磁懸浮球系統(tǒng)的自適應(yīng)反演滑?？刂?/h1>
2016-09-14 09:17:24鄭建英于占東
電子設(shè)計工程 2016年2期
鄭建英，于占東
（渤海大學(xué) 遼寧 錦州 121013）
磁懸浮球系統(tǒng)的自適應(yīng)反演滑模控制
鄭建英，于占東
（渤海大學(xué) 遼寧 錦州 121013）
磁懸浮球系統(tǒng)是一種典型的開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，為了實現(xiàn)磁懸浮球系統(tǒng)的精確控制，而且使系統(tǒng)更具有實際意義，設(shè)計了一種自適應(yīng)反演滑?？刂破鳌Ｔ趯嶋H控制系統(tǒng)中，不確定性及外加干擾是未知的，本文基于實際應(yīng)用，利用該系統(tǒng)的線性化模型，來設(shè)計此控制器。實驗結(jié)果表明：所設(shè)計的自適應(yīng)反演滑?？刂破髋c普通滑?？刂破飨啾?，能減小系統(tǒng)的抖振，能較好的實現(xiàn)小球的穩(wěn)定懸浮并具有良好的動態(tài)跟蹤性能，與自適應(yīng)滑模控制器相比，能更好的在實踐中應(yīng)用。
磁懸浮球系統(tǒng)；滑?？刂破鳎蛔赃m應(yīng)；反演
磁懸浮系統(tǒng)具有非接觸、無摩擦、速度快、壽命長的優(yōu)點，所以磁懸浮技術(shù)在實際中取得了廣泛的應(yīng)用。磁懸浮系統(tǒng)為非線性開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，對其控制方法的研究非常具有典型意義［1］。磁懸浮球系統(tǒng)作為研究磁懸浮特性，掌握其相應(yīng)建模與控制方法的研究對象，在學(xué)習(xí)與研究中得到了廣泛應(yīng)用［2］。由于磁懸浮系統(tǒng)的非線性以及外部干擾引起的不確定性，很難建立準確的系統(tǒng)模型，因此，對于系統(tǒng)的非線性部分，采用非線性系統(tǒng)線性化的方法達不到想要的效果?，F(xiàn)階段，磁懸浮系統(tǒng)的非線性控制方法的研究得到了廣泛的研究，如自適應(yīng)控制、魯棒控制等，都在一定程度上對磁懸浮系統(tǒng)的非線性部分有相應(yīng)的控制作用［3］。
此外，滑模變結(jié)構(gòu)控制算法也是一種有效的控制方法，它最大的優(yōu)點是對系統(tǒng)參數(shù)波動和外擾動具有良好的魯棒性，文獻［4］中體現(xiàn)了這一點。但一般傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制具有不連續(xù)性的缺點，導(dǎo)致其在實際控制中有嚴重的抖振，如何減小控制系統(tǒng)所引起的抖振，是目前研究的重點課題。針對此種問題的出現(xiàn)，文獻［5］中將模糊控制與滑?？刂平Y(jié)合應(yīng)用于磁懸浮球系統(tǒng)中，有效地降低了抖振。文獻［6］中采用的二階動態(tài)滑?？刂品椒ǎ墨I［7］提出的趨近律滑?？刂品椒ǎ墨I［8］的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂品椒ǎ荚谝欢ǔ潭壬蠝p少了系統(tǒng)的抖振情況，但是都沒有考慮系統(tǒng)的不確定性及外加干擾。文中設(shè)計的自適應(yīng)反演滑?？刂破?，考慮了實際控制中的情況，能更好地使磁懸浮球系統(tǒng)應(yīng)用于實踐中。文中將自適應(yīng)反演滑?？刂坡蓱?yīng)用于磁懸浮球系統(tǒng)的仿真分析與實時控制，控制器實現(xiàn)容易，并能確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性與動態(tài)性能。實驗結(jié)果表明該方法具有較好的動態(tài)跟蹤性能，并能有效的降低滑?？刂平o系統(tǒng)產(chǎn)生的抖振。
1 磁懸浮球系統(tǒng)的建模與分析
1.1磁懸浮球系統(tǒng)的工作原理
磁懸浮球系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要包括電磁鐵、傳感器、控制部分、驅(qū)動部分、小球等。
系統(tǒng)的工作原理：首先采用位置傳感器檢測出小球位置的變化，然后通過AD轉(zhuǎn)換器將模擬的位置信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號傳給自適應(yīng)反演滑?？刂破?，控制器根據(jù)已經(jīng)設(shè)定好的控制律輸出相應(yīng)信號，信號經(jīng)過 H橋驅(qū)動電路，改變線圈中的電流，進而改變小球所受的電磁力。最終使小球回到平衡位置。系統(tǒng)采用閉環(huán)控制，就能實時地改變電磁力的大小，保證小球處于平衡位置，從而使小球穩(wěn)定的懸浮。
圖1 磁懸浮球系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig．1 The structure diagram of the system
1.2磁懸浮球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
研究圖1所示的磁懸浮球系統(tǒng)，在只考慮氣隙磁通均勻，忽略鐵心磁阻、漏磁及渦流損耗等情況下，小球受到的力可表述為
此外，對系統(tǒng)進行機理分析，可得系統(tǒng)的電磁力方程：
電學(xué)方程：
邊界方程：
其中F為電磁吸力，i為線圈電流，m為小球的質(zhì)量，g為重力加速度，L為線圈電感，R為線圈電阻，A為鐵芯面積，N為線圈匝數(shù)，空氣磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H/m。U（t）為電磁鐵線圈繞組中的電壓，x為小球的高度，此外，i0和x0分別為系統(tǒng)平衡時線圈電流和小球的高度。
由式（2）可知，此系統(tǒng)是非線性的。將其在平衡位置處進行線性化，即將式（2）進行泰勒展開并忽略二階項，可得小球的運動方程為
選取狀態(tài)變量x1=x，x2=x，則磁懸浮球系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型為
1.3磁懸浮球模型的數(shù)值化
本實驗系統(tǒng)實際的物理參數(shù)如表1所示。
表1 磁懸浮球系統(tǒng)的物理參數(shù)Tab.1 The physical parameters of magnetic levitation ball system
系統(tǒng)的最終狀態(tài)方程為：
2 自適應(yīng)反演滑?？刂破鞯脑O(shè)計
考慮到實際控制中，系統(tǒng)參數(shù)的不確定性及存在外加干擾，可以把式（6）寫成如下形式：
假設(shè)參數(shù)不確定部分及外加干擾項變化緩慢，取
假設(shè)位置指令為xd，跟蹤誤差為e1=x1-xd，則
定義Lyapunov函數(shù)
定義x2=e2+xd-c1e1，其中c1為正的常數(shù)，e2為虛擬控制項，e2=x2-xd+c1e1，則
定義切換函數(shù)為
其中，k1＞0。
由于e1=e2-c1e1，則
由于k1+c1＞0，顯然，如果σ=0，則e1=0，e2=0且V1≤0。為此，需要進行下一步設(shè)計。
定義Lyapunov函數(shù)
則
設(shè)計自適應(yīng)控制器為
其中，h和β為正的常數(shù)。
設(shè)計自適應(yīng)率為
將以上兩式帶入，得
由于
其中，eT=［e1e2］。
將（23）代入，V˙3可寫為
如果保證Q為正定矩陣，有
由于
通過取h、c1和k1的值，可使|Q|＞0，從而保證Q為正定矩陣，從而保證V˙3≤0。
3 系統(tǒng)仿真
由式（7）和式（8）可知，A=2 000．9、B=-9．804 4。取F（t） =-3sin（0．01t），位置指令取xd=sint。取c1=100，k1=150，h=200。仿真結(jié)果為圖2至圖4。
圖2 位置和速度跟蹤Fig．2 The position and velocity tracking
圖3 控制輸入Fig．3 Control input
通過圖2可以看出，文中所設(shè)計的控制器對位置和速度跟蹤比較精確，圖4表明所設(shè)計的控制器可使輸出響應(yīng)有著較小的超調(diào)量與較快的響應(yīng)時間，且在穩(wěn)定狀態(tài)下無穩(wěn)態(tài)誤差。
圖4 控制輸出Fig．4 Control output
4 結(jié) 論
文中設(shè)計了一種磁懸浮系統(tǒng)的自適應(yīng)反演滑?？刂破鳌Ｅc普通的滑?？刂破飨啾?，有效地減小了系統(tǒng)的抖振，與魯棒反演滑?？刂葡啾?，更具有實際意義。因為魯棒反演滑?？刂茖τ诳偟牟淮_定性的上界已知的情況下設(shè)計的。然而，在實際控制中，不確定性及外加干擾通常是未知的。在接下來的工作中，將進一步減少系統(tǒng)的理想條件進行研究，使設(shè)計的控制器能更好的應(yīng)用于實踐中。
［1］張耿．基于超導(dǎo)的磁懸浮列車磁懸浮系統(tǒng)的設(shè)計與分析［D］．長沙:國防科技技術(shù)大學(xué)，2007．
［2］俞堅才．人工心臟磁懸浮系統(tǒng)的開發(fā)［D］．浙江:浙江大學(xué)，2013．
［3］Elgammal A T．Fuzzy logic-based gain scheduling of Exact FeedforwardLinearizationcontrollerformagneticball levitation system［C］//Control（CONTROL），2014 UKACC International Conference on．Loughborough，UK:IEEE， 2014:531-536．
［4］Al-Muthairi N F，Zribi M．Sliding mode control of a magnetic levitation system［J］．Mathematical Problems in Engineering，2004，2004（1）:93-107．
［5］秦紅玲，李志雄，袁松．磁懸浮軸承系統(tǒng)的模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制研究［J］．計算機仿真，2011，28（4）:185-188．
［6］黎恒，肖伸平．磁懸浮球系統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)魯棒控制器設(shè)計［J］．湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2014，28（1）:58-61．
［7］宋榮榮．單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的指數(shù)趨近律滑模控制［J］．重慶理工大學(xué)學(xué)報，2012，26（1）:11-16．
［8］趙石鐵，高憲文，車昌杰．基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性磁懸浮系統(tǒng)控制［J］．東北大學(xué)學(xué)報，2014，35（12）:1673-1677．
Adaptive back-stepping sliding mode control of magnetic levitation ball system
ZHENG Jian-ying，YU Zhan-dong
（Bohai University，Jinzhou 121013，China）
Magnetic levitation ball system is a typical open-loop and unstable system，in order to achieve precise control of the magnetic levitation ball system，and make the system more practical，we design an adaptive back-stepping sliding mode controller．In the actual control system，uncertainties and external disturbances are unknown，we base on the practical application of this system，use a linear model of the system，to design the controller．The results show that:compared with the normal mode controller，the design of adaptive back-stepping sliding mode controller can reduce chattering of the system，can better achieve a stable suspension of the ball and has good dynamic tracking performance，and compared to the adaptive sliding mode controller，the controller we design in this paper can better applied in practice．
magnetic levitation ball system；sliding mode control；adaptive；back-stepping
TP13
A
1674－6236（2016）02-0076-03
2015-03-15稿件編號：201503195
鄭建英（1990—），女，河北邢臺人，碩士。研究方向：復(fù)雜系統(tǒng)運動控制。
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鄭建英，于占東
（渤海大學(xué) 遼寧 錦州 121013）
磁懸浮球系統(tǒng)的自適應(yīng)反演滑模控制
鄭建英，于占東
（渤海大學(xué) 遼寧 錦州 121013）
磁懸浮球系統(tǒng)是一種典型的開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，為了實現(xiàn)磁懸浮球系統(tǒng)的精確控制，而且使系統(tǒng)更具有實際意義，設(shè)計了一種自適應(yīng)反演滑?？刂破鳌Ｔ趯嶋H控制系統(tǒng)中，不確定性及外加干擾是未知的，本文基于實際應(yīng)用，利用該系統(tǒng)的線性化模型，來設(shè)計此控制器。實驗結(jié)果表明：所設(shè)計的自適應(yīng)反演滑?？刂破髋c普通滑?？刂破飨啾?，能減小系統(tǒng)的抖振，能較好的實現(xiàn)小球的穩(wěn)定懸浮并具有良好的動態(tài)跟蹤性能，與自適應(yīng)滑模控制器相比，能更好的在實踐中應(yīng)用。
磁懸浮球系統(tǒng)；滑?？刂破鳎蛔赃m應(yīng)；反演
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此外，滑模變結(jié)構(gòu)控制算法也是一種有效的控制方法，它最大的優(yōu)點是對系統(tǒng)參數(shù)波動和外擾動具有良好的魯棒性，文獻［4］中體現(xiàn)了這一點。但一般傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制具有不連續(xù)性的缺點，導(dǎo)致其在實際控制中有嚴重的抖振，如何減小控制系統(tǒng)所引起的抖振，是目前研究的重點課題。針對此種問題的出現(xiàn)，文獻［5］中將模糊控制與滑?？刂平Y(jié)合應(yīng)用于磁懸浮球系統(tǒng)中，有效地降低了抖振。文獻［6］中采用的二階動態(tài)滑?？刂品椒ǎ墨I［7］提出的趨近律滑?？刂品椒ǎ墨I［8］的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂品椒ǎ荚谝欢ǔ潭壬蠝p少了系統(tǒng)的抖振情況，但是都沒有考慮系統(tǒng)的不確定性及外加干擾。文中設(shè)計的自適應(yīng)反演滑?？刂破?，考慮了實際控制中的情況，能更好地使磁懸浮球系統(tǒng)應(yīng)用于實踐中。文中將自適應(yīng)反演滑?？刂坡蓱?yīng)用于磁懸浮球系統(tǒng)的仿真分析與實時控制，控制器實現(xiàn)容易，并能確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性與動態(tài)性能。實驗結(jié)果表明該方法具有較好的動態(tài)跟蹤性能，并能有效的降低滑?？刂平o系統(tǒng)產(chǎn)生的抖振。
1 磁懸浮球系統(tǒng)的建模與分析
1.1磁懸浮球系統(tǒng)的工作原理
磁懸浮球系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要包括電磁鐵、傳感器、控制部分、驅(qū)動部分、小球等。
系統(tǒng)的工作原理：首先采用位置傳感器檢測出小球位置的變化，然后通過AD轉(zhuǎn)換器將模擬的位置信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號傳給自適應(yīng)反演滑?？刂破?，控制器根據(jù)已經(jīng)設(shè)定好的控制律輸出相應(yīng)信號，信號經(jīng)過 H橋驅(qū)動電路，改變線圈中的電流，進而改變小球所受的電磁力。最終使小球回到平衡位置。系統(tǒng)采用閉環(huán)控制，就能實時地改變電磁力的大小，保證小球處于平衡位置，從而使小球穩(wěn)定的懸浮。
圖1 磁懸浮球系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig．1 The structure diagram of the system
1.2磁懸浮球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
研究圖1所示的磁懸浮球系統(tǒng)，在只考慮氣隙磁通均勻，忽略鐵心磁阻、漏磁及渦流損耗等情況下，小球受到的力可表述為
此外，對系統(tǒng)進行機理分析，可得系統(tǒng)的電磁力方程：
電學(xué)方程：
邊界方程：
其中F為電磁吸力，i為線圈電流，m為小球的質(zhì)量，g為重力加速度，L為線圈電感，R為線圈電阻，A為鐵芯面積，N為線圈匝數(shù)，空氣磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H/m。U（t）為電磁鐵線圈繞組中的電壓，x為小球的高度，此外，i0和x0分別為系統(tǒng)平衡時線圈電流和小球的高度。
由式（2）可知，此系統(tǒng)是非線性的。將其在平衡位置處進行線性化，即將式（2）進行泰勒展開并忽略二階項，可得小球的運動方程為
選取狀態(tài)變量x1=x，x2=x，則磁懸浮球系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型為
1.3磁懸浮球模型的數(shù)值化
本實驗系統(tǒng)實際的物理參數(shù)如表1所示。
表1 磁懸浮球系統(tǒng)的物理參數(shù)Tab.1 The physical parameters of magnetic levitation ball system
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2 自適應(yīng)反演滑?？刂破鞯脑O(shè)計
考慮到實際控制中，系統(tǒng)參數(shù)的不確定性及存在外加干擾，可以把式（6）寫成如下形式：
假設(shè)參數(shù)不確定部分及外加干擾項變化緩慢，取
假設(shè)位置指令為xd，跟蹤誤差為e1=x1-xd，則
定義Lyapunov函數(shù)
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定義切換函數(shù)為
其中，k1＞0。
由于e1=e2-c1e1，則
由于k1+c1＞0，顯然，如果σ=0，則e1=0，e2=0且V1≤0。為此，需要進行下一步設(shè)計。
定義Lyapunov函數(shù)
則
設(shè)計自適應(yīng)控制器為
其中，h和β為正的常數(shù)。
設(shè)計自適應(yīng)率為
將以上兩式帶入，得
由于
其中，eT=［e1e2］。
將（23）代入，V˙3可寫為
如果保證Q為正定矩陣，有
由于
通過取h、c1和k1的值，可使|Q|＞0，從而保證Q為正定矩陣，從而保證V˙3≤0。
3 系統(tǒng)仿真
由式（7）和式（8）可知，A=2 000．9、B=-9．804 4。取F（t） =-3sin（0．01t），位置指令取xd=sint。取c1=100，k1=150，h=200。仿真結(jié)果為圖2至圖4。
圖2 位置和速度跟蹤Fig．2 The position and velocity tracking
圖3 控制輸入Fig．3 Control input
通過圖2可以看出，文中所設(shè)計的控制器對位置和速度跟蹤比較精確，圖4表明所設(shè)計的控制器可使輸出響應(yīng)有著較小的超調(diào)量與較快的響應(yīng)時間，且在穩(wěn)定狀態(tài)下無穩(wěn)態(tài)誤差。
圖4 控制輸出Fig．4 Control output
4 結(jié) 論
文中設(shè)計了一種磁懸浮系統(tǒng)的自適應(yīng)反演滑?？刂破鳌Ｅc普通的滑?？刂破飨啾?，有效地減小了系統(tǒng)的抖振，與魯棒反演滑?？刂葡啾?，更具有實際意義。因為魯棒反演滑?？刂茖τ诳偟牟淮_定性的上界已知的情況下設(shè)計的。然而，在實際控制中，不確定性及外加干擾通常是未知的。在接下來的工作中，將進一步減少系統(tǒng)的理想條件進行研究，使設(shè)計的控制器能更好的應(yīng)用于實踐中。
［1］張耿．基于超導(dǎo)的磁懸浮列車磁懸浮系統(tǒng)的設(shè)計與分析［D］．長沙:國防科技技術(shù)大學(xué)，2007．
［2］俞堅才．人工心臟磁懸浮系統(tǒng)的開發(fā)［D］．浙江:浙江大學(xué)，2013．
［3］Elgammal A T．Fuzzy logic-based gain scheduling of Exact FeedforwardLinearizationcontrollerformagneticball levitation system［C］//Control（CONTROL），2014 UKACC International Conference on．Loughborough，UK:IEEE， 2014:531-536．
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［5］秦紅玲，李志雄，袁松．磁懸浮軸承系統(tǒng)的模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制研究［J］．計算機仿真，2011，28（4）:185-188．
［6］黎恒，肖伸平．磁懸浮球系統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)魯棒控制器設(shè)計［J］．湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2014，28（1）:58-61．
［7］宋榮榮．單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的指數(shù)趨近律滑模控制［J］．重慶理工大學(xué)學(xué)報，2012，26（1）:11-16．
［8］趙石鐵，高憲文，車昌杰．基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性磁懸浮系統(tǒng)控制［J］．東北大學(xué)學(xué)報，2014，35（12）:1673-1677．
Adaptive back-stepping sliding mode control of magnetic levitation ball system
ZHENG Jian-ying，YU Zhan-dong
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Magnetic levitation ball system is a typical open-loop and unstable system，in order to achieve precise control of the magnetic levitation ball system，and make the system more practical，we design an adaptive back-stepping sliding mode controller．In the actual control system，uncertainties and external disturbances are unknown，we base on the practical application of this system，use a linear model of the system，to design the controller．The results show that:compared with the normal mode controller，the design of adaptive back-stepping sliding mode controller can reduce chattering of the system，can better achieve a stable suspension of the ball and has good dynamic tracking performance，and compared to the adaptive sliding mode controller，the controller we design in this paper can better applied in practice．
magnetic levitation ball system；sliding mode control；adaptive；back-stepping
TP13
A
1674－6236（2016）02-0076-03
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