董建偉， 程春蕊， 王艷萍

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院， 河南 鄭州 450015)

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一維雙極量子能量輸運(yùn)穩(wěn)態(tài)模型弱解的存在性

董建偉， 程春蕊， 王艷萍

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院， 河南 鄭州 450015)

在一維有界區(qū)域上研究一個半導(dǎo)體雙極量子能量輸運(yùn)穩(wěn)態(tài)模型.將此模型變形為由2個四階橢圓方程和1個二階退化橢圓方程組成的耦合方程組.利用截斷方法和Leray-Schauder不動點(diǎn)定理證明了其變形后方程組弱解的存在性.

量子能量輸運(yùn)模型；穩(wěn)態(tài)解；存在性

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):521-524

量子漂移擴(kuò)散模型、量子能量輸運(yùn)模型和量子流體動力學(xué)模型為半導(dǎo)體器件中常見的三大宏觀量子模型.通過宏觀量，例如電子密度、空穴密度、電流密度、粒子溫度和電位勢描述半導(dǎo)體器件中的載流子運(yùn)動規(guī)律.最近，JUNGEL等[1]從完整的量子流體動力學(xué)模型中推導(dǎo)出簡化的量子能量輸運(yùn)模型：

(1)

-div(n▽T)=n(TL(x)-T)，

(2)

ΔV=n-C(x)，

(3)

其中，電子密度n、電子溫度T和電位勢V為未知函數(shù)，晶格溫度TL(x)和雜質(zhì)密度C(x)為已知函數(shù)，普朗克常數(shù)ε>0為物理參數(shù).在周期邊界條件下，文獻(xiàn)[1]首先證明了式(1)～(3)弱解的整體存在性，后來文獻(xiàn)[2]研究了其解的半古典極限狀態(tài)(ε→0).最近，文獻(xiàn)[3]證明了式(1)～(3)的一維穩(wěn)態(tài)模型古典解的存在性.關(guān)于式(1)～(3)不帶量子項(xiàng)(即ε=0)的經(jīng)典能量輸運(yùn)模型方面的研究結(jié)果見文獻(xiàn)[4-5].當(dāng)T=TL(x)=常數(shù)時，式(1)～(3)即變?yōu)榱孔悠?擴(kuò)散模型，近幾年對此類模型已有大量研究成果[6-15].

1　主要結(jié)果

在一維有界區(qū)域(0,1)上研究式(1)～(3)的雙極穩(wěn)態(tài)模型：

(4)

(5)

-((n+p)Tx)x=(n+p)(TL(x)-T),

(6)

Vxx=n-p-C(x)，x∈(0,1)，

(7)

n(0)=n(1)=1,p(0)=p(1)=1，

(8)

nx(0)=nx(1)=px(0)=px(1)=

Tx(0)=Tx(1)=0,

(9)

其中電子密度n、空穴密度p、粒子溫度T和電位勢V為未知函數(shù)，晶格溫度TL(x)和雜質(zhì)密度C(x)為已知函數(shù)，常數(shù)J1,J2分別表示電子電流密度和空穴電流密度.

式(4)、(5)分別除以n,p，再關(guān)于x求導(dǎo)，并利用式(7)得

(10)

(11)

令n=eu，p=ev，則式(10),(11),(6),(8),(9)相應(yīng)變?yōu)?/p>

(eu-ev-C(x))=J1(e-u)x，

(12)

(eu-ev-C(x))=J2(e-v)x，

(13)

-((eu+ev)Tx)x=(eu+ev)(TL(x)-T),

(14)

u(0)=u(1)=0,v(0)=v(1)=0,

(15)

ux(0)=ux(1)=vx(0)=vx(1)=

Tx(0)=Tx(1)=0.

(16)

(17)

(18)

(19)

本文的主要結(jié)果為：

2　定理1的證明

先考慮式(17)、(18)和如下截斷問題：

(20)

其中,uM=min{M,max{-M,u}}，常數(shù)M的定義見后文的式(25)，vM的定義與uM類似.

(21)

另外，有

(22)

(23)

(24)

其中，

(25)

證明用φ=(T-ML)+=max{0,T-ML}∈H1(0,1)作為式(20)的試驗(yàn)函數(shù)，得

用φ=T∈H1(0,1)作為式(20)的試驗(yàn)函數(shù)，得

2eM(ML-mL)ML，

所以式(23)成立.

(26)

由Young不等式及式(23)，可以估計式(26)的右端第1項(xiàng)：

又因?yàn)?/p>

所以由式(26)可得

(27)

(28)

式(27)與(28)兩邊分別相加，得

(29)

由Young及Poincare不等式知，

又因?yàn)?/p>

所以由式(29)可推得式(21).

(30)

(31)

其中，σ∈[0,1]，定義雙線性形式

(32)

線性泛函

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Existence of weak solutions to a stationary 1-dimensional bipolar quantum energy-transport model.

DONG Jianwei, CHENG Chunrui, WANG Yanping

(SchoolofMathematicsandPhysics,ZhengzhouInstituteofAeronauticalIndustryManagement,Zhengzhou450015,China)

A stationary bipolar quantum energy-transport model for semiconductors is studied in a 1-dimensional bounded domain. The model is reformulated as a coupled system consisting of two fourth-order elliptic equations and a second-order degenerate elliptic equation. The existence of weak solutions to the reformulated system is proved using the truncation method and the Leray-Schauder fixed-point theorem.

quantum energy-transport model; stationary solutions; existence

2015-10-15.

河南省科技廳基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃項(xiàng)目 (162300410077)；航空科學(xué)基金項(xiàng)目(2013ZD55006)；河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計劃項(xiàng)目(2013GGJS-142)；鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院青年科研基金項(xiàng)目(2013111001，2014113002，2015113001).

董建偉(1980-)，ORCID:http//orcid.org/0000-0003-1131-8244，男，碩士，副教授，主要從事偏微分方程研究，E-mail:dongjianweiccm@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.004

O 175.2

A

1008-9497(2016)05-521-04