王軍艷，李玨

（長沙理工大學(xué)交通運輸工程學(xué)院，湖南長沙 410004）

高速公路改擴建成本預(yù)測的灰色-馬爾可夫鏈模型

王軍艷，李玨

（長沙理工大學(xué)交通運輸工程學(xué)院，湖南長沙 410004）

高速公路改擴建過程中會受到眾多因素的影響。文中結(jié)合其特點，在統(tǒng)計高速公路改擴建成本歷史數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立灰色GM（1，1）預(yù)測模型，對高速公路改擴建成本進行預(yù)測，同時根據(jù)馬爾可夫鏈模型對預(yù)測值與實際值之間的殘差幅度進行狀態(tài)分類，得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和預(yù)測區(qū)間值，最終求得各個序列的修正值，并通過實例說明了灰色-馬爾可夫鏈預(yù)測模型的精度。

工程管理；高速公路改擴建；成本預(yù)測；灰色-馬爾可夫鏈

高速公路改擴建項目的規(guī)劃、設(shè)計、招投標、施工等階段都存在影響建設(shè)成本的因素，為了有效控制高速公路改擴建成本、合理利用資源，需對高速公路改擴建進行成本預(yù)測和分析。目前關(guān)于改擴建工程成本預(yù)測的研究有：楊敏利用灰色GM（1，1）模型對改擴建項目成本進行預(yù)測，以得到的預(yù)測值和發(fā)展系數(shù)作為從實施過程備選方案預(yù)測指標結(jié)果中選擇利益最優(yōu)實施方案的衡量標準，使結(jié)果的可信度增加；張健等對改擴建項目投資決策問題進行分析，將AHP法和模糊評判法相結(jié)合，在價值工程的基礎(chǔ)上建立了改擴建投資決策模型；左光文將一元回歸方法用于工程項目成本預(yù)測，解決了在資料不夠詳實、時間較緊迫的情況下無法對工程項目成本進行預(yù)測的問題；雷劍從影響高速公路改擴建工程的各項經(jīng)濟技術(shù)指標出發(fā)，在模糊重構(gòu)優(yōu)化DEA的基礎(chǔ)上建立了高速公路改擴建方案評價指標體系；陸紅梅等運用模糊模式進行識別和選取，通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對工程項目成本進行預(yù)測，經(jīng)過實例驗證，得出基于這兩種方法的模型可用于工程項目成本預(yù)測；劉穎等利用灰色理論方法對高速公路改擴建成本進行了預(yù)測，但只預(yù)測了未來幾年高速公路擴建成本趨勢，沒有進行精度上的改善。該文運用灰色GM（1，1）模型，通過對某地區(qū)2001—2014年高速公路改擴建中四車道改八車道成本數(shù)據(jù)的處理，預(yù)測近4年高速公路改擴建成本，結(jié)合馬爾可夫鏈模型得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并對GM（1，1）模型得出的預(yù)測值進行修正，以得出更加準確的預(yù)測成本值。

1　灰色-馬爾可夫鏈模型的基本思想

灰色GM（1，1）預(yù)測模型是灰色系統(tǒng)理論的核心內(nèi)容之一，是灰色預(yù)測模型中應(yīng)用最廣泛的模型，它具有所需樣本少、計算簡單等特點。不像回歸模型和經(jīng)驗?zāi)Ｐ湍菢有枰獜挠绊懜咚俟犯臄U建成本的眾多因素中篩選出主要影響因素，更不需要收集主要影響因素的具體數(shù)據(jù)，而是從高速公路改擴建成本自身出發(fā)，在收集成本歷史數(shù)據(jù)的過程中尋找有用信息和發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律，建立灰色GM（1，1）模型進行預(yù)測。它要求高速公路改擴建成本歷史數(shù)據(jù)經(jīng)過處理后具有指數(shù)規(guī)律，但由于高速公路改擴建項目在實施過程中受環(huán)境影響較大，且具有作業(yè)面狹小、工點分散、功效低、施工組織和交通組織復(fù)雜等特點，利用歷史數(shù)據(jù)進行累加生成的數(shù)據(jù)并不一定具有指數(shù)規(guī)律，可能會產(chǎn)生誤差，通過累加生成的數(shù)據(jù)也可能增加模型的誤差。

馬爾可夫鏈是一個隨機過程，該過程是從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一種狀態(tài)，根據(jù)其規(guī)律性形成轉(zhuǎn)移概率，進而預(yù)測狀態(tài)未來的發(fā)展方向。高速公路改擴建是一個工程量大、征地拆遷困難、通行不間斷、工程變更多的動態(tài)系統(tǒng)過程，可將改擴建成本作為這一動態(tài)系統(tǒng)的特征向量。成本的變化是一個隨機過程，而馬爾可夫鏈可以對該過程進行描述。

根據(jù)上述兩種模型的基本思想，可以將高速公路改擴建成本每年的變化看成一個灰色動態(tài)系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上建立灰色GM（1，1）預(yù)測模型，預(yù)測高速公路改擴建成本變化的未來趨勢。但由于高速公路改擴建過程中的隨機波動性較大，灰色GM（l，l）預(yù)測模型只能預(yù)測數(shù)據(jù)總體發(fā)展趨勢，并不能很好地揭示該過程的波動性。為此，運用馬爾可夫鏈對灰色GM（1，1）模型預(yù)測出的高速公路改擴建成本結(jié)果進行修正，提高預(yù)測精度。

2　灰色-馬爾可夫鏈模型的建立

2.1GM（1，1）模型

（1）設(shè)有原始數(shù)據(jù)序列［見式（1）］，它是一個在限制區(qū)間內(nèi)進行變化，序列長度為n的隨機序列。在獲得原始數(shù)據(jù)的過程中會受到種種因素的影響，需使用累加、累減、求均值的方法對原始數(shù)據(jù)進行降噪處理，使其具有一定的規(guī)律性，帶有一定的指數(shù)規(guī)律并呈現(xiàn)整體上升的趨勢。累加公式見式（2）。

（2）根據(jù)x（1）（k）的指數(shù)增長規(guī)律，建立灰微分方程模型［見式（3）］，即灰微分方程的影子方程。

式中：x（1）為時間t的函數(shù)；a、b為待估參數(shù)。

（3）參數(shù)估計。設(shè)M=（a，b）T，待定，引入向量記號［見式（4）、式（5）］，將式（3）轉(zhuǎn)換成離散形式，得Y=BM。通過MATLAB進行矩陣轉(zhuǎn)換和最小二乘法計算參數(shù)M=（a，b）T，得式（6）。

式中：z（1）（k）=［x（1）（k-1）+x（1）（k）］/2，k=2，3，…，n。

（4）預(yù)測值的計算。將a、b值代入式（2），得到原微分方程的近似解［見式（7）］和離散響應(yīng)量x（1）（k）的預(yù)測值［見式（8）］，進而得到X（0）的預(yù)測值［見式（9）］。

式中：x（0）（1）=x（1）（1）。

將灰色GM（1，1）預(yù)測模型的預(yù)測值與原始數(shù)據(jù)進行對比，得到兩者在同一個時刻點的殘差。

2.2馬爾可夫鏈改進模型

鑒于灰色GM（1，1）預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果比較籠統(tǒng)，采用馬爾可夫鏈對GM（1，1）模型預(yù)測結(jié)果進行修正，將預(yù)測結(jié)果限制在較小的區(qū)間，并通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣使區(qū)間中的預(yù)測范圍更加準確。

馬爾可夫鏈是一個關(guān)于時間X（t）的隨機過程，其基本思路是：在一個時刻T0狀態(tài)S0已知的情況下，從狀態(tài)S0轉(zhuǎn)移到下一時刻T1的狀態(tài)S1只與狀態(tài)S0有關(guān)，而與T0之前的狀態(tài)無關(guān)。運用馬爾可夫鏈將同一時刻的預(yù)測結(jié)果和原始數(shù)據(jù)之間的殘差程度進行狀態(tài)分類，根據(jù)狀態(tài)分類得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣形式為：

式中：Pij為由狀態(tài)Si轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的概率，0≤。

Pij描述的是n個狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)移的概率。根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，可以對灰色GM（1，1）預(yù)測結(jié)果在一定的預(yù)測區(qū)間內(nèi)進行修正，從而得出更加可信的預(yù)測值，提高預(yù)測結(jié)果的精度。

3　實例應(yīng)用

某地區(qū)2001—2014年高速公路四車道擴寬為八車道的平均造價見表1。

表1　高速公路四車道改八車道每公里平均造價

3.1模型建立

根據(jù)表1所示原始數(shù)據(jù)，經(jīng)過數(shù)據(jù)變換處理后，建立灰色GM（1，1）模型對該地區(qū)高速公路四車道擴寬為八車道的平均造價進行預(yù)測。

（1）數(shù)據(jù)處理，建立原始數(shù)列：

將原始數(shù)據(jù)進行一次性累加，得出具有一定規(guī)律的數(shù)據(jù)序列：

（2）由式（4）～（6）求得B、Y；利用MATLAB進行矩陣運算，得a=-0.1099、b=2313.9。

（3）求出預(yù)測模型。將參數(shù)代入式（8），得到GM（1，1）模型：

利用該灰色GM（1，1）模型對2002—2014年高速公路改擴建成本進行預(yù)測，結(jié)果見表2。從表2可以看出：預(yù)測值與實際值之間的平均誤差為1.28%（絕對值），最大年度誤差為9%（絕對值），預(yù)測結(jié)果在可接受的范圍內(nèi)。

3.2狀態(tài)劃分

根據(jù)實際值與預(yù)測值的殘差幅度進行狀態(tài)分類，將高速公路四車道改八車道的平均造價劃分為3種狀態(tài)：狀態(tài)1為高估狀態(tài)，殘差幅度為（-10%，-2%），從表2來看，2002、2003、2004、2014年為這種狀態(tài)。狀態(tài)2為正常狀態(tài)，殘差幅度為［-2%，2%］，2005—2010、2012、2013年為這種狀態(tài)。狀態(tài)3為低估狀態(tài)，殘差幅度為（2%，10%），2011年為這種狀態(tài)。

根據(jù)以上狀態(tài)分類結(jié)果，獲得2002—2014年馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況（見表3）。

表2　2002—2014年GM（1，1）預(yù)測結(jié)果

表3　2002—2014年灰色預(yù)測結(jié)果馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況

根據(jù)表3得出2002—2014年馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣得到之后4年（2015—2018年）的預(yù)測狀態(tài)向量（見表4）。

表4　2015—2018年灰色預(yù)測結(jié)果馬爾可夫鏈狀態(tài)向量

3.3近期高速公路改擴建成本預(yù)測

運用馬爾可夫鏈模型對灰色GM（1，1）模型預(yù)測結(jié)果進行改進，結(jié)果見表5。

根據(jù)灰色GM（1，1）預(yù)測結(jié)果，該地區(qū)高速公路改擴建工程成本呈現(xiàn)逐年增長的趨勢。采用馬爾可夫鏈對灰色模型預(yù)測結(jié)果進行修正后，得出該地區(qū)高速公路改擴建成本處于高估狀態(tài)，低于實際預(yù)測值。高速公路改擴建中要做好成本預(yù)測，使建設(shè)成本得到有效控制。

表5　基于灰色-馬爾可夫鏈模型的高速公路改擴建成本預(yù)測結(jié)果

4　結(jié)語

高速公路改擴建過程屬于一個在灰色系統(tǒng)前提下的隨機過程，該文根據(jù)該特點，應(yīng)用灰色-馬爾可夫鏈模型對其成本進行預(yù)測。通過灰色GM（1，1）模型得出較為粗糙的預(yù)測值，然后利用馬爾可夫鏈對預(yù)測值進行修正，得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，確定高速公路改擴建成本預(yù)測值位于不同區(qū)間的可能性，再將區(qū)間預(yù)測中值與通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣得到的區(qū)間發(fā)生概率進行結(jié)合，更加準確地呈現(xiàn)高速公路改擴建成本發(fā)展總體趨勢?；疑到y(tǒng)理論要求系統(tǒng)的影響因素相對穩(wěn)定，故灰色-馬爾可夫鏈模型適用于近期高速公路改擴建成本預(yù)測。

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