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        地震信號隨機噪聲壓制的雙樹復小波域雙變量方法

        2016-09-29 06:48:17汪金菊袁力劉婉如徐小紅
        地球物理學報 2016年8期
        關鍵詞:雙樹虛部實部

        汪金菊,袁力,劉婉如,徐小紅

        合肥工業(yè)大學數學學院,合肥 230009

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        地震信號隨機噪聲壓制的雙樹復小波域雙變量方法

        汪金菊,袁力,劉婉如,徐小紅

        合肥工業(yè)大學數學學院,合肥230009

        有效地壓制地震信號中的噪聲是地震信號解釋和后續(xù)處理的重要環(huán)節(jié)之一.本文建立兩種雙樹復小波域雙變量模型對地震信號中的隨機噪聲進行壓制.地震信號經雙樹復小波變換后,同一方向實部與虛部系數、實部(或虛部)系數與對應的模之間存在較強的相關性.鑒于此,對同一方向實部與虛部小波系數建立雙變量模型,從含噪地震信號小波系數中估計原始信號的小波系數,再基于雙樹復小波逆變換重構得到降噪后的地震信號.進一步對同一方向實部(或虛部)系數與對應的模建立雙變量模型,得到地震信號隨機噪聲壓制的第二種雙樹復小波域雙變量方法.最后對合成地震記錄和實際地震資料中的隨機噪聲進行壓制的實驗結果證實本文兩種方法都能夠有效地壓制地震信號中的隨機噪聲.

        雙樹復小波變換;隨機噪聲;雙變量模型;小波系數

        1 引言

        地震信號降噪的目的在于去除各種干擾,提高信噪比的同時較好地保留有效信號.隨機噪聲衰減是地震信號處理中的一個重要環(huán)節(jié),對噪聲的壓制效果直接影響后續(xù)處理.為了提高信噪比,人們根據信號與噪聲的特征差異,設計出各種降噪方法.以傅氏變換為基礎的頻率域濾波方法是地震資料處理中的經典方法,該方法根據有效波和干擾波在頻帶上的差異來壓制干擾波突出有效波.該方法的不足在于信號的降噪效果依賴于信號頻帶和噪聲頻帶分離的程度.若混入噪聲的頻帶和信號頻帶有重疊時,則降噪效果不是十分理想.在此基礎上,基于傅氏變換的f-x域預測地震信號降噪技術被提出,該技術可有效地壓制隨機噪聲,但不能對非平穩(wěn)地震信號進行很好的處理.

        小波是一種具有多分辨率和時頻局域性的分析工具,可將信號的特征表現在不同分辨層次上,信號的局部特征可以通過處理變換系數而改變,因而被廣泛應用于信號降噪.一些學者利用小波變換這一時頻分析工具解決非穩(wěn)態(tài)問題,相繼提出了二進小波變換方法的地震信號分時分頻去噪(章珂等,1996)、小波包變換和f-x域預測相結合的降噪算法(宗濤等,1998)、基于小波域貝葉斯方法(張波等,1999)和最小二乘降噪算法(王振國等,2002).這類降噪方法首先將地震信號進行多尺度分解得到高低頻子帶系數,然后對包含隨機噪聲的子帶系數進行處理,以達到降噪目的.它們在一定程度上提高了降噪效果,但未考慮小波域統計模型.基于拉普拉斯先驗分布的軟閾值法(Berkner and Wells,2002)開創(chuàng)性地分析了小波系數的統計特征.該降噪算法將拉普拉斯分布作為單個小波分解系數的統計分布,通過最大后驗概率估計得到軟閾值函數.以單變量概率密度函數作為先驗分布求解閾值的單變量模型算法如軟閾值法,由于只考慮子帶內單個小波系數的統計特征,沒有考慮子帶間小波系數的相關性,雖然實現簡單,但去噪效果不理想.SURE-LET算法(Luisier et al.,2007)的先驗模型在尺度內較好地模擬小波系數的概率分布,但忽略了小波系數尺度間的相關性,且其先驗統計模型相對簡單,不夠準確.基于貝葉斯估計的小波域雙變量法(Sendur and Selesnick,2002)利用相鄰尺度間小波系數的相關性,取得較好的降噪效果.隨后此方法被應用于地震信號降噪(劉鑫等,2006),實驗表明該方法具有良好的降噪性能.殷明等(2014)提出非下采樣雙樹復小波域的雙變量模型去噪算法,把雙變量統計模型引入到非下采樣雙樹復小波變換同一方向實部和虛部小波系數中,較為有效地去除圖像中的隨機噪聲.

        Kingsbury(1998)提出了雙樹復小波變換(Dual-tree Complex Wavelet Transform,DTCWT),對傳統小波進行了增強,使其具有近似平移不變、多方向選擇和低冗余的優(yōu)良特性,因而被廣泛應用于信號降噪、特征提取和分析等領域(Kingsbury,2001).由于地震信號具有明顯的多尺度性,相鄰道共深度點有效信號有較強相關性,利用雙樹復小波變換能較好地檢測與表示地震信號的線狀變化特征(如彎曲的同相軸等).雙樹復小波變換的提出解決了二維可分離小波不能很好地表示信號細節(jié)特征和方向選擇少的不足,且系數的模具有旋轉不變性.這些優(yōu)點使它能更好地表示地震信號的高維奇異特征.

        鑒于此,本文分析并驗證了地震信號的雙樹復小波變換系數中同一方向實部與虛部小波系數之間,以及實部(或虛部)系數與對應的模之間具有較強的相關性.從而對同一方向實部與虛部系數,以及實部(或虛部)系數與對應的模分別建立雙變量模型.以此從含噪地震信號小波系數中估計恢復原信號的小波系數,得到兩種地震信號隨機噪聲壓制的雙樹復小波域雙變量方法.通過理論合成記錄仿真實驗和實際地震資料處理結果證實本文兩種方法都能夠有效地壓制地震信號中的隨機噪聲.

        圖1 一維雙樹復小波分解變換示意圖Fig.1 1D dual-tree complex wavelet transform

        2 雙樹復小波變換

        雙樹復小波分解變換包含兩個平行的分解樹,需要用到兩個獨立的實小波來分別計算實部與虛部系數.實際中采用雙樹算法來實現分解變換.

        圖1展示了一維信號的雙樹復小波分解變換,其中h0(n)和h1(n)分別是樹A分解過程的低通和高通濾波器,它產生實部的低頻和高頻小波系數;g0(n)和g1(n)分別是樹B分解過程的低通和高通濾波器,它產生虛部的低頻和高頻小波系數;↓2表示下采樣操作.

        雙樹復小波所采用的實部濾波器組函數ψh(t)與虛部濾波器組函數ψg(t)構成一個復小波,即

        (1)

        雙樹復小波變換的優(yōu)良性能來源于ψC(t)的解析性,為使ψC(t)滿足解析性,則需要ψh(t)與ψg(t)構成一組希爾伯特變換對,即

        (2)

        使兩個正交小波函數組成希爾伯特變換對的充要條件是:兩低通濾波器滿足半采樣延遲條件(Coifman and Donoho,1995).則對正交小波基,有

        (3)

        (4)

        (5)

        式(5)與式(2)等價,稱式(5)為半幀移條件.由于半幀移相當于在每個尺度對低通信號的采樣提高到原來的2倍,這就極大地避免了由于二元下抽樣導致的走樣現象產生.雙樹結構和特殊濾波器的選擇使變換具有近似平移不變性和頻率無偏性.

        二維雙樹復小波變換可通過一維雙樹復小波的張量積得到,分解時相當于對行和列分別進行一維雙樹復小波變換.因為雙樹復小波變換是冗余的,對于一維信號,產生2∶1的冗余度,而對于n維的信號,將產生2n∶1的冗余度.二維雙樹復小波變換過程中,各尺度生成2個低頻子帶和方向分別為±15°、±45°和±75°的6個不同高頻子帶,且每個方向子帶有實部與虛部兩個部分.對上一尺度的低頻子帶再進行分解操作可達到多尺度分解的目的,得到不同尺度不同方向的小波分解系數.

        雙樹復小波變換后同一尺度內的各子帶維數相同,同一位置的小波系數在同一尺度內的各子帶位置固定,這樣有利于分析同一位置小波系數間的統計特性.用合適的分布擬合小波系數分布,并通過分析系數間的相關性特征,建立合適的統計模型,可提高信號降噪方法的能力(Hill et al.,2012).

        3 雙樹復小波子帶系數相關性分析

        基于小波域的降噪算法中,如何利用小波系數的統計分布特征一直是地震信號降噪算法領域的一個研究熱點.小波系數具有零均值和重尾性,它的邊緣分布近似服從拉普拉斯分布、廣義高斯分布或混合高斯分布等非高斯統計分布.但是僅僅利用這些邊緣分布特征描述小波系數特征是不夠準確的,因為這類邊緣統計分布特征忽略了小波系數之間的相關性.因此,如何建立較為準確的數學模型來描述系數之間的相關關系,從而提高降噪效果是研究的難點(Yin and Liu,2012).

        小波系數具有傳遞和聚集的特性,即幅值較大系數的鄰域系數幅值也較大,且在其他尺度同一位置系數的幅值也較大(Shi and Selesnick,2007).Sendur和Selesnick(2002)提出的雙變量閾值降噪法考慮了小波系數間的相關性,把小波系數的統計特征引入模型以提高降噪效果.由于雙樹復小波的實部和虛部濾波器構成希爾伯特變換對,因此信號經雙樹復小波變換后,同一方向實部與虛部系數具有相關性.另外雙樹復小波系數的模具有旋轉不變性,為了將這一性質應用于雙變量模型,本文還考慮了實部(或虛部)系數與模的相關關系.為了衡量實部與虛部系數、實部(或虛部)系數和模之間的相關性,本文采用互信息(Liu and Moulin,2001)作為度量標準.對于兩個變量z1和z2之間的互信息I(z1;z2)可表示為

        (6)

        其中p(z1)和p(z2)為z1和z2的概率密度函數,p(z1,z2)為z1和z2的聯合概率密度函數.并利用Peng等(2005)所述方法計算互信息值I(z1;z2).互信息值越大,表示變量之間的相關性越強.為了便于實驗,對采樣點數為512,道數為512的4個合成地震記錄進行2層雙樹復小波變換,對分解得到的子帶系數進行互信息計算,分別計算父子系數、相鄰系數、實部與虛部系數、實部(或虛部)系數與模之間的互信息值,列出部分子帶間互信息值如下表1所示.

        表1 雙樹復小波變換子帶系數的互信息

        在表1中r、Pr和Nr分別表示實部系數、其對應的父系數和鄰域系數;i、Pi和Ni分別表示與r同一方向虛部系數、其對應的父系數和鄰域系數,m是實部與虛部系數對應的模,其中

        (7)

        當式(6)中的變量z1和z2分別為r、Pr、Nr、i、Pi、Ni、m中的兩者時,I(z1;z2)表示這兩個子帶系數之間的互信息值.

        從表1中看出,同一方向的實部與虛部系數、實部(或虛部)系數與模存在著較強的相關性.相鄰尺度間系數即某一子帶系數與其父系數子帶大小不同,系數位置不固定,子帶系數與其鄰域系數雖子帶大小相同,在互信息度量時,考慮了取其鄰域的平均值,這些都影響了相關性的計算與運用.由雙樹復小波分解變換特點知,同一方向的實部與虛部系數、實部(或虛部)系數與模子帶大小一致,系數位置固定,便于度量與應用.所以本文考慮運用實部與虛部系數、實部(或虛部)系數與模之間的相關性建立統計模型.

        4 雙樹復小波域雙變量模型

        4.1實部與虛部系數的雙變量模型

        (8)

        在給定含噪地震信號s的前提下,地震信號降噪的目的是根據一定的準則盡可能地恢復原始地震信號x.在雙樹復小波域中,含噪模型可以表示為

        (9)

        其中,y為含噪小波系數,w為原始地震信號小波系數,n為噪聲的小波系數.

        考慮同一方向實部與虛部小波系數之間相關性,構造雙變量模型.假設

        (10)

        其中y1和y2是含噪地震信號同一方向的實部和虛部小波系數,w1和w2是對應的原信號小波系數的實部和虛部,n1和n2為對應的噪聲小波系數的實部和虛部.式(10)可以改寫成向量的形式:

        (11)

        其中w=(w1,w2)T,y=(y1,y2)T,n=(n1,n2)T.

        (12)

        利用條件概率公式進行推導,式(12)可變?yōu)?/p>

        (13)

        為了計算方便,進行對數變換后式(13)等價于

        (14)

        假設噪聲是獨立同分布的高斯白噪聲,這種噪聲在經過雙樹復小波變換后仍服從高斯分布,即概率密度函數為

        (15)

        設原地震信號同一方向實部與虛部小波系數的雙變量聯合概率密度函數為

        (16)

        其中a是待定參數,σ2表示被估計信號小波系數的方差.

        (17)

        (18)

        4.2實部(或虛部)系數與模的雙變量模型

        基于文中第3節(jié)的相關性分析,實部(或虛部)系數與模之間具有較強的相關性.故將實部與虛部系數的雙變量模型推廣建立實部(或虛部)系數與對應模的雙變量模型.假設:

        (19)

        假設原地震信號實部系數與模的雙變量聯合概率密度函數為

        (20)

        其中t是待定參數,σ2表示被估計信號小波系數的方差.

        (21)

        (22)

        5 雙樹復小波域雙變量模型降噪方法

        5.1參數估計

        (23)

        其中yi為高頻子帶系數.

        (24)

        (25)

        其中N是鄰域U的大小.利用式(24)和(25)可得σ2的估計值:

        (26)

        對地震數據降噪效果的評價可以選用信噪比(SNR)進行定量評價.SNR的公式定義如下:

        (27)

        為了研究參數a和t對降噪效果的影響,本文選取5個合成地震信號數據,并對其分別加入標準差為10、20、30的高斯白噪聲進行實驗.下面的圖2展示了當參數a的取值范圍為[0,5]時采用雙樹復小波域實部與虛部系數組成的雙變量模型降噪方法對SNR的影響,以及參數t取值范圍為[0,8]時實部(或虛部)系數與模組成的雙變量模型降噪方法對SNR的影響.圖2(a、b、c)中的5條曲線分別表示了5個不同地震數據降噪后SNR隨著參數a取值變化而變化.觀察得知在一定范圍內,SNR值先是隨著參數a取值的增大而逐漸上升,在[1.5,3]間達到最大,即在此處取得較好的降噪效果.當參數a取值繼續(xù)增大時SNR平緩地減小,對于加入了不同大小方差噪聲的合成地震數據皆有這一特征.圖2(d、e、f)中的5條曲線分別表示了5個不同地震數據降噪后SNR隨著參數t取值變化而變化,得到參數t最優(yōu)取值范圍為[2,4].因此本文取參數a經驗值為3,參數t經驗值為4.

        圖2 參數a及t對SNR的影響(a)、(b)和(c)噪聲標準差分別為10,20,30時參數a對SNR的影響;(d)、(e)和(f)噪聲標準差分別為10,20,30時參數t對SNR的影響.Fig.2 The influence of parameter a and t on SNR(a)、(b)and (c)The influence of parameter a on SNR with standard deviation equals to 10,20,30;(d)、(e)and (f)The influence of parameter t on SNR with standard deviation equals to 10,20,30.

        5.2降噪方法的算法步驟

        本文中的雙樹復小波域實部與虛部系數組成的雙變量降噪方法的算法步驟如下:

        步驟1:對含噪地震信號進行雙樹復小波分解變換,得到每一尺度2個低頻子帶和6個不同方向的高頻子帶,且每個子帶有實部與虛部兩個部分;

        步驟3:低頻系數保持不變,而對高頻同一方向實部與虛部系數,運用式(17),(18)估計出不含噪地震信號的實部與虛部高頻小波系數.從而得到各尺度各方向的小波分解系數的估計值;

        步驟4:對小波分解系數的估計值進行雙樹復小波逆變換重構得到降噪后的地震信號.

        本文提出的雙樹復小波域實部(或虛部)系數與模組成的雙變量降噪方法的算法步驟與上面步驟類似,不同之處在于步驟3利用式(21)和(22)估計出不含噪地震信號高頻小波系數的實部與虛部.

        6 仿真實驗與分析

        為了驗證本文降噪方法壓制地震信號隨機噪聲的有效性,利用MATLAB2014a進行算法的仿真實驗.首先生成合成地震信號,并對其加入標準差為30的高斯白噪聲,對添加噪聲后的地震信號進行一層二維雙樹復小波分解變換,所得到的小波系數如圖3所示.

        圖3 含噪合成地震信號及其一層雙樹復小波分解系數(a)含噪地震信號;(b)低頻系數;(c)6個角度方向的高頻系數.Fig.3 The noisy synthetic seismic signal and the one layer dual tree complex wavelet transform coefficients(a)The noisy seismic signal;(b)The low frequency coefficients;(c)The high frequency coefficients of the six angles.

        圖3顯示了含噪合成地震信號經過一層雙樹復小波分解后的低頻與高頻小波系數.觀察圖3(b,c)發(fā)現隨機噪聲主要集中于高頻系數中.直觀上可看出同一方向實部與虛部系數有較為明顯的相關性.因此本文方法只對高頻系數進行處理,而保持低頻系數不變.最后對壓制噪聲后的小波系數進行雙樹復小波逆變換,得到壓制噪聲后的地震信號.

        為了進一步說明本文方法的有效性,對合成地震數據加入不同大小方差的高斯白噪聲,將本文方法與基于父子系數的離散小波域雙變量閾值(DWT Bishrink)降噪方法(Abdelnour and Selesnick,2001)和基于父子系數的雙樹復小波域雙變量閾值(DTCWT Bishrink)降噪方法(Sendur and Selesnick,2002,劉鑫等,2006)進行比較,其中各小波分解層數均為4層.本文中雙樹復小波域實部與虛部系數組成的雙變量降噪方法記為方法1,雙樹復小波域實部(或虛部)系數與模組成的雙變量降噪方法記為方法2.以SNR與均方誤差(MSE)作為評價標準,MSE的公式定義如下:

        (28)

        從表2中可以看出,本文兩種方法得到的SNR值明顯大于其他兩種方法得到的值,MSE值明顯小于其他兩種方法得到的數值.因此本文兩種方法的降噪效果更好,且多數情況下方法2的結果稍優(yōu)于方法1的結果.

        為了能夠更好地體現實驗效果,在仿真實驗中取加噪地震信號其中的某一道地震數據進行觀察.選擇降噪效果較好的DTCWT Bishrink方法與本文方法2進行降噪效果比較.表2中降噪前信噪比為-4.50dB地震信號的第11道地震數據的降噪結果局部放大比對圖及對應的振幅譜比較圖如圖4所示.

        圖4 單道地震信號降噪結果及對應的振幅譜(a)原始地震信號、加噪地震信號、DTCWT Bishrink方法和方法2降噪結果局部放大比較圖;(b)地震信號及其降噪后信號對應的振幅譜;(c)振幅譜的局部放大圖.Fig.4 The denoised results of the single channel seismic signal and their corresponding amplitude spectrums(a)The local enlarged figure of the ideal seismic signal、the noisy seismic signal、the denoised seismic signals via the DTCWT Bishrink and the method 2;(b)The amplitude spectrums of the seismic signal and the denoised seismic signals via the DTCWT Bishrink and the method 2;(c)The local enlarged figure of the amplitude spectrums.

        降噪前DWTBishrinkDTCWTBishrink方法1方法2SNRSNRMSESNRMSESNRMSESNRMSE7.5719.0428.539820.1022.341021.8514.942421.9214.7066-0.3913.22108.940014.0390.290015.9358.229516.0057.3045-4.5010.09223.681510.80189.973712.67123.530912.75121.3709

        圖5 實際地震信號降噪結果(a)實際地震信號;(b)本文方法1降噪后的地震信號;(c)本文方法2降噪后的地震信號;(d)DWT Bishrink降噪后的地震信號;(e)DTCWT Bishrink降噪后的地震信號.Fig.5 The denoised results of the field seismic signal(a)The field seismic signal;(b)The denoised seismic signal via the method 1;(c)The denoised seismic signal via the method 2;(d)The denoised seismic signal via the DWT Bishrink;(e)The denoised seismic signal via the DTCWT Bishrink.

        由圖4中的(a)—(c)子圖可以看出,本文方法能夠較好地壓制隨機噪聲.從圖4(b、c)振幅譜圖中可看出,高頻噪聲得到了有效壓制,且低頻中混有的噪聲也有所減弱.

        綜合表2和圖4可以看出,本文方法在信噪比上較一些經典的降噪方法有一定的提高,而且降噪得到的地震信號與原地震信號具有更小的差異.壓制隨機噪聲的同時較好地保留了地震信號的大部分細節(jié)信息.

        7 實際地震資料處理

        為了進一步測試本文方法對地震信號降噪的效果,采用DWT Bishrink方法、DTCWT Bishrink方法、本文方法1和本文方法2對實際采集的地震信號進行降噪處理,各小波分解層數均為4層.圖5顯示了實際地震信號降噪效果.

        觀察圖5可知,本文提出的兩種方法在壓制隨機噪聲的同時也保留了更多的有效信號,具有較高的保真度.

        8 結論

        本文分析了地震信號經雙樹復小波變換后同一方向實部與虛部小波系數、實部(或虛部)系數與模的相關性.通過計算互信息進行驗證,證實了實部與虛部系數、實部(或虛部)系數與模之間存在較強的相關關系.因此對小波系數實部與虛部、實部(或虛部)系數與模分別建立雙變量模型,得到了兩種地震信號隨機噪聲壓制的雙變量方法.本文方法不僅在信噪比上較一些經典的降噪算法有一定的提高,而且較好地保留了地震信號中的有效信息.當然本文方法還有需要進一步改進的地方,例如小波系數之間的相關性可以考慮采用其他統計模型進行分析,以獲得更好的降噪效果.

        致謝作者非常感謝兩位匿名評審專家提出的寶貴意見.

        References

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        (本文編輯胡素芳)

        Dual-tree complex wavelet domain bivariate method for seismic signal random noise attenuation

        WANG Jin-Ju,YUAN Li,LIU Wan-Ru,XU Xiao-Hong

        School of Mathematics,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China

        Seismic signal noise attenuation is important in processing and interpreting seismic signal subsequently.Two dual-tree complex wavelet domain bivariate methods for seismic signal random noise attenuation are proposed.After the dual-tree complex discrete wavelet transform,the real and imaginary parts of the wavelet coefficients have dependency in the same direction.The real or imaginary parts and the corresponding magnitudes of the wavelet coefficients have dependency in the same direction.So we construct the bivariate model for the real and imaginary parts in the same direction.Using the model the wavelet coefficients of the original seismic signal are estimated.The denoised seismic signal is achieved based on the dual-tree complex wavelet inverse transform.The proposed algorithm is also extended to the real or imaginary parts and the corresponding magnitudes of dual-tree complex wavelet coefficients in the same direction.Through experiments on the synthetic seismic record and the field seismic data,the results demonstrate that the proposed two methods can attenuate random noise effectively.

        Dual-tree complex wavelet transform;Random noise;Bivariate model;Wavelet coefficients

        汪金菊,袁力,劉婉如等.2016.地震信號隨機噪聲壓制的雙樹復小波域雙變量方法.地球物理學報,59(8):3046-3055,

        10.6038/cjg20160827.

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        國家重大科研裝備研制項目“深部資源探測核心裝備研發(fā)”(ZDYZ2012-1)—06子項目“金屬礦地震探測系統”—05課題“系統集成野外試驗與處理軟件研發(fā)”,中央高?;究蒲袠I(yè)務費專項資金(J2014HGXJ0072,2015HGZX0018),國家級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目(201410359075)共同資助.

        汪金菊,女,1978年生,博士,講師,主要從事信號處理等工作.E-mail:wjj@hfut.edu.cn

        10.6038/cjg20160827

        P631

        2015-12-01,2016-01-19收修定稿

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