王志剛

（遼寧省大連水文局，遼寧 大連 116023）

加權(quán)馬爾科夫鏈對汛期降水量的預(yù)測

王志剛

（遼寧省大連水文局，遼寧 大連 116023）

根據(jù)碧流河水庫壩址以上1958至2002年汛期的流域平均降水量，利用加權(quán)馬爾科夫鏈法對2003—2005年汛期降水量進行預(yù)測，與實測結(jié)果相比，3年汛期降水量均在預(yù)測允許范圍之內(nèi)，計算方法簡便，預(yù)測結(jié)果較準(zhǔn)確，對水庫調(diào)度有著重要意義。

汛期降水量；加權(quán)馬爾科夫鏈；預(yù)測；碧流河水庫

1 概述

碧流河水庫是大連市的水源地，根據(jù)水庫統(tǒng)計多年平均降水量、徑流量資料分析得知，汛期降水量占全年降水量的75%左右，汛期的徑流量占全年徑流量85%左右，降水是形成徑流的主要因素，因此較準(zhǔn)地確預(yù)測未來汛期降水量對水庫的蓄水、供水等有著十分重要的意義。

由于降水受到很多因素的影響，并且有很大的隨機性，通常難以通過物理成因?qū)ξ磥砟骋粫r段的降水量進行準(zhǔn)確數(shù)值預(yù)測。在現(xiàn)實工作中，如果能預(yù)測出未來時段降水量變化區(qū)間那么也就大大提高了預(yù)報的精度。預(yù)測范圍增大了，預(yù)報的可靠性也就提高了。對大量的降水序列資料統(tǒng)計分析及物理成因的定性分析得知，降水量為一相依隨機變量，其相依關(guān)系的強弱通常采用自相關(guān)系數(shù)作為其定量的測度，因此對降水量豐枯狀況劃分變化區(qū)間，用加權(quán)馬爾可夫鏈對碧流河水庫汛期的降水量豐枯變化進行預(yù)測。

2 馬爾科夫鏈與加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測計算步驟

2.1 馬爾科夫鏈

馬爾科夫鏈?zhǔn)菚r間和狀態(tài)都離散的馬爾科夫過程，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：定義在概率空間（贅，F(xiàn)，P）上的隨機序列{X（t），t∈T}，其中參數(shù)集 T= {0，1，2，…}，狀態(tài)空間 E={0，1，2，…}，稱為馬爾科夫鏈，如果對任意的正整數(shù)l，m，k，及任意的非負(fù)整數(shù)jl>…>j2>j1（m>jl），im+k，im，ijl，…ij2，ij1∈E有式（1）成立（這里要求式（1）的左端有意義）。

在現(xiàn)實應(yīng)用中，一般考慮齊次馬爾科夫鏈，即對任意的m，k∈T，pij（m，k）=pij（k）（i，j∈E）。

其中pij（m，k）表示為系統(tǒng)在時刻m時處在狀態(tài)i、經(jīng)k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)j的概率；pij（k）為系統(tǒng)從狀態(tài)i、經(jīng)k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移j的概率，此時轉(zhuǎn)移概率與初始時刻無關(guān)，k=1時pij（1）記為pij。

齊次的馬爾科夫鏈{X（t）}完全由初始分布{p（i），i= 0，1，…}及其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣（狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率pij，（i，j=0，1，…）所構(gòu)成的矩陣）所決定。

2.2 加權(quán)馬爾科夫鏈模型具體計算步驟

2）建立汛期降水量的分級標(biāo)準(zhǔn)，將汛期降水量分成干旱、偏旱、正常、偏豐、豐水5個狀態(tài)。

3）對第二步所得到的狀態(tài)結(jié)果進行統(tǒng)計，能夠得到不同滯時（步長從1至5）的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。

4）對汛期降水量序列的各階自相關(guān)系數(shù)rk進行計算：

式中：rk為第k階（滯時為k）的自相關(guān)系數(shù)；xl為第l時段的汛期降水量；x為汛期降水量均值；n為汛期降水量的長度。

5）各階自相關(guān)系數(shù)wk實行規(guī)范化，即：

式中：wk為規(guī)范化相關(guān)系數(shù)；m為預(yù)測需要計算的最大階數(shù)。

6）分別以前面各時段的汛期降水量作為初始狀態(tài)，結(jié)合其相應(yīng)的各階轉(zhuǎn)移概率矩陣，可預(yù)測出這個時汛期降水量的狀態(tài)概率。

7）對同一狀態(tài)的各預(yù)測概率pi加權(quán)和，作為降水量處于這種狀態(tài)的預(yù)測概率：

max｛pi，i∈k｝為這個時段降水量的預(yù)測狀態(tài),這個時段降水量發(fā)生后，加入到原序列，然后重復(fù)從1至7的計算步驟，進行下一年的汛期降水量狀態(tài)的預(yù)測。

3 利用加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測碧流河水庫汛期降水量

本文以碧流河水庫站統(tǒng)計1958—2005年汛期降水量資料（降水量資料摘自碧流河水庫調(diào)度手冊，手冊降水量資料只統(tǒng)計到2005年），首先用1958—2002年的汛期降水量資料，預(yù)測2003年汛期降水量，把2003年汛期降水量加入到原序列，再預(yù)測2004年汛期降水量，把2004年汛期降水量加入到原序列，最后預(yù)測2005年汛期降水量。

1）首先計算碧流河水庫從1958—2002年汛期流域平均降水量均值x=548.6 mm、標(biāo)準(zhǔn)差滓= 153.8 mm。

2）按照表2所建立的標(biāo)準(zhǔn)確定資料序列中各時段所對應(yīng)的狀態(tài)。

3）計算步長從1～5狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

表1 碧流河水庫1958—2002年汛期降水量序列及狀態(tài)表

表2 碧流河水庫汛期降水量分級表

①步長為1狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

②步長為2狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

③步長為3狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

④步長為4狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

⑤步長為5狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

4）按照公式（3），計算各階自相關(guān)系數(shù)，r1= -0.116，r2=0.232，r3=0.051，r4=-0.057，r5=-0.194。

5）按公式（4），對各階自相關(guān)系數(shù)進行規(guī)范化，w1=0.194 8，w2=0.390 6，w3=0.024 9，w4=0.096 6，w5=0.293 0。

6）根據(jù)1998—2002年狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，乘各階自相關(guān)系數(shù)， max{pi}=0.282 4（見表 3），i=1，預(yù)測2003年汛期為枯水年，x<379.5，2003年實測值359.9 mm。

把2003年汛期降水量加入到序列，以1958—2003年汛期降水量序列，重復(fù)上述計算步驟，預(yù)測2004 年汛期降水量，max{pi}=0.448 2，i=3，預(yù)測2004年汛期為正常年份，降水量467.2≤x<621.8，2004年實測值592.9 mm。同理，把2004年汛期降水量加入到序列，以1958—2004汛期降水量序列，重復(fù)上述步驟，預(yù)測2005年汛期降水量，max{pi}= 0.433 3，i=3，預(yù)測2005年汛期為正常年份，降水量469.0≤x<622.1，2005年實測值474.2 mm。（預(yù)測2004年、2005年汛期降水量具體計算步驟略）

表3 碧流河水庫2003年汛期降水量狀態(tài)預(yù)測表

4 結(jié) 語

1）因為以各種步長的自相關(guān)系數(shù)為權(quán)重，以各種步長的馬爾科夫鏈加權(quán)和來預(yù)測降水量狀態(tài)，與疊加馬爾科夫鏈預(yù)測方法相比較，能更充分、合理地利用信息，可以將馬爾科夫鏈與相關(guān)分析結(jié)合起來進行預(yù)測。

2）預(yù)測結(jié)果為降水量是一個區(qū)間值，而不是一個點值，在滿足工作的前提下，預(yù)測的范圍擴大了，預(yù)報精度也隨之提高。

3）隨著預(yù)報系列的增長，資料的代表性也會日益增強，應(yīng)將每年預(yù)報對象的新的實測值加入到分析的系列，計算預(yù)報對象的自相關(guān)系數(shù)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣概率、權(quán)重，可以進一步提高預(yù)報精度。

4）本文應(yīng)用加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測的是汛期降水量，還可以用加權(quán)馬爾可夫鏈來預(yù)測單月降水量或旬降水量。

5）應(yīng)用加權(quán)馬爾可夫鏈對碧流河水庫汛期降水量的預(yù)測，計算方法簡便，預(yù)測結(jié)果比較準(zhǔn)確，對于水庫調(diào)度有著重要的意義。

［1］夏樂天，朱元生生，等.加權(quán)馬爾科夫鏈在降水狀況中的應(yīng)用［J］.水利水電科技進展，2006，26（6）：20-27.

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