蔣俊正 江 慶 歐陽繕

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一種設(shè)計(jì)近似完全重構(gòu)非均勻余弦調(diào)制濾波器組的新算法

蔣俊正*江 慶 歐陽繕

(桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院 桂林 541004)

該文提出了一種設(shè)計(jì)近似完全重構(gòu)非均勻余弦調(diào)制濾波器組的新算法。針對(duì)現(xiàn)有合并算法中非均勻?yàn)V波器組性能無法直接控制優(yōu)化的缺點(diǎn)，新算法把非均勻?yàn)V波器組的設(shè)計(jì)問題歸納為一個(gè)關(guān)于原型濾波器的無約束優(yōu)化問題，其中目標(biāo)函數(shù)是非均勻?yàn)V波器組傳遞失真與原型濾波器阻帶能量的加權(quán)和，最后利用線性迭代算法求解該優(yōu)化問題。理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，新算法獲得的非均勻余弦調(diào)制濾波器組比現(xiàn)有算法設(shè)計(jì)的濾波器組整體性能更佳。

非均勻?yàn)V波器組；余弦調(diào)制；近似完全重構(gòu)；線性迭代算法；無約束優(yōu)化

1 引言

多速率濾波器組在自適應(yīng)濾波、語音圖像編碼和圖像處理等方面取得了廣泛的應(yīng)用。設(shè)計(jì)一般的濾波器組需優(yōu)化所有分析濾波器和綜合濾波器，而調(diào)制濾波器組只需優(yōu)化設(shè)計(jì)原型濾波器，這大大降低了設(shè)計(jì)的復(fù)雜度。調(diào)制濾波器組目前主要有兩類，分別是余弦調(diào)制濾波器組[3,16]和離散傅里葉變換調(diào)制濾波器組[2,8,14,15,17]。兩種調(diào)制濾波器組相比較而言，余弦調(diào)制濾波器組是余弦調(diào)制而來，更適用于處理實(shí)值信號(hào)。

發(fā)展至今，余弦調(diào)制濾波器組的研究成果主要集中于設(shè)計(jì)均勻?yàn)V波器組。然而實(shí)際應(yīng)用中需要具備非均勻頻率劃分特性的濾波器組，即非均勻?yàn)V波器組。比如在圖像去噪中需要對(duì)圖像頻譜進(jìn)行非均勻的合理劃分從而更有效地實(shí)現(xiàn)噪聲去除[9]。文獻(xiàn)[10]首次提出通道非均勻正交鏡像濾波器組的概念與構(gòu)造。文獻(xiàn)[11]創(chuàng)新性地提出通過合并均勻?yàn)V波器組來實(shí)現(xiàn)非均勻?yàn)V波器組的理論，這是非均勻?yàn)V波器組設(shè)計(jì)的一大進(jìn)步。文獻(xiàn)[12]利用子帶合并的方式成功構(gòu)建了近似完全重構(gòu)的非均勻余弦調(diào)制濾波器組，然而他們的設(shè)計(jì)算法是先獲得均勻?yàn)V波器組后直接進(jìn)行子帶合并，導(dǎo)致非均勻?yàn)V波器組的性能是由所給均勻?yàn)V波器組所完全決定。文獻(xiàn)[13]在文中利用凱瑟窗函數(shù)法獲得3 dB截止頻率為的原型濾波器后，同樣也是通過直接合并的方式獲得非均勻?yàn)V波器組。文獻(xiàn)[18]采用樹結(jié)構(gòu)的方式構(gòu)建非均勻?yàn)V波器組，但這種結(jié)構(gòu)存在自身的缺陷：所獲得的非均勻?yàn)V波器組系統(tǒng)延遲較長(zhǎng)。文獻(xiàn)[19]討論了一種基于直接合并的方法來構(gòu)建完全重構(gòu)的非均勻?yàn)V波器組的設(shè)計(jì)算法，但是該算法需要增加額外的調(diào)制模塊來消除因合并通道時(shí)產(chǎn)生的虛假頻率響應(yīng)。

為了解決現(xiàn)有合并算法中非均勻?yàn)V波器組性能無法直接控制優(yōu)化的不足，本文將非均勻?yàn)V波器組的設(shè)計(jì)問題歸納為一個(gè)關(guān)于原型濾波器的四次無約束優(yōu)化問題，通過優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)來直接控制非均勻?yàn)V波器組性能。眾所周知，直接求解一個(gè)關(guān)于原型濾波器四次的目標(biāo)函數(shù)是比較困難的，因此本文采用線性迭代算法來求解該問題。通過先給定一個(gè)最初原型濾波器，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為關(guān)于原型濾波器的凸二次函數(shù)后，迭代求解原型濾波器。對(duì)于多載波調(diào)制系統(tǒng)[17]，超高速數(shù)字傳輸系統(tǒng)[20]等應(yīng)用而言，希望濾波器組系統(tǒng)的重構(gòu)誤差盡可能的小。在系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)中，普遍認(rèn)為重構(gòu)誤差應(yīng)小于量化誤差，這樣系統(tǒng)的應(yīng)用就不會(huì)受到自身重構(gòu)特性的影響。例如，多載波調(diào)制系統(tǒng)[17]將重構(gòu)誤差的上限設(shè)置為小于。通過仿真實(shí)驗(yàn)可得，本文算法獲得的非均勻?yàn)V波器組比現(xiàn)有算法設(shè)計(jì)所得的濾波器組重構(gòu)誤差更小，可達(dá)量級(jí)，能夠完全滿足應(yīng)用要求。

2 非均勻余弦調(diào)制濾波器組的基本理論

圖1 K通道非均勻?yàn)V波器組的一般結(jié)構(gòu)

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]所提出的等價(jià)原理，非均勻余弦調(diào)制濾波器組可以通過直接合并均勻余弦調(diào)制濾波器組的子帶獲得，合并公式為

(4)

(6)

下面建立非均勻余弦調(diào)制濾波器組的子帶濾波器與原型濾波器的函數(shù)關(guān)系。令為原型濾波器的系數(shù)，其頻率響應(yīng)為，其中,為虛數(shù)單位。根據(jù)式(3)-式(6)，我們可以得出非均勻余弦調(diào)制濾波器組的分析濾波器和綜合濾波器與原型濾波器的關(guān)系式為

(8)

其中，

(10)

結(jié)合式(2)，式(7)和式(8)，我們可以得出非均勻余弦調(diào)制濾波器組傳遞函數(shù)與原型濾波器的關(guān)系式，即

(12)

一個(gè)完全重構(gòu)的濾波器組必須滿足條件：濾波器組的傳遞函數(shù)為一個(gè)純延遲且混疊失真為零。當(dāng)上述條件近似成立時(shí)，濾波器組是近似完全重構(gòu)的。在實(shí)際應(yīng)用中，近似完全重構(gòu)的濾波器組比完全重構(gòu)的濾波器組擁有更佳的性能[14]，且計(jì)算的復(fù)雜度更低，因此本文研究近似完全重構(gòu)的非均勻余弦調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)。

3 非均勻余弦調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)

在調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)中通常需要關(guān)注濾波器組的重構(gòu)特性和原型濾波器的頻率特性。衡量濾波器組重構(gòu)特性的指標(biāo)是重構(gòu)誤差，由傳遞失真和混疊失真聯(lián)合決定；衡量原型濾波器頻率特性的性能指標(biāo)有原型濾波器的通帶平坦性和阻帶衰減[15]。

考慮到濾波器組的混疊失真是關(guān)于原型濾波器的復(fù)雜非線性函數(shù)，直接控制較為困難，一般用原型濾波器的阻帶能量來間接控制，阻帶能量的表達(dá)式為

小的傳遞失真和低的阻帶能量可以保證獲得整體性能較好的濾波器組。因此本文將非均勻?yàn)V波器組的設(shè)計(jì)問題歸納為一個(gè)無約束的優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)就是非均勻?yàn)V波器組傳遞失真和原型濾波器阻帶能量的加權(quán)和，表示為

(15)

(17)

(19)

第1步 初始化原型濾波器，即設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)度為的低通濾波器；

相比于文獻(xiàn)[12]算法采用直接合并的方法，本文算法增加了一個(gè)優(yōu)化過程，計(jì)算量有所增加。本文中，通過迭代方法來設(shè)計(jì)一個(gè)整體性能良好的原型濾波器，單步迭代中原型濾波器有閉式解，計(jì)算復(fù)雜度來源于單步迭代中的計(jì)算量，包括矩陣求逆和矩陣-向量相乘，以及向量和矩陣的計(jì)算量?？傮w而言，所增加的計(jì)算復(fù)雜度較小。

另外，類似于文獻(xiàn)[15]中算法，本文采用的線性迭代算法是一種修正牛頓法?？梢宰C明，本文算法是收斂的[15]。

4 仿真結(jié)果與分析

在這一小節(jié)將給出本文算法與現(xiàn)有算法的仿真對(duì)比，所有的仿真都在相同的運(yùn)行環(huán)境下進(jìn)行。

例1 設(shè)計(jì)一個(gè)非均勻余弦調(diào)制濾波器組：，分別采用文獻(xiàn)[12]算法和本文方法設(shè)計(jì)。在文獻(xiàn)[12]算法，通過子帶合并的方式將一個(gè)均勻?yàn)V波器組轉(zhuǎn)換成一個(gè)非均勻?yàn)V波器組。其中，均勻?yàn)V波器組采用文獻(xiàn)[16]中的算法設(shè)計(jì)，通道數(shù)為16，原型濾波器長(zhǎng)度為256。在本文設(shè)計(jì)算法中，其相關(guān)參數(shù)為，采用直接優(yōu)化的方式來設(shè)計(jì)該非均勻?yàn)V波器組。為了比較的公平性，本文算法迭代所用的初始濾波器，與文獻(xiàn)[12]算法用于合并的均勻?yàn)V波器組的原型濾波器相同。圖2和圖3分別給出了兩個(gè)非均勻余弦調(diào)制濾波器組的原型濾波器的幅度響應(yīng)和分析濾波器組的幅度響應(yīng)。從圖2可以看出本文算法與文獻(xiàn)[12]算法所得的原型濾波器都具有較好的頻率特性，具有高的阻帶衰減，小的通帶波動(dòng)。圖3說明了非均勻余弦調(diào)制濾波器組的每個(gè)分析濾波器都保留了原型濾波器良好的頻率特性。圖4給出了本文算法的目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化曲線。從圖4我們可以發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)值在經(jīng)過幾次迭代之后就趨于不變，即驗(yàn)證了本文優(yōu)化算法的快速收斂性。表1分別陳列了兩個(gè)非均勻?yàn)V波器組的傳遞失真、混疊失真、重構(gòu)誤差以及其原型濾波器的阻帶衰減。從表1可以看出，本文算法設(shè)計(jì)所得的非均勻?yàn)V波組比文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)所得的濾波器組具有更好的整體性能，其重構(gòu)誤差降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖2 原型濾波器的幅度響應(yīng)

圖3 非均勻分析濾波器組的幅度響應(yīng) 圖4 目標(biāo)函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化曲線

表1本文算法與文獻(xiàn)[12]算法的性能對(duì)比

表2本文算法與現(xiàn)有算法的性能對(duì)比

5 結(jié)束語

本文圍繞非均勻余弦調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)問題，提出了基于直接優(yōu)化的設(shè)計(jì)算法。在該算法中，把非均勻?yàn)V波器組的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為一個(gè)關(guān)于原型濾波器的四次優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)是非均勻?yàn)V波器組傳遞失真與原型濾波器阻帶能量的加權(quán)和，最后利用線性迭代方法求解。仿真結(jié)果表明，相比于現(xiàn)有設(shè)計(jì)算法，本文算法能夠設(shè)計(jì)得到整體性能更好的非均勻余弦調(diào)制濾波器組。

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Novel Method for Designing Near-perfect-reconstruction Nonuniform Cosine Modulated Filter Banks

JIANG Junzheng JIANG Qing OUYANG Shan

(School of Information and Communication, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

This paper proposes a new algorithm to design near-perfect-reconstruction nonuniform Cosine modulated filter banks. Due to the infeasibility of directly controlling the performance of Nonuniform Filter Banks (NUFBs) in the existing combined algorithms, the design problem boils down to an unconstrained optimization problem with respect to the Prototype Filter (PF), which minimizes a weighted sum of the transfer function distortion of the NUFBs and the stopband energy of the PF. The optimization problem can be efficiently solved by utilizing linearizing iterative approach. The theoretical analysis and numerical experiments are carried out to show that compared with the existing methods, the proposed method can lead to NUFBs with better overall performance.

Nonuniform filter banks; Cosine modulation; Near-perfect-reconstruction; Linearizing iterative approach; Unconstrained optimization

TN911.7

A

1009-5896(2016)09-2385-06

10.11999/JEIT151260

2015-11-25；

2016-04-27；

2016-07-19

國(guó)家自然科學(xué)基金(61261032, 61371186)，廣西自然科學(xué)基金(2013GXNSFBA019264)

The National Natural Science Foundation of China(61261032, 61371186), Guangxi Natural Science Foundation(2013GXNSFBA019264)

蔣俊正 jzjiang@guet.edu.cn

蔣俊正： 男，1983年生，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槎嗨俾蕿V波器組理論與應(yīng)用、通信信號(hào)處理.

江 慶： 男，1991年生，碩士生，研究方向?yàn)槎嗨俾蕿V波器組的設(shè)計(jì)及應(yīng)用.

歐陽繕： 男，1960年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)信號(hào)處理、通信信號(hào)處理.