馬　亮，丁　浩（海軍潛艇學院，山東 青島 266199）

魚雷定深航行穩(wěn)定性的分叉分析

馬亮，丁浩
（海軍潛艇學院，山東 青島 266199）

魚雷定深運動方程含有諸多的非線性項，用傳統(tǒng)的分析方法對其穩(wěn)定性進行研究有較大難度。運用非線性科學中的分叉理論，選定魚雷定深運動方程中的某一流體動力系數(shù)擾動值為分叉參數(shù)，系統(tǒng)地分析在經(jīng)典比例微分深度控制系統(tǒng)作用下，魚雷在退化平衡點處的航行穩(wěn)定性。利用中心流形定理，推導出系統(tǒng)狀態(tài)變量解析表達式，對系統(tǒng) Hopf 分叉進行分析，并進行仿真驗證。結(jié)果表明，流體動力系數(shù)變化使定深航行產(chǎn)生 Hopf 分叉，并給出了確保魚雷穩(wěn)定航行的流體動力參數(shù)取值范圍。

動力系統(tǒng)；分叉；航行穩(wěn)定性；魚雷；深度控制

0　引 言

魚雷在縱向平面內(nèi)的運動方程具有明顯非線性，一般來說，研究魚雷非線性問題需要對運動方程進行不斷地簡化和限制。通常將非線性微分方程線性化，然后按線性方程進行運動分析和控制器設(shè)計，實踐證明多數(shù)情況下線性方法可行［1］。但隨著對魚雷相關(guān)技術(shù)的研究不斷深入，魚雷運動中蘊涵的非線性因素越來越受到重視。如魚雷縱向運動方程中所包含的流體動力系數(shù)都是通過試驗測定，但隨著作戰(zhàn)使用環(huán)境以及魚雷使用方式的不同，這些系數(shù)值會發(fā)生變化［2］，甚至會導致魚雷運動由穩(wěn)態(tài)跳變到不穩(wěn)態(tài)，現(xiàn)實中表現(xiàn)為跳水或沉底［3］。因此，研究魚雷在流體動力參數(shù)存在擾動時的運動穩(wěn)定性，有利于改善魚雷的運動特性，匹配魚雷機動性與穩(wěn)定性。近年來，對水下航行體運動穩(wěn)定性的分叉研究工作已經(jīng)展開。文獻［5］和文獻［6］以橫舵角為分叉參數(shù)，分別對魚雷和潛艇縱向運動的跨臨界分叉進行研究；文獻［7］以控制器參數(shù)為分叉參數(shù)，對魚雷爬潛運動的跨臨界分叉進行研究；文獻［8］和文獻［9］分別以控制器參數(shù)和空化數(shù)為分叉參數(shù)，對水下高速運動體縱向運動的Hopf 分叉進行研究；文獻［10］以流體動力參數(shù)為分叉參數(shù)，對魚雷在非控狀態(tài)下縱向運動的跨臨界分叉和 Hopf 分叉進行研究；文獻［11］對水下航行體的縱傾航行穩(wěn)定性進行了研究分析。上述工作在研究屬靜態(tài)分叉的跨臨界分叉時，都給出了系統(tǒng)的分叉范式；而研究屬動態(tài)分叉的Hopf 分叉時，卻未給出系統(tǒng)的解析表達式，而是通過數(shù)值仿真證明了Hopf 分叉的存在。

本文以目前常見的采用比例微分控制的魚雷為研究對象，將魚雷定深運動模型中所包含的某一流體動力參數(shù)的擾動作為分叉參數(shù)，利用中心流形定理推導出魚雷定深運動各狀態(tài)參量的解析表達式，對系統(tǒng)的Hopf 分叉進行研究，并進行仿真驗證?？山沂颈壤⒎挚刂葡?，魚雷定深運動失穩(wěn)的本質(zhì)原因，并完善魚雷航行穩(wěn)定性分析理論體系。

1　魚雷定深運動方程

魚雷定深運動方程由文獻［1］給出：

將其化為如下標準形式［1］：

式中：y為魚雷航深；v為魚雷速度；α，θ和 Θ 分別為攻角、俯仰角及彈道傾角；為俯仰角速度；為橫舵角；系數(shù) kij的定義可參見文獻［1］，它們包含了魚雷流體動力參數(shù)。方程右端為定深運動參數(shù)的非線性函數(shù)。魚雷定深控制器采用如下經(jīng)典比例微分控制規(guī)律［1］：

式中：y0為設(shè)定航深；θ0為平衡俯仰角；為平衡舵角；ky和kθ為控制參數(shù)。

2　分叉分析

在平衡點處利用泰勒級數(shù)展開，我們可以得到新的系統(tǒng)：

式中：F（x，Δm）為系統(tǒng)的高階項；A（Δm）由下式可得：

以國外某型魚雷為例，其總體和流體動力參數(shù)見文獻［12］，設(shè)魚雷以航速 30kn 進行定深直航，將以上參數(shù)值代入式（4）和式（6）可得：

作線性變換 y=p-1x，p為所對應(yīng)的特征向量所構(gòu)成的矩陣，式（5）可化為：

式中：B為 2 × 2 矩陣；C為 3 × 3 矩陣。它們分別對應(yīng) A（Δm）的零實部和負實部特征值，可將其表示為：

從而進一步得到：

經(jīng)分析可知 y3和 y5是共軛復根，進行如下坐標變換：

將式（10）代入式（9）整理可得：

相應(yīng)地可求得 x的表達式為：

分析式（11）和式（12）可知，此時 x=［x1，x2，x3，x4，x5］T是關(guān)于參量 O的周期函數(shù)，系統(tǒng)從平衡點處產(chǎn)生極限環(huán)即發(fā)生 Hopf 分叉。Hopf 分叉是動態(tài)分叉的典型形式，指參數(shù) Δm 經(jīng)過分叉點時，系統(tǒng)的平衡點由漸近穩(wěn)定的焦點變成不穩(wěn)定焦點，并產(chǎn)生孤立周期運動的突變現(xiàn)象［14］。

3　數(shù)值仿真

為了驗證分叉分析結(jié)果，進行數(shù)值仿真。設(shè)魚雷的初始速度為15m/s，發(fā)射深度與設(shè)定航深相同，其他狀態(tài)參量初始值都為 0，選擇不同的流體動力系數(shù)干擾值 Δm，進行計算機仿真，圖1～圖3為式（4）在Δm 取不同值時的狀態(tài)響應(yīng)曲線。

圖1　Δm=0時，系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.1　The curve of system response when Δm=0

圖2　Δm=-3.50時，系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.2　The curve of system response when Δm=-3.50

圖3　Δm=-3.40 時，系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.3　The curve of system response when Δm=-3.40

圖4　Δm=-3.40 時，平衡點處極限環(huán)Fig.4　Limit cycle at equilibrium point when Δm=-3.40

4　結(jié) 語

魚雷定深運動方程中，含有各種非線性項和耦合項，為方便起見，在研究中經(jīng)常對非線性的影響進行忽略和簡化。分析非線性問題是魚雷航行動力學與控制的研究分支之一，本文運用分叉理論處理魚雷定深航行的非線性問題，該方法不需要過于簡化方程，利用等價變換將高維系統(tǒng)約化到低維的包含了定深航行穩(wěn)定性全部信息的中心流形上來進行研究。文中選擇某一流體動力參數(shù)擾動值為分叉參數(shù)，推導出了狀態(tài)變量的解析表達式，討論魚雷在定深航行中的Hopf 分叉現(xiàn)象，并進行數(shù)值仿真驗證。研究表明，流體動力系數(shù)變化會對魚雷的定深航行穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，該結(jié)果可用來解釋魚雷發(fā)生跳水、沉底等現(xiàn)象的原因，同時也可為研究非線性因素影響下的魚雷運動穩(wěn)定性提供分析工具。

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Bifurcation analysis for depthkeeping sailing stability of torpedo

MA Liang，DING Hao
（Navy Submarine Academy，Qingdao，266199，China）

There are several nonlinear elements in the equations of torpedo depthkeeping movements.It is difficult to analyze its stability with traditional methods.A hydrodynamic parameter interference is chosen as bifurcation parameter at first.Then the sailing stability of torpedo with proportional-derivative controller is analyzed by bifurcation theory.The center manifold theory is used to get the expression of system state parameters.And the Hopf bifurcation of system is analyzed.The result is verified by numerical simulations.It shows that the hydrodynamic parameter's changing will bring Hopf bifurcation for depthkeeping sailing.And the range of hydrodynamic parameter value that insures torpedo sailing stability is given.

dynamic system；bifurcation；sailing stability；torpedo；depth control

TP13

A

1672-7619（2016）07-0095-04

10.3404/j.issn.1672-7619.2016.07.021

2016-04-22

馬亮（1973-），女，教授，主要從事水中兵器使用以及發(fā)射理論與技術(shù)研究工作。