雷　鳴（北京郵電大學理學院，北京 100876）

對一個電源模型的深入研究

雷鳴
（北京郵電大學理學院，北京 100876）

本文對2015年全國高考北京卷理科綜合第24題中的電源模型進行了深入的研究，通過對兩種情形的具體計算，說明了逸出電子的動能分布將影響電源的內(nèi)阻特性.此電源模型的內(nèi)阻可以是常量，也可以隨電路中電流或外電路兩端電壓的變化而改變.本文還討論了測量直流電源內(nèi)阻曲線的基本實驗原理，說明了可以由光電效應實驗曲線獲取光電池的內(nèi)阻曲線，并可以相應的光電效應的實驗資料指導光電池的設計，達到改善光電池內(nèi)阻特性的目的.

電源內(nèi)阻；測量；光電效應

能源的開發(fā)和利用，是新世紀必須關(guān)注的重大問題.為便于利用能源，通常將各種能源轉(zhuǎn)化為電能.因此，對各種電源機制的說明，是物理教學的重要任務.在基礎物理的教學中，有必要介紹幾個電源模型，以加深學生們對電源的認識.任何一個實際的電源模型都涉及很多因素，這給教學帶來困難，尋找一個合適的電源模型就顯得非常重要.

我們欣喜地看到，隨著我國基礎教育改革的不斷推進，教學和考試環(huán)節(jié)越來越注重聯(lián)系實際，對能源等問題的分析研究就是一類典型題目.例如，2015年全國高考（北京卷）《理科綜合》第24題，將太陽能電池或光電探測器模型進行巧妙的簡化，成功地考察了考生對直流電源中若干重要問題的理解.

我們對此模型做了進一步的研究，發(fā)現(xiàn)從此模型中還可以挖掘出更多物理問題，這些問題可以使學生們進一步加深對電源的理解，其中有些問題是適合大學生層次的.以下是我們的研究結(jié)果.

此試題在媒體上很容易找到，這里不再詳述其內(nèi)容（試題全文附在本文最后），僅說明大意是：以真空中的一對導體平板作為直流電源模型（圖1），A板受到光照，假設單位時間內(nèi)逸出N個電子，逸出電子的最大初動能為Ekm，所有逸出電子的運動方向都垂直于導體板.要求考生求電源的電動勢和內(nèi)阻，并證明一個能量轉(zhuǎn)換關(guān)系.

圖1　直流電源模型

試題解答給出此電源的電動勢為ε=Ekm/e，本文將直接引用，不再推導.

1　兩個典型的電源內(nèi)阻模型

在多數(shù)學生的觀念里，電源的內(nèi)阻是一個絕對的恒量，即電源內(nèi)阻不會隨電路中電流或外電路兩端的電壓變化.實際上，這只是一個理想情況.例如，對于蓄電池而言，大電流放電時，其內(nèi)阻將由于極板空隙內(nèi)硫酸溶液的迅速稀釋而增大.對于受控元件，經(jīng)常將其看作電源，則其內(nèi)阻的變化程度可以更大.

光電池的內(nèi)阻是否是一個絕對的恒量？如果不是，內(nèi)阻的大小又會隨電流如何變化？影響內(nèi)阻變化的主要因素是什么？此試題提供了一個非常直觀的研究模型.

事實上，回路中的電流等于單位時間內(nèi)從電源一個極板到另一個極板的電荷量.對于此試題中的電源模型，這個電荷量受兩極板電勢差U的控制.當兩板之間的電壓為U時，由動能定理，只有初始動能大于eU的逸出電子才能到達B板.因而這個電荷量與從A板逸出電子的初始動能或速率的分布情況有關(guān)，不同的分布情況將導致不同的電流，也將導致電源內(nèi)阻的不同表現(xiàn).

為簡化理論表述，讓學生們通過簡單的計算就能直觀體會電源內(nèi)阻的變化規(guī)律，我們設想了以下兩種典型的分布情況，其中一種分布對應于電源內(nèi)阻恒定，另一種分布對應于電源內(nèi)阻改變.

1.1第一種典型分布：單位時間內(nèi)從A板逸出的電子按初始動能均勻分布

對此分布情形，初始動能大于e U的逸出電子數(shù)為（單位時間內(nèi)）

回路中電流為

此電源的電動勢為Ekm/e=ε，因此上式可以改寫為

全電路歐姆定律可以變?yōu)?/p>

對照以上兩式得到

這正是試題解答給出的答案.

結(jié)果顯示，在此分布情形里電源內(nèi)阻是嚴格的常量，與回路中電流或路端電壓都無關(guān)系.

1.2第二種典型分布：單位時間內(nèi)從A板逸出的

電子按初始速率均勻分布

假設逸出電子的最大初始速率為vm，以m表示電子質(zhì)量，則有關(guān)系

當兩極板電勢差為U，能夠到達B板的逸出電子的最小速率為

對此分布情形，初始速率大于v的逸出電子數(shù)為（單位時間內(nèi)）

回路中的電流為

由閉合電路歐姆定律可得

可見，對此分布情形，電源內(nèi)阻隨外電路兩端電壓的增大而增大.外電路兩端電壓的最大值為電源的電動勢ε，則電源內(nèi)阻的最大值為

利用U=ε-Ir，關(guān)系式

可以變?yōu)?/p>

還可以變?yōu)?/p>

由此可以求得

以短路電流為I0=eN，則上式可以改寫為

可見，在此分布情形，電源內(nèi)阻隨回路中電流I的增大而線性減小.

總之，在此分布情形，電源內(nèi)阻與外電路兩端的電壓U和回路中的電流I都有關(guān)系，電源內(nèi)阻不是恒量.

對比以上兩種分布情形可知，電源內(nèi)部載流子按能量的不同分布，導致了電源內(nèi)阻的不同表現(xiàn)，電源內(nèi)阻并不總是恒量.

由此還可以推論，只要單位時間內(nèi)從A板逸出的電子不是按初始動能均勻分布，則此電源的內(nèi)阻不可能是恒量.

2　由U—I關(guān)系尋找I—r關(guān)系

上一節(jié)指出了電源內(nèi)阻可以不是恒量，因此有必要討論簡便測量電源內(nèi)阻r隨電流I變化趨勢的實驗方法.實際情況里，電源內(nèi)阻與電流的關(guān)系一般不能用解析式表達，而I—r曲線足以反映兩者之間的關(guān)系，因此下面討論如何在實驗中測量I—r曲線.

為避免損壞電源，通常不直接測量電源內(nèi)阻，而測量外電路兩端的電壓U和電路中的電流I都是方便的.

實驗中，可以令外電路電阻不斷改變，測量外電路兩端電壓U隨電路中電流I的變化關(guān)系，畫出U—I曲線.

然后，由關(guān)系式Ir=ε-U可以得到Ir—I曲線，據(jù)此曲線就可以判斷電源內(nèi)阻r隨電路中電流I的關(guān)系不變、還是增大、或者減小.當然，也可以通過進一步的數(shù)據(jù)處理，得到r—I曲線.

例如，若r是恒量，則Ir—I曲線應是一條過原點的直線；若Ir—I曲線向上彎，則意味著r隨I的增大而增大.

具體說來，由實驗測得U—I曲線應是圖2所示的3種形狀之一，則這3種形狀對應的Ir—I曲線如圖3所示，然后即可判斷出r隨I的變化規(guī)律分別是：當I增大時，r減?。╝）、不變（b）、增大（c）.

圖2　直流電源U—I曲線的幾種形狀

圖3　直流電源Ir—I曲線的幾種形狀

下面再以第2節(jié)給出的第二個內(nèi)阻模型為例，將第2節(jié)中給出的U—I關(guān)系與上述判據(jù)結(jié)合，判斷電源內(nèi)阻的變化趨勢.

第2節(jié)算出了回路中電流與外電路兩端電壓的關(guān)系為

可以改寫為

此關(guān)系對應于圖2和圖3中曲線的（a）型，說明這個模型中，電源內(nèi)阻隨電路中電流的增大而減小，這與第2節(jié)直接由理論推導得到的結(jié)論一致.

3　由光電效應實驗曲線預知電源內(nèi)阻的特點

第3節(jié)所討論的實驗方法適合于所有直流電源.

對于本文所討論的光電池模型，則有可能通過查找光電效應的實驗曲線來預知電源內(nèi)阻的變化規(guī)律，而不必專門測量.當然，前提是光電效應實驗的光照條件與極板的材質(zhì)和形狀，必須與對應的光電源完全相同.

典型的光電效應實驗裝置如圖4所示，在光強恒定的單色光照射條件下，光電流I與加速電壓U的關(guān)系曲線如圖5所示.

圖4　光電效應實驗裝置

圖5　光電效應實驗的I—U曲線

圖5中電壓負半軸對應于電源施加反向電壓的情況，此時極板之間的電場對極板之間的電子施加阻力，這與上述電源模型中兩極板上積聚一定電荷時的情況一致.由此，我們很容易將光電效應的I—U曲線轉(zhuǎn)化為上一節(jié)所說的外電路的U—I曲線，只需要關(guān)注U軸左半部分的曲線即可.

光電效應的I—U曲線的形狀與極板材質(zhì)、極板形狀和極板間距有關(guān)，可以分為如圖6所示的3類，這3類恰好對應于上一節(jié)圖2中的3種U—I曲線.

圖6　光電效應實驗曲線的幾種形狀

上面的討論表明，光電效應實驗曲線的不同形狀，對應著光電池內(nèi)阻的不同特性.我們可以查找光電效應實驗資料，或主動測量各種材料在各種極板形狀下的光電效應實驗曲線，通過篩選金屬極板材料和形狀等因素，來滿足我們對光電池內(nèi)阻特性的不同需求.當然，在一般情況里，我們希望光電池內(nèi)阻盡可能是恒量，只要能找到光電效應實驗I—U曲線的反向電壓段近似是直線的條件，這個希望就可以實現(xiàn)了.

4　討論

實際的光電池一般依賴于半導體中的內(nèi)光電效應，原理比較復雜，不適合高中和大學公共課層面的教學.本文所討論的光電池模型利用的是金屬的外光電效應，外光電效應是高中物理教材選修3-5中的內(nèi)容［1］，也是大學物理課程中的重點.因此，無論對于高中生，還是對于大學低年級生，本模型都是適宜的.

本文以高考題中提供的光電池模型為實例，說明了直流電源的內(nèi)阻可能是恒量也可能不是恒量，討論了由實驗測量電源內(nèi)阻與回路中電流關(guān)系的簡單方法，在此方法的基礎上，本文又說明了可以由光電效應實驗曲線得到直流電源的Ir—I曲線，并可以根據(jù)光電效應實驗曲線進行優(yōu)化，得到內(nèi)阻近似為恒量的光電池.

實際上，若不采用優(yōu)化措施，則電源的內(nèi)阻一般都不是恒量.以化學電池為例，由于極板表面情況、電解液的濃度和溫度都不斷改變，其內(nèi)阻在充放電過程中也是隨時間不斷變化的.制作電池時采用一些技術(shù)手段，則可以使得電池內(nèi)阻在一定使用條件下基本穩(wěn)定，這就允許我們把電池內(nèi)阻看作恒量，給理論分析帶來了方便，也使得不少人想當然地認為電池內(nèi)阻一定是恒量了.

由上述討論可見，本題對于高中生和低年級理工科大學生都是一道很有啟發(fā)意義的題目.

對于高中生而言，他們學過全電路歐姆定律，應該掌握像“開路電壓等于電源的電動勢”和“短路電流等于電源電動勢除以內(nèi)阻”這樣一些關(guān)于電路的重要結(jié)論.由于高中生認知水平和背景知識的限制，給他們講解可變電阻模型是困難的，因此在高中生的觀念中，電源的內(nèi)阻都是恒量，當然實際應用中的電源也的確是這樣的.鑒于此，對高中生電路知識的考察，就應該以理想模型為背景，緊緊圍繞前面兩個結(jié)論進行.2015年全國高考（北京卷）《理科綜合》第24題前兩問恰好就是這樣設問的，考題沒有涉及內(nèi)阻變化問題，并且以默認電源內(nèi)阻是常數(shù)為前提給出答案.我們認為，這是在充分考慮了高中生的認知水平，以及現(xiàn)實生活中電源的實際情形之后，給出的一個非常人性化的方案.

在大學物理課程里，熱學部分已經(jīng)涉及“分布”這一概念，光電效應則是近代物理部分的重要內(nèi)容.當一名理工科大學生學完大學物理后，他完全能夠理解本文所討論的各個問題，能夠認識到電源的內(nèi)阻并不是“天生”就是常數(shù)，而是需要采用若干技術(shù)手段來實現(xiàn)這個理想.至于采用什么樣的技術(shù)手段，這又需要比較全面的物理知識和不辭勞苦地查閱資料或自己動手做實驗.相信一位經(jīng)歷過2015年高考的北京市理科考生，如果他在學習完大學階段的物理課程之后再來回味這一道考題，一定會有一種豁然開朗的感覺，并再一次認識到物理知識和物理思想的重要性.

綜上所述，本題是一道有著豐富的物理內(nèi)涵的考題，值得深入挖掘.

［1］ 人民教育出版社課程教材研究所物理課程教材開發(fā)研究中心.普通高中課程標準實驗教科書·物理·選修3-5［M］. 3版.北京：人民教育出版社，2010.

附錄：試題全文

真空中放置的平行金屬板可以用作光電轉(zhuǎn)換裝置，如圖所示.光照前兩板都不帶電.以光照射A板，則板中的電子可能吸收光的能量而逸出.假設所有逸出的電子都垂直于A板向B板運動，忽略電子之間的相互作用.保持光照條件不變.a和b為接線柱.

已知單位時間內(nèi)從A板逸出的電子數(shù)為N，電子逸出時的最大動能為Ekm.元電荷為e.

（1）求A板和B板之間的最大電勢差Um，以及將a、b短接時回路中的電流I短.

（2）圖示（見正文圖1）裝置可看作直流電源，求其電動勢ε和內(nèi)阻r.

（3）在a和b之間連接一個外電阻時，該電阻兩端的電壓為U.外電阻上消耗的電功率設為P；單位時間內(nèi)到達B板的電子，在從A板運動到B板的過程中損失的動能之和設為ΔEk.請推導證明：P=ΔEk.

（注意：解題過程中需要用到、但題目沒有給出的物理量，要在解題中做必要的說明.）

DEEP STUDY OF A PHOTO CELL MODEL

Lei Ming
（College of Science，Beijing University of Posts and Telecommunications，Beijing 100876）

In this paper，we deeply investigate the problem No.24 of the science comprehensive exam paper of the 2015 national college entrance examination in Beijing.We show that the kinetic energy distribution of the escape electrons will affect the internal resistance characteristics of the photo cell，by means of the specific calculations of two kinds of situations.The internal resistance of the photo cell can be a constant，and can also vary with the circuit current or the terminal voltage.We also discussed the experimental principle of measuring the internal resistance of a DC power supply，and explained that the information of internal resistance of a photo cell could be obtained from the photoelectric effect experiment curve，which is helpful to guide the design of light battery and improve the internal resistance properties of the photo cell.

internal resistance；measurement；photoelectric effect

2016-01-24

雷鳴，男，崗位特聘教授，主要從事物理教學科研工作，研究方向為凝聚態(tài)物理.mlei@bupt.edu.cn