李 丹，鄧大文

（湘潭大學 數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411105）

三維不可壓Euler方程的動力學

李 丹，鄧大文

（湘潭大學 數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411105）

考慮三維不可壓Euler方程的一些物理量沿質點軌跡的演化情況。Chae已考慮了渦量沿質點軌跡增加的情景，文章考慮令解衰減、系統(tǒng)穩(wěn)定的另一種情景，進而把系統(tǒng)的演化情況（包括它在兩種情景間的轉化、爆破或衰減）作完整的描述。推廣了Chae已考慮的情景的結果，得到更強的結論。

三維不可壓Euler方程；局部光滑解；爆破；漸近性質

本文考慮在Ω?R3中不可壓流體的Euler方程

三維Euler方程局部光滑解可否在有限時間內損失正則性，是受關注的問題。如果可以，其爆破形態(tài)也是研究的中心問題。這方面的研究有文獻［1-3］中的爆破條件。Chae［4］考慮Euler方程組在光滑解存在的時段內的一些相關量沿質點軌跡的演化情況，思路是在光滑解全局存在的假定下，推出矛盾，就可知道全局光滑解不存在。

Guo等［5］利用Euler方程和水波的逼近模型Camassa-Holm（CH）方程的相似性，對CH方程（事實上也對Degasperi-Procesi方程）得到類似于文獻［4］的結果。但因為CH方程是空間一維的，涉及的量較簡單，結果就更清楚明白。更重要的是對CH方程有較完整的全局光滑解存在性和局部光滑解在有限時間爆破的理論［6-8］。利用這些理論，文獻［5］得到CH方程真實出現的全局解的性質和局部解的爆破形態(tài)，不單只是爆破條件與羅列所有可能的發(fā)展情況。也可以用類似的方法討論SQG方程局部光滑解的爆破問題［9］。

文獻［4］中的方法，是從模型推導物理量沿質點軌跡滿足的常微，從而得到它們沿軌跡的演化情況。但沒有考慮常微的某些令解衰減、系統(tǒng)穩(wěn)定的初始形態(tài)。本文考慮這些形態(tài)，并推廣文獻［4］中已考慮的情況，得到更強的結果。對于CH方程，也可以類似地討論未被考慮的情況，并推廣文獻［5］中的結果，這里不作詳細討論。

1　主要結果

以下定理討論ω及ω相對于α沿質點軌跡的演化情況。這里對文獻［4］中的定理1.1補充了初始情況α0（a）＜0的討論，及把定理中的指數γ=1推廣到γ＞0，得到比文獻［4］中更強的結論。若ω（X（a，t），t）一直小于1（大于1），則對γ＞1（γ＜1），模糊遞減的結論比文獻［4］中得更快。從式（2）可知，若ω0（a）≠0，則ω（X（a，t），t）≠0。當ω（X（a，t），t）=0，定義α（X（a，t），t）=ρ（X（a，t），t）=0。

定理1令v0∈Hs（Ω），且 γ＞0。定義

則以下結論成立。

（Ⅰ）當a∈Σ+1（0），以下情況有且只有一種成立：

（a）ω（X（a，t），t）在有限時間內沿著軌跡的結論更強，即α衰減

｛X（a，t）｝爆破，即存在T?＞0，使得

當 j→∞時，t1＜t2＜…＜tj＜tj+1→∞，使得對所有 j=1，2，3，…，有Φ1（a，0）＜Φ1（a，t1）＜…＜Φ1（a，tj）＜Φ1（a，tj+1）＜0，且對t∈［0，tj］，有Φ1（a，t）≤Φ1（a，tj）＜0。

以下的定理對應于文獻［4］中的定理1.2，這里補充了兩種初始情況的討論，及把文獻［4］中定理1.2的指數γ=1推廣到γ＞0。由式（2）可得［4］561

以下 Φ2對應于文獻［4］中定理1.2的Φ2-1。

定理2令 v0∈Hs（Ω），s＞5/2，γ＞0，當α（X（a，t），t）≠0，定義

則以下結論成立：

（a）Euler方程的解v在有限時間內沿著軌跡｛X（a，t）｝爆破。

（c）存在 T1＞0，使得 Φ2（a，T1）=0，或者（Φ2“模糊地單調”存在一個無窮序列，當 j→∞時，t1＜t2＜…＜tj＜tj+1→∞，使得

Φ2（a，tj）＞Φ2（a，tj+1）＞0，且對t∈［0，tj］，有Φ2（a，t）≥Φ2（a，tj）＞0。

Φ2（a，tj+1）＜0，且對t∈［0，tj］，有Φ2（a，t）≤Φ2（a，tj）＜0。

（b）存在 T1＞0，使得 Φ2（a，T1）=0。

由式（3）及Φ2的定義得，α′=Φ2|α|1+γ。在情景（Ⅰ）中，不管α（X（a，t），t）屬于還是， |α（X（a，t），t）|都遞增，可能爆破；在情景（Ⅱ）中，無論α（X（a，t），t）屬于（t）還是，|α（X（a，t），t）|都遞減。若（Ⅰ）（b）發(fā)生，α可能變號，或當（Ⅰ）（c）中的Φ2（a，t）=0發(fā)生，Φ2可能變號，任何一種都可令系統(tǒng)從情景（Ⅰ）進入情景（Ⅱ）；類似地，若（Ⅱ）（a）或（Ⅱ）（b）發(fā)生，系統(tǒng)也可能從情景（Ⅱ）變到情景（Ⅰ）。所以沿某質點軌跡，系統(tǒng)可以在情景（Ⅰ）（Ⅱ）間往返，若在某時間后逗留在（Ⅰ）中，則||α沿軌跡增加且可能爆破；若逗留在（Ⅱ）中，則||α衰減。

2　定理的證明

定理1的證明需要以下的引理。

引理1假設α0（a）＞0， ω0（a）≠0，γ＞0且存在ε＞0，使得α0（a）|ω0（a）|≥ε|ω0（a）|1+γ。

令T*=［εγ|ω0（a）|γ］-1，那么ω（X（a，t），t）不晚于T*爆破，或者存在t∈（0，T*），使得

證明：假設ω（X（a，t），t）不在［0，T*］內爆破，且對t∈（0，T*），有

定理1的證明：由式（2）可得

因此從ω0（a）≠0推出ω（X（a，t），t）≠0。

所以對t*=0，（Ⅱ）（b）成立；否則存在 t1＞0，使α（X（a，t1），t1）|ω（X（a，t1），t1）|＞-ε0|ω（X（a，t1），t1）|1+γ，則

α（X（a，t），t）|ω（X（a，t），t）|≤-ε1|ω（X（a，t），t）|1+γ，則

所以對t*=t1，（Ⅱ）（b）成立；否則存在t2＞t1，使

則

重復上面的討論，若（Ⅱ）（b）永遠不成立，可得到一個無窮序列，t1＜t2＜…＜tj＜tj+1，使對j=1，2，…，有Φ1（a，tj）＜Φ1（a，tj+1）＜0。選擇每個tj使得對任意的t∈［0，tj］有Φ1（a，t）≤Φ1（a，tj）；否則，重選tj為Φ1（a，t）在（tj-1，tj］上的最大值即可。

若當 j→∞，tj→t∞＜∞，可重選t∞為，原來的…都丟掉，可得到當 j→∞，有tj→∞。

為證明定理2，先證明以下兩個引理。

引理2假設α0（a）＞0，γ＞0且Φ2（a，0）＞0。

證明：假設解 v不在［0，T*］內爆破，且對t∈（0，T*），Φ2（a，t）≥Φ2（a，0），連同式（3）得，當t∈（0，T*）時，α′=Φ2（a，t）|α|1+γ≥Φ2（a，0）|α|1+γ，因Φ2（a，0）＞0，所以α′＞0。又因α0（a）＞0，則當t∈（0，T*）時，α＞0。因此α′≥Φ2（a，0）α1+γ，從而

引理3假設α0（a）＜0，γ＞0且Φ2（a，0）＜0。令T*=［-Φ2（a，0）γ（-α0（a）γ］-1。那么，解v不晚于T*爆破，或者存在t∈（0，T*），使得

Φ2（a，t）＞Φ2（a，0）。

證明：假設解v不在［0，T*］內爆破，且對t∈（0，T*），Φ2（a，t）≤Φ2（a，0），由式（3）得，當t∈（0，T*）時，α′=Φ2（a，t）|α|1+γ≤Φ2（a，0）|α|1+γ，因Φ2（a，0）＜0，所以α′＜0。又因α0（a）＜0，則當t∈（0，T*）時，α＜0。因此α′≤Φ2（a，0）（-α）1+γ，從而

即（Ⅱ）（c.2）成立。否則，對所有ε＞0，T＞0，存在t＞T，使Φ2（a，t）＜ε。令ε0=Φ2（a，0），則存在t1＞0，使Φ2（a，t1）＜ε0=Φ2（a，0）。令ε1=Φ2（a，t1），則存在 t2＞t1，使 Φ2（a，t2）＜ε1=Φ2（a，t1）。類似的討論，得（Ⅱ）（d.2）成立。

［1］BEALE J T，KATO T，MAJDA A.Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equations［J］. Communications in Mathematical Physics，1984，94（1）：61-66.

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［7］RODRIGUEZ-BLANCO G.On the Cauchy problem for the Camassa-Holm equation［J］.Nonlinear Analysis Theory Methods&Applications，2001，46（3）：309-327.

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Dynamics of the 3D Incompressible Euler Equation

LI Dan，TANG Taiman（鄧大文）
（School of Mathematics and Computational Science，Xiangtan University，Xiangtan 411105，Hunan，China）

A study is made of the evolutions along particle trajectories of some physical quantities of the three dimensional incompressible Euler equation.In the literature，Chae has considered the scenario in which the magnitude of the vorticity increases along particle trajectories.In this article，a discussion is made of another scenario which results in decaying solutions and stable systems.Consequently，a complete description of the evolution of the Euler system can be given，including the changing of scenarios，blowing up and decay of the solution.Chae's results in the scenario he has considered are also generalized.

3D incompressible Euler equation；local smooth solution；blow-up；asymptotic properties

O175.24

A

1672-2914（2016）04-0033-05

2016-04-12

國家自然科學基金項目（11371300）。

李 丹（1991—），女，山西大同市人，湘潭大學數學與計算科學學院碩士研究生，研究方向為偏微分方程。

鄧大文，教授，E-mail:tmtang@xtu.edu.cn。