曹慧芳,呂洪波,孫啟國

(北方工業(yè)大學 機械與材料工程學院,北京　100144)

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基于MEMS陀螺儀的隨機誤差分析

曹慧芳,呂洪波,孫啟國

(北方工業(yè)大學 機械與材料工程學院,北京100144)

為了提高MEMS陀螺儀測量精度，減少隨機誤差的影響，對產(chǎn)生隨機誤差的噪聲源及其隨機誤差模型進行了分析;通過分析MEMS陀螺儀自身結構的缺陷并且對其輸出數(shù)據(jù)進行了相應的濾波處理與平穩(wěn)性檢驗，確立了合適的誤差模型并利用Kalman濾波進行誤差補償，驗證了模型的有效性;同時運用Allan方差法對MEMS陀螺儀噪聲項進行了分析，確定了影響MEMS陀螺儀測量性能的主要因素以及比較了濾波前后的各項噪聲源系數(shù)，檢驗了濾波效果且實驗結果證明誤差模型顯著提高了MEMS陀螺儀的測量精度。

MEMS陀螺儀；Kalman濾波；誤差模型；Allan方差法

0　引言

現(xiàn)今，慣性技術[1]憑借其獨特的優(yōu)勢成為促進武器研發(fā)和提高作戰(zhàn)水平的關鍵技術。陀螺儀作為慣性技術的核心部件，在其研究工作中首先考慮的就是陀螺儀的使用和研究。

近年來，文獻[2-5]是國內(nèi)外學者對陀螺儀隨機誤差模型進行的相關研究。美國德雷伯實驗室[6]通過對重要的環(huán)境誤差源進行研究,降低了環(huán)境對陀螺儀精度的影響。加拿大Calgary大學[7]開展的基于捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)的研究中,針對陀螺儀偏差的長期漂移進行了估計和補償，顯著提高了導航系統(tǒng)的準確度。國防科技大學羅兵[8]結合微機械陀螺的動力學模型及工作原理，理論上推導了零偏與主要模態(tài)參數(shù)間的關系，為陀螺的結構優(yōu)化和誤差補償提供了理論指導。但是，我國開展慣性器件模型辨識及補償技術的研究起步較晚,尤其微機械慣性傳感器距世界先進水平還有一定的差距。

本文對振動式MEMS陀螺器件本身結構不完善引起的隨機誤差模型進行了研究,運用隨機信號處理方法及時間序列分析法建立了陀螺隨機誤差的AR模型, 實驗結果證明了模型的準確性以及對器件測量性能的提高。

1　MEMS陀螺儀工作原理及結構

1.1MEMS陀螺儀工作原理

振動式微機械陀螺儀的基本原理是利振動質(zhì)量塊被基座帶動旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的Coriolis力來感測角速度的。Coriolis力是指在轉(zhuǎn)動坐標系下，系統(tǒng)中以速度V運動的質(zhì)量為m的質(zhì)量塊，在存在角速度w時,產(chǎn)生Coriolis力F，且F=2 mwV,其方向垂直于速度方向和轉(zhuǎn)動角速度方向所在平面。由Coriolis力定義可知，輸入角速率與作用在質(zhì)量塊上的Coriolis力成正比，而且只有質(zhì)量塊有旋轉(zhuǎn)運動時才會產(chǎn)生Coriolis力。因此，質(zhì)量塊要在激勵模態(tài)下連續(xù)地做徑向運動以刺激Coriolis力在敏感模態(tài)下不停的做橫向振動。MEMS陀螺儀一般分別在徑向和橫向接可移動電容板，通過測量橫向電容的變化推算出角速度。

1.2MEMS陀螺儀結構

振動質(zhì)量塊作為傳感角速率的敏感元件，如圖1所示，它可在互相垂直的驅(qū)動方向與傳感方向自由振動，其整體動力學系統(tǒng)是二維彈性阻尼系統(tǒng)。在驅(qū)動方向上，質(zhì)量塊受到激勵以共振頻率穩(wěn)定地來回振動，當陀螺儀轉(zhuǎn)動時，在Coriolis力的作用下，質(zhì)量塊在傳感方向以敏感模態(tài)同頻振動，由此獲得角速率信息。盡管大部分MEMS陀螺儀的驅(qū)動和傳感模式相互匹配，但由于非線性阻尼與不等彈性剛度引起的交叉耦合噪聲使陀螺儀測量精度受限。

此外，由于微機械傳感器是一次成型,不能隨應用需求和應用環(huán)境作出相應的更改,從而會因環(huán)境的變化導致較大的誤差。況且，目前的加工工藝很難達到高精度的要求。所以，目前提高MEMS陀螺儀測量精度主要措施是對其誤差進行分析建模從而進行相應補償。

圖1MEMS陀螺儀結構示意圖

2　MEMS 陀螺儀隨機誤差分析

陀螺隨機誤差是衡量陀螺精度的一個重要指標，為了減少測量隨機誤差，提高MEMS陀螺儀性能, 則必須建立陀螺的隨機誤差模型。

2.1數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗

MEMS陀螺儀數(shù)據(jù)經(jīng)ARMK60內(nèi)部16位A/D轉(zhuǎn)換由串口獲得，波特率為115 200 bps。為確保測量的可信度，將MEMS陀螺儀放在具有隔震效果的裝置中，并連續(xù)采集靜態(tài)數(shù)據(jù)1.5 h。實驗所得數(shù)據(jù)如圖2所示，且由圖可知陀螺漂移數(shù)據(jù)呈非平穩(wěn)性。而非平穩(wěn)隨機序列由確定性部分和隨機部分構成，確定性部分可以為某種函數(shù)或者常數(shù)，但確定性部分的具體形式并不重要。運用多項式擬合，剔除信號中確定性成分，并對剔除后的殘差采用游程法判斷是否滿足平穩(wěn)性。

圖2　MEMS陀螺儀漂移數(shù)據(jù)

將檢驗樣本分成40組，求出每一組的均值，然后找出這些均值的中值，并比較各組均值與中值。其中不小于中值的均值用“1”表示，小于中值的均值用“-1”表示。“1”和“-1”交替出現(xiàn)的次數(shù)加上1稱為游程數(shù)，用r表示。N1為均值不小于中值的個數(shù)，N2為均值小于中值的個數(shù)；當N1或N2大于15時，r近似服從正態(tài)分布，借助正態(tài)分布表確定樣本是否為平穩(wěn)序列。檢驗統(tǒng)計量為：

N0=N1+N2。

表1　MEMS陀螺漂移游程法檢驗參數(shù)表

Allan方差[9]是MEMS陀螺穩(wěn)定性的一個度量，而在利用Allan方差對陀螺數(shù)據(jù)進行分析時認為數(shù)據(jù)中的隨機部分是由特定且相互獨立的噪聲源產(chǎn)生。由于Allan方差和功率譜密度(PSD)sΩ(f)之間的關系是：

上式中，sΩ(f)是隨機過程Ω(t)的功率譜密度。由上式在這里定義5種最基本的陀螺誤差噪聲源，如表2所示。

表2　MEMS陀螺儀常用誤差因素和Allan方差

若各噪聲源統(tǒng)計獨立，則計算的Allan方差是各類型誤差的平方和。則Allan方差σ2(τ) 為：

σ2(τ)=σQ2+σN2+σB2+σK2+σR2

由表2可知：

同時由表2知，各類噪聲的雙對數(shù)曲線的斜率不同，不同誤差項通常表現(xiàn)在不同的族區(qū)間，因此，由σ2(τ)雙對數(shù)曲線可以清楚地看出MEMS陀螺儀的各種誤差成分。

圖3　MEMS陀螺儀零漂Allan雙對數(shù)標準差曲線

由圖3可知，雙對數(shù)Allan標準差曲線斜率可以簡化為-1/2和1，因此，影響MEMS陀螺儀輸出的主要誤差源為角度隨機游走和速度斜坡。此外，在MATLAB中采用最小二乘擬合得到各噪聲系數(shù)如表4所示。

2.2建立模型

描述平穩(wěn)隨機序列的模型主要為ARMA、AR、MA模型,而這3種類模型之間的區(qū)別在于它們的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)反應出的性質(zhì)不同。利用MATLAB對去除四次確定項后的殘差進行相關函數(shù)分析，結果如圖4所示。

圖4　自相關與偏相關函數(shù)

由圖4可知該平穩(wěn)隨機序列自相關函數(shù)“拖尾”，偏自相關函數(shù)“截尾”，由此判斷MEMS陀螺儀隨機誤差模型為AR模型。

對AR(p)模型xk=φ1xk-1+φ2xk-2+…+φpxk-p+ak，利用Yule-Walker方程

其中，自相關矩陣T即為Toeplitz矩陣。

另外， 白噪聲的方差估計為

其中： σx2是觀測值的方差。

由于MEMS陀螺誤差模型的階次較低，一般不會超過三次。所以，我們可以估計出前三階的模型參數(shù)。

盡管隨著模型階次的升高，對真實系統(tǒng)的建模準確度越高，但由于模型階次的升高，待估模型的參數(shù)也增多，從而導致計算誤差增大。綜合考慮這兩方面的影響, 采用Akaike信息準則[10]中的AIC準則對模型適用性進行檢驗。

所謂AIC準則就是選取使AIC值最小的模型階數(shù)k，其計算式為

AIC(k)=(N-m)lgσω2+2(k+1)

式中，k為AR(p)模型的階數(shù)，k=1，2，…，m；

σω2為對應于該階數(shù)的AR(p)模型的白噪聲方差估計。

由于階數(shù)集合m遠小于樣本容量N，因此上式可以簡化為

AIC(k)=Nlogσω2+2(k+1)

針對去除四次確定項殘差用Yule-Walker方程法估計前三階模型下的參數(shù)并計算相應的AIC值，結果如表3，且由表可以看出，AR(1)模型的AIC值最小，因此可以初步確定MEMS陀螺隨機誤差模型為：xk=-0.212 5xk-1+ak，白噪聲方差σα2=0.075 55。

表3　MEMS陀螺儀隨機誤差模型參數(shù)及其AIC值

3.3 模型應用分析

Kalman濾波是對隨機誤差補償?shù)膫鹘y(tǒng)的方法，它實際是一個最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法，用它來解決估計問題往往是最優(yōu)且高效的。

利用AR(1)模型，設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

X(k)=AX(k-1)+BW(k)

其中：X(k)是系統(tǒng)狀態(tài)變量，W(k) 為系統(tǒng)噪聲。

由xk=-0.2125xk-1+ak可知，A=-0.2125，B=1。設系統(tǒng)的量測方程為

Y(k)=CX(k)+V(k)

其中：Y(k)是系統(tǒng)輸出，V(k)為量測噪聲，C=1。

假設W(k)，V(k)相互獨立且服從正態(tài)分布的白噪聲，即

W(k)～N(0,Q)

V(k)～N(0,R)

其中：Q為系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣，其值為σα2，R為量測噪聲協(xié)方差矩陣，其值為樣本數(shù)據(jù)估計誤差的方差。

基于系統(tǒng)狀態(tài)方程，Kalman濾波遞推方程為

Pk,k-1=APk-1AT+BQBT

Kk=Pk,k-1CT(CPk,k-1CT+R)-1

Pk=(I-KkC)Pk,k-1

利用上面建立的Kalman濾波器對陀螺漂移數(shù)據(jù)進行濾波，濾波后的陀螺漂移曲線如圖5所示。

圖5　Kalman濾波后的陀螺漂移曲線

由圖5可知，濾波后MEMS陀螺儀漂移幅度明顯減小且漂移數(shù)據(jù)方差由濾波前的0.789 25減小為0.107 56，從而驗證了AR(1)模型的準確性以及由此模型設計的濾波對測量精度的提高，從而優(yōu)化了MEMS陀螺儀的測量性能。

對kalman濾波后的漂移數(shù)據(jù)再次利用Allan分析，結果如圖6所示。

圖6　濾波后MEMS陀螺儀零漂Allan雙對數(shù)標準差曲線

由圖6可知，雙對數(shù)Allan標準差曲線斜率可以簡化為-1/2，則運用AR(1)模型設計的Kalman濾波后，影響MEMS陀螺儀輸出的主要誤差源為角度隨機游走，很好地抑制了速度斜坡噪聲源，且由圖6求得濾波后的各個噪聲源系數(shù)如表4所示。

表4　濾波前后各噪聲系數(shù)

從表4可以看出，濾波后的各噪聲系數(shù)都明顯降低，尤其

角度隨機游走系數(shù)縮小了近500倍。所以，雖然濾波后角度隨機游走噪聲源是影響測量精度的主要來源，但也得到了很好的抑制。

3　結論

文中運用隨機信號處理方法，結合振動式MEMS陀螺儀工作原理，使用MATLAB軟件對陀螺儀隨機誤差數(shù)據(jù)進行了分析處理。通過對陀螺數(shù)據(jù)進行相關的預處理與模型辨識，確定采用AR模型來估計MEMS陀螺儀隨機誤差。運用AIC準則對模型進行適用性檢驗以及綜合考慮，得出AR(l)模型最佳，并以此建立了陀螺儀隨機誤差的Kalman濾波方程，實驗結果表明該模型的有效性，以及對MEMS陀螺儀測量精度的提高。同時，利用Allan方差法分析陀螺儀輸出數(shù)據(jù)，簡單有效地辨識MEMS陀螺儀的主要噪聲源，并得出各類噪聲對陀螺儀測量性能的影響，可為MEMS陀螺儀的改進提供具有指導意義的數(shù)據(jù)。

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Analyses on Random Error Based on MEMS Gyroscope

Cao Huifang, Lv Hongbo, Sun Qiguo

(College of Mechanical Engineering and Material, North China University of Technology, Beijing100144,China)

The main noise sources and error model on random error are analyzed in order to improve measurement precision of MEMS gyroscope. A proper model is made in view of the MEMS gyroscope random error after the analysis of the structure defects of MEMS gyroscope and corresponding filtering , smoothness test. And the validity of error model is verified via error compensation derived from the Kalman filter. The principle factors that affect the measurement performance of MEMS gyroscope are confirmed with the analysis of MEMS gyroscope noise items using Allan variance method and the coefficients of various noise sources are compared before and after filtering to examine the filter, the experiment shows that error model significantly improved the precision of the measurement of MEMS gyroscope.

micro-electro-mechanical systems (MEMS) gyroscope; Kalman filter; error model; Allan variance

2015-07-19；

2015-09-14。

北京市教育委員會科技計劃項目資助(KM201510009001)。

曹慧芳(1990-)，女，碩士研究生，主要從事移動機器人定位方向的研究。

孫啟國(1963-)，男，教授，主要從事機械系統(tǒng)動力學及其控制、摩擦學與工業(yè)潤滑技術等方向的研究。

1671-4598(2016)01-0178-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.01.050

TB114.3

A