胡進峰 薛長飄 李會勇 謝菊蘭

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基于最大似然法的天波超視距雷達相位解污染算法

胡進峰*薛長飄 李會勇 謝菊蘭

(電子科技大學電子工程學院 成都 611731)

電離層解相位污染是天波超視距雷達信號處理的關(guān)鍵技術(shù)之一。由于模型的不準確性和電離層的復雜性，已有算法在污染較大時大多精度不高。該文提出一種基于最大似然法的相位解污染算法。該算法將信號建模為相位多項式，通過最大化似然函數(shù)來實現(xiàn)污染相位的估計。為了避免最大似然法中的矩陣求逆運算，該文進一步將最大似然問題轉(zhuǎn)化為最小二乘問題，利用遺傳算法求解相位系數(shù)。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)算法比較，該文算法具有以下優(yōu)點：相比HRR算法和CED算法，該文算法精度更高，校正后的信號頻譜更加尖銳；在相位污染較大的情況下，該文算法仍具有較高的精度，有利于目標信息的提取；該文算法采用高階多項式，避免分段處理和矩陣求逆，簡化了運算。

天波超視距雷達；電離層；相位污染；最大似然法

1 引言

天波超視距雷達(Over-The-Horizon Radar, OTHR)利用高頻電磁波，經(jīng)過電離層反射自上而下地進行傳播，其目標探測距離最遠可達3500 km，具有重要的戰(zhàn)術(shù)和戰(zhàn)略意義。電離層不穩(wěn)定的相位擾動會造成雷達回波多普勒頻譜展寬，強大的海雜波展寬之后容易掩蓋附近的譜峰，這對艦船等低速目標的檢測非常不利。因此，解電離層相位污染是提高天波超視距雷達目標檢測性能的一個關(guān)鍵因素[4,5]，學者們已對此做了大量研究。但由于在實際情況中，電離層造成的相位污染非常復雜，信號模型存在較多的近似條件，現(xiàn)有算法的研究大多停留在理論階段，在污染較大時精度不夠的問題亟待解決。

國內(nèi)外已有的電離層解相位污染算法主要可以分為3類。第1類算法采用多項式信號(PPS)擬合相位，如多項式相位建模法。此類方法通過相位多項式擬合一段信號求解相位系數(shù)。該方法需要分段處理和預先設(shè)定多項式的階數(shù)，在先驗信息不足時估計性能不好。第2類算法將非線性污染看作是線性的，如最大熵譜估計法(MESA)[11]。這種方法需要相位擾動在短時間內(nèi)近似線性的條件，采用最大熵譜估計法求解每段信號頻率，然后通過內(nèi)插估計污染函數(shù)。由于電離層的非線性，該方法精度不高。第3類算法利用瞬時頻率的定義及其與相位的關(guān)系估計污染頻率，如偽維格納分布法[12]、相位梯度法[13,14]、HRR法[15]和CED法[16]。偽維格納分布法(PWVD)通過Wigner-Ville分布估計每個采樣點的瞬時頻率，在有交叉項時非常敏感。相位梯度法(PGA)求取相鄰采樣點之間的相位梯度，累加得到相位污染函數(shù)，在噪聲干擾比較嚴重時，擴展的Bragg峰在循環(huán)頻移至零頻時誤差較大，且存在較大的累積誤差。HRR(Hankel Rank Reduction)法利用回波時域數(shù)據(jù)構(gòu)造Hankel矩陣并進行SVD分解，該算法需要設(shè)定回波的先驗信息，在條件不足時解污染效果不好。CED(Complex Energy Detection)法基于HRR法提出復數(shù)能量檢測法，利用一階與二階微分算子估計瞬時頻率，在污染較大的情況下有待改進。

結(jié)合目前電離層解污染的研究現(xiàn)狀，本文進一步研究了其中相位多項式階數(shù)的選擇和分段處理等關(guān)鍵問題，提出了一種基于改進的最大似然函數(shù)的解污染算法。該算法將Bragg峰建模為相位多項式，通過最大化信號的似然函數(shù)[17]來實現(xiàn)污染相位的估計。針對傳統(tǒng)最大似然估計中的矩陣求逆運算，本文將似然函數(shù)的最大化問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€“超定”的非線性最小二乘估計最優(yōu)化問題；在此基礎(chǔ)上，利用遺傳算法[18,19]參數(shù)估計精度高的特點求解該最優(yōu)化問題，從而得到一種基于改進的最大似然函數(shù)的相位解污染方法。

與現(xiàn)有算法比較，本文算法的優(yōu)勢主要在于采用相位多項式擬合電離層污染，在相位快變時犧牲階數(shù)以獲得高精度，避免了把信號分段擬合為低階甚至是線性造成的誤差。與分段多次運算相比，本文所提的高階多項式計算量更低。在最優(yōu)化參量的過程中，本文高精度的遺傳算法和最大似然準則保證了解污染的效果。其優(yōu)點具體體現(xiàn)如下：(1)在污染程度嚴重的情況下，本文算法的絕對誤差較小，且受污染參數(shù)的影響不大；(2)相比HRR算法和CED算法，本文算法解相位污染效果更好，校正后的回波信號頻譜更加尖銳，雜波能量更低，更能有效分離慢速目標與Bragg峰；(3)本文算法選取高階相位多項式擬合，減少了分段低階處理的運算量，文中給出階數(shù)的最優(yōu)取法以保證誤差較??；(4)本文算法將似然函數(shù)的最大化問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€“超定”非線性最小二乘估計的最優(yōu)化問題，簡化了高維參數(shù)矩陣的求逆運算；(5)本文算法的理論分析和仿真結(jié)果給工程實現(xiàn)提供了參考依據(jù)。

2 相位解污染問題分析

天波超視距雷達的接收信號經(jīng)過匹配濾波后的離散形式可表示為

其中，()是海雜波信號，()是目標信號，()是接收噪聲，是慢時間系數(shù)，是相干積累時間(CIT)內(nèi)的脈沖數(shù)目。

由于海浪與高頻電磁波的諧振，回波信號頻譜上會產(chǎn)生成對的Bragg峰，其頻率大小為

其中，g為重力加速度，0為雷達工作頻率，為圓周率，c為光速，±分別表示正負Bragg 峰。

回波信號受電離層相位污染后，疊加了非線性相位項，其多普勒頻譜展寬。由于信號頻譜的各個部分均經(jīng)過了同樣的電離層信道，受到相同的電離層污染，因此可以提取能量較強的一個Bragg峰的污染函數(shù)，對整個回波進行相位補償。

首先通過自適應帶通濾波器從回波中濾出一個能量占優(yōu)的Bragg峰，濾出的單個Bragg峰表達為

其中，,b和分別是Bragg峰的幅度，多普勒頻率和初始相位；()是噪聲，是電離層相位污染項；是慢時間系數(shù)，是脈沖重復周期(PRI)，是相干積累時間內(nèi)的脈沖數(shù)目。

其中，,m,分別為相位污染的幅度，調(diào)制頻率和初始相位。

通過式(3)和式(4)可以得出理論瞬時頻率t()的表示為

相位解污染的關(guān)鍵是估計污染瞬時頻率()，從而得到調(diào)制函數(shù)r()，表示為

(6)

其中，()是估計的Bragg峰瞬時頻率。

用校正函數(shù)對回波信號進行校正，得到解相位污染后的信號為

(8)

目前國內(nèi)外的電離層解污染算法最終都求解出式(7)的校正函數(shù)，由式(8)進行相位補償。校正函數(shù)的估計精度越高，算法解污染的效果就越好，提升雷達的目標檢測性能就越明顯。因此，校正函數(shù)的估計精度可以直觀地體現(xiàn)出算法的性能。

3 所提基于最大似然法的解污染算法

首先將式(3)整理為

(10)

污染頻率的估計即轉(zhuǎn)化為多項式相位系數(shù)的估計，本文首先采用最大似然準則來求解各個參量的最優(yōu)化，構(gòu)造信號()的似然函數(shù)為

為簡化計算，將式(11)兩邊分別取負自然對數(shù)，可得

(13)

忽略不影響優(yōu)化的常數(shù)項，得到

(15)

由于天波超視距雷達相干積累時間內(nèi)的脈沖數(shù)目遠遠大于待估參量的個數(shù)，且Bragg峰信號中指數(shù)項非線性，使得最小化式(15)的似然函數(shù)(,)可以看成一個“超定”非線性最小二乘估計的最優(yōu)化問題，從而可以避免傳統(tǒng)最大似然法的矩陣求逆問題，極大地簡化了運算。

固定并以為變量最小化式(15)，可得的最大似然估計為

將式(16)代入式(15)得到

(17)

最小化式(17)則得到相位系數(shù)的最大似然估計：

式(18)是基于非線性最小二乘形式的最大似然估計，該問題可通過非線性優(yōu)化算法來求解。目前已有的非線性優(yōu)化算法主要包括：遺傳算法(Genetic Algorithm)、最大期望算法(Expectation Maximization Algorithm)、模擬退火算法(Simulated Annealing Algorithm)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法(Neural Networks Algorithm)等[20]?？紤]到遺傳算法較高的參數(shù)估計精度，因此本文采用遺傳算法來求解式(18)。通過設(shè)置合適的待估參量初始值和搜索邊界可以增加參數(shù)估計的精確度并降低計算的復雜度[21]。

將式(19)代入式(6)~式(8)可求解電離層相位調(diào)制函數(shù)r()，積分得到污染函數(shù)，取共軛即可對回波信號進行解污染處理。

4 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)仿真結(jié)果表明：(1)在污染頻率和幅度固定時，本文算法的精度高于HRR算法[15]和CED算法[16]，解污染效果更好；(2)在污染頻率和幅度改變時，絕對誤差都比前兩個算法小，且受污染參數(shù)增量的影響更小，解污染性能更好；(3)隨著階數(shù)的增加，本文算法的誤差逐漸變得很小并趨于穩(wěn)定；(4)本文算法可以有效結(jié)合實際OTHR回波，對添加的相位污染進行校正。

本文仿真采用文獻中廣泛使用的電離層相位污染函數(shù)，其形式如式(4)所示，該相位污染對應的理論真實瞬時頻率如式(5)所示。其中m代表理論頻率的幅度，m代表相位變化的快慢。仿真中，雷達工作頻率、脈沖重復周期、采樣點數(shù)選擇為常用的天波超視距雷達參數(shù)；Bragg峰頻率、幅度是模擬常見海態(tài)下的海雜波；目標多普勒頻率、幅度是模擬一航速合為35 km/h的運輸艦船；信噪比用于仿真生成噪聲。以上參數(shù)值的選擇均符合實際情況，表1是仿真所用參數(shù)。

表1 仿真參數(shù)

雷達工作頻率fc10 MHz 脈沖重復周期T0.1 s 采樣點數(shù)K512 信噪比SNR20 dB Bragg峰頻率fb±0.32 Hz Bragg峰幅度b2 目標多普勒頻率fd0.65 Hz 目標幅度a0.3

4.1 解污染效果對比分析

下面仿真結(jié)果表明，與HRR算法[15]和CED算法[16]相比，本文在典型的相位污染頻率和幅度下，具有更高的估計精度，污染校正效果更顯著。

圖1是未添加相位污染的接收信號頻譜。從圖中可以清晰地看到位于±0.32 Hz左右的兩個Bragg峰，以及位于0.65 Hz左右的低速目標。由于未受電離層相位污染，回波頻譜沒有擴展，Bragg峰與低速目標的頻譜是分開的，可以檢測出目標。

圖2是添加污染頻率m為0.05 Hz，幅度為2，初始相位為的相位污染后的接收信號頻譜。從圖中可以看出，頻譜中的所有譜峰均被展寬。高能量的海雜波展寬后，掩蓋了正Bragg峰旁邊的低速目標，導致其無法被檢測。圖2較好地模擬了實際天波雷達的回波信號，以下3個算法解污染的仿真都是基于圖2的回波數(shù)據(jù)。

圖3是HRR算法解相位污染之后的信號頻譜。在一定程度上抑制了Bragg峰頻譜擴展，但解污染后的目標位置的幅度太低，未能與Bragg峰明顯分離，不能被有效檢測；從圖中可以看出，在- 0.65 Hz的位置還出現(xiàn)了虛假目標。

圖1 相位污染前的頻譜??????圖2 相位污染后的頻譜??????圖3 HRR算法解污染后的頻譜

圖4是CED算法解相位污染之后的信號頻譜。Bragg峰和目標得到一定的銳化，但旁邊仍存在較多毛刺。從圖中可以看出，在幅度最高的正負Bragg峰旁出現(xiàn)了若干幅度與目標位置相當?shù)男〖夥澹瑯O大地影響了低速目標的檢測。

圖5是本文算法解相位污染之后的信號頻譜。解污染后的譜峰變的非常尖銳和清晰，旁邊沒有多余的雜波，正Bragg峰和添加的目標能夠清楚的分開，幾乎還原了添加相位污染以前的信號頻譜。對比HRR算法與CED算法，本文算法的相位解污染效果更加明顯。

為了更直觀地對比以上3種算法的精度，下面分別給出其污染函數(shù)曲線和絕對誤差曲線。由于估計的相位存在較多的毛刺，而平滑不影響統(tǒng)計誤差，以下污染曲線均采用平滑后的結(jié)果。圖中去掉了Bragg峰本身的相位，只比較余弦污染導致的相位擾動。

圖6是HRR算法估計的污染相位函數(shù)，圖7是CED算法估計的污染相位函數(shù)，圖8是本文算法估計的污染相位函數(shù)。從圖中可以看出，HRR算法與CED算法的估計曲線均有一定程度的偏差，而本文算法的估計曲線幾乎與真實的相位污染曲線重合。

圖9是3種算法的絕對誤差對比曲線。計算可以得到其統(tǒng)計絕對誤差按照圖例的順序分別為0.0578, 0.3915, 0.5034；統(tǒng)計相對誤差分別為0.0454, 0.3075, 0.3954。

根據(jù)本小節(jié)的仿真結(jié)果可以得出結(jié)論：在典型的污染頻率和幅度下，本文算法的誤差比HRR算法與CED算法更小，解污染效果更明顯。

4.2 解污染性能對比分析

圖10是3種算法的絕對誤差與污染頻率m的關(guān)系，圖11是3種算法的絕對誤差與污染幅度的關(guān)系。本小節(jié)仿真均保持理論頻率的幅度和信噪比不變，使絕對誤差曲線可以等價為相對誤差的變化趨勢。從圖中可知，隨著污染頻率和幅度的增加，HRR算法[15]和CED算法[16]的誤差有明顯地增加，本文算法的誤差增加十分緩慢。其原因是HRR法利用回波時域數(shù)據(jù)構(gòu)造Hankel矩陣，進行SVD分解，需要提前設(shè)定矩陣維數(shù)，先驗信息與污染參數(shù)不能準確對應；CED算法采用復數(shù)能量檢測法，將信號建模為調(diào)幅-調(diào)頻的形式，利用一階與二階微分算子估計瞬時頻率，且采用了平滑處理，受污染程度影響較大。本文算法受污染參數(shù)的影響不大是由于高階多項式精確地擬合了相位復雜的變化，高精度的遺傳算法和經(jīng)典的最大似然準則保證了估計的性能。在時，即沒有相位污染的情況，此時估計誤差是由噪聲造成的。20 dB的信噪比符合天波雷達的實際性能，因此噪聲帶來的影響相對于污染調(diào)制頻率帶來的影響是很小的。在,時的解污染效果已在4.1節(jié)給出，對比可以證明當污染參數(shù)變大時，HRR算法和CED算法性能降低，而本文算法在電離層污染較嚴重時誤差依然較小，解污染性能更好。

4.3 階數(shù)對本文算法性能的影響

本文將海雜波Bragg峰信號建模為典型的相位多項式模型，在仿真中相位階數(shù)的選擇是影響估計精度的一個重要因素。在采用多項式相位信號的一類最新文獻[6-10]中，廣泛使用低階相位函數(shù)分段擬合Bragg峰。本文利用高階相位函數(shù)擬合，雖增加了多項式次數(shù)，但避免了分段多次處理，在不降低精度的前提下極大地簡化了運算。

圖12給出了污染參數(shù)和信噪比取固定值時絕對誤差隨階數(shù)變化的曲線。從圖中可以看出，階數(shù)較低時，絕對誤差較大，這是由低階多項式擬合余弦函數(shù)的不準確性造成的；隨著階數(shù)的增加，絕對誤差逐漸下降；階數(shù)取值為11時，絕對誤差趨于穩(wěn)定值。在4.1小節(jié)的仿真中，階數(shù)。由此可見，在不同污染參數(shù)的條件下，階數(shù)只需取到一個對應的有限值，即能使絕對誤差足夠小，保證相位解污染的效果理想。此外，由多項式高階和階數(shù)試探帶來的計算量遠小于分段低階處理的計算量，在非線性優(yōu)化算法中只需設(shè)置一次相位系數(shù)的初始值和搜索邊界，避免了運算的多次重復。

圖4 CED算法解污染后的頻譜?????圖5 本文算法解污染后的頻譜?????圖6 HRR算法的相位污染

圖7 CED算法的相位污染?????圖8 本文算法的相位污染?????圖9 3種算法的絕對誤差

圖10 3種算法絕對誤差與污染頻率的關(guān)系??圖11 3種算法絕對誤差與污染幅度的關(guān)系??圖12 絕對誤差與階數(shù)的關(guān)系

4.4 應用實例

本小節(jié)利用天波超視距雷達實測數(shù)據(jù)對本文算法進行實例驗證。由于HRR算法和CED算法等大多數(shù)算法不具備實測處理先驗條件，本小節(jié)不做比較。下文中采用的數(shù)據(jù)來自于某部實際天波雷達，其工作頻率為18.3 MHz，帶寬為1 MHz，脈沖重復周期為0.012 s，脈沖積累個數(shù)為512。

圖13是數(shù)據(jù)中某個距離單元回波信號的頻譜。位于約0 Hz處的是海雜波峰，位于約23.6 Hz處的是一已知目標。由于相干積累時間較短，多普濾分辨率較低，導致正負Bragg峰交疊在一起；另一方面，短的相干積累時間使得電離層附加的相位污染近似線性且很小，引起的多普勒展寬并不明顯[22]。因此，本小節(jié)仿真對該數(shù)據(jù)添加較明顯的相位污染以比較算法校正前后的效果。

圖14是添加了快變大幅度相位污染后的信號頻譜。從圖中可以看出，海雜波峰與目標頻譜都被很大程度地展寬，目標信息很難獲取。

圖15是本文算法解相位污染后的信號頻譜。從圖中可以看出，經(jīng)過校正后的污染回波譜能量集中，海雜波銳化十分明顯，目標信號的污染相位得到補償校正，目標信息的提取變得容易。

圖13 實測數(shù)據(jù)原始頻譜?????圖14 添加污染后的頻譜?????圖15 解污染后的頻譜

本小節(jié)的仿真結(jié)果說明了所提算法可有效實現(xiàn)基于天波超視距雷達實測數(shù)據(jù)的余弦調(diào)制相位污染。

5 結(jié)束語

本文針對天波超視距雷達電離層相位解污染問題，首次引入最大似然思想，推導出一種新算法。該算法通過最大化似然函數(shù)求解污染頻率，并將信號最大似然問題轉(zhuǎn)變?yōu)樽钚《斯烙媶栴}，從而得到一個基于改進最大似然法的相位解污染算法。本文給出了仿真結(jié)果表明，相比HRR算法和CED算法，本文算法對污染相位的估計精度更高，更能有效銳化譜峰，更能顯著提升目標檢測性能。在污染程度較大的情況下，本文算法的誤差更小且受污染參數(shù)的影響不大。本文還給出了選擇合適階數(shù)的方法，避免了分段處理，在滿足階數(shù)條件時可以保證誤差足夠小。最后，本文的仿真結(jié)果給實際工程中的相位解污染提供了參考。

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胡進峰： 男，1976年生，副教授，主要研究方向為相控陣與自適應處理、超視距雷達信號處理、隨機信號雷達.

薛長飄： 男，1991年生，碩士生，研究方向為超視距雷達信號處理.

李會勇： 男，1975年生，副教授，主要研究方向為陣列信號處理與自適應信號處理.

謝菊蘭： 女，1981年生，副教授，主要研究方向為自適應信號處理、數(shù)字波束形成技術(shù)和共形陣DOA估計.

Ionospheric Decontamination Algorithm Based on Maximum-likelihood Method in Over-the-horizon Radar

HU Jinfeng XUE Changpiao LI Huiyong XIE Julan

(,,611731,)

Ionospheric phase decontamination is a key technology in signal processing of sky-wave Over-The- Horizon Radar (OTHR). Due to the inaccuracy of the models and the complexity of the ionosphere, the accuracy of the existing algorithms is not satisfactory when the phase changes too fast. A new ionospheric phase decontamination algorithm is proposed based on the Maximum-Likelihood (ML) method. In this algorithm, the signal is modeled as a phase polynomial, and estimation of the perturbation phase is achieved by maximizing the likelihood function. To avoid matrix inversion in the ML method, the ML issue isfurther transformed to a least-squares issue. The coefficients of phase are solved by the genetic algorithm. The simulation results show that, compared with the traditional methods, the proposed algorithm has the following advantages: compared with the HRR algorithm and the CED algorithm, the algorithm proposed in this paper has higher accuracy, and the signal spectrum after decontamination is more sharp. Under the situation of serious phase contamination, the proposed algorithm still has higher precision, accordingly, the proposed algorithm is more advantageous toextract the target information. This algorithm adopts higher-order polynomials, which avoids segmented processing and computing the inverse of matrix, thus the computation process is simplified.

Over-The-Horizon Radar (OTHR); Ionospheric; Phase contamination; Maximum-Likelihood (ML) method

TN958.93

A

1009-5896(2016)12-3197-08

10.11999/JEIT160041

2016-01-13；改回日期：2016-10-28；

2016-11-16

胡進峰 hujf@uestc.edu.cn

國家自然科學基金(61101172, 61301262, 61371184)

The National Natural Science Fundation of China (61101172, 61301262, 61371184)