楊子凱，王建林，于 濤，趙利強(qiáng)

（北京化工大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京　100029）

基于二階帶通濾波器的加速度計結(jié)構(gòu)化動態(tài)建模

楊子凱，王建林，于 濤，趙利強(qiáng)

（北京化工大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京100029）

針對加速度計二階動態(tài)模型難以準(zhǔn)確描述較高頻域范圍內(nèi)加速度計動態(tài)特性的問題，文中提出了一種基于二階帶通濾波器的加速度計結(jié)構(gòu)化動態(tài)建模方法。該方法以加速度計二階動態(tài)模型為基礎(chǔ)，將二階帶通濾波器作為基本單元對加速度計動態(tài)模型的結(jié)構(gòu)進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)加速度計動態(tài)模型的結(jié)構(gòu)化升階，建立加速度計高階動態(tài)模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法所建立的加速度計高階動態(tài)模型相對于二階動態(tài)模型具有更高精度，能更好地描述加速度計的動態(tài)特性。

加速度計；結(jié)構(gòu)化動態(tài)建模；二階帶通濾波器；頻率響應(yīng)特性

加速度計動態(tài)模型是描述加速度計動態(tài)特性的主要方法之一，是分析研究加速度計動態(tài)誤差補(bǔ)償、動態(tài)解耦的基礎(chǔ)［1］?，F(xiàn)有的加速度計動態(tài)建模方法中，將加速度計等效為單自由度彈簧－質(zhì)量－阻尼器系統(tǒng)，用二階動態(tài)模型來描述加速度計的特性，并通過最小二乘法等參數(shù)模型辨識方法估計二階動態(tài)模型的參數(shù)。胡紅波等［2］結(jié)合絕對法沖擊動態(tài)校準(zhǔn)加速度計的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用線性最小二乘算法在頻域內(nèi)實(shí)現(xiàn)了加速度計二階動態(tài)模型參數(shù)的估計；Alfred Link等［3］利用狀態(tài)空間描述加速度計輸入輸出及噪聲之間的關(guān)系，提出了一種加速度計輸入信號的處理方法，結(jié)合加速度計的沖擊響應(yīng)，通過極小化系統(tǒng)預(yù)測誤差序列實(shí)現(xiàn)了加速度計二階動態(tài)模型參數(shù)的估計；Alfred Link等［4-5］利用加速度計正弦校準(zhǔn)測量的數(shù)據(jù)和線性最小二乘算法以及加速度計沖擊校準(zhǔn)測量的數(shù)據(jù)和頻域加權(quán)最小二乘算法辨識得到了加速度計二階動態(tài)模型的參數(shù)。這些方法所建立的加速度計二階動態(tài)模型具有較高精度，在較低頻域范圍內(nèi)能較好的描述加速度計的動態(tài)特性，然而在較高頻域范圍內(nèi)二階動態(tài)模型難以對加速度計動態(tài)特性進(jìn)行準(zhǔn)確描述。二階帶通濾波器可以允許指定頻域范圍內(nèi)的信號通過，同時阻止低于或高于該頻域范圍的信號干擾或噪聲，加速度計的頻率響應(yīng)特性可以看作是二階系統(tǒng)頻響特性與一個或多個二階帶通濾波器頻響特性的疊加。

文中以加速度計二階動態(tài)模型為基礎(chǔ)，提出了一種基于二階帶通濾波器的加速度計結(jié)構(gòu)化動態(tài)建模方法，利用二階帶通濾波器實(shí)現(xiàn)加速度計動態(tài)模型結(jié)構(gòu)化升階，建立加速度計高階動態(tài)模型，更加準(zhǔn)確地描述加速度計的動態(tài)特性。

1　加速度計動態(tài)模型

1.1加速度計二階動態(tài)模型

在測量運(yùn)動體的加速度時，加速度計緊密固定在被測運(yùn)動體上，與被測運(yùn)動體加速度相同，此時，加速度計可等效為單自由度彈簧－質(zhì)量－阻尼器系統(tǒng)［3］，如圖1所示。

加速度計單自由度彈簧－質(zhì)量－阻尼器系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為

圖1　單自由度彈簧－質(zhì)量－阻尼器系統(tǒng)Fig．1　The one degree of freedom spring-mass-damper system

1.2加速度計動態(tài)模型結(jié)構(gòu)化升階

二階帶通濾波器的傳遞函數(shù)可表示為

式中，ω0為帶通濾波器的中心角頻率；帶通濾波器的帶寬B0=ωh-ωl；ωh，ωl分別為上下限截止角頻率，Av是帶通濾波器在中心角頻率ω0處的增益。

1）加速度計高階動態(tài)模型構(gòu)建方式

圖2給出了加速度計高階動態(tài)模型的構(gòu)建方式。

圖2　加速度計高階動態(tài)模型的構(gòu)建過程Fig．2　The building process of higher-order dynamic model of accelerometer

圖2所示加速度計高階動態(tài)模型構(gòu)建過程是一個串聯(lián)結(jié)構(gòu)，經(jīng)過i-1個串聯(lián)環(huán)節(jié)后所得模型Gi（s）可表示為：

式中，G0（k-1）（s）為第 k-1個串聯(lián)環(huán)節(jié)中二階帶通濾波器的傳遞函數(shù) G0（s）；G1（s）為加速度計二階傳遞函數(shù)模型，對式（1）所示加速度計二階微分方程模型作拉普拉斯變換，可得

2）加速度計動態(tài)模型迭代結(jié)構(gòu)化升階

經(jīng)過次結(jié)構(gòu)化升階后所得加速度計動態(tài)模型Gi（s）為：

式（5）中動態(tài)模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)都已知，加速度計動態(tài)模型中只有二階帶通濾波器的3個參數(shù)未知，因此為了得到完整的加速度計動態(tài)模型Gi（s），需要估計二階帶通濾波器的參數(shù)。模型Gi-1（s）有如下關(guān)系：

式中，Ui-1（s）表示模型Ui-1（s）預(yù)測輸出的拉普拉斯變換；A（s）表示加速度計輸入加速度信號的拉普拉斯變換。

由式（5）和式（6）可得加速度計動態(tài)模型Gi（s）中二階帶通濾波器G0（s）有如下關(guān)系表達(dá)式

式中，U（s）為加速度計輸出電壓信號的拉普拉斯變換。

利用模型的輸出誤差數(shù)據(jù)及預(yù)測輸出數(shù)據(jù)辨識模型Gi（s）中二階帶通濾波器G0（s）的參數(shù)，就可建立完整的加速度計動態(tài)模型Gi（s）。

2　加速度計動態(tài)模型參數(shù)辨識

加速度計高階動態(tài)模型的參數(shù)辨識，首先需要辨識加速度計二階動態(tài)模型的參數(shù)；然后根據(jù)式（7）所示的關(guān)系式，利用參數(shù)模型辨識方法辨識加速度計高階動態(tài)模型［6］中二階帶通濾波器的參數(shù)。

2.1加速度計二階動態(tài)模型參數(shù)辨識

式（1）所示加速傳感器二階微分方程對應(yīng)的狀態(tài)空間方程為

采用零階保持器對式（8）進(jìn)行離散化，可得加速度計的離散狀態(tài)方程為

引入前向移位因子q，有qa（k）=a（k+1），可得：

式中，θ=［δ，ωn，ρ］T為待辨識的3個參數(shù)。

由式（10）可得如下差分方程：

根據(jù)式（11）所示的線性回歸模型結(jié)構(gòu)，可得系統(tǒng)最優(yōu)一步預(yù)測輸出為［8-9］：

系統(tǒng)預(yù)測誤差可表示為：

加速度計二階動態(tài)模型的參數(shù)θ可通過極小化如下誤差準(zhǔn)則函數(shù)進(jìn)行估計［6］：

2.2二階帶通濾波器參數(shù)辨識

根據(jù)式（7）所示加速度計動態(tài)模型Gi（s）中二階帶通濾波器G0（s）關(guān)于Ui-1（s）和U（s）的關(guān)系表達(dá)式，令Ei-1（s）=U（s）-Ui-1（s），可得：

式中，N為采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)總個數(shù)，ZN為系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)集。

式（14）所示誤差準(zhǔn)則函數(shù)的極小化求解，可利用最小二乘算法實(shí)現(xiàn)，參數(shù)θ的估計值可表示為

對式（16）作反拉普拉斯變換可得二階帶通濾波器的微分方程為：

根據(jù)上述加速度計二階動態(tài)模型參數(shù)辨識方法，亦可用最小二乘法實(shí)現(xiàn)加速度計高階動態(tài)模型中二階帶通濾波器參數(shù)的辨識。

3　實(shí)驗(yàn)與分析

3.1加速度計二階動態(tài)模型辨識結(jié)果

文中實(shí)驗(yàn)獲取加速度計絕對法沖擊動態(tài)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的校準(zhǔn)裝置是采用中國計量科學(xué)研究院的沖擊激勵系統(tǒng)。由輸入加速度峰值am=4 950．00 gn（gn=9．81 m/s2）的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識計算，可得到加速度計二階動態(tài)模型的三個參數(shù)分別為δ=0．446 9，ωn=2．317 5×105rad/s，ρ=κη=1．145 8×106。圖3給出了辨識所得加速度計二階動態(tài)模型的頻率響應(yīng)曲線與輸入加速度信號峰值am=6036．16gn的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過經(jīng)驗(yàn)傳遞函數(shù)估計（Empirical Transfer Function Estimate，ETFE）方法［3］計算得到的加速度計頻率響應(yīng)曲線的對比結(jié)果［10］。

圖3　加速度計頻率特性曲線對比圖Fig．3　Comparison chart of frequency characteristic curve of accelerometer

由圖3辨識所得加速度計二階動態(tài)模型的頻率響應(yīng)曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過ETFE方法計算得到的加速度計頻率響應(yīng)曲線的對比結(jié)果可以看出，兩種不同方法得到的頻率響應(yīng)曲線在較低頻域范圍內(nèi)具有良好的一致性，而在較高頻域范圍內(nèi)存在較大差異。

3.2加速度計高階動態(tài)模型辨識結(jié)果

1）一次結(jié)構(gòu)化升階

利用加速度峰值am=4950．00gn的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)加速度計二階動態(tài)模型的 3個參數(shù)，通過式（11）所示差分方程計算得到加速度計二階動態(tài)模型的預(yù)測輸出，同時利用加速度計實(shí)測輸出數(shù)據(jù)求得加速度計二階動態(tài)模型對應(yīng)的輸出誤差數(shù)據(jù)。結(jié)合獲得的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法辨識得到二階帶通濾波器的3個參數(shù)分別為ω0處的增益Av=0．080 7，帶寬B0=3．508 2×106rad/s，中心角頻率ω0=6．264 9×105rad/s。由此可得經(jīng)過一次結(jié)構(gòu)化升階后所得高階動態(tài)模型G2（s）的傳遞函數(shù)為

改進(jìn)后所得加速度計動態(tài)模型與二階動態(tài)模型的頻率響應(yīng)曲線對比結(jié)果如圖4所示。

圖4　加速度計動態(tài)模型的頻率響應(yīng)曲線Fig．4　The frequency domain response curve of dynamic model of accelerometer

由圖4可以看出，相比于二階動態(tài)模型，一次改進(jìn)后所得加速度計動態(tài)模型的幅頻響應(yīng)有較明顯的改進(jìn)，能更好描述加速度計的動態(tài)特性。

2）加速度計高階動態(tài)模型分析

表1給出了經(jīng)過0～4次結(jié)構(gòu)化升階后所得加速度計動態(tài)模型幅頻響應(yīng)與ETFE計算值的誤差平方和。

由表1中所示不同階次動態(tài)模型對應(yīng)的幅頻響應(yīng)誤差平方和可以看出，經(jīng)過一次修正后，所得模型對應(yīng)的幅頻響應(yīng)誤差平方和相比于二階動態(tài)模型有較明顯的減?。蝗欢^續(xù)對模型作2～4次修正后，所得動態(tài)模型對應(yīng)的幅頻響應(yīng)誤差平方和相比于作一次修正后所得模型沒有顯著的減小，因此，只需要對加速度計二階動態(tài)模型作一次結(jié)構(gòu)化升階，過高階次的模型對于加速度計動態(tài)特性的描述沒有實(shí)際有效的意義。

表1　加速度計動態(tài)模型對應(yīng)的誤差平方和Tab.1　The sum of error square of amplitude frequency values of accelerometer dynamic models

4　結(jié)　論

本文所提出的基于二階帶通濾波器的加速度計結(jié)構(gòu)化動態(tài)建模方法，以二階動態(tài)模型為基礎(chǔ)，利用二階帶通濾波器實(shí)現(xiàn)加速度計動態(tài)模型結(jié)構(gòu)化升階，建立加速度計高階動態(tài)模型，能更好描述加速度計的動態(tài)特性。

［1］俞阿龍．基于遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的加速度傳感器動態(tài)建模方法［J］．儀器儀表學(xué)報，2006，27（3）:315-318．

［2］胡紅波，孫橋．基于絕對法沖擊校準(zhǔn)的加速度計參數(shù)辨識研究［J］．測試技術(shù)學(xué)報，2013，27（1）:19-24．

［3］Link A，Von Martens H J．Accelerometer identification using shock excitation［J］．Measurement，2003，35（2）:191-199．

［4］Link A，T?ubner A，Wabinski W，et al．Calibration of accelerometers:determination of amplitude and phase response upon shock excitation［J］．Measurement Science and Technology，2006，17（7）:1888-1894．

［5］A．Link，A．T?ubner，W Wabinski，et al．Modelling accelerometers for transient signals using calibration measurements upon sinusoidal excitation［J］．Measurement，2006，40 （9）:928-935．

［6］徐逢秋，徐安螢，袁?。环N程控濾波器的設(shè)計［J］．電子設(shè)計工程，2010（7）:198-199．

［7］肖德琴，馮健昭，周權(quán)，等．基于高斯頒布可傳感器網(wǎng)絡(luò)信譽(yù)模型［J］．通信學(xué)報，2008（3）:47-53．

［8］Ljung L．System Identification［M］．2nd ed．New Jersey Englewood Cliffs:Prentice-Hall，1998．

［9］Ljung L．Prediction error estimation methods［J］．Circuits，Systems and Signal Processing，2002，21（1）:11-21．

［10］田之俊，王敏．基于FPGA的高階音頻均衡濾波器設(shè)計［J］．電子科技，2011（2）:4-6．

Structural dynamic modeling of accelerometer based on second-order band-pass filter

YANG Zi-kai，WANG Jian-lin，YU Tao，ZHAO Li-qiang
（College of Information Science and Technology，Beijing University of Chemical Technology，Beijing 100029，China）

For the second-order dynamic model of accelerometer cannot accurately describe the dynamic characteristics of accelerometer on the higher frequency-domain，a structural dynamic modeling method of accelerometer based on second-order band-pass filter is proposed．The method takes the second-order pass filter as basic unit to achieve the dynamic model of accelerometer structural ascending order based on the second-order dynamic model of accelerometer，in order to build the high-order structural dynamic model of accelerometer．Comparing with the second-order dynamic model，experimental results show that the high-order dynamic model of accelerometer has higher accuracy，and can better describe the dynamic characteristics of accelerometer．

accelerometer；structural dynamic modeling；second-order band-pass filter；frequency response characteristics

TN713+．5

A

1674－6236（2016）02-0072-04

2015-05-09稿件編號：201505078

國家重大科學(xué)儀器設(shè)備開發(fā)專項項目(2012YQ090208)

楊子凱（1988—），男，四川廣元人，碩士研究生。研究方向：加速度計動態(tài)建模。