陳雪蓮，李建賽，唐曉明，李盛清，蘇遠(yuǎn)大

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套管井中泄漏彎曲型Lamb波聲場(chǎng)的模擬與分析

陳雪蓮，李建賽，唐曉明，李盛清，蘇遠(yuǎn)大

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島266555)

基于套管中傳播的最低階泄漏彎曲型Lamb波(以下簡(jiǎn)稱彎曲型Lamb波)對(duì)套管后介質(zhì)尤其是低阻抗慢速水泥聲學(xué)參數(shù)的敏感性，通過建立多層介質(zhì)模型并利用實(shí)軸積分方法，數(shù)值模擬了有限尺寸定向輻射探頭激發(fā)的聲場(chǎng)和定點(diǎn)接收的全波波列。結(jié)果表明，在聲源輻射到套管內(nèi)壁上的入射角度約為33°時(shí)，在套管中主要激發(fā)彎曲型Lamb波。聲場(chǎng)快照顯示彎曲型Lamb波在沿著套管傳播時(shí)，還會(huì)向與套管耦合的泥漿或水泥中泄漏比它速度低的波。若套管后介質(zhì)是縱橫波速度均低于彎曲型Lamb波相速度的慢速水泥，則套管中彎曲型Lamb波的衰減較大。利用彎曲型Lamb波對(duì)套管后耦合不同參數(shù)介質(zhì)時(shí)的敏感性，可以有效地區(qū)分聲阻抗接近的固體和液體，提高低阻抗水泥固井質(zhì)量評(píng)價(jià)的效果。

泄漏彎曲型Lamb波；定向輻射；慢速水泥；聲場(chǎng)快照

0 引言

在油氣井開發(fā)中，水泥被注入到套管和地層之間的環(huán)空區(qū)域，以達(dá)到固定套管、保護(hù)套管不受地層流體腐蝕以及實(shí)現(xiàn)層與層之間良好封隔的目的。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展和油氣勘探開發(fā)新的需要，低阻抗水泥在固井中的應(yīng)用越來越廣泛。但是現(xiàn)有的水泥聲阻抗類測(cè)井(例如聲幅測(cè)井、變密度測(cè)井和扇區(qū)水泥膠結(jié)測(cè)井等)難以正確評(píng)價(jià)低阻抗水泥膠結(jié)真實(shí)情況和固井質(zhì)量。Smaine Zeroug[1]將聲阻抗測(cè)量和彎曲型Lamb波衰減測(cè)量相結(jié)合，改善了低阻抗水泥的評(píng)價(jià)效果。大量的研究表明，彎曲型Lamb波對(duì)多層介質(zhì)中聲學(xué)參數(shù)較敏感，是探測(cè)介質(zhì)彈性參數(shù)和缺陷的有效手段。最重要的是其解決了聲阻抗測(cè)井無法區(qū)分密度接近的固體和液體這一難題，一次下井就可以進(jìn)行全面的水泥環(huán)封隔評(píng)價(jià)。

為了深入了解彎曲型Lamb波的傳播特征，國(guó)內(nèi)外相關(guān)專家學(xué)者已經(jīng)做了大量的研究[2-7]。Smaine Zeroug提出了用準(zhǔn)高斯束理論模擬有限尺寸定向輻射探頭激發(fā)的脈沖與層狀彈性介質(zhì)相互作用的模型，為超聲泄漏彎曲型Lamb波成像技術(shù)的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)[2]。Benoit Froelich對(duì)彎曲型Lamb波的頻散和衰減特征展開了大量的研究，給出了其衰減隨套管后介質(zhì)聲阻抗的變化規(guī)律[3]。丁燕采用二維有限差分方法建立了超聲脈沖斜入射于套管內(nèi)壁界面時(shí)波傳播的數(shù)值計(jì)算模型，針對(duì)套管后不同聲阻抗水泥及不同膠結(jié)狀況等因素計(jì)算得到了超聲波響應(yīng)波形[4]。許飛龍分析了有限聲束的系統(tǒng)函數(shù)頻譜響應(yīng)與水泥環(huán)厚度以及兩個(gè)界面竄槽厚度之間的關(guān)系[5]。Xiao He等采用有限差分模擬了套管后不同膠結(jié)狀況下的波場(chǎng)快照，并探究了彎曲型Lamb波的衰減與第I界面(套管和水泥環(huán)接觸面)和第II界面(水泥環(huán)和地層接觸面)膠結(jié)差時(shí)流體環(huán)厚度的關(guān)系[6]。Li Sheng-Qing等數(shù)值模擬分析了彎曲型Lamb波幅度在不同入射角、探頭距離套管壁的距離、套管厚度和套管外耦合介質(zhì)下的變化規(guī)律，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[7]。

本文采用有限寬脈沖理論數(shù)值模擬了時(shí)間和空間上都有限寬的脈沖作用于層狀介質(zhì)后激發(fā)的聲場(chǎng)，與現(xiàn)有的準(zhǔn)高斯束理論模擬結(jié)果[2-3]一致，但是不需要引入復(fù)源點(diǎn)和復(fù)射線理論，更易于理解和實(shí)現(xiàn)。

1 基本理論

1.1 多層介質(zhì)中反射系數(shù)的求解

在足夠高的頻率下(80 kHz或更高)，超聲脈沖作用于套管很小的區(qū)域，柱狀徑向分層的套管模型可近似為二維的多層介質(zhì)模型(如圖1所示)。二維模型的方向代表無限延伸的套管方向(軸向)，方向代表套管、水泥等不同介質(zhì)的厚度方向(徑向)，用半流體空間表示實(shí)際套管內(nèi)的泥漿(本文中用水代替)，套管外側(cè)的水泥環(huán)I或II界面膠結(jié)差用流體環(huán)(水層)模擬。

多層介質(zhì)模型中固體層的縱波和橫波勢(shì)函數(shù)分別設(shè)為

各層介質(zhì)中的波函數(shù)在介質(zhì)分界面處應(yīng)該滿足界面邊界條件，固-固界面邊界條件為正位移、切向位移、正應(yīng)力和切向應(yīng)力連續(xù)，液固界面為正位移和正應(yīng)力連續(xù)，切向應(yīng)力為零。為了書寫簡(jiǎn)潔，先把每一層中邊界條件所涉及的物理量排成一個(gè)列矢量，定義位移-應(yīng)力向量為：

(3)

反復(fù)利用各層介質(zhì)界面上的邊界條件以及層內(nèi)左右界面的傳遞關(guān)系式(3)，可將套管-流體界面的應(yīng)力-位移向量與水泥環(huán)(或流體層)-地層界面的應(yīng)力-位移向量相聯(lián)系。

其中，矩陣是最左界面和最右界面所夾層的傳播矩陣點(diǎn)乘。將式(4)變形可得到以下公式：

(5)

其中：為模型最左層和最右層未知的勢(shì)函數(shù)振幅系數(shù)向量；與最左層(含有聲源層)入射波有關(guān)。求解方程(5)即可得到多層介質(zhì)的反射系數(shù)，由于井孔內(nèi)泥漿中只有縱波傳播，所以此處只給出了縱波反射系數(shù)，其為和的函數(shù)，表達(dá)式如式(6)所示。

1.2 有限尺寸定向輻射探頭激發(fā)聲場(chǎng)求解

實(shí)際測(cè)井儀器中用到的有限尺寸定向輻射探頭激發(fā)的聲脈沖在時(shí)間和空間上都是有限寬的?？紤]入射脈沖，其在時(shí)間和空間一般分布的聲場(chǎng)為[10]

(8)

式(7)是穩(wěn)態(tài)的平面波的疊加，根據(jù)1.1節(jié)得到的反射系數(shù)，利用實(shí)軸積分法可計(jì)算得到疊加后的脈沖反射聲場(chǎng)，即

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及分析

數(shù)值計(jì)算中各介質(zhì)的聲學(xué)參數(shù)見表1。

表1 各介質(zhì)的聲學(xué)參數(shù)

2.1 有效激發(fā)彎曲型Lamb波的方法

在0~500 kHz的頻率范圍內(nèi)套管中可存在5個(gè)模式波：0階對(duì)稱Lamb波(S0，拉伸型Lamb波)、0階反對(duì)稱Lamb波(A0，彎曲型Lamb波)、1階對(duì)稱Lamb波(S1)和反對(duì)稱Lamb波(A1)、2階對(duì)稱Lamb波(S2)。Smaine Zeroug等人指出了通過控制聲束入射角的方式來有效激發(fā)不同模式波的方法[1]。圖2是理論計(jì)算的不同角度入射時(shí)在浸水鋼板中可激發(fā)的模式波的頻散曲線，由圖2可知，在250 kHz左右，由于彎曲型Lamb波的相速度(2740 m/s)較鋼板的橫波速度小，其他模式波的相速度均較大，在入射角度大于鋼板橫波臨界角(25.37°)時(shí)，在鋼板中只激發(fā)彎曲型Lamb波，在確定了聲源的中心頻率250 kHz后，由公式(10)可知所需的入射角約為33°。

2.2 時(shí)域響應(yīng)波形的數(shù)值模擬

為了激發(fā)和利用彎曲型Lamb波來檢測(cè)套管后介質(zhì)屬性和固井質(zhì)量，采用有限尺寸定向輻射超聲探頭，以2.1節(jié)計(jì)算的入射角輻射聲脈沖，可在套管中激發(fā)出彎曲型Lamb波，再以相同的角度接收(見圖3)，接收到的波形攜帶了套管后耦合介質(zhì)的聲學(xué)屬性和膠結(jié)信息。聲源脈沖的中心頻率為250 kHz，式(8)中和分別取為120 kHz和40 m-1，其二維譜如圖4所示，可較好地覆蓋套管井中彎曲型Lamb波在頻率域和波數(shù)域中的響應(yīng)范圍。

圖3 波形脈沖的激發(fā)和接收示意圖

圖5為套管后耦合不同介質(zhì)模型下的接收波形，可以看出在套管后耦合無限厚水層時(shí)(水-套管-水模型)，波列中只有彎曲型Lamb波(以下稱為套管波)，無反射波；根據(jù)實(shí)際井孔情況，當(dāng)水層后面存在地層時(shí)(水-套管-水-地層模型)，波列中不僅有套管波還有第II界面反射波和多次反射波，此時(shí)套管波幅度相對(duì)較大；當(dāng)套管后環(huán)空區(qū)域?yàn)槁偎鄷r(shí)(水-套管-慢速水泥-地層模型)，套管波的幅度相對(duì)于耦合水和快速水泥兩種情況來說非常小，原因是此時(shí)套管波的相速度既大于水泥橫波速度又大于水泥縱波速度，根據(jù)Snell定律，在傳播的過程中其會(huì)向水泥中輻射縱波和橫波兩種波，導(dǎo)致衰減率較大，后續(xù)波列中既有PP、PS轉(zhuǎn)換波，又有SP、SS轉(zhuǎn)換波也可說明這一點(diǎn)；而當(dāng)套管后耦合快速水泥時(shí)(水-套管-快速水泥-地層模型)，由于套管波的相速度只大于水泥橫波速度而小于水泥縱波速度，所以它只會(huì)向水泥中輻射橫波，因此衰減比較小，幅度較大，并且第II界面反射波只有SS轉(zhuǎn)換波。根據(jù)套管波以及第II界面反射波的上述特點(diǎn)可以準(zhǔn)確地判斷套后耦合介質(zhì)類型。

圖6是對(duì)圖5中的水-套管-水模型下接收的陣列波形在頻率域做相關(guān)處理得到的頻率-速度相關(guān)曲線[11](圖中的離散點(diǎn))和理論計(jì)算的頻散曲線(實(shí)線)的對(duì)比圖，兩者吻合很好，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的可靠性。

圖6 波列提取頻散曲線和理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比

2.3 聲場(chǎng)快照的數(shù)值模擬

為了更深入地探究套管波以及反射波的傳播特性，圖7給出了套管后耦合不同介質(zhì)時(shí)在50 μs、100 μs和140 μs三個(gè)不同時(shí)刻的聲場(chǎng)快照。圖中T和R分別代表發(fā)射傳感器和接收傳感器，方向?yàn)榫S方向，方向?yàn)閺较?。從圖7可以看出，有限尺寸定向輻射探頭激發(fā)的套管波沿著套管往前傳播，傳播的過程中不斷地向套管內(nèi)側(cè)和外側(cè)以近似平面波的形式輻射能量，但在套管耦合不同介質(zhì)時(shí)輻射的波型有所差別。7(a)為套管后耦合水時(shí)的快照?qǐng)D，此時(shí)套管波向套后水中輻射縱波，縱波在傳播到第II界面后發(fā)生反射，反射波透過套管后再次傳到井孔內(nèi)并被接收器接收。觀察傳播時(shí)間為50 μs時(shí)的圖像可發(fā)現(xiàn)，此時(shí)直達(dá)波正以特定的角度作用于套管內(nèi)界面，而反射波的主要構(gòu)成為鏡面反射，來自套管波輻射的能量還比較小。套管后耦合慢速水泥時(shí)的快照為圖7(b)，根據(jù)2.2節(jié)中的分析可知，此時(shí)套管波既向慢速水泥中輻射縱波又輻射橫波，兩種類型的波傳播到第II界面后發(fā)生模式轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生PP、PS、SP、SS四種波(Time=100 μs時(shí)圖像所示)，這四種波傳到井孔內(nèi)以不同的速度和幅度依次被接收器記錄(圖7(b)中Time=140 μs時(shí)圖像所示，a代表PP反射波、b代表傳播速度相同的PS和SP反射波的疊加、c代表SS反射波)。當(dāng)套管后水泥縱波速度大于套管波相速度時(shí)，聲場(chǎng)快照如7(c)所示，此時(shí)水泥中第II界面反射波只有SS波。

(a) 水-套管-水-地層模型

(b) 水-套管-慢速水泥-地層模型

3 結(jié)論

通過建立多層介質(zhì)模型，數(shù)值模擬了有限尺寸定向輻射探頭激發(fā)和接收的全波波形以及波在傳播過程中的聲場(chǎng)快照，得到了以下結(jié)論：

(1) 運(yùn)用有限寬脈沖理論和實(shí)軸積分的方法可準(zhǔn)確地模擬有限尺寸定向輻射探頭激發(fā)的聲場(chǎng)，其中聲源在頻率波數(shù)域的二維譜決定了激發(fā)的套管波類型。

(2) 有限尺寸定向輻射探頭以33°入射時(shí)可以在套管中激發(fā)出對(duì)套管后介質(zhì)聲學(xué)參數(shù)較敏感的最低階泄漏彎曲型Lamb波，對(duì)水-套管-水模型下接收的陣列波形在頻率域做相關(guān)處理得到頻率-速度相關(guān)曲線，其與解析方法得到的頻散曲線在計(jì)算頻段吻合很好，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的正確性。

(3) 運(yùn)用本文方法數(shù)值模擬了套管后耦合不同介質(zhì)情況下的聲場(chǎng)快照?？煺诊@示：在套管后耦合慢速水泥時(shí)，套管中的彎曲型Lamb波會(huì)向水泥中輻射縱波和橫波兩種波；而耦合水(或快速水泥)時(shí)，其只會(huì)向套后輻射縱波(或水泥橫波)一種波。因此在套管后耦合慢速水泥時(shí)，彎曲型Lamb波的衰減比套后耦合水時(shí)大很多。本文為研究定向聲源輻射聲場(chǎng)和套管波的傳播特征提供了一種快速、簡(jiǎn)潔的途徑。

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Simulation and analysis of leaky flexural-Lamb wavefield in a cased wellbore

CHEN Xue-lian, LI Jian-sai, TANG Xiao-ming, LI Sheng-qing, SU Yuan-da

(School of Geosciences & Technology, China University of Petroleum, Qingdao 266555, Shandong, China)

The lowest order antisymmetric mode of leaky Lamb waves (hereinafter referred to as Lamb flexural mode) has been used for cement evaluation because it is sensitive to the acoustic parameters of media behind the casing (especially the low-impedance and slow cement). With the real-axis numerical integration method and a multi-layered media model, this paper simulates the full waveforms launched and received by directional transmitting and receiving transducers of finite sizes as well as the leaky flexural-Lambwave field in a cased wellbore. The results suggest that the Lamb flexural mode is mainly excited in casing, when the angle of incidence approximately equals 33 degree. Simulated time snapshots present that the Lamb flexural mode propagates inside the steel casing while leaking bulk waves, whose velocities are lower than the flexural mode’s velocity, in the upper water layer and inside the water or cement annulus below the casing. For the slow cement, whose compressional velocity and shear velocity are both lower than that of flexural mode, existing behind the casing, the attenuation is significantly large. By taking advantage of the characteristics of Lamb flexural mode mentioned above, it would be much easy and effective to distinguish solid and fluid with similar impedance, and the effect of evaluating cementation quality of the low-impedance cement could be improved.

leakyflexural-Lamb waves; directional radiation; slow cement; time snapshots of field

P631.51&P631.81

A

1000-3630(2016)-01-0038-06

10.16300/j.cnki.1000-3630.2016.01.009

2015-03-10;

2015-06-30

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(14CX05010A)。

陳雪蓮(1976－), 女, 河北衡水人, 副教授, 研究方向?yàn)槁暡y(cè)井方法。

李建賽, E-mail: lijiansai@163.com