姜瑞忠，郜益華，孫召勃，何吉祥，李志濤（.中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東青島66580；.中海石油（中國）有限責(zé)任公司天津分公司渤海石油研究院，天津30045）

雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井試井分析

姜瑞忠1，郜益華1，孫召勃2，何吉祥1，李志濤1
（1.中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東青島266580；2.中海石油（中國）有限責(zé)任公司天津分公司渤海石油研究院，天津300452）

考慮到目前雙重介質(zhì)復(fù)合油藏直井試井的基本假設(shè)為井位于復(fù)合油藏內(nèi)區(qū)中心，而在實際測試過程中很難保證井位于內(nèi)區(qū)中心。采用偏心距描述復(fù)合油藏內(nèi)區(qū)中偏心井所處的位置，建立了考慮表皮效應(yīng)和井筒存儲效應(yīng)的復(fù)合油藏偏心井試井解釋模型。利用點源理論、疊加原理、拉普拉斯變換得到了雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井的線源解，同時利用Stehfest數(shù)值反演獲得實空間下的解，進而繪制了雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井的典型試井曲線，并分析偏心距對試井曲線的影響。研究結(jié)果表明，偏心距對復(fù)合油藏壓力動態(tài)的影響主要體現(xiàn)在內(nèi)區(qū)總體徑向流與外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流間的過渡段，偏心距越大，內(nèi)區(qū)總體徑向流結(jié)束的時間越早，內(nèi)區(qū)總體徑向流與外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流間的過渡段出現(xiàn)得越早，過渡段壓力導(dǎo)數(shù)曲線變化越緩慢。

雙重介質(zhì)；復(fù)合油藏；偏心距；偏心井；線源解；試井分析

國內(nèi)外學(xué)者對多重介質(zhì)復(fù)合油藏的試井問題進行了大量研究［1-9］。目前，雙重介質(zhì)復(fù)合油藏直井試井的基本假設(shè)仍是井位于內(nèi)區(qū)中心［1，5，8-9］。然而由于地層復(fù)雜性和施工作業(yè)的影響，井位于雙重介質(zhì)復(fù)合油藏內(nèi)區(qū)中心的理想情況很難出現(xiàn)。因此，對雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井的試井問題進行研究十分必要。文獻［10］和文獻［11］介紹了采用鏡像反映法得到偏心井穩(wěn)定產(chǎn)量公式的方法，文獻［12］通過邊界元方法，研究了均質(zhì)油藏封閉邊界條件下偏心井的不穩(wěn)定產(chǎn)量變化規(guī)律。但對于雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井的研究非常少。本文應(yīng)用點源理論得到了雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井的線源解和典型試井曲線，旨在為雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井的試井分析提供依據(jù)。

1　模型的建立與求解

1.1物理模型

雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井試井分析的物理模型如圖1所示。模型的基本假設(shè)為:油藏厚度為h，具有雙重介質(zhì)特征，且介質(zhì)間的流動為擬穩(wěn)定流；油藏分為內(nèi)、外兩區(qū)，內(nèi)區(qū)半徑為r1，外區(qū)為無限大邊界，內(nèi)、外區(qū)具有不同的孔滲特性，內(nèi)、外區(qū)裂縫系統(tǒng)和基巖系統(tǒng)的滲透率分別為Kf1，Kf2和Km1，Km2，內(nèi)、外區(qū)裂縫系統(tǒng)和基巖系統(tǒng)的孔隙度分別為φf1，φf2和φm1，φm2，內(nèi)、外區(qū)裂縫系統(tǒng)和基巖系統(tǒng)的壓縮系數(shù)分別為Cf1，Cf2以及Cm1，Cm2；油井可視為線源，位于油藏內(nèi)區(qū)任意位置，其位置用偏心距ra表示；考慮表皮系數(shù)和井筒存儲系數(shù)的影響。

圖1　雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井物理模型示意

1.2數(shù)學(xué)模型的建立與求解

對于雙重介質(zhì)復(fù)合油藏，偏心井開井生產(chǎn)后，其內(nèi)、外區(qū)滲流微分方程分別為:

考慮偏心距后（圖1），由余弦定理可得

初始條件為

內(nèi)區(qū)邊界條件為

外區(qū)邊界條件為

內(nèi)、外區(qū)連接條件為

流量相等:

壓力相等:

內(nèi)、外區(qū)無因次壓力: pf i D=2πKf1h（p0-pf i）/qμB，pm i D=2πKf1h（p0-pm i）/qμB.

無因次時間:tD=Kf1t/（φ1C1）m+fμrw2.

無因次半徑:rD=r/rw.

無因次偏心距:raD=ra/rw.

無因次壓力觀測點半徑:rD'=r'/rw.

無因次外區(qū)邊界半徑:re D=re/rw.

無因次外區(qū)邊界距偏心井位置:rxe D=rxe/rw.

無因次內(nèi)區(qū)邊界距偏心井位置:rx1D=rx1/rw.

無因次地層厚度:hD=h/rw.

無因次z坐標(biāo):zD=z/rw.

內(nèi)、外區(qū)儲容比:β=（φ1C1）m+f/（φ2C2）m+f.

內(nèi)、外區(qū)裂縫系統(tǒng)彈性儲容比:

將上述無因次變量代入（1）式—（10）式并進行拉普拉斯變換，可得拉氏空間下的雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井模型為

其中

無因次內(nèi)邊界條件:

無因次外邊界條件:

無因次內(nèi)、外區(qū)連接條件:

由疊加原理、點源理論［13-16］并結(jié)合虛宗量貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)［17］，可得雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井點源解。

偏心點源在油藏內(nèi)區(qū)產(chǎn)生的壓力分布為

考慮內(nèi)、外區(qū)連接條件（15）式、（16）式可得

其中

對（17）式關(guān)于zaD從0到hD積分，可得雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井的線源解，即

為考慮井筒存儲效應(yīng)和表皮效應(yīng)的影響，利用杜哈美原理［18］可得

對（20）式采用Stehfest數(shù)值反演方法［18］進行反演，可得到雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井的井底壓力解。

2　模型驗證

為驗證本文模型的正確性，令模型中偏心距raD= 0，從而得到井位于雙重介質(zhì)復(fù)合油藏內(nèi)區(qū)中心時的解，并與常規(guī)的井位于內(nèi)區(qū)中心的雙重介質(zhì)復(fù)合油藏試井模型［19］的解進行對比（圖2）。

由圖2可看出，當(dāng)偏心距raD=0時，本文提出的雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井模型的解可以簡化為經(jīng)典的雙重介質(zhì)復(fù)合油藏試井模型解，二者所得結(jié)果完全相同，從而驗證了模型的正確性。

3　典型圖版分析

根據(jù)本文提出的模型，繪制雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井試井的典型曲線并與井位于內(nèi)區(qū)中心（raD=0）的典型試井曲線進行對比，結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖2　雙重介質(zhì)復(fù)合油藏典型試井圖版對比

圖3　 M=2.0時雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井典型試井曲線

圖4 M=0.5時雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井典型試井曲線

圖3、圖4分別給出了內(nèi)區(qū)孔滲性好（M=2.0）、外區(qū)孔滲性好（M=0.5）時的雙重介質(zhì)復(fù)合油藏典型試井曲線的對比結(jié)果。圖中的曲線分別為雙重介質(zhì)復(fù)合油藏不考慮偏心距（raD=0）時內(nèi)區(qū)半徑r1D=600和1 500以及考慮偏心距（raD=900）而內(nèi)區(qū)半徑r1D=1 500時的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線。由圖3和圖4可以看出，考慮偏心距后，雙重介質(zhì)復(fù)合油藏的流動階段仍劃分為9個階段:①早期純井筒存儲階段；②純井筒存儲階段與內(nèi)區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流間的過渡段，此該階段主要受表皮系數(shù)的影響出現(xiàn)“駝峰”；③內(nèi)區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流階段；④內(nèi)區(qū)基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)竄流的過渡階段，此階段的特征為壓力導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)下凹；⑤內(nèi)區(qū)裂縫系統(tǒng)和基巖系統(tǒng)總體的徑向流階段；⑥內(nèi)區(qū)裂縫系統(tǒng)和基巖系統(tǒng)總體徑向流與外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流間的過渡段；⑦外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流階段；⑧外區(qū)基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)竄流的過渡階段，此階段的特征為壓力導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)下凹；⑨外區(qū)裂縫系統(tǒng)和基巖系統(tǒng)總體徑向流。分析圖3、圖4可知，偏心距的影響主要體現(xiàn)在內(nèi)區(qū)總體徑向流與外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流間的過渡段，偏心距的出現(xiàn)，會使得內(nèi)區(qū)總體徑向流提早結(jié)束，而內(nèi)區(qū)總體徑向流與外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流間的過渡段提前出現(xiàn)，同時過渡段的壓力導(dǎo)數(shù)曲線變化也會變緩。

4　參數(shù)敏感性分析

圖5、圖6反映偏心距對雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井典型試井曲線的影響，偏心距越大，內(nèi)區(qū)總體徑向流結(jié)束越早，內(nèi)區(qū)總體徑向流與外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流間的過渡段出現(xiàn)的越早。這是由于偏心距越大，直井距內(nèi)區(qū)邊界的最小距離越小，壓力開始傳播到內(nèi)區(qū)邊界的時間越短，因而內(nèi)區(qū)總體徑向流結(jié)束的時間越早。另外，偏心距越大，過渡段壓力導(dǎo)數(shù)曲線變化越緩慢。這是因為偏心距越大，過渡段中內(nèi)區(qū)作用的時間越長，緩解了內(nèi)、外區(qū)性質(zhì)突變的影響，因而使得壓力導(dǎo)數(shù)變化緩慢。

圖6　 M=0.5時偏心距對雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井典型試井曲線的影響

5　結(jié)論

（1）本文基于點源理論得到了雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井試井模型的解析解，同時繪制了相應(yīng)的典型壓力圖版。通過與經(jīng)典的井位于內(nèi)區(qū)中心的雙重介質(zhì)復(fù)合油藏試井模型的解進行對比，驗證了偏心井試井模型的正確性。

（2）考慮偏心距后雙重介質(zhì)復(fù)合油藏的流動階段可劃分為9個階段:早期純井筒存儲階段；純井筒存儲階段與內(nèi)區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流間的過渡段；內(nèi)區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流階段；內(nèi)區(qū)基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)竄流的過渡階段；內(nèi)區(qū)裂縫系統(tǒng)和基巖系統(tǒng)總體的徑向流階段；內(nèi)區(qū)裂縫系統(tǒng)和基巖系統(tǒng)總體徑向流與外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流間的過渡段；外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流階段，外區(qū)基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)竄流的過渡階段；外區(qū)裂縫系統(tǒng)和基巖系統(tǒng)總體徑向流階段。而偏心距的影響主要體現(xiàn)在內(nèi)區(qū)總體徑向流與外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流間的過渡段。

（3）對于雙重介質(zhì)復(fù)合油藏偏心井試井而言，偏心距越大，內(nèi)區(qū)總體徑向流結(jié)束越早，內(nèi)區(qū)總體徑向流與外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流間的過渡段出現(xiàn)得越早，過渡段壓力導(dǎo)數(shù)曲線變化越緩。

符號注釋

B——原油體積系數(shù)，m3/m3（標(biāo)準(zhǔn)狀況）；

CD——無因次井筒存儲系數(shù)；

Cfi——裂縫系統(tǒng)壓縮系數(shù)，Pa-1；

Cmi——基巖系統(tǒng)壓縮系數(shù)，Pa-1；

h——地層有效厚度，m；

Ik，Kk——k階變形貝塞爾函數(shù)；

Kfi——裂縫系統(tǒng)滲透率，m2；

Kmi——基巖系統(tǒng)滲透率，m2；

M——內(nèi)、外區(qū)流度比；

pfi——裂縫系統(tǒng)壓力，Pa；

pmi——基巖系統(tǒng)壓力，Pa；

p0——原始地層壓力，Pa；

pw——井底壓力，Pa；

q——偏心井地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下的產(chǎn)量，m3/s；

r——壓力觀測點距偏心井的位置，m；

r'——壓力觀測點距地層中心的位置，m；

r1——復(fù)合油藏內(nèi)區(qū)半徑，m；

ra——偏心距，m；

re——從油藏內(nèi)區(qū)中心計起的外邊界半徑，m；

rw——井筒半徑，m；

rxe——雙重介質(zhì)復(fù)合油藏外邊界距偏心井的位置，m；

rx1——復(fù)合油藏內(nèi)區(qū)邊界距偏心井的位置，m；

S——表皮系數(shù)；

s——拉氏空間下的變量；

t——時間，s；

z——壓力觀測點縱向坐標(biāo)，m；

za——偏心點源縱向坐標(biāo)，m；

αi——與基巖形狀有關(guān)的形狀因子，m-2；

β——內(nèi)、外區(qū)儲容比；

ω——內(nèi)、外區(qū)裂縫系統(tǒng)彈性儲容比；

θ——壓力觀測點關(guān)于地層中心的極角，弧度；

θa——偏心井位置關(guān)于地層中心的極角，弧度；

μ——原油黏度，Pa·s；

φfi——裂縫系統(tǒng)孔隙度，f；

φmi——基巖系統(tǒng)孔隙度，f；

下標(biāo):

i——可取1和2，1為雙重介質(zhì)復(fù)合油藏內(nèi)區(qū)，2為雙重介質(zhì)復(fù)合油藏外區(qū)；

m——基巖；

f——裂縫。

［1］黃霖，劉啟國.多區(qū)雙重介質(zhì)復(fù)合氣藏滲流數(shù)學(xué)模型及其壓力動態(tài)［J］.油氣井測試，2006，15（4）:11-14.

HUANG Lin，LIU Qiguo.Percolation mathematic model in compound gas reservoir with dual medium of excessive section［J］.Well Testing，2006，15（4）:11-14.

［2］趙海洋，賈永祿，王東權(quán).雙重-均質(zhì)復(fù)合油藏產(chǎn)量遞減模型研究［J］.新疆石油地質(zhì)，2010，31（1）:63-65.

ZHAO Haiyang，JIA Yonglu，WANG Dongquan.Study of production decline model for dual porosity-homogeneous composite reservoir［J］. Xinjiang Petroleum Geology，2010，31（1）:63-65.

［3］陳方方，賈永祿.三孔雙孔介質(zhì)徑向復(fù)合油藏模型與試井曲線［J］.油氣井測試，2008，17（4）:1-4.

CHEN Fangfang，JIA Yonglu.The model of the trip le-double porosity radial composite reservoir and the type of curve［J］.Well Testing，2008，17（4）:1-4.

［4］陳方方，賈永祿，霍進，等.三孔均質(zhì)徑向復(fù)合油藏模型與試井樣版曲線［J］.大慶石油學(xué)院學(xué)報，2008，6（6）:64-67.

CHEN Fangfang，JIA Yonglu，HUO Jin，et al.The flow model of the triple-medium composite reservoirs and the type curves［J］.Journal of Daqing Petroleum Institute，2008，6（6）:64-67.

［5］劉啟國，馮宇，董鳳玲.受界面附加阻力影響的雙重介質(zhì)徑向復(fù)合油藏試井解釋模型研究［J］.油氣井測試，2005，14（3）:11-13.

LIU Qiguo，F(xiàn)ENG Yu，DONG Fengling.Study on testing interpretation model of dual medium and radial compound reservoir influenced by interface addition friction［J］.Well Testing，2005，14（3）: 11-13.

［6］楊堅，姚軍，王子勝.三重介質(zhì)復(fù)合油藏壓力動態(tài)特征研究［J］.水動力學(xué)研究與進展（A輯），2005，20（4）:418-425.

YANG Jian，YAO Jun，WANG Zisheng.Study of pressure-transient characteristic for trip le-medium composite reservoirs［J］.Chinese Journal of Hydrodynamics，2005，20（4）:418-425.

［7］向開理，李允，李鐵軍.不等厚分形復(fù)合油藏不穩(wěn)定滲流問題的數(shù)學(xué)模型及壓力特征［J］.石油勘探與開發(fā)，2001，28（5）:49-52.

XIANG Kaili，LI Yun，LI Tiejun.The mathematical model of unstable flow of fluids through porous media with non-uniform thickness lateral heterogeneity of fractal reservoir［J］.Petroleum Exploration and Development，2001，28（5）:49-52.

［8］郭建春，向開理.不等厚橫向雙重介質(zhì)復(fù)合油藏試井分析模型及數(shù)值解［J］.油氣井測試，1999，8（1）:1-5.

GUO Jianchun，XIANG Kaili.Well testing analysis model and numerical solution for a composite reservoir with non-uniform thickness and double media［J］.Well Testing，1999，8（1）:1-5.

［9］SATMAN A.Pressure-transient analysis of a composite naturally fractured reservoir［J］.SPE Formation Evaluation，1991，6（2）: 169-175.

［10］張建國，杜殿發(fā)，侯健，等.油氣層滲流力學(xué)［M］.山東東營:中國石油大學(xué)出版社，2009:97-100.

ZHANG Jianguo，DU Dianfa，HOU Jian，et al.Oil and gas seepage mechanics［M］.Dongying，Shandong:China University of Petroleum Press，2009:97-100.

［11］葛家理，寧正福，劉月田，等.現(xiàn)代油藏滲流力學(xué)原理［M］.北京:石油工業(yè)出版社，2000:89-90.

GE Jiali，NING Zhengfu，LIU Yuetian，et al.The modern mechanics of fluid flow in oil reservoir［M］.Beijing:Petroleum Industry Press，2000:89-90.

［12］劉洪，王新海，任路，等.偏心井產(chǎn)量變化規(guī)律研究［J］.數(shù)值計算與計算機應(yīng)用，2012，33（3）:159-166.

LIU Hong，WANG Xinhai，REN Lu，et al.Production change rules of eccentric well［J］.Journal on Numerical Methods and Computer Applications，2012，33（3）:159-166.

［13］OZKAN E，RAGHAVAN R.New solutions for well-test-analysis problems:Part 2-computational considerations and applications［J］. SPE Formation Evaluation，1991，6（3）:369-378.

［14］OZKAN E，RAGHAVAN R.New solutions for well-test-analysis problems:Part 1-analytical considerations［J］.SPE Formation Evaluation，1991，6（3）:359-368.

［15］OZKAN E.New solutions for well-test-analysis problems:Part 3-additional algorithms［R］.SPE 28424-MS，1994.

［16］GRINGARTEN A，RAMEY H J.The use of source and Green's function in solving unsteady-flow problems in reservoirs［J］.SPEJ，1973，13（5）:285-296.

［17］CARSLAW H S，JAEGER J C.Conduction of heat in solids（2nd edition）［M］.Oxford University Press，1959:376-378.

［18］KUCHUK F.Generalized transient pressure solutions with wellbore storage［R］.SPE 15671-MS，1986.

［19］同登科，陳欽雷.關(guān)于Laplace數(shù)值反演Stehfest方法的一點注記［J］.石油學(xué)報，2001，22（6）:91-92.

TONG Dengke，CHEN Qinlei.Some annotation about Stehfest method of Laplace numerical inversion［J］.Acta Petrolei Sinica，2001，22（6）:91-92.

［20］盧德唐.現(xiàn)代試井理論及應(yīng)用［M］.北京:石油工業(yè)出版社，2009:211-216.

LU Detang.Modern well testing theory and its application［M］.Beijing:Petroleum Industry Press，2009:211-216.

（編輯葉良）

Off-Center Well Test Analysis for Composite Dual-Porosity Reservoirs

JIANG Ruizhong1，GAO Yihua1，SUN Zhaobo2，HE Jixiang1，LI Zhitao1
（1.School of Petroleum Engineering，China University of Petroleum，Qingdao，Shandong 266580，China；2.Bohai Oil Research Institute，Tianjin Branch，CNOOC，Tianjin 300452，China）

The basic assumption of formation test in composite dual-porosity reservoirs in vertical wells is that wells should be located in the center of the inner region of the reservoir.However，this assumption is hard to be realized during the actual well test.Eccentricity is used to describe well locations in the inner region of composite reservoirs，then an off-center well test model considering skin effect and wellbore storage is established for composite dual-porosity reservoirs.The line-source solution of the model is obtained on the basis of pointsource theory，superposition principles and Laplace transform，and the solution in the real space is acquired by Stehfest numerical inversion，based on which the typical pressure curves are further plotted and the influence of eccentricity on typical pressure curves is analyzed. The results show that the influence of eccentricity on the pressure performance of composite reservoirs is mainly embodied in the transition stage of radial flows between that in the inner region and the fracture system in the outer region.And a bigger eccentricity will lead to an earlier end of the inner-region radial flow of the whole system，the transition stage of radial flows will occur earlier，and the pressure derivative curve in the transition flow stage will change more slowly.

dual-porosity；composite reservoir；eccentricity；off-center well；line-source solution；well test analysis

TE353

A

1001-3873（2016）03-0327-05

10.7657/XJPG20160316

2015-12-26

2016-03-09

國家自然科學(xué)基金（51374227，51574265）；山東省自然科學(xué)基金（ZR2011EL034）；國家科技重大專項（2016ZX 05027004-004）

姜瑞忠（1964-），男，江蘇溧陽人，教授，博士生導(dǎo)師，油氣田開發(fā)，（Tel）18678967281（E-mail）jrzhong@126.com