李文娟 顧 紅 蘇衛(wèi)民

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基于多伯努利概率假設密度的擴展目標跟蹤方法

李文娟 顧 紅*蘇衛(wèi)民

(南京理工大學電子工程與光電技術學院 南京 210094)

高分辨率雷達系統中，擴展目標一般會產生多個量測?，F有隨機有限集(RFS) 類算法一般假定擴展目標的量測數目服從泊松分布，然而這個假設與實際情況不符。針對這一問題，該文提出一種多伯努利擴展目標概率假設密度(MB-ET-PHD)跟蹤算法。該算法首先假設擴展目標的量測數目服從多伯努利分布，然后通過有限集統計(FISST)理論的多目標微積分推導得到校正等式，最后給出了高斯混合(GM)框架的仿真結果。仿真結果表明該算法能夠獲得比泊松ET-PHD算法更好的跟蹤性能。

擴展目標跟蹤；概率假設密度；多伯努利

1 引言

在傳統目標跟蹤問題中，一個目標每個時刻最多產生一個量測。然而，在一些高分辨雷達中，一個目標會占據多個分辨單元，這種目標被稱為擴展目標。在擴展目標跟蹤問題中，令人感興趣的是對擴展目標的量測數目建模。文獻[1]提出擴展目標的量測數目服從泊松分布的假設，一個擴展目標產生任意數目的量測且量測互相獨立?；诖思僭O，Mahler[2]提出一種泊松擴展目標概率假設密度(Extended Target Probability Hypothesis Density, ET-PHD)濾波算法。PHD濾波是一種新穎的隨機有限集(Random Finite Set, RFS)多目標跟蹤方法。與傳統算法相比，PHD濾波方法易于統籌管理，避免了大量的數據關聯。文獻[9,10]給出了泊松ET-PHD的高斯混合(Gaussian Mixture, GM)濾波器實現方法，并提供了一種將未標記的量測集分成幾個子集的方法，每個子集的所有量測應當來自同一個目標或者雜波?；诓此蒃T-PHD的濾波算法，擴展目標的其他擴展信息，如形狀和大小等，的建模和估計都是近年來擴展目標跟蹤的研究熱點。

擴展目標占據多個分辨單元，不是每個單元都能被雷達檢測出量測。為了便于表述，目標占據的單元總數稱為量測總數。對于靜止的擴展目標，其量測總數由雷達的分辨率和目標的大小決定。每個時刻目標產生小于或者等于量測總數的量測數目?，F有文獻假設擴展目標的量測數目服從泊松分布，泊松分布是多伯努利分布在擴展目標的量測總數趨于無窮大，檢測概率趨于無窮小的極限情況下近似得到的一種分布。然而，在實際應用中，擴展目標的量測總數有限，不可能趨于無窮大，這個擴展目標的量測數目服從泊松分布的假設顯然與實際情況不符。針對這一問題，本文提出多伯努利擴展目標概率假設密度濾波(Multi-Bernoulli ET-PHD, MB-ET-PHD)算法。該算法假設擴展目標量測數目服從多伯努利分布，利用有限集統計(FInite Set STatistics, FISST)理論中的多目標微積分推導得出MB-ET-PHD的更新等式，并給出在高斯混合框架下的仿真結果。仿真實驗驗證了算法的有效性和比泊松ET-PHD算法更好的跟蹤性能。

2 研究背景

2.1 多目標狀態(tài)和量測

考慮多目標場景下的目標跟蹤問題。對于多目標狀態(tài)，排列無序且目標數目未知。對于接收到的量測，量測的排列是無序和隨機的，且來源(雜波或者目標)未知。而多目標跟蹤的目的是從未知來源和未標記的量測集中聯合估計目標的數目和狀態(tài)。

為了描述多目標跟蹤中的不確定性，用RFS表示多目標狀態(tài)集和量測集，其中，和分別是所有子集和的集合，目標和量測數目分別為和。是時刻的第個目標的運動狀態(tài)矢量，和分別是目標的位置坐標和速度信息，是時刻的第個量測矢量，是量測在笛卡爾坐標系下的坐標信息。

2.2 泊松ET-PHD濾波器

對于擴展目標跟蹤問題，現有PHD濾波算法假設擴展目標的量測數目服從泊松分布。與傳統濾波算法相同，泊松ET-PHD濾波算法分為預測等式和更新等式。假設存活概率和檢測概率與目標狀態(tài)無關，即，那么時刻的泊松ET-PHD濾波預測等式和更新等式[9,10]分別為

(2)

為了更好地理解式(2)，假設某一時刻的量測集只有3個元素。那么，最多存在5種分類情況，分別為

(4)

2.3 量測數目模型

與擴展目標的量測數目模型不同，雜波的量測數目應該假設服從泊松分布。跟蹤場景的每個分辨單元都有可能檢測出雜波。一些高分辨雷達的分辨單元總數可達到108的數量級，每個分辨單元的虛警概率又很小。當很大，概率很小時，兩者的乘積是一個常值，這是多伯努利分布的一種極限情況，稱為泊松分布。因此，可以假設雜波的量測數目在空間上服從泊松分布。

然而，現有泊松ET-PHD濾波算法假設擴展目標的量測數目服從泊松分布，這顯然與實際情況不符。因為與整個跟蹤場景的分辨單元數相比，每個擴展目標占據的分辨單元有限，不可能趨于無窮大。所以，假設擴展目標的量測數目服從泊松分布是不妥的。

為了對擴展目標和雜波的量測數目建模，引入RFS理論中一個重要的基本統計描述符：概率生成泛函(Probability Generating Functional, PGFL)。假設是狀態(tài)空間上的多目標RFS，那么的PGFL定義[3]為，其中，是隨機有限集的概率密度函數，是關于矢量的檢測函數。當，；否則，。

多伯努利分布的PGFL[3]為，其中，,是關于矢量的檢測函數，是擴展目標的量測總數。泊松分布的PGFL[3]為，其中是期望平均量測數目。

3 MB-ET-PHD濾波算法推導

由于MB-ET-PHD濾波算法的預測等式與泊松ET-PHD相同，見式(1)，下面僅討論更新步驟的公式推導。

引理1

(8)

引理2

(10)

證明 根據文獻[3]，多擴展目標的校正等式的PGFL是

將式(6)代入式(11)即可得到引理2。 證畢

定理1 MB-ET-PHD的更新等式為

證明 對式(9)求導，得到

(14)

將PHD的量測更新[3]代入式(15)，可得定理1。定理1的隱含條件為，為了保證階乘的非負性，用取代中的，即

(16)

4 實驗結果與分析

實驗1和實驗2分別在線性系統和非線性系統下比較本文算法和泊松ET-PHD的目標估計數目和最佳子模式分配(Optimal SubPattern Assignment, OSPA)距離誤差。兩種濾波器保持真實航跡數據和算法參數不變，蒙特卡羅仿真100次，每次仿真的觀測數據獨立產生。假設存活概率和檢測概率與目標狀態(tài)無關，即，檢測概率。實驗1和實驗2均采用ET-PHD濾波的高斯混合實現方法，高斯分量的修剪閾值，合并閾值，以及最大分量數目。其中，實驗2采用不敏卡爾曼(Unscented Kalman, UK)和PHD相結合的濾波器進行仿真實驗。

實驗1考慮線性系統的多目標運動場景 線性系統的動態(tài)方程和量測方程分別為和。其中，表示采樣時刻，是系統轉移矩陣，是過程噪聲，其協方差為是量測矩陣，是量測噪聲，和是2維的單位矩陣和全零矩陣，采樣間隔s,和分別是過程噪聲和測量噪聲的協方差，過程噪聲的標準差m/s2，測量噪聲的標準差m/s2。在一個[-1000 1000] m×[-1000 1000] m的2維仿真場景中，目標運動的最大時間為100 s。雜波強度為,m-2。場景中目標的新生和死亡發(fā)生在不同的時間和地點，場景中最多同時存在10個目標，目標的軌跡如圖1所示。分別有8個目標與其他目標空間鄰近，目標兩兩鄰近，且鄰近的兩個目標量測總數分別為10和30，具體如下：從第41 s到80 s，兩個目標平行同向運動，任意時刻縱坐標只相差10 m。在第51 s和第64 s，目標軌跡發(fā)生交叉。在第71 s，產生一個衍生目標。衍生目標的強度為，其中，。剩余目標的量測總數均為10。新生目標的強度為

其中,

假設在整個運動過程中，每個目標的量測總數不隨時間變化。量測、真實目標位置和MB-ET-GM- PHD濾波器的估計值如圖2所示。濾波估計結果表明MB-ET-GM-PHD濾波算法能夠正確跟蹤多個目標。為了更好地評估本文算法，實驗1分別在不同雜波強度、不同檢測概率以及時變的量測總數情況下比較本文算法與泊松ET-GM-PHD濾波算法的跟蹤性能。

假設每個目標的量測總數保持不變，檢測概率為0.9。當雜波強度不同時，兩種算法的目標估計數目和OSPA誤差距離如圖3所示(從上到下，相應的雜波數目分別是10, 30, 50)。可以發(fā)現以下幾點：(1)隨著雜波強度不斷增大，MB-ET-GM-PHD算法的目標數目估計和OSPA誤差幾乎不受影響。相反，泊松ET-GM-PHD算法的OSPA誤差距離有小幅度的增長；(2)除目標空間鄰近時刻外，兩種算法的跟蹤性能相差不大；(3)當不同大小的目標空間鄰近時，MB-ET-GM-PHD算法的目標數目估計更為準確，OSPA誤差更小。

假設每個目標的量測總數保持不變，雜波數目為10，圖4給出了兩種濾波算法在不同檢測概率下的目標數目估計和OSPA誤差距離?？梢钥闯?，當兩個大小不一的目標靠的很近時，不管檢測概率如何變化，MB-ET-GM-PHD算法的跟蹤性能總是比泊松ET-GM-PHD算法好；當檢測概率從0.9降低到0.7時，兩種濾波算法的OSPA誤差幅度變化不大；當檢測概率較低(0.5)時，兩種濾波算法的目標數目估計和OSPA距離均增大。究其原因，這兩種濾波算法都依賴于目標的量測數目，當檢測概率較低，檢測到的屬于目標的量測數目較少，從而導致兩種濾波算法的跟蹤性能降低。

圖1線性系統的目標真實軌跡????????圖2 量測、真實目標位置和本文算法的估計值

圖4 線性系統不同檢測概率下兩種算法的跟蹤性能對比

在實際應用中，目標的量測總數隨著時間不斷變化，與目標的徑向距離和目標的大小有關。對于一個確切的目標，它的量測總數只跟徑向距離有關，即。檢測后的量測數目小于或者等于量測總數，其量測數目是隨機的，相應的平均期望是量測總數和檢測概率的乘積。為了清楚明白地展示兩種算法在量測總數隨時間不斷變化時的跟蹤性能，只選擇跟蹤在第64 s交叉的兩個目標。這兩個目標軌跡不同，但任意時刻的徑向距離和量測總數均相同。兩個目標分別運行100 s，隨徑向距離變化的量測總數函數為

兩種算法的目標數目估計和OSPA距離如圖5所示。可以看出，當兩個大小相同的目標相距較遠時，兩種算法都能夠獲得準確的目標數目估計和相差不大的OSPA距離。在兩個大小相同的目標空間鄰近時刻附近，兩種算法均高估目標的數目，這是合乎情理。因為，當兩個目標靠的很近而且量測總數相同時，每個目標對應的高斯分量有兩個較大權值，濾波器無法取舍，從而高估目標數目。

目標的真實軌跡如圖6所示，目標運動的最大時間為50 s。，目標的起始位置和終止位置分別用圓圈和方形表示。場景中最多同時存在6個目標，在第30 s兩個大小不一的目標相遇，其量測總數分別是10和20。其余目標目標的量測總數為20。

圖5 線性系統下量測總數時變時兩種算法的跟蹤性能???????圖6 非線性系統的目標真實軌跡

假設沒有衍生目標，新生目標的強度為

圖7 非線性系統不同雜波強度下兩種算法的OSPA距離??圖8 非線性系統不同檢測概率下兩種算法的OSPA距離

事實上，兩種算法唯一不同的是校正器(式(2)和式(12))，算法復雜度相差不大。在雜波數目為10，檢測概率為0.9且目標的量測總數不變的條件下，MB-ET-GM-PHD算法和泊松ET-GM-PHD算法在線性系統下的蒙特卡羅平均運算時間分別是15.79 s和15.97 s，在非線性系統下的蒙特卡羅平均運算時間分別是3.47 s和3.30 s。綜合實驗1和實驗2，可以得出以下結論：不論線性系統還是非線性系統，對于空間鄰近的不同大小的目標，MB-ET- GM-PHD算法的跟蹤性能比泊松ET-GM-PHD的更好。對于相隔較遠的多目標、空間鄰近的相同大小的目標或者量測總數時變的目標，在相同的檢測概率和雜波強度下，MB-ET-GM-PHD算法和泊松ET-GM-PHD的跟蹤性能差距不大。

5 結束語

針對現有擴展目標量測數目的泊松模型與實際情況不符的問題，本文提出了一種基于新的量測數目模型的MB-ET-PHD濾波算法。該算法通過引入多伯努利分布對擴展目標的量測數目建模，利用FISST多目標微積分和PHD濾波器推導得到MB-ET-PHD的更新等式。仿真結果表明，相比于泊松ET-PHD多目標跟蹤算法，MB-ET-PHD算法的目標數目估計更為準確，OSPA距離誤差更小，跟蹤空間鄰近目標的能力更強。

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李文娟： 女，1990年生，博士生，研究方向為場面監(jiān)視雷達信號處理、目標跟蹤與識別.

顧 紅： 男，1967年生，教授，博士生導師，主要研究方向為雷達信號處理、噪聲雷達體制、稀疏陣列信號處理.

蘇衛(wèi)民： 男，1959年生，教授，博士生導師，主要研究方向為陣列信號處理、雷達成像.

Extended Target Tracking Method Based on Multi-Bernoulli Probability Hypothesis Density

LI Wenjuan GU Hong SU Weimin

(,,210094,)

Extended targets usually generate multiple measurements in high resolution radar systems. Existing algorithms of the Random Finite Set (RFS) assume that the measurement number of extended targets follows Poisson distribution in a general way. However, this assumption is inconsistent with actual situations. Considering this issue, a Multi-Bernoulli Extended Target Probability Hypothesis Density (MB-ET-PHD) tracking method is proposed. First, this method assumes that the measurement number of extended targets is Multi-Bernoulli (MB) distributed. Then, its update equation is derived by using the FInite Set STatistics (FISST) multi-target calculus. Finally, simulated results of Gaussian Mixture (GM) framework are given. The simulation results show that the proposed method can obtain better tracking performance compared with the Poisson ET-PHD method.

Extended target tracking; Probability Hypothesis Density (PHD); Multi-Bernoulli (MB)

TN953

A

1009-5896(2016)12-3114-08

10.11999/JEIT160372

2016-04-18；改回日期：2016-08-25；

2016-10-21

顧紅 guhongjust@163.com

國家自然科學基金(61471198)

The National Natural Science Foundation of China (61471198)