梁瑞時(shí)（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

利用線性相關(guān)性證明離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性

梁瑞時(shí)
（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

利用行列向量的線性相關(guān)性證明二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性.結(jié)合兩變量的邊緣分布律所組成的矩陣的秩，并輔以相關(guān)的實(shí)例，拓展了獨(dú)立性的證明方法.

矩陣；線性相關(guān)；離散型隨機(jī)變量；相互獨(dú)立

在概率論的各種版本的隨機(jī)變量的獨(dú)立性的判斷中，對(duì)于離散型隨機(jī)變量來說，最為常用的便是根據(jù)定義求得二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布，再由邊緣分布的乘積等于聯(lián)合分布來判斷［1］，（X，Y）的聯(lián)合分布律P｛X=xi，Y=yj｝=Pij，i，j=1，2，…時(shí)，其兩個(gè)邊緣分別是：

定理1 若X與Y相互獨(dú)立，則總有矩陣B的兩行（或兩列）元素對(duì)應(yīng)成比例.

由兩行向量線性相關(guān)性，則可推出在矩陣B中最少可有一非零行（或列）向量，設(shè)αi為非零行向量，則由線性相關(guān)的性質(zhì)［2］可知，其余行向量均可由αi線性表出.也即為αj=kiαi.則矩陣B可變?yōu)椋?/p>

其中，Pij=kiP1j（i，j=1，2，…），并且則兩隨機(jī)變量的邊緣分布為［3］：

因此有：

也即二維隨機(jī)向量X，Y相互獨(dú)立［4］.所以由兩隨機(jī)變量聯(lián)合分布律所組成的矩陣B中的向量組（α1，α2，…，αi，…）或（β1，β2，…，βj，…），（i，j=1，2，…）必線性相關(guān)，由線性相關(guān)性質(zhì)可推出該矩陣的任意兩行向量（或列向量）必對(duì)應(yīng)成比例.

定理2若以P（xi，yj）=Pij組成的矩陣的秩為1，則隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立.

證如r（B）=1，則可知矩陣B可表為一m維列向量αm（α1，α2，…，αm，…）T與一n維行向量β1×n=（β1，β2，…，βj，…）的乘積，也即B=αβ.

因此：

例1給定兩變量X，Y的分布律，如表1所示，問X與Y相互獨(dú)立否［5］？

表1　變量X，Y的分布律

證 由兩隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律所組成的矩陣的任意兩行（或兩列）都不對(duì)應(yīng)成比例，所以該矩陣線性無關(guān)，由定理可得兩變量X與Y不相互獨(dú)立.

例2給定兩變量X，Y的分布律，如表2所示，問X與Y相互獨(dú)立否？

表2　變量X，Y的分布律

證 由P｛Y=-1｝以及P｛Y=1｝所在的兩列對(duì)應(yīng)成比例，可得該矩陣線性相關(guān)，變量X與Y相互獨(dú)立.

［1］彭剛，禹輝煌.二維離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性判別定理及應(yīng)用［J］.湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，23（2）:23-25.

［2］趙立軍.線性代數(shù)［M］.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2013.

［3］韓旭里，謝永欽.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2009.

［4］馬雙紅.隨機(jī)變量獨(dú)立性判斷的一個(gè)充要條件［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，38（6）:146-148.

［5］李德新，陳聰.隨機(jī)變量獨(dú)立性判別法［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2008（4）:54-55.

The Linear Correlation for Proving Independence of Two-Dimensional Discrete Random Variable

LIANG Rui-shi
（School of Mathematics and Statistics，Shaoguan University，Shaoguan 512005，Guangdong，China）

This paper uses linear correlation matrix to prove the independence of the two-dimensional discrete random variables.Combined with the edge of the two variables distribution law of matrix rank，supplemented by relevant examples，the paper expands the proof method of independence.

matrix；Linear correlation；Discrete random variables；independence

O211

A

1007-5348（2016）06-0006-03

（責(zé)任編輯：邵曉軍）

2016-05-13

梁瑞時(shí)（1980-），女，廣東陽(yáng)江人，韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院助教，碩士；研究方向：數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì).