張寶強(qiáng) 蔡述庭

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基于空間頻率域非局部總變差的壓縮磁共振圖像

張寶強(qiáng) 蔡述庭

（廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院）

非局部總變差本質(zhì)上是一種局部去噪方法，該方法的不足是無法利用整幅圖像的冗余性來進(jìn)一步減少噪聲方差。為獲得一個(gè)更加真實(shí)有效的非局部解決方法，以傅里葉變換為依據(jù)，在非局部總變差的基礎(chǔ)上提出一種新的變分模型，這種方法稱為空間頻率域非局部總變差。該算法歸結(jié)為最小二乘數(shù)據(jù)擬合、空間頻率域非局部總變差和小波系數(shù)正則化的最小化線性組合。在模型求解方面，利用快速組合算法可實(shí)現(xiàn)快速收斂，提高算法的求解速度。經(jīng)仿真驗(yàn)證，該算法處理速度更快，圖像復(fù)原效果更好，可用于壓縮磁共振圖像復(fù)原中。

磁共振圖像；非局部總變差；傅里葉變換；快速組合分裂算法

0　引言

目前，磁共振成像由于對軟組織有極好的分辨率和對人體沒有電離輻射損傷等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于醫(yī)療診斷。然而從最近的壓縮感知理論[1]發(fā)展可知，采用高度欠采樣空間方法不僅能夠精確地修復(fù)磁共振（magnetic resonance，MR）圖像，并且可大幅度地縮短掃描時(shí)間[2]。非局部總變差（nonlocal total variation，NLTV）本質(zhì)上是一種局部去噪方法，它能夠在不破壞原始圖像顯著特征的情況下有效去除噪聲，從而保留圖像的更多細(xì)節(jié)和結(jié)構(gòu)特征。本文在NLTV[3-4]模型的基礎(chǔ)上提出了一種空間頻率域非局部總變差（spatial-frequency nonlocal total variation ，SFNLTV）模型[5]。SFNLTV模型在視覺效果和信噪比方面比NLTV模型好，且SFNLTV模型選取的參數(shù)對整幅圖像產(chǎn)生的影響不大。

1　非局部總變差模型

非局部總變差壓縮磁共振圖像的復(fù)原表達(dá)式為

其中，正則化參數(shù)和為2個(gè)正數(shù)；為局部傅里葉變換；為原始磁共振圖像；為空間欠采樣數(shù)據(jù)的量度；為小波變換[6-7]。

非局部（nonlocal，NL）算子的主要思想是將梯度和散度2個(gè)傳統(tǒng)的局部定義，通過圖論的相關(guān)思想擴(kuò)展到非局部，使用非局部平均（nonlocal means ，NLM）[8]方法計(jì)算像素間的相似度以得到各像素相互間的權(quán)重，從而構(gòu)造非局部梯度算子和非局部散度算子。令，，，NL算子定義為

(2)

非局部散度算子定義為

(3)

(,)為權(quán)重函數(shù)，非負(fù)且對稱的非局部變量，用來表示,之間的差異。如果2個(gè)像素之間的結(jié)構(gòu)越相似，則權(quán)重系數(shù)(,)越大，反之亦然。(,)的表達(dá)式為

其中，為濾波參數(shù)；為標(biāo)準(zhǔn)差為的高斯核，計(jì)算方法

因此，NLTV半范數(shù)可表示為

(6)

2　改進(jìn)的圖像去噪算法

2.1空間頻率域非局部總變差模型

為了能在MR圖像中獲得更好的復(fù)原結(jié)果，本文在NLTV模型的基礎(chǔ)上引入傅里葉變換[9]，即空間頻率域非局部總變差模型?？臻g頻率域非局部總變差壓縮磁共振圖像的復(fù)原表達(dá)式為

空間頻率域總變差模型的正則化表達(dá)式為

(8)

定義的傅里葉變換為，可得

(9)

(11)

(12)

(13)

首先，令

(15)

結(jié)合(14)和(15)，可得

2.2SFNLTV-FCSA算法

快速組合分裂算法[11]（fast combination splitting algorithm，F(xiàn)CSA）是一種快速迭代收縮閾值算法，其最大特點(diǎn)是能夠?qū)崿F(xiàn)算法的快速收斂。由于這個(gè)特點(diǎn)，使得它與SFNLTV模型組合成SFNLTV- FCSA算法。

SFNLTV-FCSA算法的具體流程：

2)循環(huán)開始，迭代次數(shù)=1,2,...,；

①分別求鄰近映射1、2的值，

；

=+1；

3　實(shí)驗(yàn)分析

3.1可視化比較

設(shè)定正則化參數(shù)和的值分別為0.001和0.035，同時(shí)給定輸入?yún)?shù)和，是最終結(jié)果。用峰值信噪比（PSNR）衡量復(fù)原圖像的質(zhì)量

選取塊大小均為256像素×256像素的心臟磁共振圖像、大腦磁共振圖像、胸部磁共振圖像、動(dòng)脈磁共振圖像，在采樣比均為20%的情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，同時(shí)把本文提出的SFNLTV-FCSA算法與共軛梯度法CG[13]、TVCMRI[14]、RecPF[15]和NLTV-FCSA等算法進(jìn)行對比。為了能夠很好地進(jìn)行比較，除了CG的計(jì)算復(fù)雜度很高，只迭代運(yùn)行10次外，其他方法迭代運(yùn)行50次，圖1~圖4表示使用不同的處理方法獲得的不同視覺效果。

Original?????CG ?????TVCMRI

RecPF?????NLTV-FCSA ?????SFNLTV-FCSA

Original????? CG????? TVCMRI

RecPF ?????NLTV-FCSA????? SFNLTV-FCSA

Original ?????CG ?????TVCMRI

Original ?????CG????? TVCMRI

3.2CPU運(yùn)行時(shí)間和SNR

本文提出的SFNLTV-FCSA算法與共軛梯度法CG、TVCMRI、RecPF和NLTV-FCSA等算法在CPU運(yùn)行時(shí)間和信噪比方面的性能比較如圖5所示。表1、表2給出了在每個(gè)實(shí)驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行100次的情況下，使用不同方法得到的不同CPU運(yùn)行時(shí)間和SNR。由圖5可知，采用SFNLTV-FCSA算法花費(fèi)的時(shí)間更少，但卻獲得了更好的視覺效果，在CPU運(yùn)行時(shí)間和SNR方面比NLTV-FCSA要好；而CG由于迭代計(jì)算復(fù)雜度較高，獲得的復(fù)原效果也最差，RecPF僅比TVCMRI略好一點(diǎn)，比NLTV-FCSA要差一些。

圖5 (a)　心臟圖像

(b)大腦圖像

(c)胸部圖像

表1　重復(fù)100次實(shí)驗(yàn)信噪比的比較 （單位：dB）

表2　重復(fù)100次實(shí)驗(yàn)CPU運(yùn)行時(shí)間比較 （單位：s）

4　結(jié)語

本文提出一種高效的壓縮MR圖像復(fù)原算法。首先，SFNLTV-FCSA能有效解決SFNLTV項(xiàng)和L1范數(shù)項(xiàng)復(fù)合正則化問題，也更容易應(yīng)用在其他醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域。其次，快速組合分裂算法在每次迭代的過程中計(jì)算復(fù)雜度只有(plog())，其中表示復(fù)原圖像中的像素值，明顯提高了計(jì)算效率。然后，它具有很強(qiáng)的收斂性，使壓縮MR圖像復(fù)原方法比以前的方法執(zhí)行效率更高。最后，通過實(shí)驗(yàn)證明，SFNLTV-FCSA算法在精確度和復(fù)雜度方面比一些經(jīng)典的算法效果更好。此外，由于正則化參數(shù)和都是手動(dòng)固定的，在未來工作中將盡力根據(jù)需求自我調(diào)整正則化參數(shù)，以求圖像達(dá)到最好的復(fù)原效果。

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Compressed Magnetic Resonance Image Based on Nonlocal Total Variation Spatial-Frequency Domain

Zhang Baoqiang Cai Shuting

(Institute of Automation, Guangdong University of Technology)

NLTV is essentially a local denoising scheme and the shortcomings of this approach is unable to use redundancies in the whole image to further decrease the noise variance. In order to obtain a more realistic and effective nonlocal solution, this paper propose a new variational model by adding to NLTV a term based on the Fourier transform, we call this new scheme spatial-frequency domain nonlocal total variation (SFNLTV). This algorithm formulated as the minimization of a linear combination of three terms corresponding to a least square data fitting, spatial-frequency domain nonlocal total variation (NLTV) and wavelet sparsity regularization. In term of solving the model, using fast composite splitting algorithm(FCSA) can achieve fast convergence, improve the speed of solving the algorithm. The simulation show that the processing speed of the algorithm is fast, and obtained better reconstruction result, can be applied to compressed magnetic resonance(MR) image.

Magnetic Resonance Image; Nonlocal Total Variation; Fourier Transform; Fast Composite Splitting Algorithm

張寶強(qiáng)，男，1990年生，碩士研究生，主要研究方向：圖像處理。E-mail: 739073853@qq.com

蔡述庭，男，1979年生，副教授，研究生導(dǎo)師，主要研究方向：多媒體信號(hào)處理。