李慧杰，陳秀梅

（同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上?！?00092）

基于單程波動(dòng)方程的曲面波裂步傅里葉疊前深度偏移

李慧杰，陳秀梅

（同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

波動(dòng)方程疊前深度偏移方法是當(dāng)前解決復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造并精確成像的最有效方法，但常規(guī)炮集疊前數(shù)據(jù)深度偏移涉及到巨大的波場(chǎng)外推計(jì)算量，計(jì)算效率偏低。這里將曲面波技術(shù)與裂步傅里葉算子（SSF）相結(jié)合，提出曲面波裂步傅里葉偏移方法。該方法通過構(gòu)建適合波場(chǎng)理論的曲面波合成算子來合成曲面波數(shù)據(jù)，然后結(jié)合適用于炮域的裂步傅里葉波場(chǎng)延拓算子對(duì)曲面波波場(chǎng)進(jìn)行延拓成像，其能夠保證地下目標(biāo)成像質(zhì)量的同時(shí)進(jìn)一步極大提高成像效率。應(yīng)用復(fù)雜Marmousi模型成功驗(yàn)證了該方法的高效性和準(zhǔn)確性。

單程波動(dòng)方程；曲面波合成算子；裂步傅里葉；疊前深度偏移

波動(dòng)方程疊前深度偏移基于地震波動(dòng)力學(xué)規(guī)律和波場(chǎng)延拓理論，充分利用疊前原始數(shù)據(jù)，能夠真實(shí)地反演出地下構(gòu)造，是解決復(fù)雜構(gòu)造精確成像最有效的手段［1］，然而這種方法由于波場(chǎng)外需要推花費(fèi)巨大的計(jì)算量。如何在保證成像精度的同時(shí)又減少計(jì)算量提高計(jì)算效率，是研究者一直探索的目標(biāo)，其研究總體來說有兩條線路。

其一是對(duì)波場(chǎng)數(shù)據(jù)的處理。1992年Berkhout提出了一種快速有效的面炮技術(shù)［2］，該技術(shù)將多個(gè)單炮合成一個(gè)面炮，將多炮記錄合成為一個(gè)面炮記錄。通過這種技術(shù)，不需要對(duì)每個(gè)炮記錄單獨(dú)偏移，在不損失精度的情況下大大減少了用于偏移的疊前數(shù)據(jù)量，從而也提高了計(jì)算效率。之后陳生昌（2002）把面炮合成偏移方法和Mosher等的偏移距平面波偏移方法［3］放在一個(gè)統(tǒng)一的理論框架里，提出了一套基于平面波分解的波動(dòng)方程疊前深度偏移方法［4］。Chen等（2004，2011）［5-6］拓展了面炮技術(shù)，提出了曲面波思想，建立了曲面波合成與偏移理論及方法，并將“曲面波源”與地質(zhì)深度模型結(jié)合，提出了面向目標(biāo)的地表控制照明技術(shù)。這樣的理論建立使面炮成像更靈活、更具拓展性。

其二是對(duì)波場(chǎng)延拓算子的改進(jìn)。1978年Gazdag提出相位移法（PS）［7］，該方法無傾角限制，無頻散，但由于在ω-kx域中延拓，kx與v（x）的關(guān)系無法確定，因而不能適應(yīng)橫向變速情況。Stoffa等（1990）提出一種分裂步Fourier方法（SSF）［8］，該方法基于小擾的理論，將速度場(chǎng)分為背景速度和擾動(dòng)項(xiàng)之和，并交替在ω-kx域和ω-x域中推導(dǎo)出波場(chǎng)延拓公式，實(shí)現(xiàn)對(duì)橫向速度的變化處理，是權(quán)衡偏移效率和偏移精度后較為理想的波場(chǎng)延拓方法。

文中首先以曲面波技術(shù)為基礎(chǔ)，根據(jù)速度模型約束構(gòu)建曲面波合成算子來得到曲面波震源以及曲面波記錄，然后基于適用于炮域的單程波波場(chǎng)延拓理論將高效精確的SSF波場(chǎng)延拓算子應(yīng)用到曲面波域中，并結(jié)合相應(yīng)成像條件實(shí)現(xiàn)曲面波SSF偏移成像。這樣在不損失傳統(tǒng)炮集數(shù)據(jù)偏移精度的同時(shí)，進(jìn)一步提高了偏移效率。最后通過Marmousi模型驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性和高效性。

1　曲面波數(shù)據(jù)的合成

曲面波技術(shù)［6］是拓展的面炮技術(shù)，其將面炮合成算子作為基核，并賦予基核算子方向照明擾動(dòng)特性，構(gòu)建曲面波合成算子。通過合成算子作用將炮集數(shù)據(jù)記錄合成曲面波記錄，再適用于單程波動(dòng)方程偏移算法進(jìn)行偏移。根據(jù)波動(dòng)原理，曲面波技術(shù)同樣要求滿足面炮偏移的基本物理假設(shè)，即曲面波場(chǎng)滿足基于地震波場(chǎng)的“WRW”正演離散矩陣模型，且假定地震數(shù)據(jù)已經(jīng)消除了與地表地層有關(guān)的效應(yīng)。

1.1面炮合成

由于地震波傳播理論是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，可對(duì)每個(gè)頻率的成分進(jìn)行單獨(dú)處理，故在頻率域中考慮波場(chǎng)的傳播過程。對(duì)于點(diǎn)源記錄，根據(jù)“WRW”模型，頻率域中地表處的單炮點(diǎn)源記錄可以表示為其中W-（z0，zn）和W+（zn，z0）分別為上下行波傳播算子；x表示地表空間位置；ω表示角頻率；R（zn）是反射系數(shù)矩陣；S （x，z0；ω）為震源子波。若將地表z0處不同位置激發(fā)的點(diǎn)源子波組成矩陣，記為S（z0），相應(yīng)的觀測(cè)炮記錄組成的矩陣記為P（z0），同時(shí)令則式（1）可以轉(zhuǎn)化為以下形式此時(shí)定義地表一復(fù)數(shù)值合成算子向量L（z0）=（L1，L2，L，Ln）T，將它作用于震源波場(chǎng)，得Ssyn（z0）為面炮震源。對(duì)方程（3）兩邊乘以向量L（z0）得

令其中 Psyn（z0）為合成面炮記錄。由此可知面炮震源和面炮記錄是由震源子波和接收炮記錄經(jīng)過合成算子L（z0）作用后得到的。

1.2曲面波合成算子定義與曲面波合成

由面炮的合成過程可知，合成算子L（z0）為任意復(fù)向量，這種合成波場(chǎng)任意性大，復(fù)雜情形高。根據(jù)Chen （2004，2011）定義，這里給出在地表z0處曲面波合成算子向量的一般表達(dá)形式。式中fi=f（xi，z0）是任意二元復(fù)數(shù)函數(shù)，表示在地面炮點(diǎn)xi處的離散樣點(diǎn)值，可看作炮點(diǎn)震源子波的相位延遲時(shí)間，為任意實(shí)函數(shù)，表示相位延遲時(shí)相對(duì)橫向變量的x變化率，稱為曲面波射線擾動(dòng)參數(shù)。

從定義可知曲面波合成算子仍是任意復(fù)向量，且曲面波震源的激發(fā)面是一個(gè)具有空間橫向變化曲率的曲面 （二維為曲線）。當(dāng)時(shí)，算子

圖1　曲面波激發(fā)與震源延遲時(shí)距關(guān)系圖

1.3曲面波裂步傅里葉法偏移

由于算子Λ與xs無關(guān)，所以式（12）可以進(jìn)一步化簡為

根據(jù)曲面波合成原理

同理可以得到曲面波震源波場(chǎng)函數(shù)方程，并結(jié)合相應(yīng)邊界條件得到基于單程波動(dòng)方程的曲面波疊前深度偏移方程

根據(jù)攝動(dòng)理論，將某一空間位置上實(shí)際聲波速度分解為該深度層上的參考速度v0（z），以及相對(duì)參考速度的攝動(dòng)速度Δv（x，z），這樣

裂步傅里葉方法（SSF）正是基于這一理論，將疊前數(shù)據(jù)深度外推的實(shí)現(xiàn)分為2個(gè)步驟：第一步是在頻率波數(shù)域完成的，即針對(duì)背景慢度的相移處理；第二步驟是在頻率空間域的時(shí)移處理，主要是針對(duì)慢度擾動(dòng)的處理［8］。

以曲面波波場(chǎng)記錄函數(shù)為例，其在深度方向SSF延拓公式為

圖2顯示了曲面波裂步傅里葉法合成與偏移的詳細(xì)流程。

圖2　曲面波SSF偏移流程圖

2　模型計(jì)算

用公認(rèn)的Marmousi模型數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文方法，該模型具有相對(duì)強(qiáng)烈的橫向變速，深層含復(fù)雜儲(chǔ)集層，是檢驗(yàn)疊前深度偏移方法的標(biāo)準(zhǔn)模型，圖3為其速度場(chǎng)。模型正演數(shù)據(jù)共240炮，觀測(cè)系統(tǒng)為96道接收，炮間距與道間距均為25 m，最小偏移距200 m，最大偏移距2 575 m，記錄長度3 s，時(shí)間采樣率4 ms。

在曲面波數(shù)據(jù)合成過程中，依據(jù)速度模型中的背斜構(gòu)造約束，給定曲面波基核函數(shù)為f（x，z0）=exp（-i10.0ω·x·sin0.00023x），圖4顯示了基核曲面波震源和相應(yīng)曲面波記錄。圖5、6分別是曲面波SSF深度偏移剖面以及傳統(tǒng)炮集SSF深度偏移剖面。其中曲面波方法偏移選取取51個(gè)曲面波射線擾動(dòng)參數(shù)，其范圍為（-350 μs/m，350 μs/m）。從成像結(jié)果可以看出，兩種方法都能比較清晰地顯示淺層的三組大斷層和深層的儲(chǔ)集體，反映波場(chǎng)隨速度變化的趨勢(shì)，但受SSF算法本身精度影響，也都有明顯的噪聲背景，尤其在橫向速度變化較大區(qū)域，細(xì)節(jié)表現(xiàn)仍然有待提高。

圖3　Marmousi速度模型

筆者用PC機(jī)對(duì)兩種計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算效率的統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示?？梢娗娌ㄆ扑钑r(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于常規(guī)炮集偏移時(shí)間，效率上提高了近5倍，約等于炮數(shù)與擾動(dòng)參數(shù)個(gè)數(shù)之比。

圖4　曲面波基核算子及其相應(yīng)曲面波記錄

圖5　曲面波裂步傅里葉偏移剖面

圖6　傳統(tǒng)單程波裂步傅里葉偏移剖面

表1　計(jì)算時(shí)間對(duì)比

3　結(jié)　論

基于單程波動(dòng)方程的裂步傅里葉偏移方法能夠兼顧成像效率和精度，其根據(jù)速度分裂思想將速度場(chǎng)分為背景速度項(xiàng)和擾動(dòng)速度項(xiàng)，并交替在域、域?qū)崿F(xiàn)波場(chǎng)的相移和時(shí)移。本文引入了曲面波裂步傅里葉［9-10］偏移方法及具體實(shí)現(xiàn)過程，從定義曲面波基核函數(shù)出發(fā)，并對(duì)經(jīng)過有限個(gè)照明方向掃描的合成有限個(gè)曲面波記錄進(jìn)行SSF偏移。這樣的處理方法極大程度減少了波場(chǎng)外推的計(jì)算量，在保證原有延拓算子成像精度的同時(shí)進(jìn)一步提高了成像效率。通過對(duì)Marmousi模型偏移結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證了該方法的高效性準(zhǔn)確性和實(shí)用性。

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［7］GAZDAG J，SGUAZZERO P．Migration of seismic data by phase shift plus interpolation［J］．Geophysics，1984，49（2）：124－131．

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［9］尚宇，武小燕.傅里葉級(jí)數(shù)在心電信號(hào)模擬中的應(yīng)用［J］.西安工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2016（1）：21-25.

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Curved-wave SSF prestack depth migration based on one-way wave equation

LI Hui-jie，CHEN Xiu-mei
（School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics，Tongji University，Shanghai 200092，China）

The wave equation prestack depth migration method plays an important role in resolving the problems about seismic imaging of complex geologic bodies in the laterally varying condition.However，conventional wave equation prestack migration based on common shot gathers needs to downward continuation for every trace sample of every shot which involves a huge wave field extrapolation.Here，curved-wave Split-step Fourier prestack migration was put forward by combining curved-wave technology and SSF continuation operator.Curved records and sources were generated by putting curved-wave synthesis operator constructed by defining curved-wave base kernel and a sequence of ray parameters into use，after applying Split-step Fourier continuation operator deduced in shots records to curved records and curved sources，migration imageing result can be achieved in curved-wave field.This kind of processing approach can ensure the quality of imaging of underground targets and further improve the imaging efficiency at the same time.At last，complex Marmousi model was tested to validate the correctness and high efficiency of this method.

one-way wave equation；curved-wave synthesis operator；split-step fourier；prestack migration

TPO

A

1674－6236（2016）09-0072-04

2015-06-03稿件編號(hào)：201506045

李慧杰（1988—），男，河北張家口人，碩士研究生。研究方向：地震波偏移技術(shù)。