王圣業(yè)，王光學(xué),2，董義道，鄧小剛

(1．國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙　410073；2．中山大學(xué) 物理學(xué)院， 廣東 廣州　510006)

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基于高精度加權(quán)緊致非線性格式的γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型標(biāo)定與應(yīng)用*

王圣業(yè)1，王光學(xué)1,2，董義道1，鄧小剛1

(1．國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙410073；2．中山大學(xué) 物理學(xué)院， 廣東 廣州510006)

為準(zhǔn)確模擬航空工程中的轉(zhuǎn)捩問題，在高精度數(shù)值風(fēng)洞平臺(tái)上采用低速平板試驗(yàn)數(shù)據(jù)對基于高精度加權(quán)緊致非線性格式的γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型進(jìn)行了標(biāo)定，并在二維低速問題中進(jìn)行了應(yīng)用。計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)的對比表明：基于高精度加權(quán)緊致非線性格式的γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型可準(zhǔn)確模擬自然轉(zhuǎn)捩、旁路轉(zhuǎn)捩及分離轉(zhuǎn)捩的位置，并且具有較低的網(wǎng)格敏感性；在中等雷諾數(shù)范圍，層流區(qū)域和湍流區(qū)域有相同量級時(shí)，計(jì)算必須采用轉(zhuǎn)捩模型才能準(zhǔn)確模擬阻力系數(shù)。

轉(zhuǎn)捩模型；高精度格式；加權(quán)緊致非線性格式；湍流模型

轉(zhuǎn)捩機(jī)理非常復(fù)雜，包含了自然轉(zhuǎn)捩、旁路轉(zhuǎn)捩、分離誘導(dǎo)轉(zhuǎn)捩以及湍流邊界層在順壓梯度下可能再層流化等[1]，故而對轉(zhuǎn)捩的模擬十分困難。近年來，在計(jì)算流體力學(xué)(Computational Fluid Dynamics, CFD)中，高精度數(shù)值方法和高性能計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，使直接數(shù)值模擬和大渦數(shù)值模擬在轉(zhuǎn)捩機(jī)理研究中的應(yīng)用取得了很大成功，但距離工程應(yīng)用仍存在很長距離。目前，工程應(yīng)用中仍然依靠求解雷諾平均Navier-Stokes(Reynolds Average Navier-Stokes, RANS)方程，轉(zhuǎn)捩主要依靠經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)公式確定。其中，Menter和Langtry等[2-3]提出的基于當(dāng)?shù)仃P(guān)聯(lián)的γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型，憑借其與現(xiàn)代CFD方法良好的兼容性，在工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型將經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)方法和間歇因子方法有機(jī)結(jié)合起來，通過經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)函數(shù)控制邊界層內(nèi)間歇因子的生成，再通過間歇因子控制湍流模型中湍流的生成。該模型并不試圖模擬邊界層轉(zhuǎn)捩的物理機(jī)理，其中的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)函數(shù)依靠風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到，并且對使用的CFD軟件平臺(tái)的差異十分敏感。Menter等在提出該模型時(shí)，依據(jù)T3系列低速平板試驗(yàn)對經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)函數(shù)進(jìn)行了標(biāo)定，并應(yīng)用到CFX軟件平臺(tái)中，但出于商業(yè)秘密直到2009年才公開[4]。Sorensen[5]、Martin[6]、張玉倫[1]、張毅峰[7]等分別采用不同的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，在各自的軟件平臺(tái)上進(jìn)行了標(biāo)定，并取得了較為理想的轉(zhuǎn)捩模擬結(jié)果，但其對RANS方程的離散均為低階精度方法。

本文以國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)的高精度數(shù)值風(fēng)洞平臺(tái)為基礎(chǔ)，通過T3系列低速平板試驗(yàn)對γ-Reθ模型中的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)函數(shù)Reθc和Flength進(jìn)行了標(biāo)定。RANS方程的離散采用了基于對稱守恒網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)方法(Symmetrical Conservative Metric Method, SCMM)的五階精度加權(quán)緊致非線性格式(Weighted Compact Nonlinear Scheme, WCNS)。

1　γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型及高精度數(shù)值方法簡介

1.1γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型方程

無量綱γ-Reθ輸運(yùn)方程的守恒形式：

(1)

(2)

其源項(xiàng)及系數(shù)具體參見文獻(xiàn)[4]。

γ-Reθ模型包含三個(gè)關(guān)鍵的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)函數(shù)：轉(zhuǎn)捩動(dòng)量厚度雷諾數(shù)Reθt、轉(zhuǎn)捩區(qū)長度Flength和臨界動(dòng)量厚度雷諾數(shù)Reθc。Reθt是湍流度Tu和壓力梯度參數(shù)λθ的函數(shù)，本文采用Menter等給出的Reθt經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式。Flength和Reθc對數(shù)值平臺(tái)的依賴性很強(qiáng)，它們通過數(shù)值試驗(yàn)標(biāo)定獲得。

1.2γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型與k-ω SST模型的結(jié)合

無量綱k-ωSST模型輸運(yùn)方程的守恒形式：

(3)

(4)

其源項(xiàng)及系數(shù)具體參見文獻(xiàn)[8]。

γ-Reθ模型和k-ωSST模型的結(jié)合主要是通過間歇函數(shù)γ來修正k方程的生成項(xiàng)和破壞項(xiàng)：

(5)

其中：Pk，Dk和F1,orig是k-ωSST模型中原來的生成項(xiàng)、破壞項(xiàng)和混合函數(shù)；γeff是γ-Reθ模型經(jīng)過分離誘導(dǎo)轉(zhuǎn)捩修正后的間歇函數(shù)；γD,min和F3說明參見文獻(xiàn)[4]。ω方程不做修正。

1.3高精度數(shù)值方法簡介

高精度數(shù)值風(fēng)洞平臺(tái)中對RANS方程的求解采用了高階精度的WCNS。該格式首先由Deng等[9]在2000年提出。其后，不同學(xué)者[10-12]發(fā)展了多種形式的WCNS，并在廣泛的流動(dòng)問題中證明了格式的優(yōu)勢。本文采用的是WCNS系列格式中一種典型的五階顯式離散格式WCNS-E-5。WCNS-E-5格式由于其低耗散、高魯棒和優(yōu)秀的自由流和渦保持特性，被廣泛應(yīng)用于各種實(shí)際流動(dòng)問題的高精度數(shù)值模擬中。時(shí)間格式方面，本文采用了隱式LU-SGS方法。

在計(jì)算網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)及雅克比時(shí)，平臺(tái)中采用了滿足幾何守恒律的SCMM[13]，有利于提高高精度有限差分方法的魯棒性并減小數(shù)值誤差。

2　γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的確定

2.1經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的標(biāo)定

關(guān)聯(lián)函數(shù)的標(biāo)定一般選取低速平板試驗(yàn)中的S&K，T3A，T3A-和T3B，其中S&K和T3A-試驗(yàn)為低湍流度自然轉(zhuǎn)捩，T3A和T3B為高湍流度旁路轉(zhuǎn)捩。

標(biāo)定采用的計(jì)算網(wǎng)格如圖1所示，網(wǎng)格為486×162(流向×法向)，平板上分布432網(wǎng)格單元，法向最小間距Δymin=1.0×10-6m。標(biāo)定計(jì)算采用WCNS-E-5格式，并使用預(yù)處理技術(shù)以適應(yīng)低速流動(dòng)。

圖1　平板計(jì)算網(wǎng)格Fig.1　Computational mesh for the flat plate

標(biāo)定采用的低速平板試驗(yàn)進(jìn)口條件見表1，其中FSTI和μt/μ分別為平板前緣的湍流強(qiáng)度和渦黏性比。由于網(wǎng)格進(jìn)口邊界距前緣0.22 m，因此計(jì)算中采用的進(jìn)口條件需由式(6)計(jì)算得出，具體值為表1中遠(yuǎn)場進(jìn)口的FSTI和μt/μ。

(6)

式中，β=0.09,β*=0.0828，x是下游距進(jìn)口的流向距離，V是平均速度。

表1　平板前緣及遠(yuǎn)場進(jìn)口條件

關(guān)聯(lián)函數(shù)Flength和Reθc是耦合性很強(qiáng)的函數(shù)，為較為便捷地確定其分布，采用如下迭代步驟：

(7)

表2　不同算例中Reθc和Flength與對應(yīng)關(guān)系

圖和擬合曲線Fig.

2.2γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型的網(wǎng)格收斂性分析

湍流模型可信度研究的重要性毋庸置疑，其基本方法是CFD的驗(yàn)證與確認(rèn)。驗(yàn)證過程是對離散方法進(jìn)行網(wǎng)格收斂性分析；確認(rèn)過程是將計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，研究模型的誤差[14]。以往許多學(xué)者對轉(zhuǎn)捩模型標(biāo)定后只在單一網(wǎng)格上進(jìn)行了確認(rèn)，并未對網(wǎng)格收斂性進(jìn)行研究。本節(jié)將通過高精度數(shù)值風(fēng)洞平臺(tái)，對高階精度WCNS下轉(zhuǎn)捩模型的網(wǎng)格收斂性進(jìn)行研究，同時(shí)與傳統(tǒng)二階精度MUSCL格式下的轉(zhuǎn)捩模型進(jìn)行對比。

圖3　兩種格式在不同網(wǎng)格上的壁面摩阻系數(shù)結(jié)果與試驗(yàn)的比較Fig.3　Comparisons of skin friction coefficient between CFD calculations for two schemes on three different grids and wind tunnel test

計(jì)算網(wǎng)格采用粗、中、密3套，包含216×72，324×108，486×162網(wǎng)格單元。其中的密網(wǎng)格是上節(jié)標(biāo)定時(shí)采用的標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格；中網(wǎng)格各方向上網(wǎng)格單元為密網(wǎng)格的2/3；粗網(wǎng)格各方向上網(wǎng)格單元為中網(wǎng)格的2/3。圖3給出了WCNS和MUSCL格式下轉(zhuǎn)捩模型在3套網(wǎng)格上的計(jì)算結(jié)果(圖中Cf為壁面摩阻系數(shù))?？梢钥吹剑涸诿芫W(wǎng)格上，采用WCNS和MUSCL格式均能很好預(yù)測自然轉(zhuǎn)捩(算例S&K和T3A-)和旁路轉(zhuǎn)捩(算例T3A和T3B)；中等網(wǎng)格時(shí)，MUSCL格式和WCNS開始出現(xiàn)差異，但均仍與試驗(yàn)值符合得很好；而在粗網(wǎng)格上，MUSCL格式與試驗(yàn)符合較差，尤其是算例S&K和T3B，而WCNS仍然與試驗(yàn)值符合得較好。

以上網(wǎng)格收斂性對比，表明了基于高階精度WCNS的轉(zhuǎn)捩模型具有比傳統(tǒng)二階精度方法下更低的網(wǎng)格敏感性，在實(shí)際計(jì)算中可以減小對網(wǎng)格尺度的依賴，提高計(jì)算結(jié)果的可信度。

3　高精度γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型在二維低速問題上的應(yīng)用

3.1S809翼型

S809翼型為厚度21%c(c為弦長)的層流翼型，專門為橫軸渦輪機(jī)設(shè)計(jì)。低速試驗(yàn)在荷蘭代爾夫特工業(yè)大學(xué)(Delft University of Technology)的低湍流度風(fēng)洞中完成[15]。試驗(yàn)中較大的迎角范圍內(nèi)，翼型上下表面均會(huì)出現(xiàn)層流分離—轉(zhuǎn)捩—湍流再附的復(fù)雜流動(dòng)現(xiàn)象，而傳統(tǒng)的全湍流模型無法模擬。本節(jié)采用標(biāo)定后的γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型并且將其和全湍流SST模型進(jìn)行對比。網(wǎng)格如圖4所示，采用C型拓?fù)?，網(wǎng)格單元數(shù)約6.6萬，壁面第一排網(wǎng)格距離達(dá)到了1×10-6c，遠(yuǎn)場邊界取為120c，入口條件見表3。

圖4　S809翼型計(jì)算網(wǎng)格Fig.4　Computational mesh for the S809 airfoil

圖5為WCNS下全湍流模型和轉(zhuǎn)捩模型計(jì)算氣動(dòng)力特性與試驗(yàn)的對比圖。對于升力系數(shù)Cl，全湍流模型和轉(zhuǎn)捩模型均與試驗(yàn)符合得很好，轉(zhuǎn)捩模型僅在迎角α較大時(shí)的非線性區(qū)稍優(yōu)于全湍流模型。而對于阻力系數(shù)Cd，全湍流模型明顯偏大，而轉(zhuǎn)捩模型與試驗(yàn)符合得很好。圖6為WCNS計(jì)算所得轉(zhuǎn)捩位置xT隨迎角變化曲線，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值符合得很好。

表3　算例入口條件

圖5　S809翼型氣動(dòng)特性曲線Fig.5　Dynamic characteristic for the S809 airfoil

圖6　S809翼型轉(zhuǎn)捩位置隨迎角變化曲線Fig.6　Transition location versus angle of attack for the S809 airfoil

3.2NLR7301兩段翼型

NLR7301兩段翼型為典型的起飛構(gòu)型，襟翼偏角為20°。風(fēng)洞試驗(yàn)是20世紀(jì)70年代末期在NLR 3 m×2 m低速風(fēng)洞中完成的[16]，試驗(yàn)構(gòu)型包含了兩種不同的縫隙寬度，一種為26%c，另一種為13%c。試驗(yàn)中觀察到主翼的前緣有一個(gè)明顯的層流分離泡，但其影響是局部的。

本節(jié)采用標(biāo)定后的γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型并且將其和全湍流SST模型進(jìn)行對比。選擇主翼/襟翼的縫隙寬度為26%c的構(gòu)型，計(jì)算網(wǎng)格如圖7所示，網(wǎng)格單元數(shù)約20萬，壁面第一排網(wǎng)格距離達(dá)到1×10-6c。為了降低遠(yuǎn)場邊界對氣動(dòng)特性的影響，遠(yuǎn)場邊界取為150c。入口條件見表3。

圖7　NLR7301翼型計(jì)算網(wǎng)格Fig.7　Computational mesh for the NLR7301 airfoil

表4為氣動(dòng)力系數(shù)計(jì)算值和試驗(yàn)值的比較。對于阻力系數(shù)，轉(zhuǎn)捩模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值吻合得很好，而全湍流模型計(jì)算結(jié)果偏大；對于升力系數(shù)，轉(zhuǎn)捩模型的結(jié)果稍高于試驗(yàn)值。文獻(xiàn)[17]表明，采用γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型后會(huì)高估NLR7301翼型的升力，而本文結(jié)果說明該問題和格式精度并無明顯關(guān)系。

表4　NLR7301翼型氣動(dòng)力系數(shù)計(jì)算結(jié)果

圖8給出了6°和10.1°迎角下轉(zhuǎn)捩位置計(jì)算值與試驗(yàn)值的對比情況，主翼上下表面及襟翼上表面均為分離轉(zhuǎn)捩。6°迎角下，WCNS計(jì)算值在主翼上與試驗(yàn)值吻合很好，在襟翼上比試驗(yàn)值稍靠前；10.1°迎角下，WCNS計(jì)算值在主翼和襟翼上均和試驗(yàn)值吻合。

圖8　NLR7301翼型6°及10.1°迎角時(shí)渦黏系數(shù)云圖及轉(zhuǎn)捩位置計(jì)算值與試驗(yàn)值對比Fig.8　Contour of eddy viscosity around NLR7301 airfoil at 6° and 10.1° angle of attack as well as the measured and predicted transition locations

3.330P-30N三段翼型

MDA 30P-30N翼型最初是美國國家航空航天局蘭利研究中心在高升力專題活動(dòng)中采用的一個(gè)測試模型[4]。低速試驗(yàn)是在蘭利低湍流度風(fēng)洞完成的，轉(zhuǎn)捩位置由熱膜法測量得到。由于在其物面周圍有較大的壓力梯度和自由流湍流度變化，因此對轉(zhuǎn)捩模型非常具有挑戰(zhàn)性。本節(jié)采用標(biāo)定后的γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型，計(jì)算迎角為8°。計(jì)算網(wǎng)格如圖9所示，采用多塊對接結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格單元數(shù)為21萬，壁面第一排網(wǎng)格距離達(dá)到了1×10-6c。入口條件見表3。

圖9　30P-30N翼型計(jì)算網(wǎng)格Fig.9　Computational mesh for the 30P-30N airfoil

圖10為渦黏系數(shù)云圖及自然轉(zhuǎn)捩位置計(jì)算值與試驗(yàn)值對比。可以看到縫翼和襟翼上表面轉(zhuǎn)捩位置，WCNS的計(jì)算值與試驗(yàn)值符合得很好；主翼上表面，WCNS計(jì)算值和試驗(yàn)值也吻合得較好。三段翼表面壓力梯度較大[4]，并且自由流湍流度的衰減對網(wǎng)格的疏密敏感[18]，因此容易造成主翼轉(zhuǎn)捩位置預(yù)測不準(zhǔn)確。本文之前的計(jì)算結(jié)果表明采用高精度格式可以降低轉(zhuǎn)捩模型對網(wǎng)格的依賴性，因此采用WCNS得到了很好的模擬效果。

圖10　MDA 30P-30N翼型8.1°迎角時(shí)渦黏系數(shù)云圖及轉(zhuǎn)捩位置計(jì)算值與試驗(yàn)值對比Fig.10　Contour of eddy viscosity around MDA 30P-30N airfoil at 8° angle of attack as well as the measured and predicted transition locations

4　結(jié)論

1) 應(yīng)用本文方法確定了一組關(guān)聯(lián)函數(shù)，在平板算例中計(jì)算的摩阻系數(shù)分布與試驗(yàn)吻合得很好，說明本文標(biāo)定方法的正確性；

2) 采用3套平板算例網(wǎng)格對γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型進(jìn)行了網(wǎng)格收斂性分析，并與傳統(tǒng)二階精度MUSCL格式下的轉(zhuǎn)捩模型進(jìn)行了對比，表明高精度格式下γ-Reθ轉(zhuǎn)捩模型具有較低的網(wǎng)格敏感性。

3)在二維低速問題中對比WCNS下的轉(zhuǎn)捩模型和全湍流模型，表明中等雷諾數(shù)范圍，層流區(qū)域和湍流區(qū)域有相同量級時(shí)，計(jì)算必須采用轉(zhuǎn)捩模型才能準(zhǔn)確模擬阻力系數(shù)。

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Calibration and application of γ-Reθtransition model based on high-order weighted compact nonlinear scheme

WANG Shengye1, WANG Guangxue1,2, DONG Yidao1, DENG Xiaogang1

(1.College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China; 2.School of Physics, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510006, China)

In order to accurately simulate the transition in aeronautical engineering, the low speed flat plate data was adopted for the calibration ofγ-Reθtransition model based on high-order WCNS (weighted compact nonlinear scheme) on the platform of high-order numerical wind tunnel. Based on the calibrated transition model, the flow over the low speed airfoil was investigated. Comparison between the calculated results and the experiment data indicates that theγ-Reθtransition model based on WCNS can predict the location of nature transition, bypass transition or separation transition very well and has low mesh sensitivity; only the transition model can calculate the drag coefficient accurately within a moderate Reynolds number range where the length of the laminar flow region is comparable to that of the turbulent flow region.

transition model; high-order scheme; weighted compact nonlinear scheme; turbulence model

10.11887/j.cn.201604003http://journal.nudt.edu.cn

2016-03-01

國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(ZDYYJCYJ20140101)

王圣業(yè)(1991—)，男，河北衡水人，博士研究生，E-mail：wangshengye0415@sina.com；鄧小剛(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：xgdeng2000@vip.sina.com

TN95

A

1001-2486(2016)04-014-07