馮興波　奚　悅　宋丹青　徐永福

(上海交通大學(xué)土木工程系　上海　200240)

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基于PFC2D巖石顆粒破碎強(qiáng)度和能量的分形模型*

馮興波奚悅宋丹青徐永福

(上海交通大學(xué)土木工程系上海200240)

顆粒的破碎強(qiáng)度隨著粒徑的增大而減小，即顆粒破碎的尺寸效應(yīng)，分形模型為解釋固體顆粒破碎的尺寸效應(yīng)提供了可行的方法。根據(jù)巖石顆粒破碎時(shí)的分形特征，采用Sammis破碎準(zhǔn)則，通過模擬分析得出巖石顆粒破碎能量和強(qiáng)度的分形模型，建立和驗(yàn)證用分維D來表示巖石顆粒破碎的能量和強(qiáng)度準(zhǔn)則，得出并驗(yàn)證了巖石顆粒破碎分維的確定方法。利用離散元軟件PFC2D的黏結(jié)顆粒模型BPM(Bonded Particle Model)模擬了小孔隙率n=0.12和大孔隙率n=0.3，即密實(shí)和松散兩種情況。其中小孔隙率采用在模型上添加小顆粒的新方法，分別做了400組粒徑不等的數(shù)值模擬試驗(yàn)，從粒徑與破碎強(qiáng)度、破碎能量之間的關(guān)系和應(yīng)力-應(yīng)變曲線3個(gè)方面進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，驗(yàn)證了巖石顆粒破碎強(qiáng)度與分維D的理論關(guān)系為σf∝dD-3，并得出顆粒破碎時(shí)的能量和與分維D之間的關(guān)系為Ef∝dD-1。驗(yàn)證了分形理論在分析顆粒破碎的尺寸效應(yīng)中的較好應(yīng)用，為確定巖石顆粒的破碎強(qiáng)度和巖石堆砌體剪切強(qiáng)度提供新的方法和參考意見。

PFC2D巖石顆粒破碎強(qiáng)度破碎能量分維

0　引　言

巖石顆粒是路堤、地基、路面結(jié)構(gòu)等的重要組成部分，在外荷載的作用下，當(dāng)外力超過巖石顆粒的破碎強(qiáng)度，巖石顆粒就會(huì)發(fā)生碎裂。巖石堆砌體結(jié)構(gòu)的剪切強(qiáng)度會(huì)因顆粒破碎而降低(Lade et al.，1996)，顆粒破碎通常會(huì)使材料的壓縮性變大進(jìn)而產(chǎn)生大的變形(尹振宇等，2012)，因此尋找確立巖石顆粒破碎強(qiáng)度的簡(jiǎn)易方法十分重要。從已有的研究成果表明顆粒破碎后的分布可以用分形模型來描述(Sammis et al.，1985; Steacy et al.，1991)。分形中最重要的概念是分維，Sammis et al.(1985)通過設(shè)定立方體破碎時(shí)的準(zhǔn)則，即原一級(jí)大顆粒破碎生成次一級(jí)小顆粒的準(zhǔn)則固定不變，那么顆粒最終會(huì)形成分形分布且得出分維的理論值為2.58。Turcotte(1986，1992)將Allègre et al.(1982)的破碎模型修改后應(yīng)用到顆粒破碎模型，將分維值計(jì)算表示為：

D=ln(8pf)/ln2

(1)

其中，pf是原一級(jí)顆粒碎裂成次一級(jí)8個(gè)顆粒的概率。Palmer et al.(1991)通過分析冰粒破碎特點(diǎn)，建立了冰粒等固體顆粒破碎的分形模型，得出分維值D=2.50。McDowell(2002)用等邊三角形模擬平面顆粒破碎的分形特性，得出顆粒分布分維為2.50。Xu(2005)通過對(duì)冰粒和巖石顆粒破碎的分維統(tǒng)計(jì)，得出顆粒分布的分維值在2.3～2.6之間。其他對(duì)不同種類顆粒的破碎分維進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)，都滿足在三維條件下D值在2.0～3.0之間(Steacy et al.，1991)。巖石顆粒的破碎可以用DEM(Distinct Element Method)來模擬(Sebastian et al.，2005)，且BPM模型可以較好的表現(xiàn)出巖石的真實(shí)力學(xué)性質(zhì)(Potyondy et al.，2004)。運(yùn)用PFC2D的BPM(Bonded Particle Model)模型來模擬巖石顆粒的破碎過程，BPM模型通過將許多小顆粒聯(lián)結(jié)在一起，即在小顆粒間設(shè)置聯(lián)結(jié)力，這樣所有的小顆粒組成的大顆?？梢钥闯删哂锌紫兜念w粒集塊，當(dāng)在外荷載達(dá)到一定強(qiáng)度，聯(lián)結(jié)鍵斷開，小顆粒從大集塊上脫落，即相當(dāng)于大顆粒碎裂成小顆粒。單個(gè)巖石顆粒在單軸壓縮下的破碎強(qiáng)度具有尺寸效應(yīng)(徐永福等，2014)。采用Sammis破碎準(zhǔn)則模擬分析得出巖石顆粒破碎強(qiáng)度和破碎能量的分形模型，建立和驗(yàn)證用分維D來表示巖石顆粒破碎的能量和強(qiáng)度的準(zhǔn)則。

1　顆粒破碎的分形模型

分形中最重要的概念是分維，分維定義為(Mandelbrot，1982)：R(X)是d-歐氏空間中(X，d)的非空子集，對(duì)于集合A∈R(X)能被有限個(gè)(N(A，r))r>0的集合覆蓋，令D=limr→0﹛ln[N(A，r)]/ln(1/r)﹜，則集合A的分維D由此確定。分形顆粒破碎的自相似準(zhǔn)則(圖1)，圖中表面無網(wǎng)格劃分的顆粒(大于基本小顆粒)代表顆粒破碎后的裂縫部分(不同大小表示碎裂的層級(jí)不同)，其余為固體部分。假設(shè)初始邊長(zhǎng)為h的立方體顆粒，碎裂成邊長(zhǎng)為h/2的次一級(jí)立方體顆粒，若顆粒是三維Euclidean塊體，為使質(zhì)量等保持不變大顆粒破碎后應(yīng)生成8個(gè)小顆粒，但由于分形塊體的破碎準(zhǔn)則，顆粒內(nèi)部存在裂隙等的缺陷，因而不能碎裂成全部8個(gè)小顆粒，而是每次破碎后小顆粒與裂隙總數(shù)保持8個(gè)不變。Sammis顆粒破碎的分形模型假設(shè)原一級(jí)的顆粒碎裂成6個(gè)次一級(jí)的小顆粒，相當(dāng)于其余兩個(gè)被裂隙占有，依此規(guī)律大顆粒不斷碎裂成小顆粒，可得碎裂后的顆粒數(shù)N與尺寸d的關(guān)系：N(d)=d-2.58。顆粒若以圖1準(zhǔn)則不斷破碎后的最終分布就是分形分布，且N與d的關(guān)系滿足(Mandelbrot，1982)：

(2)

圖1　分形顆粒的破碎模型Fig.1　Self-similar gouge of cubic particle

式中，D介于2.0～3.0之間(Steacy et al.，1991)。N與d的一般關(guān)系為(徐永福等，2014)：

(3)

則顆粒的分維為：

D=w+lnP/lnb

式中，b為次一級(jí)顆粒的尺寸與原一級(jí)顆粒尺寸的比值；i為顆粒碎裂i次；P相當(dāng)于顆粒破碎后的生成幾率；w是常規(guī)歐式維數(shù)。

2　數(shù)值模擬的BPM模型

顆粒離散元法的應(yīng)用和研究為地質(zhì)工程領(lǐng)域的巖石顆粒破碎研究提供了參考意見(徐佩華等，2012)。數(shù)值模擬的BPM模型采用PFC2D中的Brazilian Test，即在矩形試樣生成后將試樣刪掉一些邊角小顆粒，使其變成圓盤狀的顆粒(厚度為單位1)，然后通過控制外墻的速度來給顆粒施加壓力，最終使其破碎，來模擬巖石顆粒的破碎。建模的過程是先生成矩形試樣；然后通過cycle命令使顆粒達(dá)到壓緊的狀態(tài)，即達(dá)到所需的孔隙率，本文為0.12和0.3；然后通過均勻減小所有顆粒的半徑來使試樣達(dá)到指定的壓應(yīng)力狀態(tài)σ0；然后刪除浮點(diǎn)顆粒(Floating particles)即與周圍小顆粒接觸小于3個(gè)的顆粒；然后給顆粒之間設(shè)置聯(lián)結(jié)強(qiáng)度(法向σn和切向σs)，之后使試樣達(dá)到指定的圍壓σc狀態(tài)，并通過PFC2D中的伺服控制程序保持圍壓不變；最后刪掉邊角小顆粒后通過外墻對(duì)顆粒施加壓力，最終使顆粒發(fā)生碎裂破壞。采用在大孔隙率試樣上均勻添加小顆粒以減小孔隙率的新方法，保證試樣更接近巖石顆粒的孔隙率。圖2表示了孔隙率為0.12的試樣生成結(jié)果和破碎過程，試樣參數(shù)(表1)。

圖2　BPM模型在模擬中的變化Fig.2　Shapes of BPM during the numerical simulation processes

表1　BPM模型參數(shù)

Table 1　Parameters for BPM

參數(shù)數(shù)值密度ρ=2630kg·m-3圍壓σc=0.1MPa壓縮模量Ec=88GPa初始圍壓σ0=0.1MPa法向聯(lián)結(jié)強(qiáng)度σn=200±50MPa切向聯(lián)結(jié)強(qiáng)度σs=200±50MPa顆粒的剛度b_kn=2ECt墻的剛度w_kn=1.1b_kn

3　巖石顆粒破碎的尺寸效應(yīng)

分形理論是基于研究對(duì)象的幾何尺寸的變化而提出的，而巖石顆粒破碎強(qiáng)度具有尺寸效應(yīng)，因此分形理論可以解釋巖石顆粒破碎的尺寸效應(yīng)。顆粒的破碎強(qiáng)度：

(4)

式中，Areal為顆粒之間的實(shí)際接觸面積，徐永福等(2014)將顆粒破碎強(qiáng)度與顆粒粒徑之間關(guān)系表示為：

(5)

圖3　巖石顆粒破碎強(qiáng)度-粒徑的關(guān)系Fig.3　Size effect of rock particles crushing strength

圖4　巖石顆粒破碎強(qiáng)度-粒徑的關(guān)系Fig.4　Size effect of rock particles crushing strength

從圖3中可知在n=0.12時(shí)-β=D-3=-0.193，在n=0.3時(shí)-β=D-3=-0.523，即兩種情況下分維值D分別為2.807和2.477。根據(jù)式(1)分維值D的計(jì)算定義，pf即相當(dāng)于顆粒的非孔隙部分體積與整個(gè)顆粒部分體積的比值，即固體顆粒的部分體積與整個(gè)顆粒體積的比值，也即相當(dāng)于1-n的值，那么此時(shí)：

D=ln8(1-n)/ln2

(6)

巖石顆粒破碎的分維值按此式計(jì)算。按照這個(gè)計(jì)算式，在n=0.12和n=0.3時(shí)，D分別為2.8156和2.4584，則誤差分別為0.31%和0.34%，分形模型可以解釋巖石顆粒破碎強(qiáng)度的尺寸效應(yīng)。

4　巖石顆粒破碎的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖5和圖6分別對(duì)應(yīng)孔隙率為0.12和0.3時(shí)巖石顆粒破碎不同粒徑的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，因?yàn)楸疚乃芯康氖穷w粒的破碎強(qiáng)度，且在應(yīng)力-應(yīng)變曲線出現(xiàn)第一個(gè)峰值時(shí)顆粒就會(huì)發(fā)生破碎，所以將第一峰值強(qiáng)度定義為顆粒的破碎強(qiáng)度，因此本文所示的應(yīng)力-應(yīng)變曲線是在第一峰值強(qiáng)度出現(xiàn)后的一定范圍內(nèi)，因此沒有出現(xiàn)多峰值的現(xiàn)象(圖5)。

圖5　應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.5　Stress-strain curves

圖6　應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.6　Stress-strain curves

圖6中很直觀的表明顆粒的破碎強(qiáng)度隨顆粒的粒徑增大而減小的尺寸效應(yīng)。在孔隙率較小的情況下，顆粒破碎時(shí)達(dá)到峰值強(qiáng)度之前應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本沒有什么波動(dòng)，呈現(xiàn)出近似直線的趨勢(shì)，這可能是由于PFC中的基本粒子是采用圓形顆粒，在小孔隙率下BPM模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)并不是很不均勻，且在一定圍壓下也會(huì)使不均勻程度降低的緣故。在達(dá)到峰值之后波動(dòng)開始出現(xiàn)，呈現(xiàn)出剪切軟化的特征。相比較之下，在較大孔隙率時(shí)，顆粒破碎時(shí)達(dá)到峰值強(qiáng)度之前的應(yīng)力-應(yīng)變曲線就有很明顯的波動(dòng)，表明BPM模型內(nèi)部在大孔隙率下相對(duì)小孔隙率內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不均勻性，且在外荷載作用下，隨著壓應(yīng)力的增加，BPM模型內(nèi)部的結(jié)構(gòu)變化比較大，且在達(dá)到峰值強(qiáng)度時(shí)的應(yīng)變明顯大于小空隙的情況，呈現(xiàn)出剪切硬化的特征，這與實(shí)際情況比較符合。

5　巖石顆粒破碎的能量

目前對(duì)巖石破壞過程中能量變化規(guī)律的試驗(yàn)研究已取得了很多有價(jià)值的成果(楊圣奇等，2007；劉新榮等，2013)。研究表明，在巖石變形破壞過程中，能量起著根本的作用，即是能量驅(qū)動(dòng)下的一種狀態(tài)失穩(wěn)的現(xiàn)象(謝和平等，2005)。顆粒破碎本質(zhì)上是顆粒變形能向表面能轉(zhuǎn)換的過程。顆粒在荷載作用下將產(chǎn)生一定的彈性變形，當(dāng)荷載值超過塑性變形強(qiáng)度界限后，顆粒發(fā)生的塑性變形使內(nèi)部產(chǎn)生微裂縫并不斷擴(kuò)展，最終使顆粒破壞，在這個(gè)過程當(dāng)中，荷載所做功轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的表面能。由于巖石強(qiáng)度的離散性，僅僅依靠應(yīng)力-應(yīng)變曲線是很難建立適合巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則的。因此，如能通過分析得出巖石顆粒在變形和破碎過程中的能量耗散特性，建立以顆粒破碎時(shí)的能量為強(qiáng)度準(zhǔn)則，就有可能反映巖石顆粒的破碎規(guī)律。

巖石顆粒破碎過程中外力對(duì)顆粒所做的功可表示為：

(7)

其中，δf為破碎強(qiáng)度σf對(duì)應(yīng)的徑向尺寸變化值；F為作用在顆粒上的外力。上式進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為：

(8)

式中，SA為外力作用在顆粒上的面積。則Ef可近似表示為：

(9)

因?yàn)棣舊∝d，則再結(jié)合式(5)可得：

(10)

于是建立了顆粒破碎時(shí)的能量與分維之間的關(guān)系。圖7和圖8是顆粒破碎過程中粒徑與破碎能量在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的關(guān)系。

圖7　巖石顆粒的破碎能量-粒徑關(guān)系Fig.7　Particle-crushing power size distribution

圖8　巖石顆粒的破碎能量-粒徑關(guān)系Fig.8　Particle-crushing power size distribution

從圖7和圖8中可知在孔隙率為0.12和0.3時(shí)，由式(10)顆粒破碎能量與粒徑關(guān)系得出分維值D分別2.7902和2.4781這與顆粒破碎強(qiáng)度-粒徑關(guān)系得出的分維值D=2.807和D=2.477基本一致，與式(6)理論值D=2.8156和D=2.4854也十分吻合，誤差分別為0.9%和0.3%。可見從能量的角度分析巖石顆粒破碎與分維之間的關(guān)系也得到了很好的效果，得出了巖石顆粒破碎時(shí)的能量與粒徑之間的關(guān)系，反映了巖石顆粒破碎的規(guī)律。

6　結(jié)　論

巖石顆粒破碎的強(qiáng)度一般是通過室內(nèi)劈裂試驗(yàn)獲得，其過程費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，且由于巖石顆粒強(qiáng)度的離散型，巖石顆粒的破碎強(qiáng)度不易確定。本文通過數(shù)值模擬的方法研究了巖石顆粒破碎時(shí)的強(qiáng)度與粒徑之間的尺寸效應(yīng)，并驗(yàn)證了顆粒破碎強(qiáng)度、粒徑和分維值D之間的理論關(guān)系，另外還研究了巖石顆粒破碎時(shí)的能量、粒徑與分維值D之間的理論關(guān)系，并通都過模擬數(shù)據(jù)得到了比較好的擬合效果，得出以下結(jié)論：

(1)用顆粒破碎的分形模型來分析巖石顆粒破碎的尺寸效應(yīng)，驗(yàn)證巖石顆粒破碎強(qiáng)度、粒徑與分維值D之間的關(guān)系，得出巖石顆粒破碎強(qiáng)度的尺寸效應(yīng)理論是可靠的。

(2)在顆粒破碎過程中，孔隙率較小的巖石顆粒相對(duì)于孔隙率較大的巖石顆粒的應(yīng)力-應(yīng)變曲線在達(dá)到第一峰值強(qiáng)度之前的波動(dòng)性小很多，即內(nèi)部結(jié)構(gòu)變化相對(duì)較小，且?guī)r石顆粒破碎的分維值跟顆粒的孔隙率大小有關(guān)，可以通過孔隙率的值來計(jì)算。

(3)分析了顆粒破碎時(shí)的能量與粒徑和分維D之間的理論關(guān)系即：Ef∝dD-1，建立以顆粒破碎時(shí)的能量為強(qiáng)度準(zhǔn)則，即巖石顆粒的破碎能量將隨著粒徑增加，反映了巖石顆粒破碎的規(guī)律。

(4)將分形理論應(yīng)用于巖石顆粒破碎是十分有效的，為確定巖石顆粒的破碎強(qiáng)度提供了新的方法和參考意見。

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PFC2DBASED FRACTAL MODEL FOR TENSILE STRENGTH AND BREAKAGE ENERGY OF ROCK PARTICLE CRUSHING

FENG XingboXI YueSONG DanqingXU Yongfu

(School of Civil Engineering and Mechanics，Shanghai Jiaotong University，Shanghai200240)

The tensile strength is not independent of fragment size，but decreases with increasing size known as“size effect”.Recent developments in fractal theory suggest that fractal model may provide a more realistic representation of solid particle crushing.A fractal model for crushing of rock particle is constructed using the Sammis model.The relationship between crushing strength and diameter and the relationship between crushing power and diameter of rock particle are simulated respectively.The porosity equals to 0.12 and 0.3 of rock particles，which are simulated using the bonded particle model(BPM)in particle flow code(PFC2D).The relationship between crushing strength and diameter of particle is verified and can be expressed byσf∝dD-3.A relationship between crushing power and diameter of rock particle is expressed by Ef∝ dD-1.The good application of fractal theory in the analysis of particle size effect in fractured rock is verified and the results provide a reference for determination of crushing strength．

PFC2D，Rock particle，Crushing strength，Breakage energy，Dimension

10.13544/j.cnki.jeg.2016.04.019

2015-04-28;

2015-11-24.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(No：41272318、41472251)資助.

馮興波(1988-)，男，碩士，主要從事顆粒破碎的理論和數(shù)值模擬研究.E-mail：344190721@qq.com

簡(jiǎn)介：徐永福(1967-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事非飽和土、地下工程、地基處理等教學(xué)與科研.Email: yongfuxu@sjtu.edu.cn

P642.3

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