張維桐

(中國人民大學(xué)附屬中學(xué)　北京　100080)

趙俊波

(中國航天空氣動力技術(shù)研究院　北京　100074)

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應(yīng)用中學(xué)物理知識分析高速滑翔飛行器的關(guān)鍵氣動參數(shù)

張維桐①

(中國人民大學(xué)附屬中學(xué)北京100080)

趙俊波

(中國航天空氣動力技術(shù)研究院北京100074)

利用初等物理學(xué)與數(shù)學(xué)的知識，針對一種無動力、長距離、長航時的高速飛行器，重點分析了滑翔飛行器的初始速度、初始高度、升阻比、重阻比等參數(shù)對滑翔飛行航程和飛行末速度的影響，指出最關(guān)鍵的參數(shù)是初始速度和升阻比，這兩個參數(shù)數(shù)值大，滑翔飛行的距離就遠(yuǎn)，飛行末速度就大.這與較復(fù)雜的3D彈道方程的數(shù)值計算結(jié)論一致.本文采用的物理數(shù)學(xué)分析方法，建立了簡便的解析式，對設(shè)計高超聲速滑翔飛行器有一定的工程應(yīng)用價值.

滑翔飛行器高升阻比飛行器氣動設(shè)計

互聯(lián)網(wǎng)，特別是移動互聯(lián)網(wǎng)在全球的廣泛使用，使人們可以在任何時間、任何地點在全球的范圍內(nèi)進(jìn)行各種商業(yè)和貿(mào)易的活動，其中服務(wù)傳遞和到達(dá)是非常重要的一個環(huán)節(jié).本文利用初等物理、數(shù)學(xué)知識，設(shè)想在不久的將來可以在全球范圍內(nèi)建立一種低能耗長時間高航速的飛行送達(dá)設(shè)備，可以有效地將一點對一點，一點對多點快速有效地聯(lián)系在一起.實現(xiàn)現(xiàn)代社會人們對物體的快速傳遞的需要.目前美國亞馬遜公司正在研發(fā)的無人機送快遞物流系統(tǒng)“Amazon Prime Air”，由無人飛行器來取代人力負(fù)責(zé)送快遞，就是一種大范圍、快速送達(dá)服務(wù)的新模式.

圖1　高超滑翔飛行器飛行軌跡示意圖

現(xiàn)在的航空專家們提出了高超聲速滑翔飛行器的概念[1]，如圖1所示，高超聲速發(fā)射滑翔(HBG：Hypersonic Boost Glide)飛行器，由推力設(shè)備(例如火箭、高速的飛機等載體)將滑翔飛行器運送到某高度h0，然后，推力設(shè)備和滑翔飛行器分離，使其具有初始速度v0和再入角γ0的滑翔器在升力、阻力和重力的作用下進(jìn)行滑翔.

這樣的飛行器的速度可以達(dá)到聲速的10倍以上，即從美國東部的紐約繞地球一圈到日本的東京，只需要不到2小時，可節(jié)約能耗8%至45%[2].

研究高速滑翔飛行器需要高等數(shù)學(xué)知識，建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型.本文從中學(xué)物理、數(shù)學(xué)知識入手，對該飛行器的技術(shù)參數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，主要研究那些關(guān)鍵技術(shù)參數(shù)對滑翔飛行器滑翔距離的重要影響.得到的分析結(jié)果與較復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型的數(shù)值計算結(jié)論一致.這對于研制和設(shè)計滑翔飛行器有重要指導(dǎo)作用.

1　研究思路分析

兒童時期曾玩耍過投放紙飛機的游戲，經(jīng)驗表明：投放紙飛機時，用力大、站得高、翼的面積大、頭尖、有一定正迎角投放滑翔得遠(yuǎn).

設(shè)計高超聲速滑翔飛行器的關(guān)鍵技術(shù)參數(shù)是什么？下面利用初等物理和數(shù)學(xué)知識分析這個高科技問題.

本文研究的基本思路是：首先，抽象出幾個特征參數(shù)，建立物理模型，推導(dǎo)解析式，通過計算分析與3D彈道方程得到的結(jié)論進(jìn)行比較.

物理模型：通過物理學(xué)命題1和2(見下文)，將物理學(xué)中的力、運動學(xué)、動力學(xué)、功和能量等力學(xué)知識，有效地融合于具體的物理模型中，逐步引入各種特征參數(shù).

解析公式：通過推導(dǎo)演變，使之解析式表達(dá)為

s=f1(v0,h0,k,β)ve=f2(v0,h0,k,β)

結(jié)果比較：分析各參變量對滑翔距離s,落地速度ve的影響.

2　基本問題研究

本節(jié)研究的目的是：通過物理學(xué)命題1和2，將物理學(xué)中的力、運動學(xué)、動力學(xué)、功和能量等力學(xué)知識，有效地融合于具體的物理模型中，逐步引入各種特征參數(shù)，通過物理分析確認(rèn)合理的關(guān)系式，通過計算與驗證，最終確認(rèn)滿足滑翔飛行距離遠(yuǎn)及飛行末速度大的關(guān)鍵技術(shù)參數(shù).

圖2　小球沿地面直線運動

根據(jù)勻變速直線運動的基本關(guān)系式

ve=v0-at

上述方程消去參變量t得

(1)

(1)建立了小球的運動距離、末速度與初始速度、加速度和時間的關(guān)系.

(2) 消去參變量t，就可以看出,小球初末動能的差，變成小球克服摩擦力所做的功.

物理學(xué)命題2：在高度為h0的平臺上，水平投放一個球，初速度為v0(圖3)，求解考慮空氣阻力(由于水平方向速度遠(yuǎn)大于垂直方向速度，故僅考慮水平方向的阻力)，小球水平方向的飛行距離s和落點速度ve.

設(shè)a為水平方向空氣阻力產(chǎn)生的加速度大小,水平方向的運動方程

垂直方向略去阻力影響的運動方程

如果小球已落地，仍有水平速度(如圖3).

圖3　落地時小球水平方向的速度不為零

求小球運動的水平距離，取t=t⊥,則

(2)

末速度是水平速度與垂直速度合成的結(jié)果

(3)

式(2)和式(3)中又引入了一個重要參數(shù)β，表示小球水平方向的運動距離s和末速度ve都與初始速度、初始高度、重阻比有關(guān).很明顯，小球的初始能量大，阻力小(重阻比大)，初始高度大，則運動距離s就遠(yuǎn)，飛行末速度ve就大.

本命題研究表明：建立了小球的運動距離、末速度與初始速度、初始高度、重力加速度和重阻比的關(guān)系.

3　高超滑翔飛行器關(guān)鍵氣動技術(shù)參數(shù)研究

基本假設(shè)：不考慮地球扁平率,不考慮地球自轉(zhuǎn),正如圖4所示，飛行器可簡化為一個質(zhì)點，受到與速度方向垂直的升力L,與速度方向相反的阻力D,及地心引力mg.該質(zhì)點具有初始再入速度v0,離地球表面高度h0.(通過運載工具使飛行器獲得相應(yīng)的高度和速度后，飛行器脫離運載工具時的初始速度定義為初始再入速度，同時，該飛行器的姿態(tài)角，即初始再入速度方向與水平方向的夾角，定義為再入角)

圖4　飛行器受力簡化模型

主要研究、確定飛行距離s和末速度ve與哪些關(guān)鍵參數(shù)有關(guān).

3.1初始速度v0和升阻比k

下面討論再入角γ0=0，飛行距離s和末速度ve與初始速度、升阻比的關(guān)系，如圖5.

圖5　飛行器再入角γ0=0時的受力簡化模型

滑翔飛行器在升力、阻力、重力和初始速度的作用下，假若升力和重力相等，則飛行器保持一定高度飛行.

L=mg

(4)

D=ma

(5)

式(4)除以式(5)得

(6)

由于升力等于重力，是等高平飛，則垂直方向速度為零.故飛行末速度

(7)

式(6)、(7)可以作為評估升阻比k和初始再入速度對飛行器等高滑翔飛行距離和末速度的影響.

式(6)、(7)將參變量t消掉，可導(dǎo)出物理學(xué)命題1的能量形式.

由式(7)得時間

代入式(6)得

(8)

當(dāng)v0,v1給定，即可確定s與升阻比k的關(guān)系.

下面證明式(8)與物理學(xué)命題1得到的式(1)完全一致.

將式(8)改寫為

這就等價于小球沿地面直線運動，實際上，物理學(xué)命題1中，已隱含了小球受到的重力(mg)和地面支撐力(L)相等，因此，兩者的物理模型完全一樣(圖6).

式(8)中沒有高度參數(shù)h0，可以認(rèn)為h0=0.

式(8)說明：引入升阻比k與飛行距離的關(guān)系是很有意義的.也就是說在升力與重力相等的條件下，降低阻力，提高升阻比可以增遠(yuǎn)射程.

圖6　小球沿地面直線運動和升力等于重力時飛行器的受力簡化模型

根據(jù)式(8)計算得：飛行距離s隨v0(v01>v02)和升阻比增加，而增大，見圖7.

圖7　飛行距離s與升阻比k的關(guān)系

3.2再入高度h0和重阻比β

根據(jù)物理學(xué)命題2的研究，滑翔飛行器在有升力作用下(L=ma2)，構(gòu)建合理的物理數(shù)學(xué)模型，即類似于在高度為h0的平臺上，投放一個球，在升力作用下，初速度為v0，小球落地時，仍有水平速度,如圖8所示，這種情況飛行時間為t⊥.

圖8　落地時小球水平方向的速度v1不為零

水平方向飛行距離

根據(jù)垂直方向動能和勢能關(guān)系式確定飛行時間t⊥

v⊥=(g-a2)t⊥

從上式可知,當(dāng)升力等于重力ma2=mg時，則t⊥無限大，永遠(yuǎn)不能落地.

當(dāng)升力小于重力，即L

飛行末速度

(9)

(10)

4　分析結(jié)論

根據(jù)文獻(xiàn)[1,2]兩部高科技專著中數(shù)值分析方法可得出如下結(jié)論：

(1)高速滑翔飛行器，飛行距離s和末速度ve，隨初始速度v0和升阻比k增加而增大.

(2)高速滑翔飛行器，飛行距離s和末速度ve，隨初始高度h0和重阻比β增加而增大.

上述結(jié)論需要氣動設(shè)計專業(yè)技術(shù)人員，通過復(fù)雜的數(shù)值計算得到.而本文利用初等物理學(xué)和數(shù)學(xué)知識同樣可得到上述重要結(jié)論，并給出了解析表達(dá)式.

本文中的物理學(xué)命題1建立的式(7)、(8)可得結(jié)論(1).

本文中的物理學(xué)命題2建立的式(9)、(10)可得結(jié)論(2).

致謝:感謝中國人民大學(xué)附屬中學(xué)吳多常物理老師的積極鼓勵以及具有建設(shè)性的建議.

1張魯民，潘梅林，唐偉.載人飛船返回艙空氣動力學(xué).北京：國防工業(yè)出版社,2002

2張魯民，葉友達(dá)，紀(jì)楚群，等.航天飛機空氣動力學(xué)分析.北京：國防工業(yè)出版社,2009

①張維桐(1998-),在讀高中生.指導(dǎo)教師：趙俊波(1979-)，博士，高級工程師，主要從事空氣動力學(xué)與飛行力學(xué)領(lǐng)域研究工作.

2016-03-10)