栗學(xué)磊，毛偉建*

1 中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所計(jì)算與勘探地球物理研究中心，武漢　430077 2 大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢　430077

?

多波多分量高斯束疊前深度偏移

栗學(xué)磊1,2，毛偉建1,2*

1 中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所計(jì)算與勘探地球物理研究中心，武漢430077 2 大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430077

本文對(duì)基于彈性波動(dòng)理論的多波多分量高斯束偏移進(jìn)行了完整且詳細(xì)的分析和公式推導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)了3D空間多分量(矢量)波場(chǎng)的直接成像.由于當(dāng)前多數(shù)基于彈性波動(dòng)方程的偏移方法只是假設(shè)應(yīng)力邊界條件為自由地表邊界條件，這種假設(shè)不符合垂直地震剖面(VSP)和海底電纜(OBC)等地震數(shù)據(jù).為此本文詳細(xì)分析了實(shí)際應(yīng)用中常見(jiàn)的三種彈性各向同性介質(zhì)模型的應(yīng)力邊界條件：自由空間、海底和自由地表模型.在上行傳播假設(shè)情況下，獲得了應(yīng)力邊界條件與位移邊界條件的關(guān)系式.在此基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確推導(dǎo)了3D多波多分量高斯束波場(chǎng)延拓和偏移成像公式，并在偏移過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了完整的多波型自動(dòng)分離.由于常規(guī)的互相關(guān)成像條件不適用于矢量波場(chǎng)成像，本文引用了散度/旋度互相關(guān)成像條件.通過(guò)約定PS轉(zhuǎn)換波的正向旋轉(zhuǎn)方向解決了3D空間PS成像極性翻轉(zhuǎn)問(wèn)題.利用2D和3D模型數(shù)據(jù)偏移成像驗(yàn)證了我們所提出的多波多分量高斯束偏移方法的可行性.

多分量偏移；3D彈性高斯束；應(yīng)力邊界條件；多波自動(dòng)分離；矢量波場(chǎng)成像

1　引言

多波多分量地震數(shù)據(jù)采集技術(shù)能夠獲得包含多波信息的矢量場(chǎng)地震數(shù)據(jù),不同波型反映了探測(cè)目標(biāo)的不同信息.多波的傳播屬性與地下介質(zhì)物性參數(shù)有直接關(guān)系,可以利用縱波和橫波傳播的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)屬性及其差異,來(lái)研究油氣藏儲(chǔ)層的巖石巖性和物性、巖石裂隙發(fā)育狀況、流體屬性檢測(cè)等(Li,1997;Li et al.,1999;Qian et al.,2007).因此，多波數(shù)據(jù)能夠提供僅依靠縱波所不能獲得的油藏參數(shù)評(píng)估(Davis,2001).然而,當(dāng)前更大的挑戰(zhàn)是多分量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確處理和多波地震信息的有效提取和利用.

常規(guī)的處理方法是基于標(biāo)量波動(dòng)方程的,主要有兩種方法:一種方法是認(rèn)為PP波和PS波能量分別集中在垂直分量和水平分量,對(duì)單分量數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)量處理;另一種方法是在偏移前進(jìn)行波型分離,對(duì)分離后的數(shù)據(jù)進(jìn)行聲波偏移(黃中玉等,2007;許世勇等,1999).常規(guī)處理方法主要利用波的傳播和偏振方向等幾何屬性實(shí)現(xiàn)多波型的識(shí)別，而沒(méi)有考慮與彈性參數(shù)相關(guān)的動(dòng)力學(xué)屬性.但是在多數(shù)情況下，多波型之間是相互耦合的，難以徹底分離.另外，標(biāo)量波動(dòng)方程不能準(zhǔn)確反映彈性波傳播和擴(kuò)散的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，不能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)彈性波的保幅偏移和反演.

自20世紀(jì)80年代，基于彈性波動(dòng)方程的多分量偏移方法已經(jīng)出現(xiàn).彈性波動(dòng)方程偏移方法能夠準(zhǔn)確反映彈性波的波場(chǎng)傳播.該偏移方法主要有兩個(gè)發(fā)展方向：彈性逆時(shí)偏移和彈性Kirchhoff偏移.

Sun和McMechan(1986)、Chang和McMechan(1987)利用有限差分實(shí)現(xiàn)了彈性逆時(shí)偏移，Chang和McMechan(1994)將其推廣到3D空間.Mittet(1994)討論了交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法存在的應(yīng)力邊界條件問(wèn)題.Zhe和Greenhalgh(1997)在地表及淺層利用彈性波動(dòng)方程進(jìn)行波場(chǎng)外推，獲得獨(dú)立的P波和S波位移勢(shì)能，以位移勢(shì)能代替位移向下延拓.Sun和McMechan(2001)在淺層利用散度和旋度進(jìn)行波場(chǎng)分離，之后進(jìn)行標(biāo)量偏移，同時(shí)考慮了S波極性翻轉(zhuǎn)問(wèn)題.Sun等(2006)將其推廣到三維三分量(3D3C)偏移.Yan和Sava(2008,2009)實(shí)現(xiàn)了角度域和各向異性介質(zhì)的彈性逆時(shí)偏移.Ravasi和Curtis(2013)同時(shí)利用海底質(zhì)點(diǎn)速度矢量和聲波水壓四分量(4C)地震數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)海底彈性逆時(shí)偏移.

Kirchhoff積分方法是最靈活、最高效的偏移方法，并且也是很成熟的保幅偏移方法.Pao和Varatharajulu(1976)提出了非均勻介質(zhì)中的彈性Kirchhoff-Helmholtz積分(簡(jiǎn)稱彈性KH積分)，Kuo和Dai(1984)、Dai和Kuo(1986)將其應(yīng)用于彈性波場(chǎng)外推.Berkhout和Wapenaar(1989)、Wapenaar和Haimé(1990)分別推導(dǎo)了聲波和彈性波單程波Rayleigh積分，并將Rayleigh積分應(yīng)用到波場(chǎng)延拓.Hokstad(2000)基于彈性/黏彈性Kirchhoff積分和Claerbout提出的沉降觀測(cè)(survey-sinking)成像條件實(shí)現(xiàn)了多分量偏移，并依據(jù)單極或雙極震源與應(yīng)力或位移邊界條件的等價(jià)性處理了邊界問(wèn)題.Schleicher等(2001)討論了各向異性介質(zhì)中彈性KH積分的幾何射線近似(GRA).Druzhinin(2003)應(yīng)用穩(wěn)相性質(zhì)和高頻近似推導(dǎo)了無(wú)應(yīng)力邊界條件下的Kirchhoff積分偏移，并利用極化濾波實(shí)現(xiàn)波型分離.

當(dāng)前，基于彈性波動(dòng)方程的多分量數(shù)據(jù)處理方法仍處于發(fā)展階段，多分量偏移方法存在多種問(wèn)題有待討論.觀測(cè)到的多分量地震數(shù)據(jù)往往是邊界點(diǎn)的位移或質(zhì)點(diǎn)速度矢量，作為彈性波動(dòng)方程邊界條件，這是不完整的(Mittet,1994).求解彈性波動(dòng)方程同時(shí)需要位移矢量(或質(zhì)點(diǎn)速度矢量)邊界條件和應(yīng)力邊界條件.在邊界條件不明確的情況下，不同波型不能準(zhǔn)確分離，偏移成像也會(huì)形成明顯假象.為了解決應(yīng)力邊界條件問(wèn)題，多數(shù)彈性逆時(shí)偏移方法(Sun and McMechan,1986;Chang and McMechan,1987;Zhe and Greenhalgh,1997;Sun and McMechan,2001)和部分彈性Kirchhoff積分方法(Kuo and Dai,1984;Sena and Toksoz,1993)將應(yīng)力邊界條件默認(rèn)假設(shè)為自由地表邊界條件，即邊界上正應(yīng)力和剪切應(yīng)力均為零.為此，Rechtien(1985)曾對(duì)Kuo和Dai(1984)所做的設(shè)定提出質(zhì)疑.這種假設(shè)只適用于理想的陸地地表探測(cè)，對(duì)VSP和OBC地震數(shù)據(jù)均不符合.Druzhinin(2003)假設(shè)P、S波傳播相互獨(dú)立，沒(méi)有耦合,利用極化濾波實(shí)現(xiàn)了彈性Kirchhoff偏移中的波型分離.現(xiàn)代海底觀測(cè)系統(tǒng)可以利用4C探測(cè)器同時(shí)記錄海底質(zhì)點(diǎn)速度矢量和聲波水壓，Ravasi和Curtis(2013)利用聲波水壓代替應(yīng)力邊界條件實(shí)現(xiàn)了海底彈性逆時(shí)偏移，這需要增加數(shù)據(jù)采集量和計(jì)算量.

常規(guī)互相關(guān)成像條件不適用于矢量波場(chǎng)成像，并且PS轉(zhuǎn)換波存在極性翻轉(zhuǎn)問(wèn)題.尤其在3D情況下，S波的橢圓偏振、旋度矢量等屬性使矢量波場(chǎng)成像變得更為復(fù)雜.P波震源和S波震源成像之間存在相互串?dāng)_，當(dāng)P、S波震源都比較強(qiáng)的時(shí)候，相互串?dāng)_需要壓制.因此，彈性矢量場(chǎng)成像需要設(shè)計(jì)適合自身的成像條件.

除此之外，當(dāng)前偏移方法本身也存在多種問(wèn)題.Kirchhoff積分偏移存在常規(guī)射線理論的多種問(wèn)題，比如多路徑問(wèn)題、焦散區(qū)和陰影區(qū)、臨界和超臨界區(qū)等.逆時(shí)偏移計(jì)算量和內(nèi)存需求量過(guò)大，并且存在高頻頻散現(xiàn)象和低頻反射干擾問(wèn)題等.

高斯束偏移具有Kirchhoff偏移的優(yōu)點(diǎn)，比如計(jì)算高效，陡傾界面成像.高斯束偏移可以自動(dòng)解決多路徑和多走時(shí)問(wèn)題，這是傳統(tǒng)Kirchhoff偏移不能解決的問(wèn)題.Hill(1990,2001)提出了疊后和疊前高斯束偏移.此后，高斯束偏移被推廣到各向異性偏移(Alkhalifah,1995;Zhu et al.,2006)、不同域偏移(Nowack et al.,2003;Gray,2005;岳玉波,2011;段鵬飛等，2013)和保幅偏移(Gray and Bleistein,2009).然而，當(dāng)前這些偏移方法都是用來(lái)處理標(biāo)量數(shù)據(jù)，有關(guān)多波多分量彈性波場(chǎng)數(shù)據(jù)的高斯束偏移方法還沒(méi)有做太多的研究.

本文詳細(xì)分析了不同邊界情況下多波型在彈性各向同性介質(zhì)中的傳播情況(自由空間、海底、自由地表)，確定了不同探測(cè)環(huán)境的應(yīng)力邊界條件.通常我們所關(guān)注的有效信號(hào)是上行波，基于上行波傳播假設(shè)，建立了平面波場(chǎng)位移與應(yīng)力關(guān)系式，進(jìn)而確定了模型的應(yīng)力邊界條件(Li and Mao,2015).在此基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確推導(dǎo)了3D多波多分量高斯束波場(chǎng)延拓和偏移表達(dá)式.多波型波場(chǎng)分離在延拓和偏移過(guò)程中自動(dòng)實(shí)現(xiàn)，不需要在偏移前進(jìn)行單獨(dú)處理.為了解決矢量波場(chǎng)成像條件問(wèn)題，本文采用了散度/旋度互相關(guān)成像條件，并且通過(guò)約定PS轉(zhuǎn)換波的正向旋轉(zhuǎn)方向解決了3D空間的極性翻轉(zhuǎn)問(wèn)題.本文給出了2D和3D模型數(shù)據(jù)的偏移成像結(jié)果，驗(yàn)證了所提供方法在波場(chǎng)延拓、多波型自動(dòng)分離和偏移成像中的準(zhǔn)確性.

2　符號(hào)約定

為了公式表示和計(jì)算執(zhí)行方便，3D空間統(tǒng)一使用右手正交坐標(biāo)系，并且約定下標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為(1,2,3)?(z,x,y)，即z軸為第一維，y軸為最后一維，比如：

(x1,x2,x3)?(z,x,y),

(p1,p2,p3)?(pz,px,py).

由于彈性波傳播方向和偏振方向在偏移過(guò)程中的重要性以及彈性KH積分的復(fù)雜性，我們需要對(duì)慢度矢量做正向約定.在沒(méi)有特殊說(shuō)明的情況下，KH積分和格林函數(shù)中出現(xiàn)的慢度矢量p及其分量均滿足圖2所示的正向約定，即均由邊界指向介質(zhì)內(nèi)側(cè).這樣約定是為了方便高斯束的應(yīng)用，該約定與標(biāo)量波場(chǎng)中常用的方向有所不同，如布萊斯坦等(2004).

圖1　3D中心射線坐標(biāo)系Fig.1　3D ray-centered coordinate system

圖2　正向慢度矢量Fig.2　Positive direction of slowness vectors

符號(hào)α、β、υ分別代表P波波速、S波波速和多波型波速的統(tǒng)一表示.除了在均勻介質(zhì)中和坐標(biāo)特殊標(biāo)示情況下，均表示邊界上的物性參數(shù).符號(hào)ν用于表示不同波型，并且作為上標(biāo)符號(hào)顯示.在3D各向同性介質(zhì)中，S波一般情況下為橢圓偏振，為了表示和計(jì)算方便，將其分解為S1和S2兩種線性偏振橫波.圖3顯示了S波在中心射線垂直截面中的橢圓偏振和S1、S2波的線性偏振.因此，ν表示P、S1、S2三種波型，并且以eν表示三種波型偏振方向矢量.eν均為單位矢量，且與中心射線坐標(biāo)基有以下對(duì)應(yīng)關(guān)系eS1=e1，eS2=e2，eP=t.因此，文中對(duì)矢量eν和en不做區(qū)分.

3　波場(chǎng)延拓

3.13D彈性高斯束

(1)

(2)

其中，MIJ為2×2矩陣M的元素，為波前走時(shí)在(q1,q2)坐標(biāo)系的二階偏導(dǎo)數(shù).式(2)包含了與坐標(biāo)qJ相關(guān)的附加項(xiàng)，這是偏振方向矢量的校正項(xiàng).當(dāng)x離中心射線很近時(shí)，qJ很小，校正項(xiàng)可以忽略不計(jì).

3.2格林函數(shù)張量

(3)

在均勻介質(zhì)中Uν可以表示為

(4)

(5)

3.3彈性KH積分

(6)

這里符號(hào)*代表復(fù)共軛，nj為邊界Σ的外法線方向矢量的分量，dSr為邊界點(diǎn)r在Σ的微元面，τij為應(yīng)力張量，并且滿足廣義虎克定律

(7)

Hnji(x,r,ω)為格林應(yīng)力張量，

(8)

式中，cijkl為彈性參數(shù)張量，在各向同性介質(zhì)中可以由兩個(gè)獨(dú)立的Lamé彈性模量λ、μ表示，

(9)

其中δij為Kronecker Delta函數(shù).Lamé模量與波速和密度有關(guān)系式λ=ρ(α2-2β2),μ=ρβ2.

為了公式推導(dǎo)方便，將應(yīng)力位移關(guān)系式(7)和(8)代入積分方程(6)，反向延拓積分方程可以寫(xiě)成位移及其偏導(dǎo)數(shù)表示形式：

(10)

文中設(shè)定Σ外法線方向?yàn)閚=(-1,0,0)，微元dSr=dxrdyr，這時(shí)式(10)表示上行波的反向延拓，可以展開(kāi)表示為

(11)

(12)

當(dāng)同時(shí)存在應(yīng)力和位移邊界條件時(shí)，波場(chǎng)上下行傳播情況可以明確識(shí)別.由于我們只關(guān)注上行波的偏移成像，因此在式(12)推導(dǎo)過(guò)程中只考慮上行波的傳播.當(dāng)邊界條件不完整，缺少應(yīng)力邊界條件時(shí)，會(huì)出現(xiàn)上下行傳播方向混亂(Mittet,1994).因此，建立有效的應(yīng)力邊界條件求解方法非常重要.

3.4彈性高斯束波場(chǎng)延拓

首先，通過(guò)局部?jī)A斜疊加實(shí)現(xiàn)局部平面波分解.Hill (2001)給出了高斯窗口劃分歸一化表示形式：

(13)

式中，L=(0,Lx,Ly)為束中心坐標(biāo)，ωl和wl分別為參考頻率和參考有效半寬度，常數(shù)a為單個(gè)束中心網(wǎng)格面積大小.

在局部范圍內(nèi)，假設(shè)λ(r)≈λ(L)，μ(r)≈μ(L)，pν(r)≈pν(L).點(diǎn)源波場(chǎng)高斯束疊加的相移表示形式為

(14)

將式(13)和(14)代入式(12)，并將多波型分開(kāi)表示，整理可得

(15)

(16)

LSS是一種加窗積分變換，它將(r=(rx,ry),ω)域的數(shù)據(jù)變換到(p=(px,py),ω)域.這時(shí)，un及其空間偏導(dǎo)數(shù)的局部?jī)A斜疊加有關(guān)系式

(17a)

(17b)

圖4　簡(jiǎn)單層狀模型Fig.4　Simple layering model

圖5　自由空間上行波Fig.5　Upgoing waves in free-space model

3.4.1自由空間

如圖4所示，當(dāng)觀測(cè)邊界Σ以上為固體介質(zhì)時(shí)，模型稱為自由空間模型.假設(shè)該模型邊界Σ上下波速和密度是連續(xù)且局部均勻的，如圖5所示.實(shí)際應(yīng)用中多種情況符合該假設(shè)，比如邊界為完全匹配吸收的有限差分波場(chǎng)合成，VSP數(shù)據(jù)采集以及其他地下信號(hào)接收等.由于邊界附近的介質(zhì)連續(xù)且均勻，ν波入射到邊界Σ后不會(huì)激起反射波、轉(zhuǎn)換波和透射波，因此邊界上多波型的傳播是相互獨(dú)立的，沒(méi)有耦合.這時(shí)，多波型的識(shí)別與分離只與波的傳播和偏振方向等幾何屬性有關(guān).

(18)

(19)

多波型局部平面波可以表示為

(20)

在上行波假設(shè)情況下，分離后的ν波局部平面波及其空間偏導(dǎo)數(shù)有以下關(guān)系式：

(21a)

(21b)

這樣，位移在z方向的偏導(dǎo)數(shù)也同時(shí)獲得了.將式(21)代入式(15)，整理可得

(22)

由此可見(jiàn)，在自由空間模型中，彈性KH積分方程中前后兩部分被積項(xiàng)是相等的.被積函數(shù)的多項(xiàng)式可以作進(jìn)一步整理.

P波：

S2波與S1波類似.這樣，式(22)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(23)

式(23)就是所獲得的自由空間傳播模型的波場(chǎng)延拓積分方程.該表達(dá)式與聲波高斯束波場(chǎng)延拓表達(dá)式非常相似(Hill,2001)，但是它包含了非常完整的彈性波矢量場(chǎng)信息.

由于本文所做向下反向延拓只對(duì)單程的上行波有效，并且實(shí)際觀測(cè)的有效反射地震信號(hào)也是上行波，因此本文只對(duì)上行波做了分析.實(shí)際觀測(cè)到的數(shù)據(jù)中是存在下行波的，但人們往往將其看作噪聲，比如多次波等.

圖6　海底上行波Fig.6　Upgoing waves in ocean-bottom model

3.4.2海底

如圖6所示，當(dāng)觀測(cè)邊界Σ以上為流體介質(zhì)時(shí)，模型稱為海底模型.海底模型的多分量地震數(shù)據(jù)是三種模型中最難以處理的，它沒(méi)有固定的應(yīng)力邊界條件，也沒(méi)有相互獨(dú)立的多波型波場(chǎng)傳播屬性.為了獲得準(zhǔn)確的邊界條件，Ravasi和Curtis (2013)利用了同時(shí)記錄海底質(zhì)點(diǎn)速度矢量和聲波水壓的4C地震數(shù)據(jù).在沒(méi)有聲波水壓時(shí)，多波型難以準(zhǔn)確分離和成像.假設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)只有上行波信號(hào)，海底界面上具有精確的應(yīng)力與位移關(guān)系式.這種假設(shè)與我們所關(guān)注的地下反射信號(hào)是一致的.

下面我們對(duì)應(yīng)力邊界條件進(jìn)行詳細(xì)分析.應(yīng)力分析只需在2D空間進(jìn)行，并且很容易推廣到3D空間.對(duì)于2D空間的P、SV波場(chǎng)，海底界面滿足關(guān)系式

(24)

式中上標(biāo)w代表邊界Σ以上的海水(或流體介質(zhì))，σzz和τzx分別表示正應(yīng)力和剪切應(yīng)力，uz表示位移z分量.如果假設(shè)只有上行波入射到邊界Σ，如圖7所示，在邊界上會(huì)同時(shí)激起反射P波、反射SV波和透射聲波.這里的入射波可以是P波、SV波，也可以是P、SV波的混合.

(25)

流體中位移矢量uw具有無(wú)旋性質(zhì)，即

(26)

由(26)式可得

(27)

或者表示為

(28)

(29)

根據(jù)邊界條件(24)，可得

(30)

2D空間的SH波具有uz=0和σzz=0，因此，SH波也滿足式(30).式(30)也很容易推廣到3D空間.這樣，我們獲得了海底模型在上行假設(shè)情況下的應(yīng)力和位移關(guān)系式.根據(jù)廣義虎克定律(7)，整理可得uz的空間偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)式

(31)

其中

利用式(24)中的零剪切應(yīng)力邊界條件，式(15)可以整理為

(32)

在高頻近似情況下，局部平面波Dn的偏導(dǎo)數(shù)只需考慮最大奇異項(xiàng)的求導(dǎo)，忽略非奇異項(xiàng).因此Dn近似滿足偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)式(31).將式(31)代入式(32)，整理可得

(33)

設(shè)定

(34)

(35)

(36)

式(36)即為所獲得的海底傳播模型的波場(chǎng)延拓積分方程.

因此，在上行波假設(shè)情況下，可以獲得準(zhǔn)確的海底應(yīng)力與位移關(guān)系式，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的海底波場(chǎng)延拓.

3.4.3自由地表

圖7　自由地表上行波Fig.7　Upgoing waves in free-surface model

(37)

4　成像條件

彈性波場(chǎng)為矢量波場(chǎng)，常規(guī)的互相關(guān)成像條件不適用于矢量波成像，并且PS轉(zhuǎn)換波存在極性翻轉(zhuǎn)問(wèn)題.為了解決矢量波成像問(wèn)題，本文利用散度/旋度互相關(guān)成像條件.該方法借用了彈性逆時(shí)偏移常用的Helmholtz分解方法(Yan and Sava,2008)，但目的不是做P、S波分解.各向同性介質(zhì)中彈性波位移矢量滿足關(guān)系式

(38)

其中，Φ和Ψ分別為標(biāo)量位場(chǎng)和矢量位場(chǎng).P、S有具體物理意義，P為體應(yīng)變，S為旋轉(zhuǎn)應(yīng)變.對(duì)于2D空間的SV波，S為單分量.由于常規(guī)數(shù)據(jù)采集震源以P波震源為主，因此，本文僅列出了PP和PS偏移成像表達(dá)式.對(duì)P或S做互相關(guān)，可得成像表達(dá)式：

(39a)

(39b)

(40)

圖8　PS轉(zhuǎn)換波的傳播方向與旋轉(zhuǎn)方向Fig.8　Propagation and rotation directions of PS converted waves

在彈性各向同性介質(zhì)中，PS轉(zhuǎn)換波的旋度矢量具有同時(shí)垂直于入射波和轉(zhuǎn)換波傳播方向的性質(zhì).由此可見(jiàn)，單位矢量Sgn(x)代表PS轉(zhuǎn)換波的一種旋轉(zhuǎn)方向，如圖8所示.本文將其約定為轉(zhuǎn)換波的正向旋轉(zhuǎn)方向.在3D空間中，矢量波場(chǎng)的旋度仍然是矢量，將其投影到Sgn(x)方向可獲得標(biāo)量場(chǎng)，同時(shí)解決了3D空間的極性翻轉(zhuǎn)問(wèn)題.在2D空間，Sgn(x)為單分量，起到符號(hào)函數(shù)的作用.當(dāng)慢度矢量pr(x)和ps(x)同向時(shí)，Sgn(x)出現(xiàn)0/0無(wú)意義現(xiàn)象.但是此時(shí)P波垂直入射地下界面，不會(huì)形成轉(zhuǎn)換波，因此可以取其為0矢量.

將互相關(guān)成像條件寫(xiě)成頻率域表示形式：

(41a)

(41b)

利用點(diǎn)源正向延拓、多分量地震數(shù)據(jù)反向延拓和矢量場(chǎng)成像條件，可整理得到偏移成像表達(dá)式.

由式(5)可知，P波點(diǎn)源正向延拓可表示為

(42)

式中下標(biāo)s表示震源位置s.

如果將彈性高斯束寫(xiě)成標(biāo)量和偏振方向矢量的表示形式：

(43)

則彈性高斯束的散度和旋度有以下關(guān)系式：

(44a)

(44b)

(44c)

(44)式將在互相關(guān)成像公式推導(dǎo)中應(yīng)用.

4.1自由空間

將式(23)和(42)代入矢量場(chǎng)互相關(guān)成像條件(41)，并調(diào)換積分和求導(dǎo)順序，再將式(44)代入，可得自由空間模型PP反射波和PS轉(zhuǎn)換波成像公式

(45)??.(46)

DS=DS1(L,pr,ω)e2(x)-DS2(L,pr,ω)e1(x).

(47)

4.2海底

與自由空間模型類似，將式(36)和(43)代入矢量場(chǎng)互相關(guān)成像條件(41)，并調(diào)換積分和求導(dǎo)順序，再將式(44)代入，可得海底模型PP反射波和PS轉(zhuǎn)換波成像公式：

(48)

(49)

自由地表模型與海底模型有相同的偏移成像公式，在此不單獨(dú)列出.

5　數(shù)值試驗(yàn)

5.12D簡(jiǎn)單水平層狀模型

簡(jiǎn)單水平層狀介質(zhì)的P波速度模型如圖4所示.反射界面在深度z=1000 m，并且界面上下P波波速分別為2000 m·s-1和2400 m·s-1.炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)均位于邊界面Σ(z=0)，并且炮點(diǎn)位于x=2000 m，檢波點(diǎn)位于x=0～4000 m，間隔10 m，共401點(diǎn).基于此簡(jiǎn)單模型的參數(shù)取值，分別對(duì)自由空間、海底和自由地表三種邊界模型做了記錄合成，即檢波點(diǎn)以上分別設(shè)為完全匹配吸收、海水和真空三種不同介質(zhì).

圖9顯示了自由空間和海底模型的記錄合成圖，自由地表合成記錄與海底類似，沒(méi)有單獨(dú)顯示.由圖可以看出，海底模型記錄比自由空間模型記錄明顯復(fù)雜，海底所接收到的上行反射波同時(shí)包含PP、PS、SP、SS四種反射波.在多分量數(shù)據(jù)的實(shí)際應(yīng)用中，一般認(rèn)為PP和PS是我們所關(guān)注的有效信息，SP和SS為干擾噪聲.并且海底模型記錄不具有P直達(dá)波z分量極弱的特點(diǎn)，這與海底多波耦合關(guān)系有關(guān).在多分量偏移處理之前，海底直達(dá)波和面波利用傾斜濾波器得以壓制，而由S波激起的SP和SS波很難與P波激起的PP和PS波徹底分離.并且在水平層狀介質(zhì)中，SP和PS波同相軸完全重合，更加難以分離.

不同模型記錄利用不同偏移方法進(jìn)行了多分量偏移成像.三種記錄利用了相同的偏移模型.圖10顯示了自由空間和海底模型記錄分別利用各自的偏移方法所得到的偏移成像結(jié)果.由圖10a和10b可以看出，自由空間偏移方法能夠很準(zhǔn)確地將P和S波分離并準(zhǔn)確成像，PS成像的極性翻轉(zhuǎn)問(wèn)題也得到了解決.圖10d所示的海底模型PS成像說(shuō)明海底偏移方法也能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)海底偏移成像.圖10c存在SP波對(duì)PP成像所形成的明顯的串?dāng)_.這是由于本文所提供的多分量高斯束偏移方法，能夠準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)海底邊界上的P、S上行波自動(dòng)分離，但是，其中的P上行波同時(shí)包含PP反射波和SP轉(zhuǎn)換波成分.因此，在PP偏移成像中，P上行波中所包含的PP、SP同時(shí)參加互相關(guān)成像，由此產(chǎn)生了SP Crosstalk噪聲.Zhe和Greenhalgh (1997)研究了PP成像和SS成像，并且討論了PP、PS、SP、SS波之間的串?dāng)_影響.

圖9　自由空間和海底模型的記錄合成圖(a)和(b)分別為自由空間模型x和z分量；(c)和(d)分別為海底模型x和z分量.Fig.9　Synthetic records of free-space and ocean-bottom models(a)and (b)are x and z components of free-space model,respectively；(c)and (d)are x and z components of ocean-bottom model,respectively.

圖10　自由空間和海底模型記錄偏移成像結(jié)果(a)和(b)分別為自由空間模型PP和PS成像;(c)和(d)分別為海底模型PP和PS成像.Fig.10　Migration results of free-space and ocean-bottom records(a)and (b)are PP and PS images of free-space model,respectively;(c)and (d)are PP and PS images of ocean-bottom model,respectively.

圖11　三種模型記錄利用三種偏移方法的成像效果對(duì)比Fig.11　Comparison of imaging results on three model records using three migration methods

圖12　2D彈性SEG/EAGE鹽丘模型的P波波速Fig.12　P wave speed of 2D elastic SEG/EAGE salt model

圖13　2D彈性SEG/EAGE鹽丘模型第151炮單炮記錄(a)和(b)分別為記錄的x和z分量Fig.13　Record of the 151st shot in 2D elastic SEG/EAGE salt model(a)and (b)are x and z components of the record,respectively.

圖14　2D彈性SEG/EAGE鹽丘模型偏移成像結(jié)果(a)和(b)分別為PP和PS成像.Fig.14　Migration imaging results of 2D elastic SEG/EAGE salt model(a)and (b)are PP and PS images,respectively.

為了比較三種模型偏移成像之間的差別，下面我們對(duì)每一種模型記錄均做三種偏移方法成像(為了方便，僅對(duì)PS轉(zhuǎn)換波成像進(jìn)行對(duì)比).圖11顯示了三種偏移方法對(duì)三種模型記錄成像效果對(duì)比圖.圖中共有9張PS波成像圖片，以3×3形式排列.其中，上行、中行和下行分別為自由空間、自由地表和海底模型記錄的成像結(jié)果，左列、中列和右列分別為自由空間、自由地表和海底偏移方法的成像結(jié)果.因此，只有主對(duì)角線上的3個(gè)成像準(zhǔn)確利用了各自的偏移方法.由圖可以看出，也只有這3個(gè)成像得到了非常準(zhǔn)確的波型分離和偏移成像，其他成像均存在不同程度的P波成分對(duì)PS成像的干擾.由此可以得到，應(yīng)力邊界條件的分析與應(yīng)用為多分量偏移成像帶來(lái)了準(zhǔn)確的波型自動(dòng)分離和偏移成像.另外，由于自由地表和海底模型記錄只做了簡(jiǎn)單的傾斜濾波，測(cè)線兩端數(shù)據(jù)的突然截?cái)鄬?dǎo)致邊界處的濾波處理不準(zhǔn)確，使成像結(jié)果存在明顯劃弧現(xiàn)象.

5.22D彈性SEG/EAGE鹽丘模型

2D彈性SEG/EAGE鹽丘模型由原始的聲波SEG/EAGE鹽丘模型改進(jìn)和擴(kuò)展而來(lái)(Xie and Wu,2005).為了使模型適用于彈性波場(chǎng)合成和偏移，對(duì)聲波模型做了幾處修改和擴(kuò)展.將聲波波速模型作為彈性P波波速模型，并將原始上表面的海水介質(zhì)波速由海底P波波速延伸替代.圖12顯示了該彈性模型的P波波速模型.為了計(jì)算方便，有限差分記錄合成利用了完全匹配吸收方法，相當(dāng)于自由空間模型.這種情況下，不存在海底(地表)中的下行S波傳播情況，所以在PP成像中不存在SP Crosstalk噪聲.合成的記錄共有325炮，炮間距為48.768 m.單炮記錄中利用326個(gè)檢波點(diǎn)接收信號(hào)，檢波點(diǎn)間隔為12.192 m，偏移距從-1981.2 m至1981.2 m.圖13顯示了第151炮的單炮記錄，該記錄炮點(diǎn)位于x=7315.2 m.由圖可以看出，記錄中的直達(dá)波z分量并不為零，并且隨偏移距的增加，直達(dá)波z分量逐漸增強(qiáng).這是由于在該模型中直達(dá)波總是以回折波的形式傳播，而不是沿直線方向傳播.

多分量偏移模型是由彈性P、S波波速模型平滑處理后得到的.依據(jù)記錄合成情況，選擇自由空間偏移方法成像.圖14顯示了該模型記錄的多分量偏移成像結(jié)果，由圖可見(jiàn)，多分量高斯束偏移方法對(duì)PP反射波和PS轉(zhuǎn)換波均能準(zhǔn)確成像，對(duì)鹽丘掩蓋區(qū)域成像和高度傾斜界面成像都有很好的效果.比較PP和PS成像效果可以看出，PS成像比PP成像有明顯較高的分辨率.另外，由于S波波速較低，波長(zhǎng)較短，PS成像可能會(huì)形成一些假頻噪聲，尤其在淺層成像部分.

5.33D簡(jiǎn)單水平層狀模型

為了驗(yàn)證該方法在3D空間的適用性，以及3D空間S1和S2合并成像的可行性，本文提供了3D單界面水平層狀模型的單炮偏移成像結(jié)果.層狀模型x軸和y軸坐標(biāo)范圍均為0～4000 m，界面深度1000 m，界面上下P波波速分別為2000 m·s-1和2200 m·s-1.炮點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)=(2000 m，2000 m).檢波點(diǎn)位于x=0～4000 m,y=0～4000 m范圍內(nèi)，間隔dx=dy=10 m，以401×401陣列排列.

圖15為該模型的PP成像效果圖，其中圖15c中的L1和L2線即為圖15a和15b的截取位置.由圖15a可見(jiàn)，該方法準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)了P、S波型分離.圖15b中成像位置上下均為測(cè)區(qū)突然截?cái)鄬?dǎo)致的劃弧現(xiàn)象.因此，該方法所獲得的PP成像是很合理的.

圖16顯示了3D多分量高斯束偏移PS成像效果圖.該P(yáng)S成像即為本文所提出的S1和S2合并成像.取值位置與圖15完全相同.由圖16c可以看出，PS成像的振幅與方位角無(wú)關(guān).圖中A所標(biāo)示的為弱成像區(qū)域，位于P波垂直入射點(diǎn)附近，為P波小角度入射區(qū)域.該區(qū)域的PS反射系數(shù)很小.因此，該成像效果符合實(shí)際情況.另外，該偏移方法的成像效果與3D中心射線坐標(biāo)系的設(shè)定無(wú)關(guān)，即修改該坐標(biāo)系的設(shè)定不會(huì)影響PS成像.由此可以證明S1和S2合并成像的可行性.

圖中B所指向的多個(gè)同相軸是由于測(cè)區(qū)范圍邊界的突然截?cái)鄬?dǎo)致的劃弧現(xiàn)象，并非P波串?dāng)_噪聲.與2D情況明顯不同，3D空間的邊界劃弧為弧面，并且沿x軸和y軸方向均會(huì)產(chǎn)生劃弧面.而P波串?dāng)_噪聲在該P(yáng)S成像效果中得到了很好的壓制.另外，由圖15和圖16相比可知，PS成像比PP成像具有更大的有效成像范圍.

圖15　3D簡(jiǎn)單層狀模型PP成像(a)x=1450 m剖面；(b)y=2000 m剖面；(c)z=1000 m切片.Fig.15　PP imaging of 3D simple layering model(a)Profile x=1450 m；(b)Profile y=2000 m；(c)Slice z=1000 m.

圖16　3D簡(jiǎn)單層狀模型PS成像(a)x=1450 m剖面;(b)y=2000 m剖面;(c)z=1000 m切片.Fig.16　PS image of 3D simple layering model(a)Profile x=1450 m;(b)Profile y=2000 m;(c)Slice z=1000 m.

由此可見(jiàn)，本文所提供的3D多分量偏移方法既可實(shí)現(xiàn)P、S波的準(zhǔn)確自動(dòng)分離，也可獲得PP和PS合理的成像效果.

6　結(jié)論

我們對(duì)自由空間、海底和自由地表三種模型的應(yīng)力邊界條件進(jìn)行了詳細(xì)分析.雖然應(yīng)力邊界條件可能是未知的，但是在上行傳播假設(shè)情況下，應(yīng)力與位移有明確的關(guān)系式.在自由空間模型中，多波傳播相互獨(dú)立，沒(méi)有耦合.利用波場(chǎng)傳播和偏振方向等幾何屬性可以實(shí)現(xiàn)多波型的分離.在海底模型中，依據(jù)應(yīng)力與位移在海底界面的連續(xù)性，可以建立上行波應(yīng)力位移關(guān)系式.而自由地表模型相當(dāng)于海底模型的一種特殊情況，海底的各種表達(dá)式均適用于自由地表.由于波場(chǎng)均可分解為平面波的疊加，遠(yuǎn)源波場(chǎng)也可看作局部平面波，因此我們對(duì)獨(dú)立的(局部)平面波進(jìn)行應(yīng)力分析.在此基礎(chǔ)上準(zhǔn)確推導(dǎo)了3D多波多分量高斯束波場(chǎng)延拓表達(dá)式，同時(shí)準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)了多波型的自動(dòng)分離.

為了解決常規(guī)互相關(guān)成像條件不適用于矢量場(chǎng)成像的問(wèn)題，我們采用了散度/旋度互相關(guān)成像條件.通過(guò)約定PS轉(zhuǎn)換波的正向旋轉(zhuǎn)方向，解決了3D空間PS轉(zhuǎn)換波復(fù)雜的偏振和旋轉(zhuǎn)情況所帶來(lái)的成像問(wèn)題.由此，獲得了準(zhǔn)確的適用于3D彈性介質(zhì)空間中的多波多分量高斯束疊前深度偏移成像公式，其表達(dá)形式與聲波高斯束偏移公式相似，且包含了非常完整的彈性波信息.本文利用2D和3D模型數(shù)據(jù)的成像結(jié)果驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性.

References

Alkhalifah T.1995.Gaussian beam depth migration for anisotropic media.Geophysics,60(5):1474-1484.

Berkhout A J,Wapenaar C P A.1989.One-way versions of the Kirchhoff integral.Geophysics,54(4):460-467.

Bleistein N,Cohen J K,Stockwell J W.2004.Multidimensional Seismic Imaging,Migration,and Inversion (in Chinese).Beijing:Science Press.

Chang W F,McMechan G A.1987.Elastic reverse-time migration.Geophysics,52(10):1365-1375.

Chang W F,McMechan G A.1994.3-D elastic prestack reverse-time depth migration.Geophysics,59(4):597-609.

Dai T F,Kuo J T.1986.Real data results of Kirchhoff elastic wave migration.Geophysics,51(4):1006-1011.

Davis T L.2001.Multicomponent seismology — The next wave.Geophysics,66(1):49.

Druzhinin A.2003.Decoupled elastic prestack depth migration.J.Appl.Geophys.,54(3-4):369-389.

Duan P F,Cheng J B,Chen A P,et al.2013.Local angle-domain Gaussian beam prestack depth migration in a TI medium.Chinese J.Geophys.(in Chinese),56(12):4206-4214,doi:10.6038/cjg20131223.

Gray S H.2005.Gaussian beam migration of common-shot records.Geophysics,70(4):S71-S77.

Gray S H,Bleistein N.2009.True-amplitude Gaussian-beam migration.Geophysics,74(2):S11-S23.

Hill N R.1990.Gaussian beam migration.Geophysics,55(11):1416-1428.

Hill N R.2001.Prestack Gaussian-beam depth migration.Geophysics,66(4):1240-1250.Hokstad K.2000.Multicomponent Kirchhoff migration.Geophysics,65(3):861-873.Huang Z Y,Sun J K,Zhu S J,et al.2007.Multicomponent Seismic Technology (in Chinese).Beijing:Petroleum Industry Press.

Kuo J T,Dai T F.1984.Kirchhoff elastic wave migration for the case of noncoincident source and receiver.Geophysics,49(8):1223-1238.

Li X L,Mao W J.2015.Multicomponent Gaussian beam migration in elastic medium.//77th EAGE Conference and Exhibition.EAGE.

Li X Y.1997.Fractured reservoir delineation using multicomponent seismic data.Geophys.Prospecting,45(1):39-64.

Li X Y,Yuan J,Ziokowski A,et al.1999.Estimating Vp/Vsratio from converted waves—A 4C case example.//61st EAGE Conference and Exhibition.EAGE.

Mittet R.1994.Implementation of the Kirchhoff integral for elastic waves in staggered-grid modelling schemes.Geophysics,59(12):1894-1901.

Nowack R L,Sen M K,Stoffa P L.2003.Gaussian beam migration for sparse common-shot and common-receiver data.//73rd Annual International Meeting,SEG Expanded Abstracts.Dallas,Texas,1114-1117.

Pao Y H,Varatharajulu V.1976.Huygens′ principle,radiation conditions,and integral formulas for the scattering of elastic wave.J.Acoust.Soc.Am.,59(6):1361-1371.

Qian Z P,Chapman M,Li X Y,et al.2007.Use of multicomponent seismic data for oil-water discrimination in fractured reservoirs.The Leading Edge,26(9):1176-1184.

Ravasi M,Curtis A.2013.Elastic imaging with exact wavefield extrapolation for application to ocean-bottom 4C seismic data.Geophysics,78(6):S265-S284.

Rechtien R D.1985.On “Kirchhoff elastic wave migration for the case of noncoincident source and receiver,” by John R.Kuo and Ting-fan Dai (GEOPHYSICS,49,1223-1238,August,1984).Geophysics,50(5):872.

Schleicher J,Tygel M,Ursin B,et al.2001.The Kirchhoff-Helmholtz integral for anisotropic elastic media.Wave Motion,34(4):353-364.

Sena A G,Toksoz M N.1993.Kirchhoff migration and velocity analysis for converted and nonconverted waves in anisotropic media.Geophysics,58(2):265-276.

Sun R,McMechan G A.1986.Pre-stack reverse-time migration for elastic waves with application to synthetic offset vertical seismic profiles.Proceedings of the IEEE,74(3):457-465.

Sun R,McMechan G A.2001.Scalar reverse-time depth migration of prestack elastic seismic data.Geophysics,66(5):1519-1527.Sun R,McMechan G A,Lee C S,et al.2006.Prestack scalar reverse-time depth migration of 3D elastic seismic data.Geophysics,71(5):S199-S207.

Wapenaar C P A,Haimé G C.1990.Elastic extrapolation of primary seismic P- and S-waves.Geophys.Prospecting,38(1):23-60.

Xie X B,Wu R S.2005.Multicomponent prestack depth migration using the elastic screen method.Geophysics,70(1):S30-S37.

Xu S Y,Li Y P,Ma Z T.1999.Separation of P-and S-wave fields via theτ-q transform.China Offshore Oil and Gas (Geology)(in Chinese),13(5):334-337.

Yan J,Sava P.2008.Isotropic angle domain elastic reverse-time migration.Geophysics,73(6):S229-S239.

Yan J,Sava P.2009.Elastic wave-mode separation for VTI media.Geophysics,74(5):WB19-WB32.

Yue Y B.2011.Study on Gaussian beam migration methods in complex medium [Ph.D.thesis] (in Chinese).Qingdao:China University of Petroleum (East China).

Zhe J P,Greenhalgh S A.1997.Prestack multicomponent migration.Geophysics,62(2):598-613.

Zhu T F,Gray S,Wang D L.2006.Prestack Gaussian-beam depth migration in anisotropic media.//76th Annual International Meeting,SEG Expanded Abstracts.New Orleans,Louisiana,2362-2366.

附中文參考文獻(xiàn)

布萊斯坦N,科恩J K,斯托克韋爾J W.2004.多維地震成像、偏移和反演中的數(shù)學(xué).北京:科學(xué)出版社.

段鵬飛,程玖兵,陳愛(ài)萍等.2013.TI介質(zhì)局部角度域高斯束疊前深度偏移成像.地球物理學(xué)報(bào),56(12):4206-4214,doi:10.6038/cjg20131223.

黃中玉,孫建庫(kù),朱仕軍等.2007.多分量地震技術(shù).北京:石油工業(yè)出版社.

許世勇,李彥鵬,馬在田.1999.τ-q變換法波場(chǎng)分離.中國(guó)海上油氣(地質(zhì)),13(5):334-337.

岳玉波.2011.復(fù)雜介質(zhì)高斯束偏移成像方法研究[博士論文].青島:中國(guó)石油大學(xué)(華東).

(本文編輯何燕)

Multimode and multicomponent Gaussian beam prestack depth migration

LI Xue-Lei1,2，MAO Wei-Jian1,2*

1 Center for Computational &Exploration Geophysics,Institute of Geodesy and Geophysics, Chinese Academy of Sciences,Wuhan 430077,China 2 State Key Laboratory of Geodesy and Earth′s Dynamics,Wuhan 430077,China

Conventional migration methods based on the elastic wave equation assume that the boundary is a free surface,where the normal and shear stresses are all zero.This assumption is not consistent with many kinds of seismic data,such as VSP (Vertical Seismic Profile)and OBC (Ocean Bottom Cable).In this paper,we analyze the stress boundary conditions for three kinds of models，including free-space,ocean-bottom and free-surface models.Under the assumption of up-going propagation,the relationships between the stress boundary condition and displacement boundary condition in the three models are established.Based on these relationships we derive the multimode and multicomponent Gaussian beam′s continuation and migration equations accurately.The complete decomposition of wave modes is implemented automatically during the migration.Since the conventional cross-correlation image condition is not suitable for vector wave field imaging,we use cross-correlation of divergence and curl of vector wave fields.By setting the positive rotation direction of PS converted waves we solve the polarity reversal problem in a 3D space.Synthetic data from 2D and 3D models are used to validate the feasibility of the approach we propose.

Multicomponent migration;3D elastic Gaussian beam;Stress boundary condition;Automatic decomposition of wave modes;Imaging of vector wave field

栗學(xué)磊，毛偉建.2016.多波多分量高斯束疊前深度偏移.地球物理學(xué)報(bào)，59(8):2989-3005,

10.6038/cjg20160822.

Li X L，Mao W J.2016.Multimode and multicomponent Gaussian beam prestack depth migration.Chinese J.Geophys.(in Chinese),59(8):2989-3005,doi:10.6038/cjg20160822.

中國(guó)科學(xué)院創(chuàng)新啟動(dòng)基金(Y203701070)，國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(U1562216),中石油“彈性波地震成像技術(shù)合作研發(fā)項(xiàng)目”(2015A-3613)，國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃 (2016YFC0601101)聯(lián)合資助.

栗學(xué)磊，男，1988年生，在讀博士，主要從事多波多分量偏移成像方法研究.E-mail:lixuelei@whigg.ac.cn

毛偉建，男，研究員，博士生導(dǎo)師，主要從事地震數(shù)據(jù)處理、成像和反演研究.E-mail:wjmao@whigg.ac.cn

10.6038/cjg20160822

P631

2015-08-01，2016-06-16收修定稿