劉敏敏　俎鳳霞　吳 濤

(武漢工程大學理學院　湖北 武漢　430205)

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帶電球面和帶電球體電場強度和電勢分布求解探討*①

劉敏敏俎鳳霞吳 濤

(武漢工程大學理學院湖北 武漢430205)

在大學物理靜電場的教學中，與球形有關的問題很典型，比如帶電球面和帶電球體周圍空間的電場強度和電勢分布問題，不同電荷密度分布帶電球體周圍空間的電場強度和電勢分布的求解問題，本文對這些球形帶電體系進行分析探討，分別根據(jù)定義式求解和高斯定理求解，并找出了其規(guī)律式和特點.

帶電球面帶電球體電場強度電勢

在大學物理靜電場的教學中，電場強度和電勢是反映靜電場本身性質的重要物理量[1～7]，目前已經(jīng)有了相當多的討論[3～7].在電場強度和電勢的探討和求解中，與球形有關的問題很多，比如帶電球面周圍空間的電場強度和電勢分布問題，不同電荷密度分布的帶電球體周圍空間的電場強度和電勢分布的求解問題，然而在實際的教學中，我們發(fā)現(xiàn)學生在理解和計算的時候會在物理思想和數(shù)學計算上存在疑惑，本文將對這些球形帶電體系進行分析探討，并找出其規(guī)律和特點.

1　真空中均勻帶電球面的電場和電勢分布

設均勻帶電球面的總體帶電量為q,其球半徑為R，電荷面密度為σ，求解此球面內和球面外兩個部分的電場強度分布，可以采用兩種不同的方法：(1)點電荷電場強度疊加法；(2)高斯定理.電勢則可以在此基礎上進行求解.下面分別進行探討.

1.1點電荷電場強度疊加法

對于均勻帶電球面，由于場強具有球對稱性，只需要求解其徑向的電場強度即可.首先將其看成是沿某一直徑方向上，無數(shù)個半徑連續(xù)變化的圓環(huán)的疊加，這樣其電場強度將是這許多圓環(huán)電場的疊加， 利用半徑為a的圓環(huán)的中軸線上P點的電場強度的結論

即可求解.

如圖1所示，環(huán)帶半徑a=Rsinθ，環(huán)帶寬為Rdθ，環(huán)帶的面積為2πR2sinθdθ，環(huán)帶帶電量

則環(huán)帶在P點處產(chǎn)生的場強為

(1)

圖1　均勻帶電球面示意圖

(2)

(3)

球外一點

(4)

球內一點

(5)

1.2高斯定理求解

取同心球面為高斯面，如圖2所示.

圖2　均勻帶電球面高斯面示意圖

由對稱性可知，高斯面上的電場強度大小處處相等，方向為半徑方向，因此有

(6)

則電場強度

(7)

可以看到對于具有高度對稱性的均勻帶電球面，利用高斯定理求解其內外空間的電場強度是非常方便的，在數(shù)學計算上也相對簡單得多.然而要從本質上直觀邏輯性地去理解電場強度的性質，則電場疊加原理是容易被理解的，只是數(shù)學計算比較復雜，在大學物理的教學中需要學生的數(shù)學基礎相對較好.

1.3電勢的求解

靜電場中P點的電勢等于電場強度從該點開始沿著任意路徑到零勢點的線積分，這里取無窮遠處電勢為零，因此球外距球心為r處一點的電勢

(8)

距球心為r處球內一點

(9)

整個球面以及球面內等勢.

2　真空中帶電球體的電場強度和電勢分布

帶電球體類型的問題中最典型的就是:真空中有一半徑為R的帶電球體，其電荷體密度分布為ρ=Arn，A為一常量，其電荷密度分布是半徑的冪函數(shù).試求球體內外的場強分布.我們在實際的教學中通常都是將冪n具體化，例如n=1,0，-1,2等等，對其逐一進行計算，其實這類問題可以一次求解出規(guī)律式，然后再針對具體的情形討論.簡述求解過程如下.

2.1高斯定理求電場強度

由于具有球對稱性，方便利用高斯定理求解，設整體帶電量為q，選擇過P點同心的球面為高斯面，如圖3所示，若高斯面在球內則用qin表示所包圍的電量，由高斯定理可得

(10)

圖3　具有球對稱的帶電球體示意圖

球外的電場強度求解很簡單，比較難的是求解球內的電場強度.求解球內電場強度關鍵在于求解高斯面包圍的電量qin.由于電荷密度是徑向的冪函數(shù)，因此選取薄球殼為積分元，進行積分求電量

dq=ρdV=Arn4πr2dr

(11)

(12)

當n>-3時，有

當n≤-3，則

積分無解，即：

(1)n=-3時，由n+3=0可知分母為零，積分無解；

(2)當n<-3，此時rn+3在分母上，積分從r=0開始，因此分母出現(xiàn)為零的情形，所以積分無解，從物理本質上來說此時對應著電荷幾乎全部集中在球心處的情形，球心處的密度無窮大.

因此，對于可以求解的n>-3的情形，體系的電場強度為：

球外距球心為r處電場強度大小

(13)

球內距球心為r處電場強度大小

(14)

2.2電勢的求解

根據(jù)電勢的定義，帶電球體球外P點

(15)

球內一點

(16)

對于不同的n的取值，直接代入規(guī)律式即可得到電場強度和電勢的分布情形，而且，n還可以不僅僅只取整數(shù)值，對于n取分數(shù)值，該規(guī)律式同樣成立.

3　小結

本文討論了真空中均勻帶電球面周圍空間的電場強度和電勢分布問題以及隨徑向不同密度分布的帶電球體周圍空間的電場強度和電勢分布的求解問題，對這些球形帶電體系進行分析探討，并歸納總結了其場強和電勢的計算規(guī)律表達式及特點.

1張三慧，等.大學物理學(第3版).北京:清華大學出版社,2009

2胡亞聯(lián)，吳峰.大學物理學.北京:科學出版社,2010

3周瑞雪.關于圓盤狀物體的幾個物理量的計算.物理與工程,2014,24(5)：51～58

4景義林.無限大圓平面穩(wěn)恒發(fā)散電流產(chǎn)生的磁場.大學物理，2015,34(4)：13～15

5郭浩，陳鋼.線電荷與帶有半橢圓柱凸起的接地平板系統(tǒng)的電勢.大學物理，2014,33(11)：9～11

6林焰清，陳鋼.線電荷與接地橢圓柱形導體系統(tǒng)的電勢.大學物理， 2009，28(8) : 25～27

7陽喜元，蔡新華，吳丹.微元法研究均勻帶電體的電場分布.廣西物理，2016，29(3)，34～37

Solution Discusses on Electric Field Intensity and Potential Distribution of a Charged Spherical Surface and a Charged Sphere

Liu MinminZu FengxiaWu Tao

(School of science, Wuhan Institute of Technology, Wuhan,Hubei430205)

In the teaching of electrostatic field in university physics, problems related to the spherical is tipical, such as eletric field intensity and electric potential distribution problem for a charged spherical surface or a charged sphere with different charge density. This paper discusses and analyses these problems, and find out the general law and characters with using the definition and the Gauss theorem.

a charged spherical surface; a charged sphere; eletric field intensity; electric potential

劉敏敏(1981-)，女，博士，講師，主要從事物理教學以及光學和原子與分子物理方向的研究.

2016-01-17)

①*武漢工程大學科學研究基金項目,項目編號：K201422；武漢工程大學教學研究基金項目“科研促進教學，深化大學物理課程體系改革”，項目編號：X2014037