法　林, 白春玲, 趙　潔

(1.西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院， 陜西 西安 710121；　2.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121)

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各向異性對(duì)非均勻折射縱波的影響

法林1, 白春玲2, 趙潔1

(1.西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院， 陜西 西安 710121；2.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121)

根據(jù)巖石的各向異性，將非均勻折射縱波入射到固-固介質(zhì)界面，通過分析異常入射角存在與不存在兩種情況，分別建立橢圓極化方程。利用Christoffel方程，建立極化系數(shù)與各向異性參數(shù)之間的關(guān)系,分析并討論了巖石各向異性參數(shù)對(duì)非均勻折射縱波的影響。數(shù)值仿真結(jié)果表明，非均勻折射縱波的初始相位會(huì)隨著巖石的各向異性參數(shù)的變化而變化，并且也會(huì)改變其極化軌跡，使得極化軌跡的形狀和大小發(fā)生變化。

各向異性；橢圓極化；非均勻波；異常入射角

地震勘探[1]是人工激發(fā)地震波，通過觀察地震波在巖石中的傳播規(guī)律，利用數(shù)學(xué)手段反演地球介質(zhì)的物理參量，從而推斷出地層的地質(zhì)結(jié)構(gòu)，明確礦藏的存儲(chǔ)位置。目前，大多地震勘探數(shù)據(jù)處理技術(shù)是假設(shè)基于地下介質(zhì)為各向同性的，而很少考慮介質(zhì)的各向異性對(duì)其界面產(chǎn)生的非均勻波的極化狀態(tài)的影響[2-5]。因此，研究各向異性對(duì)非均勻折射縱波的影響對(duì)提高地震勘探數(shù)據(jù)的精確性有一定的意義。

本文選取固-固界面，將縱波(P波)入射到該介質(zhì)界面，推導(dǎo)出折射縱波的橢圓偏振方程，并建立橢圓偏振方程與各向異性參數(shù)之間的關(guān)系，以期分析巖石各向異性參數(shù)對(duì)非均勻折射縱波的影響。

1　折射縱波的橢圓極化方程

1.1極化位移

將P波入射到固體-固體形成的介質(zhì)界面，如圖1所示，實(shí)線表示的相速度的方向，虛線表示極化方向。

圖1　P波入射到兩種固-固介質(zhì)界面

圖1中，P波在x-z平面?zhèn)鞑ィ?0)為入射P波的入射角，θ(1)為反射P波的反射射角，θ(2)為折射P波的折射射角，θ(3)為反射SV波的反射角，θ(4)為折射SV波的折射角。在固-固界面處(即Z=0時(shí))，入射波的極化位移定義為[6]

k(0)xsinθ(0)+k(0)zcosθ(0))],

(1)

則折射縱波的極化位移可表示為

k(2)xsinθ(2)+k(2)zcosθ(2)+φ(2))],

(2)

1.2建立橢圓極化方程

當(dāng)P波入射到兩種不同的固-固界面時(shí)，考慮到巖石的各向異性，需要分析以下兩種情況。

根據(jù)式(2)可得

k(2)xsinθ(2)+k(2)zcosθ(2)+φ(2))]。

(3)

由斯涅爾定律[7]可以推出

k(2)xsinθ(2)=k(0)xsinθ(0)。

將式(3)拆分為兩式，即x方向和z方向的極化位移可表示為

k(0)xsinθ(0)+φ(2))],

(4)

(5)

分別取式(4)和式(5)的實(shí)部可得

k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(6)

k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(7)

對(duì)式(6)和式(7)通過移項(xiàng)、平方，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

cos2(ωt-k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(8)

sin2(ωt-k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(9)

將式(9)除以式(8)可得極化的初始相位為

(10)

分別對(duì)式(8)和式(9)兩邊同時(shí)平方并相加，可得非均勻折射縱波的橢圓極化方程

(11)

(12)

k(0)xsinθ(0)+φ(2))],

(13)

分別取式(12)和式(13)的實(shí)部可得

k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(14)

k(0)xsinθ(2)+φ(2)),

(15)

將式(15)除以式(14)可得極化的初始相位為

(16)

分別對(duì)式(14)和式(15)兩邊同時(shí)平方并相加，可得非均勻折射縱波的橢圓方程為

(17)

2　極化系數(shù)與各向異性參數(shù)

2.1固-固界面模型

對(duì)于垂直對(duì)稱軸的橫向各向同性介質(zhì),以六邊形的固態(tài)結(jié)構(gòu)描述其性能,可用彈性剛度矩陣[8]表示為

(18)

選取各向異性頁巖與砂巖和油氣頁巖形成的界面，其各向異性參數(shù)[9-11]分別如表1和表2所示。

表1　各向異性頁巖與砂巖

表2　各向異性頁巖與油氣頁巖

表1和表2中，α(n)和β(n)為縱波和橫波垂直于巖石界面的相速度，ε(n)、δ(n)和γ(n)為巖石的各向異性參數(shù)。

表1和表2中各向異性參數(shù)與彈性剛度矩陣中的每一個(gè)元素的關(guān)系為

(β(n))2][(ε(n)+1)(α(n))2+

2.2極化系數(shù)與各向異性參數(shù)之間的關(guān)系

Christoffel方程[12-13]體現(xiàn)了極化系數(shù)與各向異性之間的關(guān)系，在沒有其他外力的情況下，Christoffel方程可以表示為

ΓU=0，

(19)

式中

(20)

由式(20)可以得到

(21)

(22)

根據(jù)式(21)和式(22)，結(jié)合歸一化條件

得到極化系數(shù)的模值為

(23)

(24)

由式(23)和式(24)，即可得到極化系數(shù)的模值與各項(xiàng)異性參數(shù)之間的關(guān)系。

3　計(jì)算和討論

研究各向異性參數(shù)(ε(1),δ(1),ε(2)和δ(2))對(duì)橢圓極化影響時(shí)，使用控制變量法，使其中一個(gè)變化，而另外三個(gè)保持不變。每個(gè)各向異性參數(shù)的物理測(cè)量值由表1和表2給出。

3.1各向異性參數(shù)對(duì)初始相位的影響

將式(23)和式(24)分別代人式(10)，即可得到情況1各向異性參數(shù)與初始相位之間的關(guān)系。從表1中選取各向異性參數(shù)的值，并選取臨界入射角附近的入射角θ(0)=55.05°，使用Matlab對(duì)其進(jìn)行數(shù)值仿真。初始相位φ隨著4個(gè)各向異性參數(shù)的變化如圖2所示。

圖2　表1各向異性參數(shù)對(duì)初始相位的影響

由圖2可以看出，對(duì)于入射介質(zhì)，各向異性參數(shù)ε(1)和δ(1)對(duì)初始相位的影響趨勢(shì)是相同的，即當(dāng)ε(1)和δ(1)增大時(shí)，初始相位的絕對(duì)值是逐漸減小的。對(duì)于折射介質(zhì)，各項(xiàng)異性參數(shù)ε(2)和δ(2)對(duì)初始相位的影響是不同的，即隨著ε(2)的增大，初始相位的絕對(duì)值逐漸增大，而隨著δ(2)的增大，初始相位的絕對(duì)值先緩慢增大，后逐漸減小。

圖3　表2各向異性參數(shù)對(duì)初始相位的影響

由圖3可以看出，對(duì)于入射介質(zhì)，隨著ε(1)和δ(1)的緩慢增大，初始相位的絕對(duì)值迅速減小。對(duì)于折射介質(zhì)，隨著ε(2)的增大，初始相位的絕對(duì)值迅速增大；當(dāng)δ(2)增大時(shí)，初始相位的絕對(duì)值緩慢減小，且?guī)缀醭示€性減小，這與頁巖與油氣頁巖界面不同。

圖4　表2各向異性參數(shù)對(duì)初始相位的影響

由圖4可以看出，對(duì)于入射介質(zhì)，隨著ε(1)和δ(1)的緩慢增大，初始相位的絕對(duì)值也緩慢減小。然而，隨著ε(2)的增大，初始相位的絕對(duì)值緩慢增大，當(dāng)δ(2)增大時(shí)，初始相位的絕對(duì)值呈線性緩慢減小。

由以上仿真結(jié)果可知，各向異性參數(shù)會(huì)影響初始相位，且4個(gè)各向異性參數(shù)(ε(1),δ(1),ε(2)和δ(2))對(duì)初始相位的變化趨勢(shì)、幅度的影響程度都不相同。

3.2各向異性參數(shù)對(duì)橢圓極化軌跡的影響

將式(23)和式(24)分別代人式(11)，即可得到各向異性參數(shù)與橢圓極化方程的關(guān)系。從表1中選取各向異性參數(shù)的值，并選臨界入射角附近的入射角θ(0)=55.05°，對(duì)其進(jìn)行數(shù)值仿真。橢圓極化軌跡的大小，形狀隨著4個(gè)各向異性參數(shù)的變化如圖5所示。

圖5　表1各向異性參數(shù)對(duì)橢圓極化軌跡的影響

由圖5可知，對(duì)于入射介質(zhì)，隨著ε(1)的增大，長軸逐漸邊長，橢圓軌跡逐漸變扁。隨著δ(1)的增大，橢圓軌跡變化不明顯。對(duì)于折射介質(zhì)，隨著ε(2)的增大，短軸逐漸變長，橢圓軌跡逐漸變圓，而隨著δ(2)的增大，橢圓軌跡略微變扁。

圖6　表2各向異性參數(shù)對(duì)橢圓極化軌跡的影響

由圖6可知，對(duì)于入射介質(zhì)，隨著ε(1)和δ(1)的增大，橢圓軌跡逐漸變扁；對(duì)于折射介質(zhì)，隨著ε(2)的增大，短軸逐漸變長，橢圓軌跡逐漸變圓，而δ(2)對(duì)橢圓軌跡影響較小。

圖7　表2各向異性參數(shù)對(duì)橢圓極化軌跡的影響

由圖7可知：隨著ε(1)的增大，長軸和短軸逐漸變長，橢圓軌跡逐漸大；隨著ε(2)的增大，長軸和短軸逐漸變短，橢圓軌跡逐漸小。δ(1)和δ(2)對(duì)橢圓軌跡影響較小。

另外，仿真結(jié)果還表明，當(dāng)入射角θ(0)=34.58°時(shí)，非均勻折射縱波是右旋橢圓極化波，而當(dāng)入射角θ(0)=63.81°時(shí)，非均勻折射縱波是左旋極化縱波。

4　結(jié)語

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[責(zé)任編輯:祝劍]

Influence of anisotropy on inhomogenously refracted P-wave

FA Lin1,BAI Chunling2,ZHAO Jie1

(1. School of Electronic Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China; 2. School of Communication and Information Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

According to the anisotropy of the rock, the inhomogenous refracted P-wave incident at the interface of two different solids. An elliptical-polarization equation is established by analyzing and discussing two situations where the anomalous incident-angle exists or not. Through the equation of Christoffel, the relationship between the polarization coefficient and the anisotropy parameter is established. The influence of anisotropic parameters on the inhomogenous refracted P-wave is then discussed. Numerical Simulation results show that the initial phase angle of the elliptical-polarization trajectory would change with the change of the rock anisotropy parameters, and same as the elliptical-polarization trajectory. The anisotropy of the rock will make the shape and size of the elliptical-polarization trajectory change.

anisotropy, elliptical polarization, inhomogenous wave, anomalous incident-angle

10.13682/j.issn.2095-6533.2016.04.012

2016-03-06

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(40974078)

法林(1955-)，男，教授，從事聲學(xué)地球物理探測(cè)及信號(hào)處理研究。E-mail:fa_yy@aliyun.com

白春玲(1990-),女，碩士研究生，研究方向?yàn)樾盘?hào)與信息處理。E-mail:978604297@qq.com

O422.3

A

2095-6533(2016)04-0061-06