劉衛(wèi)芳

(天津大學理學院　天津　300072)

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普朗克常量h的物理學意義

劉衛(wèi)芳

(天津大學理學院天津300072)

普朗克常量h是能量量子化概念的基石，更是理解量子力學諸多內(nèi)容的關(guān)鍵，本文從4個方面介紹了普朗克常量的意義和應(yīng)用，包括其在量子力學兩種形式中的基礎(chǔ)作用、對量子化概念發(fā)展的幫助、改變對物質(zhì)世界連續(xù)性認識的啟發(fā)以及質(zhì)量新標準建立中的作用．

普朗克常量量子力學量子化

1　普朗克常量h的歷史發(fā)現(xiàn)

普朗克常量h的發(fā)現(xiàn)是20世紀物理學最偉大的發(fā)現(xiàn)之一，它是1900年12月14日普朗克發(fā)表在《物理學雜志》上的一篇論文中通過公式E=hν首次亮相的．正是這一常量的發(fā)現(xiàn)，奠定了量子理論的基礎(chǔ)，并從此開創(chuàng)了現(xiàn)代物理學的新紀元．普朗克常量h的發(fā)現(xiàn)為人們打開了微觀世界的大門,h的出現(xiàn)成為近代物理學的象征, 導(dǎo)致后來量子論的誕生并構(gòu)成自然秩序理想的基本要素．

物理學中的諸多基本常數(shù)被發(fā)現(xiàn)的途徑不外乎通過實驗觀測直接提出或通過理論推導(dǎo)間接引入兩種方式，前者包括如光速c,基本電荷e,電子質(zhì)量me,真空磁導(dǎo)率μ0,真空電容率ε0,法拉第常數(shù)F,里德伯常量R等，后者包括如牛頓引力常量G,摩爾氣體常數(shù)R,阿伏加德羅常數(shù)NA,玻爾茲曼常數(shù)kB等．這些常數(shù)的提出或引入皆易于理解和接受，但普朗克常量h的出現(xiàn)既不是通過實驗觀測直接提出也不是在理論推導(dǎo)中間接引入．它是普朗克在不情愿的情況下，為了圓滿解釋實驗觀測的數(shù)據(jù)曲線，憑著他的智慧創(chuàng)造性地提出的．

彼時普朗克正在研究關(guān)于物體熱輻射之規(guī)律，即關(guān)于特定溫度的物體放出的熱輻射在不同頻率(或波長)上的能量分布規(guī)律．為了得到與實驗觀測曲線精確吻合的數(shù)學公式，普朗克猜想到，既然物質(zhì)是由原子或分子組成的，例如水是以體積極小的水分子為構(gòu)成基元，一滴水中就包含著數(shù)量驚人(約1021個)的水分子；普朗克想，“類似地如果熱輻射中電磁輻射的能量也像水一樣是由基元構(gòu)成的，即存在能量的最小單位會怎樣？”經(jīng)過一番推導(dǎo)后他指出必須假設(shè)在光波的發(fā)射和吸收過程中，能量變化是不連續(xù)的，即物體通過分立跳躍非連續(xù)地改變它們的能量，能量值只能取某個最小能量元的整數(shù)倍．此即能量量子化假設(shè)，其中最小能量元被稱為能量量子，E=hν，常量h為普朗克常量，當前的推薦值為6.626 196×10-34J·s (即6.626 196×10-27erg·s，因為1erg=10-7J)．

2　普朗克常量h對大學物理教學的重要意義

物理常數(shù)決定著宇宙物質(zhì)結(jié)構(gòu)的層次，代表著宇宙中一些絕對不可逾越的界限[2]．20世紀物理學理論革命的標志是相對論和量子力學的誕生．這兩個理論各自提出一個不可逾越的普適常量——真空中的光速c和普朗克常量h．而大學物理的諸多課程若以時間前后為依據(jù)，可以分為經(jīng)典物理和近代物理．經(jīng)典物理主要指1900年以前的牛頓力學、電磁學和熱力學與統(tǒng)計物理學．近代物理主要是指19世紀末和20世紀初開始形成的相對論和物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)理論——原子分子物理、原子核物理、粒子物理和固體物理．經(jīng)典物理和近代物理二者之間可以用普朗克常量的出現(xiàn)為分水嶺．對于大學物理課程中的近代物理部分教學，若厘清了普朗克常量提出的前因后果，就可以把握住熱力學與統(tǒng)計物理學的精髓；懂得了普朗克常量對量子力學、半導(dǎo)體科技革命等科學發(fā)展的意義,及其對宇宙物質(zhì)存在和生命本身的重要意義[1]，就抓住了近代物理的綱領(lǐng)，綱舉則目張，對近代物理部分的教與學皆大有裨益．下面筆者嘗試從以下幾個方面介紹普朗克常量的應(yīng)用和意義．

3　普朗克常量的應(yīng)用及意義

3.1普朗克常量是量子力學及其應(yīng)用之基

決定我們所處的物質(zhì)世界結(jié)構(gòu)的普適常數(shù)中，真空中光速c是最為大家所熟悉的，這部分源于愛因斯坦質(zhì)能方程E=mc2的影響．相比之下，普朗克常量h不為大眾熟悉．但作為界定物質(zhì)世界的物質(zhì)結(jié)構(gòu)層次界限的普適常量，它是整個量子力學理論的重要基石和核心要素，只有踏著普朗克常量這個基石，才能走進量子力學的大門；而基于量子力學發(fā)展起來的半導(dǎo)體科技革命諸如晶體管、集成電路、芯片等電子元件的發(fā)明更是極大地改變了人類的生活[2]．縱觀量子力學的主要內(nèi)容，隨處皆可見到普朗克常量h的出現(xiàn)，及其扮演的重要角色．若沒有普朗克常量h，人類認識微觀世界的量子力學理論體系將是無源之水、無本之木．

量子力學包括矩陣力學和波動力學兩種形式，其中皆可看到普朗克常量的重要作用．1925年，德國物理學家海森伯(W. Heisenberg, 1901～1976年)在玻爾(Nies Bohr, 1885～1962年)原子理論基礎(chǔ)上，針對其模型中的電子軌道等物理量無法直接觀察的弊端，秉承“物理理論應(yīng)當基于可觀測量” 之原則對其理論進行發(fā)展，創(chuàng)造性地建立了一個新理論，其中僅僅包含將原子光譜實驗中可觀測的物理量，如光譜線的頻率、強度等，并將其與原子模型中的參量對建立關(guān)聯(lián)．矩陣力學認為關(guān)于運動的經(jīng)典概念皆不適用于微觀的粒子，所以必須摒棄玻爾原子模型中的軌道概念；在原子中電子的運動軌跡并非為明確的軌道，而是一定范圍內(nèi)的軌域；其對于時間的傅里葉變換僅僅對應(yīng)于光譜中觀察到離散的頻率，從而將可觀測物理量與不同軌道(或態(tài))之間的躍遷相關(guān)聯(lián)．由于描述不同狀態(tài)之間躍遷需要借助于數(shù)學中的矩陣來完成，所以矩陣形式的量子力學應(yīng)運而生．在矩陣運算中，借助換算關(guān)系

海森伯用泊松括號表達了量子力學的運動方程，即q=[q，H]，P=[P，H]，其中H為量子體系的哈密頓(W.R.Hamilton,1805～1865年)矩陣．從而海森伯便可以把完備的動力學體系對應(yīng)到矩陣力學的框架中，將哈密頓建立的動力學方程寫成

其中H是哈密頓力學體系的總能量．可見，普朗克常量h的引入是建立矩陣力學理論的必要基石．

量子力學理論另一形式的是波動力學．它是奧地利物理學家薛定諤(E.Schr?dinger,1887～1961年)在德布羅意(de Broglie,1892～1987年)物質(zhì)波理論基礎(chǔ)上于1925年建立起來的．德布羅意提出的物質(zhì)波概念指出任何物體的運動都會伴隨以波，無法將波動與物質(zhì)的運動區(qū)分開來，相對于宏觀體系，微觀粒子體系的波動性比較明顯．受到德布羅意觀點的啟發(fā)，薛定諤嘗試構(gòu)建波函數(shù)的波動力學理論．在引入了算符，即動量算符

與能量算符

對波函數(shù)Ψ(x,y,z,t)的作用后，依據(jù)粒子體系總能量守恒之原理

其中u(r)表示勢能項，可以得到波函數(shù)Ψ(x,y,z,t)隨著時間的演變規(guī)律，即

從而建立起波動形式的量子力學基本方程——薛定諤方程．該方程提出過程中的關(guān)鍵是算符的引入， 其中普朗克常量h的作用至關(guān)重要.

通過以上分析可知，海森伯通過泊松括號的變換，抑或薛定諤通過算符介紹，皆是將普朗克常量h引入才建立起量子力學的運動方程．可見量子力學理論中普朗克常量h的基石與靈魂的作用不可或缺．為什么矩陣力學或波動力學都必需引入普朗克常量h呢？因為h是量子概念的靈魂和基準．

3.2普朗克常量h是量子概念的基準

普朗克常量h=6.626 196×10-34J·s，它的量綱是(能量×時間)或角動量，此乃作用量的量綱．這表明h是作用量的最小單元，故h也稱作“作用量子”．量子力學中產(chǎn)生的諸多量子概念截然區(qū)別于經(jīng)典物理概念，因為他們皆與普朗克常量h有著密切關(guān)系，所以h成為區(qū)分經(jīng)典與量子物理的基準.

例如，粒子動量與坐標，能量與時間的不確定性關(guān)系表示為

此處測量的精確度是以普朗克常量h數(shù)量級來定義的．因為h的數(shù)量級是10-34J·s，所以這種測量上的不確定性在宏觀物體的運動中難以覺察到，只有到了微觀體系時候，這種不確定性才會顯露出來．

3.3普朗克常量h改變了人類對世界連續(xù)性的認識

幾千年來人類關(guān)于自然界是連續(xù)還是間斷的爭論一直存在著，曾經(jīng)引起了諸多古圣先賢的遐想和思索．連續(xù)性方面西方世界中最具代表性的觀點包括古希臘時期德謨克里特的原子論，它認為自然界是間斷和不連續(xù)的、由最小的基本單元——原子構(gòu)成；我國春秋戰(zhàn)國時期的惠施曾言道，“至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一”；同時期的墨子曾言“端、體之無序(疑為厚之誤)而最前者也”表明其也主張自然界具有構(gòu)成的單元．間斷性方面西方世界里最具代表性的觀點是古希臘亞里士多德的自然觀，他指出，“一切量都是連續(xù)的”．萊布尼茲也曾說，“自然界無飛躍” , 并將這種無飛躍的連續(xù)性稱作“連續(xù)律”．我國《莊子 天下》文中曾記載，“一尺之捶(杖)，日取其半，萬世不竭”(或為公孫龍所言)．古希臘畢達哥拉斯學派秉承萬物可數(shù)、連續(xù)的觀點得到牛頓和萊布尼茲(自然界不做跳躍)的繼承和光大，后來的麥克斯韋構(gòu)建的電磁場理論更使得自然界連續(xù)性觀點廣為接受．

宏觀世界的日常經(jīng)驗感似乎告訴我們, 物質(zhì)的重量、面積等是能無限細分下去的，同時物體運動軌跡也是光滑不間斷的．為了獲得黑體輻射公式的物理機制解釋，普朗克假定能量子以有限個數(shù)的方式分給具有相同頻率的一群振子中的個別振子，此類分配方式服從概率論．如果黑體輻射中能量的分布是連續(xù)的，則需用求積分導(dǎo)出的能量均分原理表征輻射的能量，就無法得到與實驗觀測曲線擬合精確的數(shù)學公式．該能量量子化的提出是忠實于實驗觀測的不二選擇，是忠實于客觀事實的無奈之舉，更是普朗克糾結(jié)數(shù)月甚至數(shù)年苦苦探索、深沉思考的智慧產(chǎn)物．但普朗克的能量子概念的提出動搖了幾千年來物質(zhì)世界連續(xù)性的觀念．

另外，普朗克還結(jié)合引力常量G,光速c和普朗克常量構(gòu)建了一套普朗克單位．該單位規(guī)定了現(xiàn)存物理學——相對論和量子力學體系的極限適用范圍．普朗克時間是指時間量子的最小間隔，為 10-43s，沒有比這更短的時間存在．普朗克長度約等于1.6×10-35m，測量得到任一長度皆不可能比其精確，且比該長度更短的長度是沒有意義的．

3.4普朗克常量是精確定義質(zhì)量單位的基礎(chǔ)

在基本物理常數(shù)中，普朗克常量h是隨著量子力學的發(fā)展而進入物理學領(lǐng)域的，它的數(shù)值的準確性影響著諸如電子的靜止質(zhì)量、阿伏伽德羅常數(shù)和基本電荷e等基本物理常數(shù)的準確性．因此，準確測定普朗克常量h對于建立整個基本物理常數(shù)體系具有重要意義．普朗克本人對h值的最早估計是h=6.55×10-34J·s．2010年，國際科學技術(shù)數(shù)據(jù)委員會推薦的h值h= 6.626 069 75(29)×10-34J·s，相對標準不確定度為4.4×10-8，是目前被認定的最佳推薦值．

質(zhì)量單位——千克是目前7個基本單位中唯一還依靠實物基準保存量值的基本單位．國際計量委員會早在2005年就號召各國家計量實驗室進行與質(zhì)量單位新定義有關(guān)的基本物理常數(shù)的測量以及有關(guān)實物基準的穩(wěn)定性考察工作，為新定義的實施做準備．經(jīng)計量學家研究發(fā)現(xiàn)，未來的質(zhì)量單位的定義在很大程度上將依賴于普朗克常量h的測定值和不確定度．一旦普朗克常量h的測定值不確定度小于2×10-8，有望通過普朗克常量h來重新定義質(zhì)量單位，實現(xiàn)質(zhì)量量子基準，從而代替已經(jīng)使用120多年的鉑銥合金國際千克原器[4]．

1James Stein. Planck’s constant: the number that rules technology, reality and life.

2趙凱華. 定性與半定量物理學. 北京：高等教育出版社，1991.104～109

3亓方. 常數(shù)誘發(fā)科學發(fā)現(xiàn)的一個重要范例——試論普朗克常量在量子發(fā)現(xiàn)中的作用. 自然雜志，1993(Z3): 68～73

4韓冰,賀青,李世松,等.普朗克常量h測定與質(zhì)量量子基準的最新研究進展. 計量學報，2013，34(1)：90～96

2016-04-21)