潘克家,湯井田,杜華坤*,蔡志杰

1 中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長(zhǎng)沙　410083 2 油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(成都理工大學(xué)),成都　610059 3 中南大學(xué)有色金屬成礦預(yù)測(cè)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,地球科學(xué)與信息物理學(xué)院,長(zhǎng)沙　410083 4 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,上?！?00433

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軸對(duì)稱地層中高分辨率陣列側(cè)向測(cè)井信賴域反演法

潘克家1,2,湯井田3,杜華坤3*,蔡志杰4

1 中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長(zhǎng)沙410083 2 油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(成都理工大學(xué)),成都610059 3 中南大學(xué)有色金屬成礦預(yù)測(cè)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,地球科學(xué)與信息物理學(xué)院,長(zhǎng)沙410083 4 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,上海200433

本文研究軸對(duì)稱地層中高分辨率陣列側(cè)向測(cè)井(HRLA)的多參數(shù)信賴域反演方法.首先對(duì)前期HRLA的有限元正演方法進(jìn)行改進(jìn),提出基于疊加原理和并行直接稀疏求解器PARDISO的快速正演方案,更適合于反演計(jì)算.將HRLA反演問題轉(zhuǎn)化為非線性最小二乘問題,利用信賴域算法求解.為提高反演速度,推導(dǎo)了目標(biāo)函數(shù)對(duì)優(yōu)化參數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的具體計(jì)算公式.對(duì)典型地層模型,與已有文獻(xiàn)中Jacobi預(yù)條件共軛梯度法(JCG)計(jì)算結(jié)果比較,發(fā)現(xiàn)PARDIDO比JCG快10倍以上,驗(yàn)證了本文正演程序的正確性與高效性.利用信賴域算法求解了電阻率四參數(shù)反演和傳統(tǒng)的三參數(shù)反演.研究結(jié)果表明:并行直接稀疏求解器PARDISO能有效求解此類HRLA正演問題,對(duì)6次不同探測(cè)深度的測(cè)井模擬,所形成的有限元?jiǎng)偠染仃囃耆嗤豁氝M(jìn)行一次矩陣分解,大大加快了正反演的速度.信賴域算法收斂速度快,且具有全局收斂性.HRLA的信賴域反演結(jié)果幾乎不依賴于初值的選取,從較差初值出發(fā)仍能得到滿意的反演結(jié)果.另外信賴域算法抗噪能力比較強(qiáng),即使對(duì)測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)添加信噪比為10dB(甚至5dB)的高斯白噪聲,仍能通過反演得到較為準(zhǔn)確的地層參數(shù).

陣列側(cè)向測(cè)井；信賴域算法；反演；全局收斂；PARDISO

Firstly,we propose an accurate and efficient method to solve the forward problem in order to obtain the logging responses of HRLA tool in the axisymmetric formation,where the superposition principle is used to simplify the calculation of resistivity logging responses,and the parallel direct solver PARDISO is employed to solve the linear system with multiple right-hand sides resulting from finite element approximation.The decomposition of the stiffness matrix is needed only once when using PARDISO to solve these linear systems,which is cheap in terms of work and fast in time.Secondly,the problem of identifying formation parameters is transformed into a nonlinear least squares problem that can be solved by the trust region algorithm.In order to speed up the optimization process,we derive an explicit formula for the partial derivative of the objective function with respect to each resistivity parameter.Finally,for a typical formation model we present resistivity four-parameter and traditional three-parameter inversion results by using different initial guesses.

In order to test the validity and effectiveness of the proposed method,we design a typical formation model with borehole radius rh=0.1016 m,invasion radius ri=0.4016 m,permeable formation thickness H=2 m,borehole mud resistivity Rm=1 Ωm,surrounding rock resistivity Rs=10 Ωm and original formation resistivity Rt=500 Ωm.Comparing the forward modeling result with the result in the existing literature,we find that the maximum relative error between the two results is only 0.01%,which verifies the correctness of the forward algorithm program.It takes less than half a second to perform forward modeling with 24881 grid points using PARDISO on a personal laptop.The computational time of the Jacobi conjugate gradient (JCG)method is more than ten times of that of PARDISO,and PARDISO provides a more accurate solution than the JCG.We use the trust region algorithm to invert formation parameters with four different initial values,one of which is far away from the real model.The inversion results show that the method can converge to the true model quickly even with very poor initial guesses.When using noisy data mixed with Gaussian white noise with signal-to-noise ratio of 10dB or even 5dB,the trust inversion algorithm still gives satisfactory results.

Trust region algorithm combined with PARDISO is successfully used to multi-parameter inversion of HRLA data.Numerical results show that the trust region inversion algorithm converges fast,and has a global convergence property.Another advantage of the proposed method is the robustness to noise.

1　引言

電法測(cè)井是測(cè)井方法中一類重要的方法,其目的是通過求取地層真電阻率來確定地層孔隙度、滲透率及含油氣飽和度等重要地質(zhì)參數(shù).而電阻率測(cè)井受鉆井泥漿、井眼、圍巖等因素的影響,電阻率測(cè)井的讀數(shù)與地層真實(shí)電阻率之間存在偏差.為消除這些影響,恢復(fù)地層真實(shí)電阻率,電法測(cè)井反演成為首選.傳統(tǒng)的雙側(cè)向測(cè)井僅能提供深、淺兩條電阻率測(cè)井曲線,測(cè)量地層信息少,無法同時(shí)反演3個(gè)以上地層參數(shù)(如侵入帶半徑、侵入帶電阻率、原始地層電阻率等).1998年,斯倫貝謝(Schlumberger)公司推出高分辨陣列側(cè)向測(cè)井儀器(High-Resolution Lateral Array tool,HRLA),該測(cè)井儀能同時(shí)提供5～6條不同探測(cè)深度的測(cè)井響應(yīng)曲線,具有縱向分辨率高、徑向探測(cè)信息豐富等優(yōu)點(diǎn),為精確反演地層參數(shù)提供了豐富的信息(Chen et al.,1998;張建華等,2002).因此,對(duì)陣列側(cè)向測(cè)井反演方法的研究,不僅能為測(cè)井儀器的研發(fā)提供理論依據(jù),且能指導(dǎo)實(shí)際測(cè)井工程,具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義.

眾所周知,正演是反演的基礎(chǔ)．電法測(cè)井的正演方法主要包括有限單元法(FEM)、有限差分法(FDM)、數(shù)值模擬匹配法(NNM).FDM 主要用于自然電位測(cè)井以及感應(yīng)測(cè)井的數(shù)值模擬計(jì)算(Weller et al.,2003;汪功禮等,2003;沈金松,2004;潘克家和譚永基,2009;Pan et al.,2009;楊守文等,2009;Su et al.,2012).NNM方法為一種半數(shù)值、半解析的高效算法,最初用于分析二維非均勻介質(zhì)中的電磁散射,后經(jīng)Chew、聶在平、張庚驥、汪宏年等人的完善,已成功應(yīng)用于各種測(cè)井響應(yīng)的數(shù)值分析中(Chew et al.,1991;聶在平和陳思淵,1994;張庚驥和汪涵明,1996;袁寧等,1998;Fan et al.,2000;譚茂金等,2007;汪宏年等,2008;Dun et al.,2010).有限單元法在電法測(cè)井?dāng)?shù)值模擬中的研究和應(yīng)用較為成熟．1980年,李大潛的《有限元素法在電法測(cè)井中的應(yīng)用》,是國(guó)內(nèi)最早的有限元法在電法中應(yīng)用的專著．之后,張庚驥等人進(jìn)行了一系列具體和深入的工作,將FEM 法推向?qū)嵱?李大潛等,1980;張庚驥,1984)．

陣列側(cè)向測(cè)井儀包含25個(gè)電極(見圖1),具有6種不同的探測(cè)深度的發(fā)射方式,相比雙側(cè)向測(cè)井儀,結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜.而FEM處理復(fù)雜邊界、適應(yīng)問題能力比較強(qiáng).因此,目前陣列側(cè)向測(cè)井的正演主要采用FEM法.劉振華和胡啟(2002)、仵杰等(2008)、范宜仁等(2009)對(duì)于包含井眼、侵入帶、圍巖和目的層的二維軸對(duì)稱地層模型,利用FEM法研究了不同層厚、侵入帶、井眼條件下陣列側(cè)向測(cè)井響應(yīng).鄧少貴和李智強(qiáng)(2009)、鄧少貴(2010a)、Deng等(2011)采用裂縫組平板裂縫模型以及改進(jìn)的前線解法,利用三維FEM進(jìn)行不同裂縫參數(shù)條件下的高分辨率陣列側(cè)向測(cè)井響應(yīng)數(shù)值模擬.鄧少貴等(2010b)采用三維FEM對(duì)傾斜井進(jìn)行了陣列側(cè)向測(cè)井響應(yīng)的數(shù)值模擬,并利用Levenberg-Marquardt(LM)方法進(jìn)行陣列側(cè)向測(cè)井的四參數(shù)反演.潘克家等(2013)建立了高分辨率陣列側(cè)向測(cè)井的等值面邊值問題數(shù)學(xué)模型,并采用Jacobi預(yù)條件共軛梯度(JCG)法求解有限元方程,提高了測(cè)井響應(yīng)的計(jì)算速度．祝鵬等(2015)采用三維有限元法模擬了水平井和大斜度井中陣列側(cè)向測(cè)井響應(yīng).值得指出的是,前面研究所提到的陣列側(cè)向測(cè)井儀稍有不同.劉振華和胡啟(2002)、潘克家等(2013)和祝鵬等(2015)文中考慮1個(gè)主電極A0、6對(duì)屏蔽電極A1,A2,…,A6和6對(duì)監(jiān)督電極M1,M2,…,M6的陣列側(cè)向測(cè)井儀;而其余文獻(xiàn)均研究只含2對(duì)監(jiān)督電極M1,M2的陣列側(cè)向測(cè)井儀.

基于正演研究工作,已有不少學(xué)者開始研究陣列側(cè)向測(cè)井的多參數(shù)反演問題.Zhang和Zhou(2002)采用降維技術(shù)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法研究了陣列側(cè)向測(cè)井的擬二維實(shí)時(shí)反演.文中提到的測(cè)井儀由1個(gè)發(fā)射電極和18個(gè)測(cè)量電極組成,同時(shí)測(cè)量8個(gè)電壓數(shù)據(jù)和16個(gè)相鄰測(cè)量電極的一階差分?jǐn)?shù)據(jù).楊韡(2003)針對(duì)具有4種不同探測(cè)深度的陣列側(cè)向測(cè)井儀(含主電極A0和4對(duì)屏蔽電極A1,A2,A3,A4),采用LM算法求解傳統(tǒng)的三參數(shù)(侵入帶半徑、侵入帶電阻率和原始地層電阻率)反演問題.劉振華和張霞(2005)采用LM算法進(jìn)行了陣列側(cè)向測(cè)井的四參數(shù)(沖洗帶電阻率、原始地層電阻率、沖洗帶半徑和過渡帶半徑)反演.頓月芹和袁建生(2009)基于點(diǎn)源模擬柱狀電極的快速NMM正演(Dun et al.,2010),采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了陣列側(cè)向測(cè)井的三參數(shù)非線性反演.李智強(qiáng)等(2010)利用差分進(jìn)化算法,對(duì)陣列側(cè)向測(cè)井響應(yīng)的三參數(shù)反演進(jìn)行了初步嘗試.LM算法結(jié)合了高斯牛頓法和最速下降法的優(yōu)點(diǎn),但仍只具有局部收斂性,即初值選擇不合適,容易導(dǎo)致算法陷入局部極值導(dǎo)致計(jì)算失敗.而智能算法(如差分進(jìn)化算法)通常具有全局尋優(yōu)能力,可避開反演初值的影響;但計(jì)算量相對(duì)較大,尋優(yōu)過程非常耗時(shí),難以實(shí)現(xiàn)快速、實(shí)時(shí)反演.

信賴域算法是非線性優(yōu)化中一類非常重要的全局優(yōu)化算法,近幾十年受到了非線性優(yōu)化界的廣泛重視(袁亞湘和孫文瑜,1997).目前,信賴域方法已和傳統(tǒng)的線搜索方法并列成為非線性規(guī)劃的兩類最主要數(shù)值方法.近年來,已有不少學(xué)者將信賴域算法應(yīng)用各種地球物理反演問題，如一維大地電磁反演(曾奇等,2011)、磁共振測(cè)深反演(林婷婷等,2013)和地震定位(田玥和陳曉非,2006).王彥飛課題組已成功將信賴域算法應(yīng)用于各種地震數(shù)據(jù)處理,如地震數(shù)據(jù)重構(gòu)(Wang et al.,2011;Cao and Wang,2014)和地震偏移反演成像(Li and Wang,2014).

為進(jìn)一步提高陣列側(cè)向測(cè)井資料的反演速度與反演結(jié)果的可靠性,本文對(duì)作者前期正演工作(潘克家等,2013)進(jìn)行改進(jìn),更適合于反演計(jì)算.進(jìn)而引入信賴域算法求解軸對(duì)稱地層條件下陣列側(cè)向測(cè)井的多參數(shù)反演問題,設(shè)計(jì)典型地層模型測(cè)試正、反演算法,為下一步實(shí)現(xiàn)三維陣列側(cè)向測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)實(shí)時(shí)反演奠定基礎(chǔ).

2　陣列側(cè)向測(cè)井原理及正演

2.1陣列側(cè)向測(cè)井儀結(jié)構(gòu)及工作原理

圖1　軸對(duì)稱地層模型示意圖Rm,Rx0,Rt,Rs分別為泥漿、侵入帶、原始地層和圍巖電阻率;rh,ri分別為井眼半徑和侵入帶半徑,H為原始地層厚度;z∞,r∞為適當(dāng)大的有界化常數(shù).Fig.1　Schematic diagram of axisymmetric formationRm,Rx0,Rs and Rt are resistivities of the borehole mud,invaded zone,surrounding rock and original formation,respectively;rh and ri the radiuses of borehole and invaded zone;H the thickness of the formation;z∞ and r∞ suitably large positive constants.

2.2陣列側(cè)向測(cè)井?dāng)?shù)學(xué)模型

不失一般性,假設(shè)上下圍巖電導(dǎo)率相等.考慮軸對(duì)稱地層模型,對(duì)稱軸通過電極中心線.以對(duì)稱軸為z軸,電極中心為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖1所示坐標(biāo)系.則對(duì)包含井眼、侵入帶、圍巖和原始地層的軸對(duì)稱地層模型,電位函數(shù)u(r,z)在截?cái)鄥^(qū)域Ω內(nèi)滿足如下橢圓方程邊值問題(潘克家等，2013):

(1)

(2)

(3)

(4)

邊界條件與已有文獻(xiàn)(潘克家等,2013)中不同,前文中在無窮遠(yuǎn)截?cái)噙吔缟鲜┘育R次混合邊界條件

(5)

2.3陣列側(cè)向測(cè)井有限元正演

(6)

(i=1,2,…,5),

(7)

再加上電流代數(shù)和為零的條件

(8)

利用疊加原理,成功避開了屏蔽電極上電流的不確定性;通過計(jì)算電流發(fā)射情況非常簡(jiǎn)單的基本解uj(0≤j≤6),即可同時(shí)得到6次不同探測(cè)深度的測(cè)井曲線.而對(duì)基本解uj的計(jì)算,雖然每次電流發(fā)射位置不同,但有限元離散形成的剛度矩陣完全相同,故對(duì)7個(gè)基本解的計(jì)算，實(shí)際上只需進(jìn)行一次矩陣分解,進(jìn)而計(jì)算6條測(cè)井曲線只須進(jìn)行一次矩陣分解,大大加快了HRLA正演速度.邊值問題離散后最終得到的有限元矩陣為對(duì)稱正定的9對(duì)角矩陣，本文采取PARDISO快速求解.具體的有限元分析過程可參考(潘克家等,2013).

2.4稀疏直接求解器與壓縮存儲(chǔ)格式

(1)并行直接求解器

PARDISO是Basel大學(xué)針對(duì)大規(guī)模稀疏線性方程組開發(fā)的高效并行直接求解器.該求解器采用BLAS軟件包,實(shí)現(xiàn)算法中線性代數(shù)操作的并行計(jì)算.大量數(shù)值測(cè)試表明,PARDISO是目前最快的線性稀疏矩陣求解方法之一(Gould et al.,2007).Intel公司獲得授權(quán)后,Intel?Math Kernel Library (Intel MKL)提供了PARDISO的優(yōu)化版本,效率高,穩(wěn)定性好.

PARDISO求解器基于LU分解,融合了向左和向右算法的優(yōu)點(diǎn),采用超節(jié)點(diǎn)消去樹進(jìn)行填充元優(yōu)化,降低算法的時(shí)空消耗.算法的具體步驟如下:

3)方程求解與迭代加精:利用LU分解結(jié)果,求解方程;如對(duì)結(jié)果精度有進(jìn)一步要求,使用迭代法進(jìn)一步提高精度.

4)迭代結(jié)束,釋放求解器所占內(nèi)存.

(2)壓縮稀疏行格式

PARDISO求解器采用目前廣泛流行的壓縮稀疏行格式(Compressed Sparse Row,CSR)對(duì)稀疏矩陣進(jìn)行壓縮存儲(chǔ),大大降低了矩陣元素的訪問時(shí)間和空間存儲(chǔ)成本.此種格式按行依次存儲(chǔ)矩陣A的非零元.設(shè)nnz為n階對(duì)稱方陣A上三角部分非零元的個(gè)數(shù),則這種存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)由以下三個(gè)數(shù)組構(gòu)成:

1)雙精度數(shù)組a——A的上三角部分的非零元素,長(zhǎng)度為nnz;

2)整型數(shù)組Ja——A中元素的列號(hào),長(zhǎng)度為nnz;

3)整型數(shù)組Ia——A中每行第一個(gè)非零元在數(shù)組a中的位置,長(zhǎng)度為n+1,其中Ia(n+1)=nnz+1.

PARDISO采用的CSR格式的存儲(chǔ)效率比潘克家等(2012)中采用的基于地址矩陣的壓縮存儲(chǔ)效率更高.另外,CSR格式非常靈活,便于操作,如計(jì)算矩陣向量乘法Ax的第i個(gè)分量為

(9)

圖2為一個(gè)對(duì)稱CSR格式的存儲(chǔ)示例.陣列側(cè)向測(cè)井正演問題(1)—(4)通過有限元離散后,得到的剛度矩陣為稀疏、對(duì)稱矩陣,可采用對(duì)稱CSR格式存儲(chǔ).

圖2　CSR格式示例

3　陣列側(cè)向測(cè)井反演

3.1陣列側(cè)向測(cè)井反演

參數(shù)識(shí)別是陣列側(cè)向測(cè)井的主要任務(wù)(Pan et al.,2014;Peng et al.2001),其中參數(shù)包括幾何參數(shù)(如地層厚度、井眼半徑、侵入帶半徑等)和物理參數(shù)(地層電導(dǎo)率).

實(shí)際測(cè)井過程中,一部分或全部監(jiān)督電極Mi(1≤i≤6)作為測(cè)量電極,其上的電位可通過測(cè)井儀器直接讀出,記為Uj(j=1,2,…,n).我們希望通過這些測(cè)量值反演出各地層區(qū)域幾何尺寸及其電導(dǎo)率,從而幫助判斷地層中石油的儲(chǔ)量.

采用最小平方誤差準(zhǔn)則,可將上述反演問題轉(zhuǎn)化為如下多參數(shù)優(yōu)化問題:

(10)

實(shí)際測(cè)井中,各個(gè)參數(shù)的重要性不同,而且有些參數(shù)往往比較容易獲取,如井眼半徑、泥漿電導(dǎo)率等.反演中,原始地層電阻率至關(guān)重要,因?yàn)樗捎脕泶_定地層孔隙度、滲透率及含油氣飽和度等重要地質(zhì)參數(shù).

3.2信賴域算法

考慮如下非線性最小二乘問題:

(11)

其中,x∈Rn(m≥n),F(x)∶Rn→Rm是連續(xù)可微函數(shù).‖·‖表示向量的2范數(shù).

信賴域算法基本思想:在當(dāng)前迭代點(diǎn)xk的附近用一簡(jiǎn)單函數(shù)近似目標(biāo)函數(shù).利用近似函數(shù)在某一鄰域內(nèi)的極小值點(diǎn)作為下一次迭代點(diǎn).對(duì)當(dāng)前迭代點(diǎn)xk,設(shè)定xk+1=xk+s.信賴域算法通過求解如下信賴域子問題得到修正步長(zhǎng)s:

(12)

其中J(xk)∈Rm×n為當(dāng)前點(diǎn)xk處的Jacobi矩陣,hk為信賴域半徑.不難求解優(yōu)化問題的步長(zhǎng)：

sk=-(J(xk)TJ(xk)+λkI)-1J(xk)TF(xk),

(13)

其中非負(fù)迭代參數(shù)

(14)

通過引進(jìn)非負(fù)參數(shù)λk,克服了Jacobi矩陣J(xk)幾乎奇異或壞條件時(shí)牛頓步帶來的困難.事實(shí)上,方程(13)即傳統(tǒng)的LM步.因此,從這個(gè)意義下講LM法可看作一類特殊的信賴域方法.

值得指出的是,LM法每次迭代修改λk,從而起到隱式調(diào)節(jié)hk和限制步長(zhǎng)‖sk‖2的作用;而信賴域方法直接顯式調(diào)節(jié)hk,故能更好地控制‖sk‖2的大小,而且方法直觀容易理解以及具有很強(qiáng)的逼近背景.

信賴域半徑hk的選取是該算法的關(guān)鍵.為了確定信賴域半徑,記Δfk為第k步實(shí)際下降量,即

(15)

記Δqk為對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)下降量,即

(16)

定義比值

(17)

注意到rk從某種程度上反映了二次函數(shù)qk(sk)與原目標(biāo)函數(shù)f(xk+sk)的逼近程度,故可按如下方式調(diào)整信賴域半徑.若rk比較小接近零時(shí),說明近似程度差,縮小下一步信賴域半徑hk+1;若rk較大接近1且信賴域子問題的解在邊界‖s‖2=hk上達(dá)到,說明近似程度好,而hk偏小了,下一步的hk+1應(yīng)放大.

求解優(yōu)化問題的信賴域算法如下:

步驟1(初始化)給定初始點(diǎn)x1,初始半徑h1,精度要求ε,參數(shù)0≤p0

步驟3(子問題求解)求解信賴域子問題得到建議步長(zhǎng)sk.

步驟4(信賴域修正)若rkp2及‖sk‖2=hk,令hk+1=2hk;否則令hk+1=hk.

步驟5(可接受檢測(cè))若rk≤p0,則令xk+1=xk;否則令xk+1=xk+sk,k=k+1,轉(zhuǎn)步驟2.

本文計(jì)算中取p0=0,p1=0.25,p2=0.75.信賴域算法迭代計(jì)算過程中,耗時(shí)部分主要集中在Jacobi矩陣的計(jì)算.

3.3目標(biāo)函數(shù)梯度的計(jì)算

采用信賴域算法求解優(yōu)化問題的過程中,需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)關(guān)于反演參數(shù)的梯度

(18)

直接對(duì)(10)求偏導(dǎo)數(shù)可得

(19)

將方程(6)代入上式,則有

(1≤i≤p).

(20)

類似地,可得

(1≤i≤q).

(21)

利用有限元理論,容易證明基本解uk滿足的橢圓型方程邊值問題等價(jià)于如下變分問題(李大潛等,1980):求u∈V使得

(22)

其中有限元空間

(0≤j≤12)},

(23)

(24)

(25)

其中,步長(zhǎng)ε為較小的正常數(shù),ei為第i個(gè)單位向量,僅第i個(gè)分量為1,其余分量均為0.

4　數(shù)值結(jié)果

所有計(jì)算均在個(gè)人筆記本上完成,CPU為Intel (R)Core(TM)i3-3120 (2.5 GHz),內(nèi)存為4 GB.采用Fortran語言編制了陣列側(cè)向測(cè)井的多參數(shù)反演程序,編譯環(huán)境為Intel Parallel Studio XE 2011,該開發(fā)工具套件包含Intel Visual Fortran Compiler XE 12.1和Intel○RMath Kernel Library 10.3.

4.1正演程序驗(yàn)證

反演的速度與精度嚴(yán)重依賴于正演.為了驗(yàn)證正演程序的正確性,構(gòu)造與已有文獻(xiàn)(潘克家等,2013)中完全相同的正演模型:井徑rh=0.1016 m,侵入帶半徑ri=0.4016 m;井眼泥漿電阻率Rm=1 Ωm,圍巖電阻率Rs=10 Ωm,侵入帶電阻率Rx0=50 Ωm,原始地層電阻率Rt=500 Ωm;儲(chǔ)層厚度H=2 m.

計(jì)算時(shí)間方面,本文采用的PARDISO求解器正演一次(計(jì)算6條測(cè)井曲線)僅耗時(shí)0.45 s,殘差2范數(shù)小于10-13,程序總耗時(shí)為0.85 s.而JCG迭代算法要求殘差2范數(shù)小于10-8,有限元方程求解耗時(shí)6.30 s.因此,PARDISO求解器不僅計(jì)算精度高,且對(duì)此類問題速度比JCG法快十多倍,有利于快速反演.這主要是因?yàn)镻ARDISO為直接法,對(duì)7次不同源位置的基本解的求解,剛度矩陣只須進(jìn)行一次分解;而迭代法JCG對(duì)7個(gè)基本解必須分別獨(dú)立計(jì)算.

4.2物理四參數(shù)反演

本節(jié)考慮物理參數(shù)即電阻率的反演.首先利用正演算法對(duì)4.1節(jié)的理論模型進(jìn)行計(jì)算,得到陣列側(cè)向測(cè)井儀主電極A0上的6次測(cè)量的電位值.然后以此6個(gè)不同的電位值作為測(cè)量數(shù)據(jù),利用信賴域算法同時(shí)反演泥漿電阻率Rm、圍巖電阻率Rs、侵入帶電阻率Rx0和原始地層電阻率Rt四個(gè)物理參數(shù).

表1給出了不同初值下的電阻率四參數(shù)反演結(jié)果、迭代步數(shù)、迭代時(shí)間和最終目標(biāo)函數(shù)值.從表中可以看出,從4個(gè)不同初值出發(fā),信賴域算法都能較快收斂到電阻率的真值,反演結(jié)果的最大相對(duì)誤差達(dá)到10-6的量級(jí).當(dāng)初值比較接近真值時(shí),信賴域算法只須迭代很少幾步,就能迅速收斂到原問題的真值.即使初值非常差,如表中初值4(Rm=Rs=Rx0=Rt=100 Ωm),信賴域算法仍能收斂到問題的準(zhǔn)確解.

表1　不同初值下的電阻率反演結(jié)果

表2　不同SNR下的電阻率反演結(jié)果

圖3　信賴域算法目標(biāo)函數(shù)收斂曲線Fig.3　Objective function convergence curves of the trust region algorithm

圖3給出了初值1、初值2和初值3情形下,信賴域算法的目標(biāo)函數(shù)迭代收斂曲線.從圖中可看出:1)信賴域算法對(duì)此類反演問題的收斂速度非?？?僅迭代幾次,目標(biāo)函數(shù)就能下降十幾個(gè)數(shù)量級(jí);2)初值離真值越近,信賴域算法收斂速度越快.對(duì)初值1,信賴域算法僅迭代4次,目標(biāo)函數(shù)值就從104下降到10-11.

下面考察信賴域算法反演陣列側(cè)向測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)的抗噪能力,為此向測(cè)量數(shù)據(jù)中添加一定信噪比(SNR)的高斯白噪聲.信噪比SNR定義為(潘克家等,2008)

在上例中加入SNR分別為10、20、40和80 dB的高斯白噪聲,以較差初值4作為初始猜測(cè)值,利用信賴域算法得到的反演結(jié)果、迭代步數(shù)、最終目標(biāo)函數(shù)值和最大相對(duì)誤差如表2所示.從表中可看出:1)算法迭代次數(shù)(代表反演時(shí)間)與不加噪聲時(shí)表1中初值4的迭代次數(shù)50差不多;2)隨著SNR的減小,噪聲水平增大,反演結(jié)果變差;3)信賴域反演算法抗噪聲的能力比較強(qiáng),即使添加了20 dB的高斯白噪聲,仍能得到比較滿意的反演結(jié)果,最大相對(duì)誤差為2.10%.若更改初值進(jìn)行反演,得到的反演結(jié)果、目標(biāo)函數(shù)值和相對(duì)誤差都與表格2中幾乎相同,只有迭代步數(shù)有所改變.這進(jìn)一步驗(yàn)證了信賴域算法反演結(jié)果對(duì)初值的不敏感性,為一種全局收斂算法.

4.3傳統(tǒng)三參數(shù)反演

考慮傳統(tǒng)意義上的三參數(shù)反演,即同時(shí)反演侵入帶半徑ri、侵入帶電阻率Rx0和原始地層電阻率Rt.這三個(gè)參數(shù)也是實(shí)際測(cè)井資料處理中非常重要的參數(shù).人們可通過地層的電阻率來確定地層孔隙度、滲透率及含油氣飽和度等重要地質(zhì)參數(shù).而像泥漿電阻率Rm等參數(shù)比較容易獲取,往往不需要通過反演獲得.同樣以陣列側(cè)向測(cè)井儀主電極A0上6次測(cè)量的不同電位值,利用信賴域算法同時(shí)反演ri、Rx0和Rt三個(gè)參數(shù).

表3給出了不同初值下傳統(tǒng)三參數(shù)的反演結(jié)果、迭代步數(shù)、迭代時(shí)間和最終目標(biāo)函數(shù)值.從表中可看出,對(duì)不同的初值,信賴域算法都能較快收斂到參數(shù)的真值,反演結(jié)果的最大相對(duì)誤差達(dá)到10-5的量級(jí).與4.2節(jié)電阻率四參數(shù)反演類似,傳統(tǒng)三參數(shù)反演時(shí)初值接近真值時(shí),信賴域算法只須迭代幾步,就能迅速收斂到問題的真值.即便初值不好,如表3中初值4(ri=0.2 m,Rx0=Rt=100 Ωm),信賴域算法仍能收斂到問題的真解.這進(jìn)一步驗(yàn)證了信賴域算法為區(qū)域搜索算法,具有全局收斂性,以及很強(qiáng)的初值適應(yīng)能力.

表3　不同初值下的三參數(shù)反演結(jié)果

表4　不同SNR下的三參數(shù)反演結(jié)果

在上例反演數(shù)據(jù)中加入SNR分別為5、10、20 dB和40 dB的高斯白噪聲,以ri=0.3 m,Rx0=40 Ωm,Rt=1000 Ωm作為反演初值,利用信賴域算法得到的傳統(tǒng)三參數(shù)反演結(jié)果、迭代步數(shù)、最終目標(biāo)函數(shù)值和最大相對(duì)誤差如表4所示.從表4中同樣可得出類似結(jié)論:加噪聲時(shí)迭代次數(shù)與不加噪聲時(shí)迭代次數(shù)相當(dāng);對(duì)傳統(tǒng)的三參數(shù)反演,信賴域反演算法抗噪聲的能力非常強(qiáng),測(cè)量數(shù)據(jù)即使添加5dB的高斯白噪聲,仍能得到非常滿意的反演結(jié)果,最大相對(duì)誤差小于4%.

5　結(jié)論與展望

本文研究軸對(duì)稱地層條件下高分辨率陣列側(cè)向測(cè)井的多參數(shù)反演.首先對(duì)陣列側(cè)向測(cè)井的有限元正演方案進(jìn)行改進(jìn),使之更適合反演計(jì)算.建立非線性反演模型,在此基礎(chǔ)上研究了目標(biāo)函數(shù)對(duì)參數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,提出同時(shí)反演物理參數(shù)和幾何參數(shù)的信賴域反演算法.具體結(jié)論如下:

(1)線性疊加原理有效地避開陣列側(cè)向測(cè)井正演時(shí)屏蔽電極上電流的不確定性,且采用PARDISO直接求解器,對(duì)6次不同探測(cè)深度的測(cè)井模擬,有限元?jiǎng)偠染仃囍豁毞纸庖淮?大大加快了HRLA的正演速度.

(2)陣列側(cè)向測(cè)井儀可測(cè)量6條具有不同探測(cè)深度的測(cè)井響應(yīng),利用主電極上的6個(gè)電位值可同時(shí)反演多個(gè)地層參數(shù).

(3)信賴域算法收斂速度快、具有全局收斂性,在不添加噪聲的前提下,對(duì)較大范圍內(nèi)的初值,電阻率四參數(shù)反演和傳統(tǒng)三參數(shù)反演均能得到非常準(zhǔn)確的結(jié)果.

(4)信賴域算法抗噪能力比較強(qiáng),對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)添加SNR為10 dB(甚至5 dB)的高斯白噪聲,仍能通過反演得到較為滿意的地層參數(shù).

本文基于階躍式侵入模型,利用陣列側(cè)向測(cè)井儀主電極A0上的6個(gè)電位值反演4個(gè)地層參數(shù).若同時(shí)利用監(jiān)督電極M1,M2,…,M6或屏蔽電極A1,A2,…,A6上的電位測(cè)量值,有望反演更加復(fù)雜的泥漿侵入模型，甚至得到目的層特定區(qū)域的精細(xì)電導(dǎo)率成像.

致謝本文完成于第一作者在美國(guó)北卡羅來納大學(xué)夏洛特分校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系訪學(xué)期間,作者衷心感謝國(guó)家留學(xué)基金委的資助.同時(shí)感謝復(fù)旦大學(xué)“電法測(cè)井的數(shù)學(xué)建模及數(shù)值模擬”課題組李大潛院士和譚永基教授的有益指導(dǎo).

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(本文編輯胡素芳)

Trust region inversion algorithm of high-resolution array lateral logging in axisymmetric formation

PAN Ke-Jia1,2,TANG Jing-Tian3,DU Hua-Kun3*,CAI Zhi-Jie4

1 School of Mathematics and Statistics,Central South University,Changsha 410083,China 2 State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation (Chengdu University of Technology),Chengdu 610059,China 3 Key Laboratory of Metallogenic Prediction of Nonferrous Metals,Ministry of Education/School of Geosciences and Info-Physics, Central South University,Changsha 410083,China 4 School of Mathematical Sciences,Fudan University,Shanghai 200433,China

The high-resolution laterolog array (HRLA)tool can simultaneously provide six curves of logging responses with different depths of investigation,which give abundant information for the inversion of geological formation parameters.This paper proposes a trust region algorithm to recover several parameters in the axisymmetric formation from HRLA data,including the mud-invasion radius,mud resistivity and original formation resistivity.

Array lateral logging;Trust region algorithm;Inversion;Global convergence;PARDISO

潘克家,湯井田,杜華坤等.2016.軸對(duì)稱地層中高分辨率陣列側(cè)向測(cè)井信賴域反演法.地球物理學(xué)報(bào)，59(8):3110-3120,

10.6038/cjg20160833.

Pan K J,Tang J T,Du H K,et al.2016.Trust region inversion algorithm of high-resolution array lateral logging in axisymmetric formation.Chinese J.Geophys.(in Chinese),59(8):3110-3120,doi:10.6038/cjg20160833.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41474103,41204082),國(guó)家863計(jì)劃項(xiàng)目(2014AA06A602),湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015JJ3148)和成都理工大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助項(xiàng)目(PLC201305)聯(lián)合資助.

潘克家,男,1981年生,湖南寧鄉(xiāng)人,2004年畢業(yè)于中國(guó)石油大學(xué),2009年在復(fù)旦大學(xué)獲得理學(xué)博士學(xué)位,現(xiàn)為中南大學(xué)副教授,主要從事地電磁場(chǎng)正反演研究.E-mail:pankejia@hotmail.com

杜華坤,男,1977年生,云南鎮(zhèn)雄人,博士,中南大學(xué)講師,主要從事地球物理數(shù)據(jù)處理與正反演研究.E-mail:hkdu2008@126.com

10.6038/cjg20160833

P631

2015-05-16，2016-05-24收修定稿