葉薇薇，王　雪

（阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

一類Cartan域直積構(gòu)成底空間的Hartogs域度量比較定理

葉薇薇，王雪

（阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

研究由第二類Cartan域直積構(gòu)成底空間的Hartogs域，通過計算這一類域上的全純截曲率，對其進(jìn)行估計得到其有負(fù)上界的結(jié)果，這樣便可以得到該域上Einstein-K?hler度量和Kobayashi度量的比較定理。

Einstein-K?hler度量；Kobayashi度量；全純截曲率；比較定理

丘成桐猜想是關(guān)于比較Bergman度量和Einstein-K?hler度量的等價問題。除Bergman度量和Einstein-K?hler度量以外，還有Caratheodary度量和Kobayashi度量，這四個就是我們所說的經(jīng)典不變度量。一直以來它們之間的比較問題都是研究的熱點，取得了一系列的成果。但是對于一般域上Einstein-K?hler度量與其他度量之間的比較還不是很多。劉克峰等人［1-3］通過研究經(jīng)典度量在Teichmllüer空間和?？臻g上等價，從而證明了丘成桐猜想在這兩類空間上是成立的。在文獻(xiàn)［4-6］中研究了這四類度量在Cartan-Hartogs域上的比較情況，并給出了其上的Einstein-K?hler度量和Kobayashi度量的比較定理。文獻(xiàn)［7-8］中，還給出了一類底空間是對稱域乘積的Hartogs域上的Einstein-K?hler度量和Kobayashi度量的比較定理。

本文主要研究由第二類Cartan域直積構(gòu)成底空間的Hartogs域，通過計算這一類域上的全純截曲率，對其進(jìn)行估計，得到其有負(fù)上界的結(jié)果，這樣便可以得到該域上Einstein-K?hler度量和Ko-bayashi度量的比較定理。

1　準(zhǔn)備知識

若Z∈IIp，則

其中，ZT表示Z的轉(zhuǎn)置。如果將Z中的元素按一定的順序排成行向量，并用z表示，則

由第二類Cartan域直積構(gòu)成底空間的Hartogs域，形式如下：

這里的K＞0，L＞0，NII（z，z）表示第二類Cartan域上的一般模。

θ∈R，z0∈IIp，w0∈IIq，，定義：

證明 由引理1直接計算可得。

注1群不變函數(shù)X是實值函數(shù)，且X∈［］0，1，并且在全純自同構(gòu)變換下是不變的。

這里

其中

這里，

由引理1、引理2及引理3，可以得到

注釋：本定理具體證明可參考作者《由第二類Cartan域直積構(gòu)成底空間的Hartogs域的Einstein-K?hler度量》一文，待發(fā)表。

2　主要結(jié)果

那 么 在 完 備Einstein-K?hler度 量下的全純截曲率為

在全純自同構(gòu)變換下全純截曲率是不變的，又由于對 ?（ξ，z，w）∈，有 F∈Aut（），使得F（ξ，z，w）=（ξ*，0，0），那么只需計算 ω（η，dη）在點（ξ*，0，0）的值。

分別計算出?T，?-?T，T-1的表達(dá)式，代入公式（1），便可得當(dāng)參數(shù)時，域在完備Einstein-K?hler度量下的全純截曲率為

由文獻(xiàn)［9］可知

［1］Liu K F，Sun X F，Yau S T.Canonical metrics on the moduli space of Riemann surfaces［J］.Science in China：seriesA，2005，48（supp）：97-122.

［2］ Liu K F，Sun X F，Yau S T.Canonical metrics on the moduli space of Riemann surfaces I［J］.Journal of Differential Geometry，2004，68（3）：571-637.

［3］ Liu K F，Sun X F，Yau S T.Canonical metrics on the moduli space of Riemann surfaces II［J］.Journal of Differential Geometry，2005，69（1）：163-216.

［4］ 殷慰萍，王安.Cartan-Hartogs域經(jīng)典度量的等價［J］.中國科學(xué)A輯，2007，37（1）：113-128.

［5］ 林萍，殷慰萍.第四類Cartan-Hartogs域的比較定理［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2003，32（6）：739-750.

［6］ Yin W P，Zhao X X.The comparison theorem on Cartan-Hartogs domains of the third type［J］.Complex Variables，2002，47（3）：183-201.

［7］ 王安，李志強(qiáng).底空間為對稱域乘積的Hartogs域的度量等價［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，2013，56（6）：871-888.

［8］ Hao Y H，Tang J L，Wang A.Einstein-K?hler metric and comparsion theoerm on a class of hartogs domain ［J］.Advances in Mathematics，2013，42（6）：823-836.

［9］Zhao X X，Zhang L Y，Yin W P.Einstein-Kahler metric on Cartan-Hartogs domain of the second type［J］. Progress in Natural Science，2004，14（3）：201-212.

［10］Hens M.On a class of conformal metrics［J］.Nagoya Math，1962，21：1-60.

Comparison theorem for a class of Hartogs domain whose base space is a product of Cartan domain

YE Wei-wei，WANG Xue

（School of Mathematics and Statistics，F(xiàn)uyang Normal University，F(xiàn)uyang Anhui 236037，China）

A class of Hartogs domain whose base space is a direct product of the second class of Cartan domain was discussed to obtain that the holomorphic sectional curvature have negative upper bound.Furthermore the comparison theorem between Einstein-K?hler metric and Kobayashi metric was gottenby calculating and estimating the holomorphic sectional curvature.

Einstein-K?hlerm metric；Kobayashi metric；holomorphic sectional curvature；comparison theorem

O174.56

A

1004-4329（2016）02-004-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）02-004-03

2016-03-12

阜陽師范學(xué)院校級自然科學(xué)項目（2014FSKJ11）資助。

葉薇薇（1981－），女，碩士，講師，研究方向：多復(fù)變函數(shù)論。