董　凱，秦永松，鄧　裕

（1.浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院，浙江 金華 321004；2.廣西師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西 桂林　541004）

［數(shù)理科學與信息科學研究］

α混合樣本下含附加信息時概率密度的經(jīng)驗似然置信區(qū)間

董凱1，秦永松2，鄧裕1

（1.浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院，浙江 金華 321004；2.廣西師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西 桂林541004）

利用分塊技術證明了α混合樣本下含附加信息時概率密度函數(shù)的經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量的漸近分布是分布，由此得到了概率密度函數(shù)的經(jīng)驗似然置信區(qū)間。

α混合樣本；附加信息；經(jīng)驗似然；卡方分布；置信區(qū)間

首先給出α混合樣本的定義。

定義1設｛ηi，i≥1｝為實值隨機變量序列，是由隨機變量序列｛ηi，s≤i≤t｝產(chǎn)生的σ代數(shù)，若當n→∞時，

則稱隨機變量序列｛ηi，i≥1｝為α混合，其中α（n）被稱為α混合系數(shù)。

Owen［1-2］在1988年最先提出用經(jīng)驗似然方法構建置信區(qū)間。Owen［1］主要提出經(jīng)驗似然方法可以用于構建M函數(shù)的置信區(qū)間，Chen［3］發(fā)展了經(jīng)驗似然方法用于構建概率密度函數(shù) f（x）的置信區(qū)間，Zhang［4］在特定的情形下證明了用經(jīng)驗似然方法可以有效地處理附加信息；但他們的研究都是針對獨立樣本情形。在α混合樣本情形，趙翌和楊善朝［5］研究了核密度估計的漸近分布，主要結論可以構建 f（x）的漸近正態(tài)置信區(qū)間，但不能構建 f（x）的經(jīng)驗似然置信區(qū)間；Lei and Qin［6］研究了α混合樣本下不含附加信息時概率密度函數(shù)的經(jīng)驗似然置信區(qū)間，然而卻未見含附加信息時 f（x）的經(jīng)驗似然置信區(qū)間。故本文將用經(jīng)驗似然方法討論含附加信息時 f（x）的置信區(qū)間的構造。

1　主要結果

設X1，X2，…，Xn（n≥2）是來自總體X的同分布α混合樣本，那么 f（x）在已給定的任意點x的核密度估計如下

其中K（·）為核密度，0＜h=hn→0為窗寬。

假設存在r（r≥1）個已知函數(shù)g1（x），g2（x），…，gr（x）（gi（x）∈R，i=1，2，…，r），使得

其中 g（x）=（g1（x），g2（x），…，gr（x）τ是一個r維向量。下面將在附加信息式（1）下給出 f（x）的置信區(qū)間。

為簡便起見，可設 Kh（u）=K（u/h）對任意u∈R。本文希望得到概率密度函數(shù)θ0=f（x）在任意給定點x（x∈R）的經(jīng)驗似然置信區(qū)間。與文獻［3］提出的方法類似，可得得分函數(shù)為

記 e（Xi，θ0）=ei（θ0），并運用分塊技術將函數(shù)g（Xi），ei（θ0）分成大塊（含 p個數(shù)據(jù)）和小塊（含q個數(shù)據(jù)）。取 p=p（n），q=q（n）是正整數(shù)，且滿足p+q≤n。設k=［n/（p+q）］（其中［t］表示對t取整），

rm=（m-1）（p+q）+1，

lm=（m-1）（p+q）+p+1，m=1，2，…，k，

那么可將函數(shù)g（Xi），ei（θ0）分塊如下

考慮如下分塊經(jīng)驗似然函數(shù)

那么由Lagrange乘子法求L（θ0）在約束條件下的最大值

其中

下面再次考慮如下分塊經(jīng)驗似然函數(shù)

其中

λ1∈Rr由下式確定

為簡化連乘，則當含附加信息式（1）關于θ0的分塊似然比統(tǒng)計量取-2log后為

為了得到?（θ0）的漸近分布，首先給出如下假設條件：

（A1）1）隨機變量序列X1，X2，…，Xn為嚴平穩(wěn)序列，f（·）是該序列對于Language測度的一維邊緣密度函數(shù)。

2）｛Xi，1≤i≤n｝是混合系數(shù)α（·）的α混合隨機樣本序列，并且存在δ＞0以及正常數(shù)δ1，τ0，對于δ1＜δ/2，τ0＞3（δ+4）（2+δ1）/｛2（δ-2δ1）｝，α混合系數(shù)都滿足α（m）≤Cm-τ0，m≥1。

3）隨機變量X1，Xj+1的聯(lián)合概率密度函數(shù) f1，j存在且滿足

其中C表示與n無關的常數(shù)。

4）f（·）在x的領域內有連續(xù)的r0（r0≥2）階導數(shù)，f（x）＞0。

5）對任意u，f1|j（v|u）作為v的函數(shù)在x點連續(xù)，其中 f1|j（v|u）表示當X1已給定時Xj（j＞1）的條件密度函數(shù)。

（A2）1）核函數(shù)K（u）有界，有緊支撐且滿足

其中r0見（A1）4）。

2）（dK/du）（u）=K'（u）存在且|K'（u）|≤C，u∈R。

p，q，k和h如上所述，且滿足下述條件：

（A4）函數(shù)g是實值函數(shù)，滿足

1）（dg/du）（u）=g'（u）存在且|g'（u）|≤C，u∈R。

2）Egj（X）=0，E|gj（X）|（4+δ）＜∞，Σg＞0，其中

注1假設條件和下文中所有的極限都是在n→∞的條件下取得的。

注2若假設條件（A1）2）成立，取

其中0＜ξ2＜ξ1＜（4+δ）/｛2（5+δ）｝，那么對假設條件（A3）1）-（A3）3）滿足；并且注意到k≤np-1，α（m）≤Cm-τ0。若ξ1+τ0ξ2＞1，假設條件（A3）4）成立。

注3由q/p→0，kp/n→1，可得kq/n→0。

由q/p→0，u（p）→0可得u（q）→0。

下面給出本文的主要結果。

定理1若假設條件（A1）-（A4）滿足，則對任意常數(shù)c1，有

其中

2　相關引理

為了證明主要結論，首先要證明一些引理。為簡便起見，本文用C表示一個與n無關且充分大的正整數(shù)。另外，如果對任意常數(shù)s≥1和隨機變量ξ，滿足，則記。

引理1［7］設｛ηi，i≥1｝為α混合隨機變量序列，是由隨機變量序列｛ηi，s≤i≤t｝產(chǎn)生的σ代數(shù)，若ξ和η分別是和上可測的隨機變量，且||ξ||p1＜∞，||η||p1＜∞，其中p1，q1＞1，，則有

若ξ和η都是有界的隨機變量，則有

證明參見文獻［7］的引理1。

引理2［8］設｛ηi，i≥1｝為α混合隨機變量序列，是由隨機變量序列｛ηi，s≤i≤t｝產(chǎn)生的σ代數(shù)，若｛ξi，1≤i≤n｝分別在，…，上是可測的，其中1≤i1＜j1＜i2＜…＜in＜jn，il+1-jl≥m，且|ξl|≤1，l=1，2，…，n，則有

證明參見文獻［8］的引理1。

引理3［9］設2＜p0＜r0＜∞，｛ηi，i≥1｝為α混合隨機變量序列且滿足E（ηi）=0，E|ηi|r0＜∞。若存在C＞0和θ＞p0r0/｛2（r0-p0）｝，使得α（n）≤Cn-θ，則有

引理4若假設條件（A1）-（A4）滿足，則對任意常數(shù)c1，當θn=θ0+（nh）-1/2c1時，

其中

結合多維隨機變量的方差的定義和式（9）-（11）知式（6）成立。

（iii）接下來證明式（7）。顯然式（7）等價于

只需證明

其中Q（Xi）=W（Xi，θn）-E（W（Xi，θn）。

下面先證明式（12），因為

再結合附加信息式（1）可得式（12）成立。

接下來證明式（13）。記

要證式（13），只需證明對任意a∈Rr+1，且||a||=1，有

aτLn可被分解為

其中

那么只需證明

另外，作為證明式（14）的準備工作，還需證明

注意到

那么由假設條件（A3），引理1和式（6），取引理1中的p0，q0分別為p0=q0=4+δ，可得

另一方面，由平穩(wěn)性，引理1和式（6）。類比文獻中引理3的證明，可得

因此式（17）成立。

最后證明式（14），由引理2可知

假設｛ξm，m=1，2，…，k｝是與aτΣ-1/2nenm分布相同的獨立隨機變量序列，取引理3中的 p0，r0為p0=3，r0=4+δ，由引理3可得

由式（24）和（25）可得式（14）成立。再由式（14）-（16）可得式（7）成立。

（iv）最后證明式（8）。只需證明

為證式（26），需先證明對任意‖a∈Rr+1，‖a‖=1有

式（28）-（30）的證明過程和本文式（15）-（17）的證明過程類似，在此不再次證明。由式（28）-（30）可得式（27）成立。

接下來證明式（31）。

為證明式（31），則需要證明，對給定的0＜δ1＜δ/2，都有

這樣取δ2是因為：

則在證明式（32）過程中就可運用假設條件（A1）2）和引理3。由引理3可得

再次運用引理3，取 p0=4+2δ1+2δ2，r0=4+δ，則有

于是式（32）成立。由式（32）可知式（31）成立。再由式（27）和（31），有

其中bs表示Rr+1中第s個標準坐標，1≤s≤r+1，則由式（33）可得

因此，式（8）成立。

引理5設假設條件A（1）—A（4）滿足，則

證明：設λ（θn）=ρ1a，Zn=max1≤i≤2k+1|aτψni（θn）|，其中||a||=1，那么由式（2）可得

所以

則由引理4可知λ（θn）=Op（n-1/2）。事實上，令γi=λτ（θn）ψni（θn），則

再次運用式（2），可得

引理5得證。

引理6當假設條件（A1）1），（A1）2），（A3），（A4）滿足，則

證明可參見本文引理4和引理5。

引理7［11］設A∈Rp×p是對稱矩陣，

證明參見文獻［11］的推論2.11.2。

3　定理的證明

結合式（34），引理4和引理7可知定理1成立。

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Empirical Likelihood Confidence Intervals for Probability Density Functions in Presence ofAuxiliary Information Under Strong Mixing Samples

DONG Kai1，QIN Yongsong2，DENG Yu1
（1.College of Mathematics，Physicas and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，Zhejiang，China；2.College of Mathematics and Statistics，Guangxi Normal University，Guilin 541004，Guangxi，China）

In this paper，it is proved that the empirical likelihood（EL）ratio statistic for probability density functions in presence of auxiliary information under a strong mixing sample is asymptotically-type distributed by using the blockwise technique.The result is used to obtain EL based confidence interval on the probability density function.

strong mixing sample；auxiliary information；empirical likelihood；-type distribution；confidence interval

O212.1

A

1672-2914（2016）04-0026-07

2016-03-07

國家自然科學基金項目（11271088，11361011）。

董凱（1990—），男，浙江金華市人，浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院碩士研究生，研究方向為概率論與數(shù)理統(tǒng)計。

秦永松，教授，E-mail：ysqin@gxnu.edu.cn。