于淑妹，楊俊仙*，曹宗宏

（安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 a.應(yīng)用數(shù)學(xué)系；b.應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，安徽 合肥230036）

水培作物生長所需營養(yǎng)液投放周期模型

于淑妹a，b，楊俊仙a，b*，曹宗宏a，b

（安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 a.應(yīng)用數(shù)學(xué)系；b.應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，安徽 合肥230036）

為了水培作物更加健康快速的生長，同時(shí)又考慮到營養(yǎng)液的成本，將普遍采用的一次性投放足夠量的營養(yǎng)液轉(zhuǎn)變?yōu)榉謺r(shí)分階段的投放。在此基礎(chǔ)上建立兩個(gè)階段的數(shù)學(xué)模型，即作物定植前在基質(zhì)中僅靠水源生長階段，以及定植后投入一定量一定濃度的營養(yǎng)液后的生長階段。最后以水培意大利生菜為例，測量出各階段開展度的數(shù)據(jù)，并用Matlab給出時(shí)間與作物生長量之間關(guān)系的圖像。

營養(yǎng)液；周期；模型

隨著我國設(shè)施農(nóng)業(yè)的發(fā)展，無土栽培特別是水培技術(shù)得到廣泛的推廣和應(yīng)用。蔬菜水培可避免土壤栽培中容易出現(xiàn)的連作障礙，栽培條件易于控制，蔬菜生長整齊，周期短，而且清潔無污染，可多茬栽培，連續(xù)生產(chǎn)，均衡上市，具有很高的商業(yè)價(jià)值。

近幾年興起的家庭菜園方式種植植株一般會(huì)選擇直接從市場購入配好的標(biāo)準(zhǔn)濃度的營養(yǎng)液，按說明一次性加入充足的營養(yǎng)液至定植后的植株中，這樣的方式簡易、好操作，但從節(jié)約成本，提高效率方面來說并非最優(yōu)。一方面地下水水源中Ca和Mg的含量均接近和超出園試配方的濃度［1］，可充分利用其中的有用的營養(yǎng)元素；另一方面，若可以分次添加由低到高不同濃度的營養(yǎng)液，可減少營養(yǎng)液使用的總量，最終達(dá)到節(jié)約成本的目的。

可以查閱到的資料［4-8］以介紹水培作物具體的播種、分苗、定植方法以及如何配制適當(dāng)濃度的營養(yǎng)液較為常見，而利用數(shù)學(xué)方法定量分析營養(yǎng)液的投放周期尚少見到。本文受到文獻(xiàn)［2，9，10］的啟發(fā)，建立微分方程模型，較精準(zhǔn)地預(yù)測投放營養(yǎng)液的周期，對成長期較短的植株如生菜，我們可以計(jì)算出成熟期，而對成長期較長的植株如黃瓜、草莓等該周期即為分次投放營養(yǎng)液的時(shí)間間隔。

最后以意大利生菜在實(shí)驗(yàn)室條件下用充氣式靜止?fàn)I養(yǎng)液培養(yǎng)方式，以開展度為測定目標(biāo)，得出數(shù)據(jù)，并以Matlab給出時(shí)間與作物生長量間的關(guān)系圖像，進(jìn)一步驗(yàn)證了建立的數(shù)學(xué)模型的合理性。

1　建立模型

本文主要研究隨著營養(yǎng)液的投入植物生長量隨時(shí)間變化而變化的關(guān)系，這與眾所周知的生物種群的變化動(dòng)態(tài)可用Logistic模型［3］來描述不同。無論是第一階段定植前作物僅靠基質(zhì)中水源自身的營養(yǎng)而生長的階段，還是第二階段定植后加入適當(dāng)濃度的營養(yǎng)液后的生長階段，植物生長速率總是經(jīng)過由快變緩的過程，最終目標(biāo)是給出理論上的數(shù)值，控制再次投放營養(yǎng)液的時(shí)間［11，12］。

1.1第一階段

水培作物定植前，用x代表其生長量，記r1為自然增長率系數(shù)，N為自然狀態(tài)下的環(huán)境容納量，t0為作物在基質(zhì)中出苗時(shí)刻即開始觀測時(shí)刻，t1為定植時(shí)刻，為了簡化模型忽略作物定植與第一次投入營養(yǎng)液之間的時(shí)間間隔，因此，t1即為第一次投入營養(yǎng)液的時(shí)刻，ε＞0為給定的一個(gè)參數(shù)，表明某時(shí)刻的生長量的變化率。作物種子在基質(zhì)中，僅靠水源及周圍適宜的溫度就可以保持短期增長趨勢，當(dāng)作物的生長速率減緩到ε時(shí)，即此時(shí)為t1時(shí)刻，則開始定植，隨后第一次投放營養(yǎng)液。

1.2第二階段

第一次投放營養(yǎng)液后，一段時(shí)間內(nèi)作物營養(yǎng)充足快速生長，但隨著時(shí)間推移，營養(yǎng)液中主要營養(yǎng)成分耗散，作物生長變緩，從而需要再次投放營養(yǎng)液。記ti為第i次投放營養(yǎng)液的時(shí)刻，i=1，2，…，m為加入營養(yǎng)液條件下環(huán)境容納量，T為兩次投放時(shí)間間隔。

2　模型求解

對于第一階段的模型，欲求解

先求

因此，（1）的通解為

將條件x（）t0=x0代入（6）可得

從而可得（1）的特解為

由（7）和（9），可得

即有

類似地，對于第二階段的模型，欲求解（3）在條件（4）下的解，先對（3）用常數(shù)變易法然后使用條件（4），可得

3用MATLAB仿真

3.1實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)室條件下，用充氣式靜止?fàn)I養(yǎng)液培養(yǎng)方式種植5株意大利生菜，營養(yǎng)液選用標(biāo)準(zhǔn)濃度的日本山崎配方。2015年9月5日，將蛭石用清水浸透，將生菜種子撒播于其中，9月8日出苗，開始每3日測量其開展度，生長變化率明顯變緩后考慮分苗、定植，為了簡化過程，忽略分苗與定植間的時(shí)間間隔。定植后投入標(biāo)準(zhǔn)濃度山崎溶液，每3日測其開展度，把測得的數(shù)據(jù)（見表1）取平均值描點(diǎn)得到生菜生長折線圖，如圖1所示。

圖1　生菜生長折線圖

表1　菜生長測量數(shù)據(jù)

3.2參數(shù)擬合

先確定模型（1）（2）中的參數(shù)，由專業(yè)知識(shí)可知 N=5，r1=2.28，再由表 1中的數(shù)據(jù)易知x0=1.12，t0=1，給定 ε=0.1，由（6）式可求出t1=7.33≈7天。

再確定模型（3）（4）中的參數(shù)，結(jié)合表1中的數(shù)據(jù)利用 SAS軟件，易知 m=32，r2=3.1，α=0.02，最后將以上參數(shù)代入（7）式得：T=32.51≈33天。

3.3分析

用Matlab仿真的生菜生長圖，如圖2所示。從圖2曲線態(tài)勢看基本符合圖1的意大利生菜的生長態(tài)勢，圖2中曲線明顯的跳躍即為定植時(shí)機(jī)，隨后添加營養(yǎng)液，之后進(jìn)入一個(gè)由快漸緩的生長期直至成熟。

圖2　生菜生長matlab仿真圖

4　結(jié)束語

本文基于投放營養(yǎng)液前后水培作物的生長變化規(guī)律，建立營養(yǎng)液投放周期模型。若作物的生長期較短，所求周期T即為作物上市期，若生長期較長，則為多次投放營養(yǎng)液時(shí)，每兩次間的時(shí)間間隔，對于較準(zhǔn)確的預(yù)測、控制作物成熟期并減少營養(yǎng)液的用量有一定的意義，而所求定植時(shí)刻t1，將通過觀察作物葉片特征選擇定植時(shí)機(jī)轉(zhuǎn)化為定量分析的方法，理論上更精確，最后，實(shí)驗(yàn)室條件下得出的數(shù)據(jù)與Matlab作出圖像擬合較好。分階段投放營養(yǎng)液時(shí)由于作物處在不同的生長期而導(dǎo)致營養(yǎng)液投放周期會(huì)有所變化，是否可將作物生長分為若干階段更精確的給出周期T是今后討論的方向。

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［3］ 陳蘭蓀.數(shù)學(xué)生態(tài)模型與研究方法［M］.北京：科學(xué)出版社，1988：58-77.

［4］Tang S Y，Chen L S.Modelling and analysis of integrated pest management strategy［J］.Discrete and Continuous Dynamical Systems，Series B，2004，4（3）：759-768.

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［12］楊俊仙，徐麗.一類具非線性發(fā)生率和時(shí)滯的SIQS傳染病模型的全局穩(wěn)定性［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2014，49（5）：67-74.

Cycle model of sprinkling the required nutrition liquid for growth of hydroponic crop

YU Shu-meia，b，YANG Jun-xiana，b*，CAO Zong-honga，b

（a.Department of Applied Mathematics；b.Institute of Applied Mathematics，School of Science，Anhui Agricultural University，Hefei Anhui 230036，China）

A time-phased sprinkling is adopted instead of a disposable sprinkling sufficient amount of nutrient solution in order to make hydroponic crop grow more healthily and rapidly，and regarding the cost of nutrient solution.The mathematical model of two phase is established on its basis，namely growth phase on crop abutting the water when transplanting，as well as the growth phase on a certain amount and a certain concentration of nutrient solution.Finally taking Italy Hydroponic Lettuce as an example，measure data of their development，then draw its relationship image between time and crop growth with the help of Matlab.

nutrition liquid；cycle；model

O175.1

A

1004-4329（2016）02-024-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）02-024-04

2015-12-15

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11201002）；安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)校級質(zhì)量工程項(xiàng)目（2015039）資助。

于淑妹（1983－），女，碩士，講師，研究方向：微分方程與應(yīng)用。

楊俊仙（1976－），女，碩士，副教授，研究方向：微分方程與應(yīng)用。Email：yangjunxian@ahau.edu.cn。