劉春鳳，張　滑

(華北理工大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山　063000)

?

·數(shù)理科學(xué)·

DTM-Adomian-pade求解非線性分?jǐn)?shù)階微分方程

劉春鳳，張滑

(華北理工大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山063000)

為求解R-L定義下的分?jǐn)?shù)階非線性微分方程近似解析解,將Adomian多項(xiàng)式、Padé逼近法與R-L微分變換法相結(jié)合,提出改進(jìn)的廣義微分變換法。利用Adomian多項(xiàng)式代替方程中的非線性部分,對(duì)方程進(jìn)行廣義微分變換法求出其級(jí)數(shù)解,運(yùn)用Pade法對(duì)其級(jí)數(shù)解進(jìn)行逼近。改進(jìn)的微分變換法不僅計(jì)算簡(jiǎn)單,具有較小的計(jì)算量,而且擴(kuò)大了級(jí)數(shù)解得收斂范圍,具有較高的精度。最后給出數(shù)值算例,驗(yàn)證了算法的有效性,為計(jì)算R-L分?jǐn)?shù)階非線性微分方程提出新的計(jì)算格式。

R-L微分變換法;非線性分?jǐn)?shù)階微分方程;Adomian多項(xiàng)式;Padé逼近

分?jǐn)?shù)階理論是研究任意階次微積分算子的特性及應(yīng)用的數(shù)學(xué)理論。近幾十年來,分?jǐn)?shù)階理論在國(guó)內(nèi)外已經(jīng)成為一個(gè)研究熱點(diǎn),一些科學(xué)家已成功將其應(yīng)用到混沌系統(tǒng)、電磁學(xué)、信號(hào)處理、黏彈性和遺傳性力學(xué)、機(jī)械工程和機(jī)器人控制等方面。研究分?jǐn)?shù)階方程的解是非常必要的,尤其是非線性問題的分?jǐn)?shù)維方程,而微分變換法為求解分?jǐn)?shù)階微積分方程的解析解提供了新的數(shù)學(xué)工具。微分變換法(DTM)最初是由我國(guó)學(xué)者趙家奎[1]提出的,用于求解電路問題中的微分方程,微分變換法計(jì)算量小、精度高,這個(gè)方法逐漸被應(yīng)用到了線性和非線性微積分方程。Ayaz[2]在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了二元函數(shù)的微分變換,并將其應(yīng)用于求解二維偏微分方程的初值問題;Lal[3]等利用此方法分析了力學(xué)中自由振動(dòng)和屈曲的積分方程;Abdulkawi[4]利用微分變換法求解奇異積分方程的初值問題,并得到了很好的結(jié)果;Arikoglu和Ozkol[5]在微分變換方法的基礎(chǔ)上,建立了求解Caputo導(dǎo)數(shù)定義下的分?jǐn)?shù)階微分方程的廣義微分變換法(FDTM),并將其推廣應(yīng)用于求解積分方程和分?jǐn)?shù)階微積分方程問題;Vineet[6]等利用FDTM求解了二維和三維的分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程,為求解復(fù)雜的分?jǐn)?shù)維方程提供了一個(gè)良好的工具;Corporation[7]把廣義微分變換法應(yīng)用到求解分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng),并和龍格庫(kù)塔法進(jìn)行了比較,驗(yàn)證了廣義微分變化法的有效性;Matteo[8]把廣義微分變換法應(yīng)用到了分?jǐn)?shù)維方程的邊值問題;Abuteen[9]等利用廣義微分變化法求解分?jǐn)?shù)階Bloch系統(tǒng)。

目前,對(duì)Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的廣義微分變換法已經(jīng)逐漸地被應(yīng)用到分?jǐn)?shù)維微分方程和積分方程求解中,并得到了很好的結(jié)果,而對(duì)R-L導(dǎo)數(shù)定義下的廣義微分變換法研究甚少,本文將Adomian多項(xiàng)式、Pade 逼近法與R-L定義下的微分變換法相結(jié)合,提出一種改進(jìn)的微分變換法。

1　預(yù)備知識(shí)

(1)

定義2Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義

(2)

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的主要性質(zhì)

(3)

(4)

(5)

2　R-L微分變換法

f(x)=[(x-a)1-αf(x)](a+)(x-a)α-1+

(6)

則式(6)是R-L導(dǎo)數(shù)的廣義Taylor公式。

根據(jù)引理1,設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)變量x的k階導(dǎo)數(shù)存在,定義f(x)關(guān)于x的k階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x0處的R-L廣義微分變換形式為

(7)

通過微分變換法將f(x)近似表示成如下形式:

(8)

函數(shù)的微分變換具有如下基本運(yùn)算法則:

文獻(xiàn)[12]僅討論了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在0<α<1的微分變換,本文在此基礎(chǔ)上把R-L廣義微分變換法推廣到一般形式。

證 明根據(jù)定義

Fα(k)=

表1　微分變化法的運(yùn)算

3　改進(jìn)的微分變換法

微分變換法求解非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的關(guān)鍵在于非線性項(xiàng)的處理,利用Adomian多項(xiàng)式去等價(jià)代換方程的非線性項(xiàng)，減少了計(jì)算量，但是所得級(jí)數(shù)解一般只能在其自變量的初值點(diǎn)附近的子區(qū)間內(nèi)與正確結(jié)果相符,而對(duì)級(jí)數(shù)解進(jìn)行Padé逼近,可以擴(kuò)大收斂區(qū)間,提高收斂精度。將上述方法相結(jié)合,提出改進(jìn)的微分變化法,稱為DTM-Adomian-Padé法。

3.1Adomian多項(xiàng)式

首先非線性函數(shù)部分由Adomian多項(xiàng)式近似,則

其中An為Adomian多項(xiàng)式(見表2)，Adomian多項(xiàng)式的定義如下:

表2　Adomian多項(xiàng)式

對(duì)Adomian多項(xiàng)式進(jìn)行微分變換(見表3)。

表3　Adomian多項(xiàng)式微分變換

當(dāng)非線性函數(shù)部分為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)f(u(γ))的形式時(shí),則與含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)等價(jià)的Adomian多項(xiàng)式為表4。

表4　廣義Adomian多項(xiàng)式

由式(8)知,

對(duì)與分?jǐn)?shù)階函數(shù)等價(jià)的Adomian多項(xiàng)式做R-L微分變換(見表5)。

表5　廣義Adomian多項(xiàng)式的微分變換

綜上所述，Adomian多項(xiàng)式的R-L微分變換歸納為

3.2Padé逼近

Padé逼近是一種關(guān)于函數(shù)值的特殊類型的分式逼近法,是以盡量快的速度與Taylor級(jí)數(shù)展開式相匹配,逼近效果好。

[L/M]=PL(x)/QM(x)。

(9)

其中PL(x)是一個(gè)次數(shù)最高為L(zhǎng)的多項(xiàng)式,QM(x)是一個(gè)次數(shù)最高為M的多項(xiàng)式。

(10)

(11)

則

(12)

式(12)為函數(shù)f(x)的[L/M]階Padé逼近多項(xiàng)式。

下面給出幾個(gè)數(shù)值算例,驗(yàn)證算法的有效性。

例1Dαy=1+y2,0<α≤1,y(0)=0

(13)

利用Adomian多項(xiàng)式替換式(13)非線性項(xiàng),并對(duì)兩邊進(jìn)行微分變換

求得式(13)截?cái)嗉?jí)數(shù)解

y=1.128 4t0.5+1.2734083125t1.5+

1.300 9t2.5+3.177 5t3.5+…

對(duì)級(jí)數(shù)解使用Padé逼近,則

得到式(13)修正級(jí)數(shù)解

0.6981713665675022

圖1　改進(jìn)的微分變換法，微分變換法與數(shù)值解比較圖Fig.1　Comparison of the solution by different method

例2D1.75y+y3+y′=0,y(0)=1,y′(0)=0，對(duì)上式兩邊進(jìn)行微分變換，則

Y(0)=0,Y(1)=0。

3Y(4)Y2(0)+6Y(0)Y(1)Y(3)+…

得到例2截?cái)嗉?jí)數(shù)解

y=1-0.621 8t1.75+0.121 7t3.25+0.086 0t3.5-0.012 7t4.75-0.036 6t5-0.121 7t5.25

對(duì)解進(jìn)行修正，則對(duì)上式進(jìn)行Padé逼近，表2是改進(jìn)的DTM算法DTM方法和精確解對(duì)照表。

表6　不同算法結(jié)果比照表

例3Dβy-yDαy-1=0,y(0)=0,y′(0)=0,m-1<β

當(dāng)β=1.5,α=0.5時(shí),則例3的截?cái)嗉?jí)數(shù)解為

y=1.12838t1.5+0.0625t4-0.0458732t6.5+0.00566209t9。

對(duì)上式進(jìn)行Padé逼近,則

f[3/3]=(947967.451431t+970616t2-63198t3)/(6.3198+15099.13273t+36.1426t2+8.615125t3)

得到例3修正級(jí)數(shù)解

y(t)=a1e-2516.497615944428t+a2e-0.1192027785973775e-2tcos(0.2298730050954942e-t)-a3e-0.1192027785973775e-2tsin(0.2298730050954942e-t)+a4e-12i(-285100139160575.3e-0.1192027785973775e-2t

cos(0.2298730050954942e-t)+

a5e-0.1192027785973775e-2t

sin(0.2298730050954942e-t)

其中

a1=157930.3644187159,

a2=64.1355812841353,

a3=186.854566446932

a4=0.3276998864277856,

a5=97857191809355.06。

圖2　例3近似解析解Fig.2　The approximate solutions of example 3

4　結(jié)　論

實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明,改進(jìn)的R-L微分變換法可以有效的求解非線性分?jǐn)?shù)階微分方程,算法不僅構(gòu)造簡(jiǎn)單,而且易于編程,具有高精度和較小的計(jì)算量,特別是對(duì)于求解復(fù)雜的分?jǐn)?shù)階微分方程。在此基礎(chǔ)上可以將改進(jìn)的R-L微分變換法推廣到二維或者是三維,用來求解非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程。

[1]趙家奎.微分變換及其在電路中的應(yīng)用[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社, 1988:9.

[2]AYAZ F.On the two-dimensional differential transform method[J].Applied Mathematics & Computation, 2003, 143(2):361-374.

[3]LAL R, AHLAWAT N. Axisymmetric vibrations and buckling analysis of functionally graded circular plates via differential transform method [J].European Journal of Mechanics-A Solids, 2015, 52: 85-94.

[4]ARIKOGLU A, OZKOL I. Solution of fractional differential equations by using differential transform method [J].Chaos Solitons & Fractals, 2007, 34(5):1473-1481.

[5]ABDULKAWI M. Solution of Cauchy type singular integral equations of the first kind by using differential transform method [J]. Applied Mathematical Modelling, 2015, 39(8): 2107-2118.

[6]VINEET K, SRIVASTAVA M K, KUMAR A S. Analytical approximations of two and three dimensional time-fractional telegraphic equation by reduced differential transform method [J]. Egyptian Journal of Basic and Applied Sciences, 2014,1(1)：60-66.

[7]CORPORATION H P. Application of multistep generalized differential transform method for the solutions of the fractional-order chua′s system[J].Discrete Dynamics in Nature & Society, 2012，DOI：10.1155/2012/427393.

[8]MATTEO A D, PIRROTTA A. Generalized differential transform method for nonlinear boundary value problem of fractional order [J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2015，29(1-3)：88-101.

[9]ABUTEEN E, MOMANI S, ALAWNEH A. Solving the fractional nonlinear bloch system using the multi-step generalized differential transform method[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2014, 68(12): 2124-2132.

[10] PODLUBNY I. Fractional differential equations[J]. Academic Press Inc San Diego Ca, 1999, 28(2):2.

[11] TRUJILLO J J, RIVERO M, BONILLA B. On a riemann-liouville generalized taylor′s formula [J]. Journal of Mathematical Analysis & Applications, 1999, 231(1):255-265.

[12] 葉俊杰, 錢德亮. Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微分方程的微分變換方法[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 23(2):111-120.

(編輯亢小玉)

DTM-Adomian-pade for solving nonlinear fractional differential equations

LIU Chun-feng, ZHANG Hua

(College of Science, North China University of Science and Technology, Tangshan 063000， China)

An improved generalized differential transformation method is proposed for solving the approximate analytical solution of nonlinear fractional differential equation in the definition of R-L.The method is a combination with differential transformation, Adomian polynomial, Padé approximation. The method is not only simple and has little calculation, but also has higher accuracy. Finally, numerical example is given to verify the effectiveness of the algorithm, which proposes a new calculating scheme for nonlinear fractional differential equations.

differential transformation method; nonlinear fractional differential equations; Adomian polynomial; Padé approximant

2015-07-03

國(guó)家自然基金資助項(xiàng)目(61170317)；河北省自然基金資助項(xiàng)目(A2013209295)

劉春鳳，女，河南洛陽(yáng)人，博士，教授，從事數(shù)值計(jì)算及其應(yīng)用研究。

張滑，女，河北唐山人，從事數(shù)值計(jì)算及其應(yīng)用研究。

O175.2

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-03-005