李啟才，顧孟迪

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指數(shù)均值回復(fù)金融市場(chǎng)下的最優(yōu)投資和最優(yōu)再保險(xiǎn)策略

李啟才1，顧孟迪2

（1.南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇南京 210023; 2.上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 上海 200052）

近來(lái)，隨機(jī)控制理論廣泛應(yīng)用于精算數(shù)學(xué)領(lǐng)域。這是因?yàn)楸ｋU(xiǎn)公司的資產(chǎn)管理越來(lái)越技術(shù)化。保險(xiǎn)公司可以通過(guò)購(gòu)買再保險(xiǎn)來(lái)控制和轉(zhuǎn)移它們的風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)投資金融市場(chǎng)來(lái)管理它們的利潤(rùn)。為了更好的利用這些機(jī)會(huì)，它們需要隨機(jī)控制的技巧。本文利用帶有漂移的布朗運(yùn)動(dòng)描述索賠過(guò)程，在終端指數(shù)效用最大化的目標(biāo)下，考慮保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資決策。文章假定保險(xiǎn)公司投資于指數(shù)均值回復(fù)的金融市場(chǎng)。同時(shí)保險(xiǎn)公司通過(guò)購(gòu)買一個(gè)純比例或者純超額損失亦或是二者組合的再保險(xiǎn)來(lái)轉(zhuǎn)移索賠風(fēng)險(xiǎn)。利用隨機(jī)控制理論，獲得了值函數(shù)、最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略的表達(dá)式。最優(yōu)投資策略中第一項(xiàng)類似經(jīng)典Merton策略：投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)資金與單位風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)成正比。第二和第三項(xiàng)則分別是根據(jù)資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間對(duì)投資行為的調(diào)整。文章也證明了最優(yōu)的再保險(xiǎn)策略是購(gòu)買一個(gè)純的超額損失再保險(xiǎn)，而非純比例或組合再保險(xiǎn)，從而也說(shuō)明超額損失再保險(xiǎn)總是優(yōu)于比例再保險(xiǎn)。最后給出了一些數(shù)值例子。

隨機(jī)控制；再保險(xiǎn)；指數(shù)均值回復(fù)；效用函數(shù)

0 引言

投資和再保險(xiǎn)已成為現(xiàn)代保險(xiǎn)公司越來(lái)越倚重的增加收益和管理風(fēng)險(xiǎn)的有效工具。近年來(lái)，大量文獻(xiàn)討論了保險(xiǎn)公司在Black-Scholes（B-S）金融市場(chǎng)中的最優(yōu)再保險(xiǎn)和最優(yōu)投資問(wèn)題。這些工作中，以破產(chǎn)概率最小化或終端財(cái)富效用最大化等為目標(biāo)，運(yùn)用隨機(jī)控制理論和相關(guān)方法得到保險(xiǎn)公司的最優(yōu)策略和值函數(shù)。例如Browne[1]利用帶有漂移的布朗運(yùn)動(dòng)描述保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程，得到了最大化終端時(shí)刻財(cái)富的期望指數(shù)效用下的最優(yōu)投資策略。Schmidli[2]，Taksar 和 Markussen[3]研究了最小化破產(chǎn)概率下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)策略。Luo et al.[4]考慮了最小化破產(chǎn)概率下的最優(yōu)投資和比例再保險(xiǎn)策略。Bai 和Guo[5]分析了最大化終端財(cái)富指數(shù)效用下，保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資和比例再保險(xiǎn)策略。另外，Irgens 和 Paulsen[6]考慮了跳-擴(kuò)散金融市場(chǎng)下的最優(yōu)投資和比例再保險(xiǎn)問(wèn)題，得到了最優(yōu)策略和值函數(shù)的近似表達(dá)式。Liang et al.[7]研究了資產(chǎn)收益率服從一般Ornstein－Uhlenbeck過(guò)程下的最優(yōu)投資和比例再保險(xiǎn)策略。Gu et al.[8]和Liang et al.[9]分別研究了擴(kuò)散索賠和跳-擴(kuò)散索賠情形的常彈性方差（CEV）模型下的最優(yōu)投資和比例再保險(xiǎn)問(wèn)題，得到了相關(guān)最優(yōu)策略和值函數(shù)的（近似）表達(dá)式。榮喜民和范立鑫[10]也考慮了常彈性方差(CEV)模型下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資策略。

事實(shí)上，在一個(gè)均衡的環(huán)境中，若資產(chǎn)價(jià)格相對(duì)偏高，人們將預(yù)期供給上升并對(duì)價(jià)格產(chǎn)生一個(gè)向下的壓力；反過(guò)來(lái)說(shuō)，若價(jià)格偏低，供給會(huì)減少并對(duì)價(jià)格產(chǎn)生一個(gè)向上的壓力，即產(chǎn)生所謂的均值回復(fù)現(xiàn)象。Schwartz[11]實(shí)證了指數(shù)均值回復(fù)過(guò)程（Exponential mean-reversion）描述資產(chǎn)價(jià)格均值回復(fù)特性的合理性，提出了著名的Schwartz指數(shù)均值回復(fù)模型。Schwartz指數(shù)均值回復(fù)過(guò)程可以廣泛用來(lái)描述商品期貨、債券、股票或利率等的相關(guān)金融資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)價(jià)格。Benth 和Karlsen[12]以最大化終端財(cái)富期望冪效用為目標(biāo)，在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格服從Schwartz模型的假設(shè)下，研究了經(jīng)典默頓問(wèn)題。王蕾和顧孟迪[13]研究了Schwartz模型下的比例再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題。與文獻(xiàn)[13]不同的是，本文研究Schwartz 模型下比例－超額損失組合再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題。這類再保險(xiǎn)形式更全面，應(yīng)用上更廣泛，但數(shù)學(xué)上求解卻更復(fù)雜：因?yàn)楸壤俦ｋU(xiǎn)是線性的，而超額損失再保險(xiǎn)是非線性的。于是，經(jīng)過(guò)購(gòu)買超額損失（或比例－超額損失組合）再保險(xiǎn)后的保險(xiǎn)公司自留風(fēng)險(xiǎn)的期望和方差表達(dá)式都更加復(fù)雜（詳見下文1.1）。

多數(shù)再保險(xiǎn)文獻(xiàn)都是考慮保險(xiǎn)公司要么購(gòu)買一個(gè)純比例再保險(xiǎn)，要么購(gòu)買一個(gè)純超額損失再保險(xiǎn)[2-9]，本文考慮的組合形式再保險(xiǎn)的相關(guān)綜述工作，可以參見Centeno[14]。另外，Zhang et al.[15]和Zhou et al.[16]分別研究了最小破產(chǎn)概率和VaR （Value at Risk）準(zhǔn)則下的比例-超額損失組合再保險(xiǎn)策略，它們都得出純超額損失策略更好的結(jié)論。Liang 和Guo[17]在效用最大化準(zhǔn)則下，研究了比例－超額損失組合再保險(xiǎn)策略，他們斷言在單次索賠的預(yù)期最大值足夠大時(shí)應(yīng)該采取純超額損失再保險(xiǎn)，反之，應(yīng)該采用純比例策略。但[17]沒(méi)有專門討論比例再保險(xiǎn)情形。事實(shí)上，本文通過(guò)計(jì)算得出結(jié)論，最優(yōu)的組合再保險(xiǎn)策略實(shí)際上等同于最優(yōu)純超額損失再保險(xiǎn)策略。從而也說(shuō)明了超額損失再保險(xiǎn)總是優(yōu)于比例再保險(xiǎn)。但本文的優(yōu)化目標(biāo)和證明方法都不同于文獻(xiàn)[15][16]。另外，以上討論組合再保險(xiǎn)的工作中，都沒(méi)有涉及到金融市場(chǎng)的投資，本文得到Schwartz指數(shù)均值回復(fù)金融市場(chǎng)下的保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資策略。實(shí)務(wù)中，對(duì)保險(xiǎn)公司的索賠量分布，自身的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)及再保險(xiǎn)公司的保費(fèi)率的估計(jì)非常重要，本文最后部分給出了相關(guān)參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略影響的一些數(shù)值演示。

1 模型和動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程

1.1 再保險(xiǎn)－投資模型

在經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型（Cramér-Lundberg），盈余過(guò)程可以描述為

， （2）

考慮保險(xiǎn)公司通過(guò)購(gòu)買下列形式的比例－超額損失組合形式再保險(xiǎn)來(lái)轉(zhuǎn)移它們面臨的索賠風(fēng)險(xiǎn)。設(shè)表示保險(xiǎn)公司在時(shí)刻的比例再保險(xiǎn)自留比例，而為保險(xiǎn)公司在時(shí)刻的超額損失再保險(xiǎn)自留額。為簡(jiǎn)潔起見，記再保險(xiǎn)決策變量為。購(gòu)買組合（excess-of-loss after quota-share）再保險(xiǎn)后，保險(xiǎn)公司每次索賠的自留額變成，而部分由再保險(xiǎn)公司支付，。于是保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程變?yōu)?/p>

，（4）

同時(shí)，保險(xiǎn)公司可以在金融市場(chǎng)中投資某項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。如前所述，由于Schwartz 指數(shù)均值回復(fù)過(guò)程更接近現(xiàn)實(shí)。故假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格如下：

.

又設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格為

。 （8）

1.2 動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程

相應(yīng)的值函數(shù)為

（10）

其邊界條件為

， （12）

其中微分算子

下列驗(yàn)證定理保證了滿足邊界條件（12）的方程（11）的經(jīng)典解確實(shí)是我們問(wèn)題所需要的值函數(shù)，其相關(guān)證明見Fleming 和Sonner[19]。

2 模型求解

指數(shù)效用常用于保險(xiǎn)數(shù)學(xué)與精算實(shí)踐，它具有常數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡（constant absolute risk aversion(CARA)）參數(shù)，是在“零效用” 原理下唯一得出獨(dú)立于保險(xiǎn)公司盈余水平的公平保費(fèi)的函數(shù)[17]。因此，本文設(shè)保險(xiǎn)公司具有下列指數(shù)效用

為求解方程（11），受Brown[1]啟發(fā)，猜想值函數(shù)有下列形式解

邊界條件為

（15）

，（17）

， （20）

也就是說(shuō)，此時(shí)應(yīng)該采用一個(gè)最優(yōu)的純超額損失再保險(xiǎn)策略。

。（24）

（25）

， （27）

， （28）

結(jié)合（24）式中的邊界條件，容易解出，

， （30）

， （31）

定理2.2 定理2.1條件下的最優(yōu)投資策略和值函數(shù)分別為

。（33）

注2.2最優(yōu)投資策略第一項(xiàng)類似經(jīng)典Merton[20]投資策略：它與單位風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)成正比，其中比例因子與風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)有關(guān)。而第二和第三項(xiàng)是根據(jù)資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間對(duì)投資策略的調(diào)整。從策略表達(dá)式容易看出，如果是多頭，風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)越大或資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)越大，都會(huì)導(dǎo)致較低的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資額。至于是多頭還是空頭，主要依賴于資產(chǎn)價(jià)格（或其對(duì)數(shù)）的變化。

其中

，

其中

，（18’）

定理2.4純超額損失再保險(xiǎn)總是優(yōu)于文中形式的比例-超額損失組合再保險(xiǎn)，也優(yōu)于比例再保險(xiǎn)。

注2.3 定理2.4的結(jié)論類似Zhang et al.在破產(chǎn)概率最小化下得到的結(jié)論（文[14] 中Theroem 2.1），本文在效用最大化準(zhǔn)則下，采用了一種不同于他們的計(jì)算式證明。定理2.4說(shuō)明在期望值保費(fèi)原理下，本文的組合最優(yōu)再保險(xiǎn)策略等同于純超額損失再保險(xiǎn)策略，保險(xiǎn)公司不會(huì)購(gòu)買比例再保險(xiǎn)，也不會(huì)購(gòu)買比例－超額損失組合形式的再保險(xiǎn)。

3 最優(yōu)策略數(shù)值分析

為了更加直觀地解釋最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)策略，我們給出一些在數(shù)值圖形。設(shè)定，，，不變。假定股票初始價(jià)格，均值回復(fù)速率，利用的解，模擬產(chǎn)生一條樣本路徑（），帶入相應(yīng)的最優(yōu)策略表達(dá)式，得到圖1中所示的一條樣本路徑（散點(diǎn)）圖。該樣本路徑圖顯示時(shí)，投資人在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上處于空頭投位置，而其它時(shí)間點(diǎn)投資人則是多頭的。

圖1 最優(yōu)投資策略的一條樣本路徑()

圖2 股價(jià)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

圖3 均值回復(fù)速率對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

圖4 最優(yōu)超額損失再保險(xiǎn)策略

4 結(jié)論與展望

本文考慮了保險(xiǎn)公司購(gòu)買比例－超額損失組合形式的再保險(xiǎn)，同時(shí)投資于指數(shù)均值回復(fù)金融市場(chǎng)下的最優(yōu)動(dòng)態(tài)策略。通過(guò)隨機(jī)控制理論，在最大化指數(shù)效用準(zhǔn)下，我們得到了最優(yōu)的投資策略由三項(xiàng)和得到：第一項(xiàng)與資產(chǎn)的單位風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)成正比，其中比例因子與風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)有關(guān)，而第二和第三項(xiàng)是根據(jù)資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間對(duì)投資策略的調(diào)整。而最優(yōu)的再保險(xiǎn)策略則是保險(xiǎn)公司總是傾向選擇一個(gè)最優(yōu)的超額損失再保險(xiǎn)策略，自留的超額損失額或者是全部自留，或者是再保險(xiǎn)公司安全載荷系數(shù)的某種形式上的“折現(xiàn)”。注意到文中再保費(fèi)率使用的都是期望值原理，同時(shí)組合形式也限于先比例再超額損失，如果采用其他保費(fèi)原理（如方差保費(fèi)原理，指數(shù)保費(fèi)原理等），或是其它組合形式（例如自留額為的組合形式），那么結(jié)論未必成立。另外對(duì)于金融市場(chǎng)可能更復(fù)雜，比如回報(bào)率和波動(dòng)率都是隨機(jī)的等情形，今后將進(jìn)一步研究這些類型的再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題。

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Optimal Reinsurance and Investment Policies under Exponential Mean-Reversion Financial Market

LI Qi-cai1, GU Meng-di2

（1. School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University, Nanjing 210023, China;2. Antai College of Economics and Management, Shanghai JiaoTong University, Shanghai 200052, China)

There has been an increasing interest in the use of stochastic optimal control theory in actuarial mathematics. This is due to the fact nowadays the asset-liability management of insurance companies is becoming more and more technical and increasing intertwined with the financial sector. Major insurance companies have opportunity to invest part of their reserves into financial market and take reinsurance to manage and control their exposure to risk. In order to make the best use of these opportunities, they need the techniques of optimal control.

In this paper, claim risk process was modeled by Brownian motion with drift, and the optimization problem was studied of maximizing the exponential utility of terminal wealth under the controls of combining quota-share and excess-of-loss reinsurance and investment. we consider the insurer invests its wealth in exponential mean-reversion stock market. And, the insurer has a choice of reinsuring his claim risk either by a pure quota-share treaty, or by a pure excess of loss treaty or by any combination of the two.

Using stochastic control theory , explicit expressions for the optimal polices and value function are obtained. The first term of optimal investment strategy is analogous to the classical Merton investment policy，which says that it is optimal to invest a fraction in the risky asset proportional to the risk premium per unit risk. The second and the third term of investment strategy adjust the investment behavior according to price level of asset and time respectively. We also show that the optimal excess-of-loss reinsurance is always better than combining quota-share and excess -of-loss reinsurance. And some numerical examples are given.

stochastic control; reinsurance; exponential mean-reversion; utility function

中文編輯：杜 ??；英文編輯：Charlie C. Chen

F 830.91

A

1004-6062(2016)04-0079-06

10.13587/j.cnki.jieem.2016.04.010

2013-06-24

2014-5-05-26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (61304065, 11471165 )；南京師范大學(xué)青藍(lán)工程項(xiàng)目

李啟才(1979—)，男，安徽東至人；南京師范大學(xué)，副教授。研究方向：隨機(jī)控制理論及其應(yīng)用。