周炳均，王　沁，鄭　興

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 四川　成都　610031)

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基于兩種分布下的SV模型與GARCH模型的VaR比較

周炳均，王沁，鄭興

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 四川成都610031)

文章將隨機(jī)波動(dòng)SV模型與GARCH模型應(yīng)用于VaR的計(jì)算，并利用上證指數(shù)的實(shí)際數(shù)據(jù)作實(shí)證研究，構(gòu)建基于正態(tài)分布和T分布下的GARCH模型與SV模型，測(cè)量了上證指數(shù)收益率的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR).結(jié)果表明，相比GARCH模型，SV-N，SV-T模型能更準(zhǔn)確地對(duì)實(shí)際市場(chǎng)波動(dòng)情況進(jìn)行擬合，更加真實(shí)地反映上證指數(shù)的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)特性.

VaR；GARCH模型；SV模型；金融風(fēng)險(xiǎn)

隨著全球金融市場(chǎng)的發(fā)展，金融市場(chǎng)的波動(dòng)進(jìn)一步加劇，金融風(fēng)險(xiǎn)越來(lái)越受到關(guān)注.近年來(lái),越來(lái)越多的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量技術(shù)得到應(yīng)用.VaR (Value at Risk)是當(dāng)前比較流行的測(cè)量金融風(fēng)險(xiǎn)的方法，它集中表明了在一定時(shí)間期間內(nèi)，在給定的置信水平下某資產(chǎn)預(yù)期可能損失的最多金額.

在VaR的計(jì)算中，波動(dòng)率是核心參數(shù).起初，傳統(tǒng)的分析方法是假設(shè)市場(chǎng)因子服從方差不變的正態(tài)分布來(lái)計(jì)算VaR，但由于不符合金融市場(chǎng)的時(shí)變性，這樣得出的結(jié)果顯然不能令人滿意.1986年，Bollersive[1]提出的GARCH模型能夠很好地刻畫資產(chǎn)收益率的波動(dòng)特征，被大量用于VaR的計(jì)算[2].然而，GARCH 模型在刻畫金融時(shí)間序列的“高峰厚尾”、杠桿效應(yīng)、方差平方序列自相關(guān)性等特征時(shí)的表現(xiàn)并不是很理想[3].相較于GARCH模型，另一類異方差模型是SV模型，它具有金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)理金融學(xué)的雙重根源.其顯著特征是將方差變化用一個(gè)鞅差分序列的隨機(jī)過(guò)程表達(dá)，被認(rèn)為是刻畫金融市場(chǎng)波動(dòng)性的最理想模型之一.Harvey A[4]等學(xué)者做過(guò)大量關(guān)于SV模型與GARCH模型的比較研究，認(rèn)為相較于GARCH模型，SV模型所刻畫的波動(dòng)性與實(shí)際的金融市場(chǎng)更加接近.在國(guó)內(nèi)，也有李漢東等[5]在Harvey A研究的基礎(chǔ)上從中國(guó)股票市場(chǎng)的實(shí)際數(shù)據(jù)發(fā)出對(duì)這兩類模型做實(shí)證比較，得出類似結(jié)論.諸多學(xué)者如余紅英、張世英[6]等基于上證指數(shù)將SV模型與GARCH模型引入VaR的計(jì)算，最后得出SV模型對(duì)VaR的刻畫更精確的結(jié)論.本文旨在利用不同分布下的GARCH模型與SV模型來(lái)測(cè)量股市的VaR值，從VaR的似然比檢驗(yàn)值出發(fā)說(shuō)明不管在正態(tài)分布下還是在T分布下，SV 模型都比 GARCH 模型更加符合金融市場(chǎng)實(shí)際特征.

1　GARCH和SV模型及其VaR計(jì)算

1.1GARCH模型

模型的結(jié)構(gòu)如下：

(1)

其中，Xt為每日收益率，ω、α、β是待估參數(shù)，ηt是擾動(dòng)項(xiàng).GARCH模型將滯后條件方差與擾動(dòng)考慮進(jìn)來(lái)，增加了方差的自適應(yīng)性，可以很好地描述金融序列的尖峰厚尾性.GARCH模型中有兩類特殊的形式較為常用，一種是GARCH(1,1)-N模型，另一種是GARCH(1,1)-T模型.該結(jié)構(gòu)下，當(dāng)p=q=1時(shí)，若ηt服從正態(tài)分布則模型為GARCH(1,1)-N模型，若ηt服從T分布則是GARCH(1,1)-T模型.GARCH模型的參數(shù)估計(jì)常采用極大似然估計(jì)法.

1.2SV模型

標(biāo)準(zhǔn)的SV模型表達(dá)式：

yt=εteht/2

(2)

ht=α+βht-1+ηt

(3)

其中：εt服從均值為0、方差為l的獨(dú)立正態(tài)分布；ηt是具有零均值、方差為常數(shù)的擾動(dòng)項(xiàng).此時(shí)，若ηt服從正態(tài)分布，則模型為SV(1)-N模型.若ηt服從T分布，則模型為SV(1)-T模型，且εt與ηt不相關(guān).α、β、σ均為待估參數(shù).SV模型中的波動(dòng)除了與之前的波動(dòng)相關(guān)外，還依賴于當(dāng)前的新息項(xiàng)ηt.這正是SV模型與GARCH模型的不同之處，當(dāng)前擾動(dòng)的加入使SV模型能夠更為準(zhǔn)確地刻畫金融時(shí)序的波動(dòng).

對(duì)SV的參數(shù)估計(jì)，最常見(jiàn)的是廣義矩估計(jì)(GMM )和馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬法 (MCMC).但GMM方法的估計(jì)精度并不高，而MCMC方法計(jì)算量大且過(guò)程復(fù)雜.所以本文選取偽極大似然估計(jì)(QML)對(duì)SV模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì).定義：

將標(biāo)準(zhǔn)的SV模型轉(zhuǎn)化成如下的線性形式：

zt=xt+ξt

(4)

xt=α+βxt-1+ηt

(5)

對(duì)其運(yùn)用卡爾曼濾波和偽極大似然法即可求得SV模型參數(shù)(α,β,σ,v)的估計(jì).

1.3模型的VaR計(jì)算

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR的具體含義為：在一定時(shí)間內(nèi)，一般市場(chǎng)條件和給定的置信水平下預(yù)期可能面臨的最大損失.即Prob(Rt< - VaR)=1-a.

其中，a是置信水平(一般為95﹪)，Rt表示第t期的收益(一般為負(fù)值).VaR為第t期時(shí)在置信水平a下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，當(dāng)VaR為正值時(shí)，VaR的計(jì)算公式如下：

VaR=-μ+σZ1-α

(6)

μ和σ分別表示樣本收益率的均值與方差，Z1-α為對(duì)應(yīng)的分位數(shù).將各模型的參數(shù)估計(jì)出來(lái)后，計(jì)算出各模型的收益率波動(dòng)σ，帶入VaR的計(jì)算式，即可計(jì)算出VaR.

1.4VaR的驗(yàn)證方法——似然比(LR)檢驗(yàn)

因VaR是VaR模型估計(jì)所得的數(shù)值，所以需要對(duì)VaR模型進(jìn)行檢驗(yàn)，來(lái)確保VaR的準(zhǔn)確性.假定各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的VaR估計(jì)相互獨(dú)立，則失敗出現(xiàn)的天數(shù)就可以看成一系列獨(dú)立的貝努利試驗(yàn)，其失敗概率服從二項(xiàng)分布B(T,p)，失敗的期望概率為p′，p′=1-α(α為置信度).假設(shè)實(shí)際考察的天數(shù)為T，失敗的天數(shù)為N，置信度為α，進(jìn)而失敗的概率的頻率估計(jì)為p′=N/T.這樣對(duì)模型有效性的評(píng)價(jià)就可以轉(zhuǎn)化為判斷實(shí)際檢驗(yàn)失敗的概率p與期望失敗概率p′是否存在顯著性差異，即：H0:p=p′，H1:p≠p′.

Kupiec對(duì)此提出了目前處理模型風(fēng)險(xiǎn)最常用的擬然比率檢驗(yàn)法:

LR=-2(lnL(p′)-lnL(p))

=-2ln[1-p′]T-Np′N+2ln[(1-N/T)N-T(N/T)N]

(7)

似然比統(tǒng)計(jì)量LR服從自由度為1的χ2分布.卡方分布的95﹪置信區(qū)間臨界值為χ2(m)=3.84，所以，如果統(tǒng)計(jì)量LR>3.84，則拒絕原假設(shè)，說(shuō)明VaR模型并不能很好地?cái)M合樣本數(shù)據(jù).反之，則接受原假設(shè)即可以認(rèn)為被檢驗(yàn)?zāi)Ｐ涂梢院芎玫財(cái)M合樣本數(shù)據(jù).

2　實(shí)證研究

2.1數(shù)據(jù)的選取及統(tǒng)計(jì)特征

本文的數(shù)據(jù)來(lái)源是中信建投大智慧軟件，為了避開(kāi)2008年的金融危機(jī)和2015年股市的大起大落，選取了從2009年1月5日到2014年12月8日上證綜指所有交易日的收盤價(jià).除去周末和法定假日，共有1 439個(gè)收盤價(jià)數(shù)據(jù).對(duì)其取對(duì)數(shù)收益率：

rt=ln(pt)-ln(pt-1)

(8)

其中，pt為上證綜指的當(dāng)日收盤價(jià)，pt-1為前一日收盤價(jià).對(duì)收益率數(shù)據(jù)做相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析如圖1所示.

圖1　上證指數(shù)收益率折線圖

由圖1可以看出，數(shù)據(jù)存在著波動(dòng)叢集性，即一個(gè)大波動(dòng)常常伴隨著幾個(gè)連續(xù)的大波動(dòng)，一個(gè)小波動(dòng)下伴隨著幾個(gè)小波動(dòng)，而且沒(méi)有明顯的趨勢(shì)，可初步判定其平穩(wěn).

從上證指數(shù)收益率的偏度、峰度以及相應(yīng)統(tǒng)計(jì)量的值可以看出，上證綜指收益率序列存在著尖峰、厚尾特性，不符合正態(tài)分布的特征.在Eviews上采用ADF單位根檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其值在5﹪水平上是顯著的，說(shuō)明數(shù)據(jù)不存在單位根，序列基本平穩(wěn).

表1　上證指數(shù)收益率的基本統(tǒng)計(jì)特征

注：其中*表示在5﹪顯著性水平下顯著.

2.2模型的參數(shù)估計(jì)

分別基于SV(1)模型和GARCH(1,1)模型，在正態(tài)分布和T分布下運(yùn)用偽極大似然估計(jì)和極大似然估計(jì)方法，通過(guò)Matlab軟件進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的結(jié)果如表2和表3所示.

表2　GARCH(1,1)模型在不同分布下的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

注：括號(hào)上方是參數(shù)估計(jì)值，括號(hào)內(nèi)是參數(shù)檢驗(yàn)p值.

由表2得出在正態(tài)分布下GARCH(1,1)-N模型的表達(dá)式為：

ht= 0.00000222 + 0.0405εt-12+ 0.9465 ht-12

(9)

在T分布下GARCH(1,1)-T模型的表達(dá)式為：

ht= 0.00000134 + 0.0322εt-12+ 0.9607ht-12

(10)

且η服從自由度為6.352 8的T分布.

表3　SV(1)模型在不同分布下的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

注：括號(hào)上方是參數(shù)估計(jì)值，括號(hào)內(nèi)是參數(shù)檢驗(yàn)p值.

由表3的參數(shù)估計(jì)結(jié)果可得在正態(tài)分布下SV(1)-N模型的表達(dá)式為：

ht=-0.031 5+0.996 5ht-1+ηt

(11)

其中，ηt服從N(0,0.054 0)的正態(tài)分布.

在T分布下SV(1)-T模型的表達(dá)式為：

ht=-0.012 3+0.998 1ht-1+ηt

(12)

其中ηt服從均值為0、方差為0.039 7、自由度為6.352 8的T分布.

2.3時(shí)變VaR值估計(jì)和返回檢驗(yàn)結(jié)果

對(duì)于VaR的計(jì)算公式：

VaR=-μ+σZ1-α

(13)

其股指每日收益率的總體期望μ=0，利用在正態(tài)分布和T分布下的SV模型與GARCH模型的表達(dá)式可計(jì)算出各時(shí)點(diǎn)的波動(dòng)σt，再根據(jù)其分布計(jì)算出相應(yīng)的分位數(shù)Z1-α，代入(13)式，即可求得各模型的時(shí)變VaR值.比較樣本的每日實(shí)際收益率與VaR估計(jì)值，當(dāng)損失大于VaR時(shí)，標(biāo)記為失敗天數(shù)，并計(jì)算失敗率與LR檢驗(yàn)值.

表5　VaR值與LR檢驗(yàn)結(jié)果

由表5可知：各模型在95﹪水平下的VaR均值、標(biāo)準(zhǔn)差及VaR預(yù)測(cè)失敗天數(shù)和LR統(tǒng)計(jì)量.可以觀察到基于GARCH模型的VaR均值要小于SV模型的VaR均值，且失敗天數(shù)明顯高于SV模型的失敗天數(shù)，其失敗率均大于0.05，說(shuō)明其低估了損失風(fēng)險(xiǎn).對(duì)于LR統(tǒng)計(jì)量可以看出，只有基于T分布的GARCH模型的LR統(tǒng)計(jì)量大于3.84，即其他3個(gè)模型都能夠較好地刻畫數(shù)據(jù).由于LR統(tǒng)計(jì)量越小，表示模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)的擬合越好，正態(tài)分布下的SV-N模型計(jì)算VaR的LR統(tǒng)計(jì)量為0.0176<3.84，且最小，即可以認(rèn)為SV-N模型擬合樣本數(shù)據(jù)的效果最好.綜合來(lái)看，不管假設(shè)市場(chǎng)的擾動(dòng)因子服從正態(tài)分布還是T分布，基于SV模型計(jì)算出的VaR值都能更好地反應(yīng)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)水平.

3　結(jié)論

本文從上海證券交易所股指收益率序列的統(tǒng)計(jì)特征出發(fā)，對(duì)收益序列分別建立SV(1)模型、GARCH(1,1)模型，并在假設(shè)其擾動(dòng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及T分布下運(yùn)用偽極大似然估計(jì)方法和極大似然估計(jì)方法對(duì)模型進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)和VaR值的測(cè)算.結(jié)果表明，不管市場(chǎng)擾動(dòng)因子服從正態(tài)分布還是T分布，基于SV模型下計(jì)算出的VaR值都更能反映市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)水平.這說(shuō)明將SV-N模型應(yīng)用于上證股市風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量是十分有效的，且明顯優(yōu)于其他分布假設(shè)的模型.但還存在幾個(gè)問(wèn)題有待解決：

(1)本文僅對(duì)單一的上證指數(shù)日收益率計(jì)算了VaR測(cè)度，而實(shí)際生活中通常遇到的是一些組合資產(chǎn)的VaR問(wèn)題.怎樣利用 SV 模型和GARCH模型來(lái)對(duì)多個(gè)市場(chǎng)組合的因子波動(dòng)性進(jìn)行測(cè)定并尋求最為恰當(dāng)?shù)馁Y產(chǎn)權(quán)重，計(jì)算總體綜合風(fēng)險(xiǎn)是需要進(jìn)一步討論的問(wèn)題.

(2)本文選取的SV模型和GARCH模型都是標(biāo)準(zhǔn)模型，雖然在正態(tài)分布與T分布下能夠較好地刻畫金融序列的“厚尾”性，但相較于擴(kuò)展的SV與擴(kuò)展的GARCH模型，如基于杠桿效應(yīng)的SV模型、EGARCH模型等，對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的刻畫能力仍較弱.

[1]BOLLERSLEV T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics, 1986, 31(3): 307-327.

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(責(zé)任編輯穆剛)

Comparison of VaR based on the two kinds of distribution between the GARCH model and SV model

ZHOU Bingjun,WANG Qin,ZHENG Xing

(College of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu Sichuan 610031,China)

The SV model and GARCH model were applied to the calculation of VaR, and the Shanghai composite index’s actual data was used for the empirical research. Based on N distribution and T distributionthe GARCH model and SV model were established, and the Shanghai index yield value at risk (VaR) was measured. The results show that the SV-N, SV-T model can better calibrate the actual market volatility, and can truly reflect the characteristics of Shanghai composite index of market risk.

VaR; GARCH model; SV model; financial risk

2016-04-16

周炳均(1992—),男，四川眉山人，碩士研究生，主要從事金融統(tǒng)計(jì)方面的研究.

F224

A

1673-8004(2016)05-0133-05