于 洋， 房家勝， 姜海波, 2

(1. 大連海事大學(xué) 航海學(xué)院， 遼寧 大連 116026； 2. 中?？洼営邢薰?安全管理部， 遼寧 大連 116003)

YU Yang1, FANG Jiasheng1, JIANG Haibo1, 2

自由下落拋錨時錨的運動數(shù)學(xué)模型

于 洋1， 房家勝1， 姜海波1, 2

(1. 大連海事大學(xué) 航海學(xué)院， 遼寧 大連 116026； 2. 中?？洼営邢薰?安全管理部， 遼寧 大連 116003)

為研究錨下落速度的變化規(guī)律，求取最大下落速度，在對錨和錨鏈進行受力分析的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出錨下落運動微分方程，并給出定解條件。通過模擬計算，直觀顯示錨下落速度的變化規(guī)律。進一步分析表明，錨機鏈輪的慣性阻力、錨入水沖擊力及錨與錨鏈在水中的附加慣性阻力等僅延長錨到達(dá)最大速度的時間，對最大下落速度值的影響極小。錨的最大下落速度主要與錨和錨鏈的質(zhì)量、二者在水中的阻力及錨鏈與錨鏈筒之間的摩擦阻力有關(guān)。

航海技術(shù); 錨泊; 自由下落; 變質(zhì)量; 數(shù)學(xué)模型

YUYang1,FANGJiasheng1,JIANGHaibo1, 2

Abstract: In order to know the variation and the maximum value of the dropping speed, the differential equation reflecting the anchor movement is built, and the definite conditions is defined based on the force analysis of the anchor and the chain. The anchor dropping is simulated based on the differential equation. The analysis reveals that the inertial resistance of chain grub wheel, water impact force and the additional inertial resistance of anchor and chain decrease the acceleration but have little effect on the maximum value of the dropping speed. The maximum dropping speed is primarily affected by the weights of the anchor and the chain, the resistances of those in water, the frictional resistance between the chain and the hawse pipe and the force from brake band, if exerted.

Keywords: navigation technology; anchoring; dropping by its weight; variable mass; mathematical model

船舶采用自由下落法拋錨時，錨的下落速度關(guān)系到錨泊安全。船舶在錨地拋錨時，通常根據(jù)錨地水深的不同采用自由下落式拋錨和錨機送錨式拋錨2種方法，其中：自由下落式拋錨又稱重力式拋錨，適用于一般水深的錨地，錨觸底時間短，易于控制船位；錨機送錨式拋錨適用于深水錨地，錨觸底速度小，但操作復(fù)雜，用時較長，落錨點不易控制。這2種拋錨方法雖然在操作上有所差別，但都要控制錨的下落速度以保證安全。

鑒于上述情況，對錨自由下落時與錨鏈的受力情況進行分析，給出變質(zhì)量、變加速度的錨下落運動模型，以便揭示錨下落運動規(guī)律，并作為開展相關(guān)研究的基礎(chǔ)。

1 變質(zhì)量質(zhì)點運動方程一般表達(dá)式

一個質(zhì)點在運動過程中連續(xù)地減少或增加質(zhì)量時，由動量定理可推導(dǎo)出變質(zhì)量質(zhì)點運動矢量方程[7]為

(1)

式(1)中：m為變質(zhì)量質(zhì)點質(zhì)量，m=m(t)，即質(zhì)量為時間t的單值連續(xù)函數(shù)；V為質(zhì)點運動速度；F為質(zhì)點所受外力的合力；Vr為微質(zhì)量在加入或離開質(zhì)點時與質(zhì)點的相對速度；dm為加入或放出的微質(zhì)量。

以上物理量均采用標(biāo)準(zhǔn)國際單位。當(dāng)dm/dt>0時，表示不斷有質(zhì)量加入；當(dāng)dm/dt<0時，表示不斷有質(zhì)量放出。

2 錨自由下落運動方程

在錨下落過程中，不斷有錨鏈從錨鏈艙加入到錨與錨鏈的運動中來。在t時刻，運動系統(tǒng)包括錨的質(zhì)量和錨鏈的質(zhì)量，加入運動的微質(zhì)量是單位時間內(nèi)錨鏈艙中從靜止?fàn)顟B(tài)到運動狀態(tài)的那一段錨鏈的質(zhì)量。因此，系統(tǒng)的質(zhì)量可寫成

m(t)=ma+mc(t)

(2)

式(2)中：ma為錨的質(zhì)量(固定值，不隨時間變化)；mc為錨鏈的質(zhì)量，是時間t的函數(shù)。

圖1為錨設(shè)備布置示意，其中錨已備妥，懸掛在水面之上。

圖1 錨設(shè)備布置示意

現(xiàn)取曲線坐標(biāo)s，與錨鏈線重合，其原點O設(shè)在舷外垂直段錨鏈上的端點處。運動中的錨鏈長度S(t)為

S(t)≈s(t)+L1+L2+0.5π(R1+R2)+H2

(3)

式(3)中：s(t)為錨卸扣至錨鏈筒下端口(即坐標(biāo)原點)的垂直距離；H2為錨機鏈輪至錨鏈艙的垂直段錨鏈長度，隨錨鏈的不斷放出而逐漸增大，但考慮到錨鏈艙直徑較大，其增加量比錨鏈的放出長度小很多，故在放出錨鏈不多的情況下假定H2為常量。

運動部分的錨鏈質(zhì)量可表示為

mc(t)=γS(t)

(4)

式(4)中：γ為單位長度錨鏈質(zhì)量。

由式(2)～式(4)可得

(5)

錨鏈艙內(nèi)加入運動的微質(zhì)量錨鏈在運動前的速度為0，運動后的速度為v，因此加入運動時的相對速度為-v，即vr=-v。將其與式(2)～式(5)一同代入到式(1)中，可得錨下落運動方程為

(6)

現(xiàn)在問題的關(guān)鍵是對錨和錨鏈系統(tǒng)進行受力分析，給出合外力∑F的具體表達(dá)式。

3 錨與錨鏈?zhǔn)芰Ψ治?/h2>

船舶拋錨過程中錨與錨鏈所受的外力包括：錨與錨鏈的重力，錨入水時所受的沖擊力，錨與錨鏈在水中所受的浮力、阻力和附加慣性阻力，錨鏈與錨鏈筒、錨鏈管的摩擦力，錨機鏈輪與導(dǎo)鏈滾輪的慣性阻力，錨機鏈輪、導(dǎo)鏈滾輪與轉(zhuǎn)軸之間的摩擦阻力及剎車阻力等。在這些外力中，錨鏈與錨鏈管的摩擦阻力，錨機鏈輪、導(dǎo)鏈滾輪與轉(zhuǎn)軸的摩擦阻力及導(dǎo)鏈滾輪的慣性阻力忽略不計。

3.1錨入水所受沖擊力

錨入水時的沖擊力F3的計算較為困難，這里采用卡門模型[8]近似計算為

F3=c3ρwv2AH1-Ha≤s

(7)

式(7)中：ρw為水的密度；A為錨入水時錨體的水平投影面積；Ha為錨體高度；Δs為錨從擊水開始至結(jié)束的垂直距離；c3為無因次系數(shù)，根據(jù)文獻[8]可推得其值為

(8)

式(8)中：ρs為鋼的密度；α為錨入水時錨的底升角，亦即錨冠底面與水平面的夾角。

3.2錨與錨鏈重力(含浮力)

錨與錨鏈的重力在入水前為其空氣中的重力；入水后，其水上部分為空氣中的重力，水下部分為水中的重力。

1) 錨的重力F1為

(9)

2) 錨鏈的重力F2為

(10)

式(10)中:Hd為錨鏈筒下端口至錨機鏈輪軸心的垂直高度。

Hd≈L1sinθ1+L2sinθ2+R1-R2

(11)

3.3錨與錨鏈在水中的阻力

錨與錨鏈在水中的阻力一般假定與運動速度的平方成正比，分別表示為

(12)

(13)

式(12)和式(13)中：d為錨鏈直徑，m；c4和c5分別為錨與錨鏈水阻力無因次系數(shù)，c4=0.6，c5=0.2。

3.4錨與錨鏈在水中的附加慣性阻力

錨與錨鏈在水中作加速運動時會帶動周圍水體一起加速運動，即錨與錨鏈要對周圍水體施加一個作用力來推動該水體作加速運動。根據(jù)理論力學(xué)中的達(dá)朗貝爾原理，水體對錨與錨鏈的反作用力可用慣性阻力的形式計入外力系中。錨的附加慣性阻力F6及錨鏈的附加慣性阻力F7分別表示為

(14)

(15)

式(14)和式(15)中：maa和mca分別為錨與錨鏈的附加質(zhì)量；maa需通過試驗確定；mca由式(36)給出。

3.5錨鏈與錨鏈筒的摩擦力

錨鏈與錨鏈筒的摩擦力記為F8，可表示為

F8=fcT

(16)

式(16)中：fc為錨鏈與錨鏈筒摩擦阻力系數(shù)，比鋼與鋼的摩擦因數(shù)大一些，具體數(shù)值需通過試驗確定；T為錨鏈筒舷外孔處錨鏈張力，可根據(jù)舷外垂直段錨鏈(s≥0)及錨的運動方程來建立T與其他變量間的關(guān)系。該方程也是一個變質(zhì)量物體運動方程。由于從s=0點上方加入的錨鏈微質(zhì)量速度與垂直段錨鏈速度相同(即vr=0)，因此可推得

(17)

3.6錨機鏈輪的慣性阻力

錨在加速下落過程中，錨機鏈輪以相應(yīng)的角加速度轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生慣性阻力，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，將該阻力F9計入外力系中，有

(18)

式(18)中：ε為鏈輪角加速度；I為錨機鏈輪包括與鏈輪固定在一起的剎車帶輪的轉(zhuǎn)動慣量。

3.7錨機剎車力

錨下落過程中錨機剎車帶施加到錨鏈上的阻力記為F10，隨剎車手輪的旋緊而逐漸增大。

備錨階段，剎車帶為剎緊狀態(tài)；拋錨時，剎車帶在逐漸旋松過程中雖然尚未完全松開，但只要剎車力小于錨及部分錨鏈的重力，錨就開始下落。錨下落的臨界剎車力為F0≈(1-fc)[Ma+γ(s+Hd-H2)]g，其中fc為錨鏈與錨鏈筒之間的靜摩擦因數(shù)。隨著剎車帶繼續(xù)旋松，剎車力迅速減小。假定剎車力的下降規(guī)律為F10=F0e-5t，即

F10=(1-fc)[Ma+γ(s+Hd-H2)]ge-5t

(19)

錨開始移動后，fc取動摩擦因數(shù)。

至此，錨與錨鏈運動系統(tǒng)所受的主要外力均已得到，合外力可表示為

∑F=(F1+F2)-(F3+F4+F5+F6+F7+F8+F9+F10)

(20)

4 錨下落運動數(shù)學(xué)模型建立

聯(lián)立式(6)～式(15)及式(17)～式(20)，得到錨下落運動方程為

(21)

式(21)中：M(s)，W(s)和Γ(s)根據(jù)錨下落階段的不同而有不同寫法。

1) 錨冠入水之前(s

(22)

W(s)=(1-fc)[ma+γ(s+Hd-H2)]g-F10

(23)

Γ(s)=γ

(24)

2) 錨擊水階段(H1-Ha≤s

Γ(s)=(1-fc)c3ρwA+γ

(25)

M(s)和W(s)仍為式(22)及式(23)。

3) 錨擊水階段結(jié)束、錨鏈入水之前(H1-Ha+Δs≤s

(26)

W(s)=(1-fc)[0.87ma+γ(s+Hd-H2)]g-F10

(27)

Γ(s)=(1-fc)c4ρwA+γ

(28)

4) 錨鏈入水后(s≥H1)

(29)

W(s)=(1-fc) [0.87ma+γ(H1+Hd-H2)+ 0.87γ(s-H1)]g-F10

(30)

Γ(s)=(1-fc)ρw[c4A+c5d(s-H1)]+γ

(31)

再補充一個方程

(32)

及初始條件

(33)

式(33)中：H0為備錨后錨冠至水面的距離。式(21)～式(33)就是錨下落運動的微分方程和定解條件。采用數(shù)值方法求解上述方程較為方便。將式(21)和式(32)中的微分用差分代替，則有

(34)

si+1=si+0.5(vi+1+vi)Δt

(35)

式(22)～式(31)中的S和s換成Si和si即可，與式(34)及式(35)組成差分求解格式，其中Δt為時間步長，自行設(shè)定。

具體計算步驟：

(1) 利用初始條件式(33)，將t=0時刻的s1=H1-Ha-H0代入到式(22)和式(23)中，求出M(s1)和W(s1)；

(2) 將其與Γ(s1)=r和v1=0一起代入到式(34)中求出v2，然后用式(35)求出s2；

(3) 得到v2和s2后，重復(fù)上述步驟求出v3和s3，以此類推，第1階段的計算結(jié)果作為第2階段計算的初始條件，直到第4階段即可將錨下落過程中的速度和位置及隨時間變化的情況計算出來。

此外，在第4階段，隨著錨鏈入水長度越來越大，錨鏈的附加質(zhì)量mca也越來越大，可將其表示為

(36)

式(36)中：c7為無因次系數(shù)；3.6d為有擋鏈環(huán)寬度。文獻[9]給出c7=0.1。

5 模擬算例

為直觀地了解數(shù)學(xué)模型，進行模擬計算，其中錨鏈與錨鏈筒的摩擦因數(shù)、錨在水中加速下落時的附加質(zhì)量在算例中取近似值。

某船配備霍爾錨，單錨質(zhì)量ma=6 000 kg，錨體高度Ha=3.285 m，錨頭投影面積A=1.881 m2，配2級錨鏈，錨鏈直徑d=0.068 m。錨機鏈輪半徑R2=0.45 m，轉(zhuǎn)動慣量I=270 kg·m2，導(dǎo)鏈滾輪半徑R1=0.2 m。錨鏈筒長L1=4 m，與水平面夾角θ1=50°，筒體下端距水面高H1=8 m；導(dǎo)鏈滾輪與錨機鏈輪間距L2=3 m，θ2=15°。錨機鏈輪下方至錨鏈艙內(nèi)懸垂錨鏈長度H2=4 m。備錨后，錨距水面高H0=1.5 m。假設(shè)錨的附加質(zhì)量為錨排開同體積水的質(zhì)量的1.6倍，即maa=1.6maρw/ρs；錨鏈與錨鏈筒靜摩擦因數(shù)fc=0.25，動摩擦因數(shù)為0.2。在計算系數(shù)c3時，將霍爾錨錨冠至助抓突角的傾斜角α近似取為30°，則得c3=4.5。錨擊水進程取Δs=1.1 m。海水密度為1 025 kg/m3，鋼密度為7 850 kg/m3。時間步長Δt=0.02 s。當(dāng)|vi+1-vi|/vi<0.001時，計算停止。計算出的錨下落速度與位置的關(guān)系見圖2。

圖2 錨下落速度與其位置關(guān)系

從圖2中可看出，錨下落的基本規(guī)律為：從備錨位置到入水前的速度隨下落距離的增大而逐漸增大，入水時受擊水反作用力的影響而又漸漸減小；擊水階段之后，速度持續(xù)增大，直至趨于穩(wěn)定值。NAKAYAMA[10]所進行的實船投錨試驗結(jié)果表明，質(zhì)量為6.84 t的霍爾錨從水面之上3.4 m處拋下，落到水下17 m時的速度是6.8 m/s。算例中錨的質(zhì)量及拋錨高度雖與其存在差別，但結(jié)果大體上吻合。

6 結(jié)束語

運用變質(zhì)量質(zhì)點運動方程建立錨下落運動數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出變質(zhì)量、變加速度的錨運動微分方程，并給出定解條件。從模擬算例結(jié)果看，該模型描述的錨下落運動規(guī)律基本上符合實際情況。錨機鏈輪的慣性阻力、錨入水沖擊力及錨與錨鏈在水中的附加慣性阻力影響著錨下落速度變化過程，使錨達(dá)到最大速度的時間延長，但對最大下落速度值的影響極小。錨的最大下落速度取決于錨與錨鏈的質(zhì)量、二者在水中的阻力及錨鏈與錨鏈筒之間的摩擦力和剎車力等。在模擬計算中，錨鏈與錨鏈筒的摩擦因數(shù)、錨入水沖擊力及錨在水中的附加質(zhì)量等是估算的，還需要試驗測定和驗證。下一步將開展相關(guān)研究以完善該模型，并通過實船拋錨試驗來驗證。

[1] 龔少軍，尤慶華. 船舶深水拋錨方法分析[J]. 中國航海，2008，31(2): 193-196.

[2] 王迎松. 錨泊貫入量的研究[D]. 大連：大連海事大學(xué)，2014.

[3] 龔少軍，尤慶華. 船舶拋錨作業(yè)錨機剎車最小臨界水深計算[J]. 中國航海，2009, 32(4): 69-71.

[4] 本田啟之輔. 操船通論[M]. 東京：成山堂書店，2008:119-120.

[5] 姚化利. 自由拋錨控制技術(shù)研究方向的看法[J]. 船舶，2009(5): 44-46.

[6] Japan P & I Club. Preventing an Anchor from Dragging[J]. P & I Loss Prevention Bulletin, 2013, 25: 1-32.

[7] 程勉. 變質(zhì)量力學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京：人民教育出版社，1982:1-7.

[8] ZHAO L Y. Analytical Solution of the Problem of Two Dimensional Wedge Entering Water[D]. Harbin: Harbin Engineering University, 2012.

[9] GOBAT J I. The Dynamics of Geometrically Compliant Mooring Systems[D]. Massachusetts Institute of Technology, 2000.

[10] NAKAYAMA S, KIYOMIYA O. Depth of Penetration of Anchors into Seabottom Through Anchoring Tests[R]. Technical Note of the Port and Harbour Research Institute, Ministry of Transport, 1975.

MathematicalModelofAnchorDroppingbyitsWeight

(1.Navigation College, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China; 2.Safety Management Department, China Shipping Passenger Liner Co., Ltd., Dalian 116003，China)

U675.922

A

2016-04-11

國家自然科學(xué)基金(51379026)

于 洋(1963—)，男，遼寧大連人，教授，博士，主要研究方向為船舶流體力學(xué)與航海技術(shù)。E-mail: ekship@aliyun.com

1000-4653(2016)02-0071-05