殷　俊，張建剛，南　娟，盧加榮，龐　琴

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 甘肅　蘭州　730070)

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一類含有隨機(jī)參數(shù)的混沌系統(tǒng)的Hopf分岔研究

殷俊，張建剛，南娟，盧加榮，龐琴

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 甘肅蘭州730070)

文章選取隨機(jī)變量為系統(tǒng)的隨機(jī)變量研究含有隨機(jī)參數(shù)混沌系統(tǒng)的Hopf分岔，利用Chebyshev正交多項(xiàng)式逼近理論將含有隨機(jī)變量的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的確定性系統(tǒng)，通過Hopf分岔定理和Lyapunov系數(shù)討論了隨機(jī)參數(shù)系統(tǒng)的Hopf分岔及穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性參數(shù)區(qū)間大小不僅和確定性參數(shù)有關(guān)，還與隨機(jī)參數(shù)有非常密切的關(guān)系.

隨機(jī)Hopf分岔；Chebyshev正交多項(xiàng)式逼近；穩(wěn)定性

混沌廣泛存在于自然科學(xué)各領(lǐng)域中，如數(shù)學(xué)、生物學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域. 從第一個(gè)混沌吸引子被發(fā)現(xiàn)后，新的混沌系統(tǒng)不斷被人們發(fā)現(xiàn)[1-6].為便于控制混沌系統(tǒng)的敏感性和不可預(yù)測(cè)性，很多同步和控制方法被提出.如脈沖控制法、OGY方法、被動(dòng)控制法、主動(dòng)控制法、非線性反饋法、線性狀態(tài)反饋控制法等．混沌控制在很多領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景.由于此方面的研究還停留在定性階段，對(duì)選取模型的準(zhǔn)確性和精度要求較高，所以分析含有隨機(jī)參數(shù)的混沌系統(tǒng)尤為關(guān)鍵.目前，處理含有隨機(jī)參數(shù)的隨機(jī)系統(tǒng)的方法大致包括3類：Monte Carlo 方法[7]、隨機(jī)有限元方法[8-9]和正交多項(xiàng)式逼近法[10].其中，正交多項(xiàng)式逼近相對(duì)于其他兩類方法具有較小的局限性，因此被廣泛應(yīng)用[11-16].本文選取參考文獻(xiàn)[17]中改進(jìn)后的模型，在考慮系統(tǒng)不確定性和外界干擾的情況下，提出一個(gè)新的含有隨機(jī)參數(shù)的混沌系統(tǒng)，分析新系統(tǒng)的基本穩(wěn)定性和分岔.

1　隨機(jī)函數(shù)的正交分解基本理論

選取(服從拱形分布)隨機(jī)變量為系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)進(jìn)行分析.服從拱形分布的隨機(jī)變量概率密度函數(shù)可表示為[18]：

(1)

相應(yīng)的第二類Chebyshev多項(xiàng)式的一般表達(dá)式為：

(2)

其循環(huán)遞推公式為：

(3)

其加權(quán)正交性可以表示為：

(4)

2　含有隨機(jī)參數(shù)的混沌系統(tǒng)的正交多項(xiàng)式逼近

(5)

(6)

運(yùn)用正交多項(xiàng)式逼近，響應(yīng)如下：

(7)

(8)

將任意兩個(gè)Chebyshev多項(xiàng)式的乘積都轉(zhuǎn)化為它們的線性組合，則(8)式中的非線性項(xiàng)可以簡(jiǎn)化，并運(yùn)用Chebyshev多項(xiàng)式的循環(huán)遞推公式，方程式可以簡(jiǎn)化后得到：

通過正交多項(xiàng)式逼近得到與之等價(jià)的確定性混沌系統(tǒng)，在系統(tǒng)轉(zhuǎn)化過程中對(duì)方程關(guān)于ζ求期望，所以得到的新的系統(tǒng)是含有隨機(jī)參數(shù)的混沌系統(tǒng)的加權(quán)均值系統(tǒng).

3　隨機(jī)Hopf分岔分析

3.1Hopf分岔的存在性

通過MAPLE,我們能夠得到特征方程：

f(λ)=a0λ6+a1λ5+a2λ4+a3λ3+a4λ2+

a5λ1+a6

其中：

a0=1

a1=2c+2a-2

λ5=-c，λ6=-c.

6c2δ+8b2c2-b2c2δ-6b-bδ2+

bδ3+5bδ-4cδ-4b3-8b2-10b+

根據(jù)Hopf分岔理論，a0是Hopf分岔臨值，若滿足a>1且δ>1，當(dāng)參數(shù)a穿過它的臨界值a0時(shí)，系統(tǒng)在其平衡點(diǎn)O(0,0,0,0,0,0)發(fā)生Hopf分岔.

3.2穩(wěn)定性

在本節(jié)中，通過掌握Lyapunov系數(shù)對(duì)Hopf分岔進(jìn)行進(jìn)一步的調(diào)查和研究.

x,y

x,x=0.

考慮非線性動(dòng)力系統(tǒng)

x=f(x,v)(x∈Rn),

v∈Rn為分岔參數(shù)，當(dāng)v=vc時(shí)，等式有平衡點(diǎn)x=x0，則等式的右邊可表示為:

F(x)=Jx+N(x)

令Cn為在復(fù)數(shù)域C上定義的一個(gè)線性空間，令q∈Cn為一個(gè)復(fù)合特征向量，滿足λ1和p∈Cn為一個(gè)伴隨特征向量滿足以下內(nèi)容：

p,q.

當(dāng)x=(x0,y0,x1,y1,x2,y2)時(shí)，B(x,y)和C(x,y，z)分別是雙線和三線函數(shù)，可以表示為：

i=1,2,…,n

i=1,2,…,n

第一Lyapunov系數(shù)被定義為：

我們可以定義系數(shù)：

G20=p,B(q,q)，

G11=，

G02=，

G21=-2+

+

通過計(jì)算知第一Lyapunov系數(shù)為：

其中：A=-c+bc+cδ2-2cδ+b2cδ2+2bcδ2+b2c-4bcδ-

C=-4b+4δ2+8bδ2-16c-8bc-4b2+8cδ2+

8bcδ2+4b2δ2+4δ+16cδ+4bδ，

D=-8c+2δ2+2δ+16cδ+2bδ-2b

4　結(jié)論

本文運(yùn)用Chebyshev正交多項(xiàng)式逼近法分析新的混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性及Hopf分岔行為. 這個(gè)方法將隨機(jī)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)與之等價(jià)的確定性系統(tǒng)，然后對(duì)其確定性系統(tǒng)通過一個(gè)Lyapunov系數(shù)法進(jìn)行分岔分析.結(jié)果表明，隨機(jī)Hopf分岔在新的混沌系統(tǒng)中不僅和傳統(tǒng)的Hopf分岔相似，而且還具有一些特性.例如，隨機(jī)Hopf分岔行為是由于隨機(jī)參數(shù)的強(qiáng)度導(dǎo)致的.本文提出的新的混沌系統(tǒng)的隨機(jī)分岔的穩(wěn)定性是不發(fā)生改變的.隨機(jī)因素對(duì)系統(tǒng)及其穩(wěn)定性和Hopf分岔的影響較為顯著.隨著隨機(jī)參數(shù)強(qiáng)度不斷減小，含有隨機(jī)參數(shù)混沌系統(tǒng)的零解漸進(jìn)穩(wěn)定的區(qū)域逐漸增大.因此，在隨機(jī)參數(shù)系統(tǒng)中我們應(yīng)當(dāng)更好地控制參數(shù)強(qiáng)度.

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(責(zé)任編輯穆剛)

Hopf bifurcation study of a class of chaotic systems containing random parameter

YIN Jun, ZHANG Jiangang, NAN Juan,LU Jiarong，PANG Qin

(Department of Mathematics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China)

In the paper the random parameter was used to study the Hopf bifurcation of chaotic system containing random parameter, and the Chebyshev polynomial approximation theory was used to change the system containing random parameter into the deterministic equivalent system. Through the Hopf bifurcation theory and Lyapunov coefficient to discuss the Hopf bifurcation and stability of random stochastic parameter system, it shows that the critical value of stochastic Hopf bifurcation is determined not only by deterministic parameters in stochastic system, but also by the intensity of random parameter.

random Hopf bifurcation; Chebyshev polynomial approximation; stability

2016-03-02

殷俊(1991—)，女，甘肅酒泉人，碩士，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的研究.

O21

A

1673-8004(2016)05-0029-05