據(jù)第4部分提出的必要性條件的推論2可得，其干擾對齊可行分別需要次用戶的平均信道自由度滿足和。需要強調的是，3個系統(tǒng)的可行性條件是不一樣的，前者是干擾對齊可行的充要條件，而后兩者只是必要條件。

由于存在數(shù)值誤差，因此只要干擾泄露在誤差許可范圍之內，均可認為此時的系統(tǒng)是干擾對齊可行的。由圖2可以得到以下幾點：主用戶個數(shù)為0、次用戶網絡總自由度不大于9時，系統(tǒng)是干擾對齊可行的，這與之前的MIMO系統(tǒng)中干擾對齊技術的研究結論相吻合；主用戶個數(shù)為1、次用戶網絡總自由度不小于7時和主用戶個數(shù)為2、次用戶網絡總自由度不小于5時的干擾泄露明顯大于0，說明這2種情況下系統(tǒng)是干擾對齊不可行的，這個結果與利用本文結論計算得到的結果是一致的；在次用戶總自由度相同時，認知網絡的干擾泄露要比MIMO網絡的大，而且主用戶個數(shù)越大，干擾泄露越大。

圖3是這樣一組系統(tǒng)（記為第2組系統(tǒng)）的仿真結果：系統(tǒng)的用戶總數(shù)都為4，但是主用戶個數(shù)分別為0、1和2的對稱系統(tǒng)，每個用戶的收發(fā)機同樣配置6根天線。信噪比設為30 dB。圖中的節(jié)點也是10 000次蒙特卡洛實驗結果的平均值。

類似于第1組系統(tǒng)，根據(jù)對稱MIMO網絡干擾對齊的充要條件，可得4用戶MIMO網絡干擾對齊可行等價于；同樣假設認知網絡的主用戶的自由度為，根據(jù)推論2可得，2個認知網絡次用戶干擾對齊的必要性條件為次用戶網絡的平均自由度分別滿足和。

由圖3可得不滿足本文結論的系統(tǒng)配置的干擾泄露明顯大于0，這與本文的結論一致。另外，通過圖3的這組曲線，可以探究認知網絡和MIMO干擾網絡中干擾對齊的性能差異。由系統(tǒng)配置可得，3個系統(tǒng)的用戶總數(shù)都是4。而在系統(tǒng)總自由度相同時，認知網絡的干擾對齊性能比MIMO干擾網絡的差。這是因為在MIMO干擾網絡中，所有用戶的預編碼矩陣和干擾消除矩陣是聯(lián)合設計的，不存在先后問題，因此由算法得到的最終結果是全局最優(yōu)解；而在認知網絡中，主用戶網絡的干擾對齊策略是優(yōu)先設計的，次用戶網絡的干擾對齊策略需要“配合”主用戶網絡的干擾對齊策略，因此總的干擾對齊策略就是局部最優(yōu)解。

以上2組仿真都是在信噪比固定為30 dB時，系統(tǒng)干擾泄露關于信道自由度的折線，下面考慮信噪比對系統(tǒng)性能的影響。

圖4是收發(fā)機端天線數(shù)都是6根的1個主用戶、3個次用戶CR系統(tǒng)和2個主用戶、2個次用戶CR系統(tǒng)在不同信噪比下，系統(tǒng)干擾泄露關于信道總自由度的仿真結果。由圖4可以看出，在信噪比很低（0 dB）時，理論上可以實現(xiàn)干擾對齊的CR系統(tǒng)（如信道總自由度為6時）的干擾泄露相對較大；而在信道自由度相同時，隨著信噪比的增大，系統(tǒng)的干擾泄露會逐漸變?。坏请S著信噪比增大到一定程度（20 dB）后，信噪比對干擾泄露的性能影響變小，此時，信道總自由度是影響系統(tǒng)干擾泄露的主要因素。

(a) 1個主用戶，3個次用戶CR系統(tǒng)

(b) 2個主用戶，2個次用戶CR系統(tǒng)

圖4 不同信噪比下，同一系統(tǒng)干擾泄露關于信道總自由度的關系折線

圖5是信噪比30 dB時，2個主用戶、2個次用戶收發(fā)機端的天線數(shù)分別為4根、6根、8根的情況下，系統(tǒng)干擾泄露關于信道總自由度的關系折線。由本文的干擾對齊的必要性條件可以推知，當信道總自由度大于8時，天線數(shù)為4的CR系統(tǒng)是不能實現(xiàn)干擾對齊的。在圖5中，信道總自由度大于8時，天線數(shù)為4的系統(tǒng)干擾泄露也明顯大于天線數(shù)為6和天線數(shù)為8時的情況，這一仿真結果與本文的研究結論是相符的。

7 結束語

本文研究了不考慮信道擴展時，多個主用戶多個次用戶的認知無線電系統(tǒng)中干擾對齊的自由度約束。通過把主用戶網絡和次用戶網絡的干擾對齊問題分離，得出了次用戶網絡干擾對齊可行的必要性條件以及次用戶網絡的平均可達自由度的上界。但是在考慮信號拓展時，由于信道增益矩陣不再滿足任意性的假設，因此不能應用本文的結論?？紤]信道擴展時的多主用戶多個次用戶的認知無線電系統(tǒng)的干擾對齊問題需要尋找新的分析方法。

附錄 定理1的證明

1) 式(19)的證明

(32)

根據(jù)式(14)以及線性映射的相關理論，有下式成立

因而有

最終得

式(19)得證。

2) 式(20)的證明

式(20)是文獻[11]中關于MIMO網絡中線性干擾對齊的一個必要條件，由于次用戶網絡可等價為一個用戶的MIMO網絡，因而其也需滿足這個條件，其證明可參考文獻[11]，在此不再詳述。

3) 式(21)的證明

根據(jù)之前的MIMO網絡干擾對齊的研究成果[6]，即如果線性干擾對齊是可行的，則由線性干擾對齊轉化得到的多元高次方程組有解。根據(jù)代數(shù)幾何中的Bezout定理，方程組有解則代數(shù)獨立的方程個數(shù)不大于獨立未知量的個數(shù)。這個結論在本文的系統(tǒng)模型中同樣是適用的。下面將計算本文約束條件中的獨立未知量個數(shù)（記為N）和代數(shù)獨立方程的個數(shù)（記為N）。

根據(jù)約束條件式(14)以及文獻[4]中的結論，通過矩陣的行變換，有

(35)

而根據(jù)約束條件式(9)、式(10)和式(15)，可得代數(shù)獨立方程的個數(shù)為

由定理1得出的幾個推論比較簡單，不再進行證明。

[1] MADDAH-ALI M A, MOTAHARI A S, KHANDANI A K. Communication over MIMO X channels: interference alignment, decomposition, and performance analysis[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2008, 54(8): 3457-3470.

[2] CADAMBE V R, JAFAR S A. Interference alignment and spatial degrees of freedom for theuser interference channel[C]//IEEE International Conference on Communications(ICC). Beijing, China, c2008: 971-975.

[3] CADAMBE V R, JAFAR S A. Degrees of freedom of wireless networks with relays, feedback, cooperation, and full duplex operation[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2009, 55(5): 2334-2344.

[4] PERLAZA S M, DEBBAH M, LASAULCE S, et al.Opportunistic interference alignment in MIMO interference channels[C]//IEEE 19th International Symposium on Personal, Indoor and Mobile Radio Communications(ICC). Cannes, France, c2008.

[5] YETIS C M, GOU T, JAFAR S A, et al. Feasibility conditions for interference alignment[C]//IEEE Global Telecommunications Conference.. Honolulu, USA, c2009:1-6.

[6] YETIS C M, GOU T, JAFAR S A,et al. On feasibility of interference alignment in MIMO interference networks[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(9): 4771-4782.

[7] GOMADAM K, CADAMBE V R, JAFAR S A. A distributed numerical approach to interference alignment and applications to wireless interference networks[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2011, 57(6): 3309-3322.

[8] RAZAVIYAYN M, LYUBEZNIK G, LUO Z Q. On the degrees of freedom achievable through interference alignment in a MIMO interference channel[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(2): 812-821.

[9] RAZAVIYAYN M, LYUBEZNIK G, LUO Z Q. On the degrees of freedom achievable through interference alignment in a MIMO interference channel[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(2): 812-821.

[10] NEGRO F, SHENOY S P, GHAURI I, et al. Interference alignment feasibility in constant coefficient MIMO interference channels[C]// Signal Processing Advances in Wireless Communications (SPAWC). Marrkech, Morocco, c2010: 1-5.

[11] SUN R, LUO Z Q. Interference alignment using finite and dependent channel extensions: the single beam case[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2015, 61(1): 239-255.

[12] BRESLER G, CARTWRIGHT D, TSE D. Settling the feasibility of interference alignment for the MIMO interference channel: the symmetric square case[J/OL]. arXiv preprint arXiv:1104.0888, 2011.

[13] BRESLER G, CARTWRIGHT D, TSE D. Interference alignment for the MIMO interference channel[J/OL]. arXiv preprint arXiv: 1303. 5678, 2013.

[14] RUAN L, LAU V K N, WIN M Z, et al. The feasibility conditions for interference alignment in MIMO networks[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013, 61(5-8): 2066-2077.

[15] AMIR M, EL-KEYI A, NAFIE M. Constrained interference alignment and the spatial degrees of freedom of MIMO cognitive networks[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2011, 57(5): 2994-3004.

[16] KOO B, PARK D. Interference alignment with cooperative primary receiver in cognitive networks[J]. IEEE on Communications Letters, 2012, 16(7): 1072-1075.

[17] GOMADAM K, CADAMBE V R, JAFAR S A. Approaching the capacity of wireless networks through distributed interference alignment[C]//Global Telecommunications Conference. New Orleans, USA. c2008:1-6.

Analysis on the degree of freedom of interference alignment in cognitive radio

SUN Xian, ZHAO Xiao-hui

(College of Communication Engineering, Jilin University, Changchun 130012, China)

The feasibility conditions were still unclear in the case of finite number of signal dimension for most cognitive radio systems. The IA problem of CR system with multiple primary users and multiple secondary users was divided into two sub-problems: the IA problem of primary network and the IA problem of secondary network, based on the cognitive mind. Then, the necessary IA conditions of secondary network were presented (good IA conditions of primary network have been proposed in previous research). Through the necessary conditions, it can obtain the upper bound of the average Dof of the secondary users. An improved minimum interference leakage algorithm was proposed, with which the conclusion was verified.

CR system, interference alignment, feasibility conditions, degree of freedom

TN929.5

A

10.11959/j.issn.1000-436x.2016045

2015-06-20；

2015-12-25

國家自然科學基金資助項目（No.61171079）

The National Natural Science Foundation of China (No.61171079)

孫獻（1989-），男，河南長垣人，吉林大學碩士生，主要研究方向為認知無線電系統(tǒng)中的信號處理、頻譜共享。

趙曉暉（1957-），男，滿族，北京人，吉林大學教授、博士生導師，主要研究方向為認知無線電、信號處理理論及其在通信中的應用。