李　洋，王兆偉，徐山峰，張永利

(中國(guó)電子科學(xué)研究院，北京　100041)

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工程與應(yīng)用

基于多參數(shù)分?jǐn)?shù)傅里葉變換和ARNOLD變換的圖像加密方法

李洋，王兆偉，徐山峰，張永利

(中國(guó)電子科學(xué)研究院，北京100041)

利用多參數(shù)分?jǐn)?shù)傅里葉變換(MPFRFT)對(duì)圖像進(jìn)行雙隨機(jī)相位加密，提供了更加豐富的密鑰空間，使加密圖像具有較高的安全特性。但是隨機(jī)相位矩陣作為密鑰占用了更多的密鑰空間，給傳輸和解密都帶來(lái)負(fù)擔(dān)。本文提出將MPFRFT和ARNOLD變換相結(jié)合的加密方法，利用ARNOLD變換對(duì)給定相位矩陣進(jìn)行置亂變換，再利用置亂矩陣對(duì)圖像進(jìn)行相位編碼，然后利用MPFRFT變換進(jìn)行圖像加密。本文提出的加密方法不需要隨機(jī)相位矩陣作為密鑰隨加密圖像進(jìn)行傳輸，節(jié)省了密鑰空間。仿真實(shí)驗(yàn)表明該算法具有更小的密鑰空間，同時(shí)仍然具有較高的安全特性和抗攻擊能力。

多參數(shù)分?jǐn)?shù)傅里葉變換(MPFRFT)； ARNOLD變換; 圖像加密

TP309.7

A

1673-5692(2016)02-164-05

0　引　言

圖像數(shù)據(jù)的獲取、傳輸和處理已經(jīng)成為人類接收和表達(dá)信息的重要手段。對(duì)于一些涉及到國(guó)家安全、商業(yè)機(jī)密或個(gè)人隱私的圖像信息采取必要的安全保護(hù)措施是非常必要的，否則會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重的后果。圖像加密技術(shù)是保護(hù)圖像信息最直接、最有效的方法[1]，這種技術(shù)將圖像數(shù)據(jù)處理成雜亂無(wú)章的、類似噪聲的無(wú)意義圖像，然后進(jìn)行保密傳輸，加密的圖像使未授權(quán)者無(wú)法瀏覽圖像內(nèi)容。

多參數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(MPFRFT)的提出源于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FRFT)的多樣性特征，是將加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換推廣到包含兩個(gè)向量參數(shù)M,N∈M的一種廣義定義形式[2-3]。利用MPFRFT對(duì)圖像進(jìn)行加密，加密密鑰包括聯(lián)合二維周期參數(shù)、聯(lián)合二維分?jǐn)?shù)階數(shù)和聯(lián)合二維向量參數(shù)等，擴(kuò)大了加密圖像的密鑰空間，使得加密過(guò)程的安全性得到了較好的保證。但是利用MPFRFT對(duì)圖像進(jìn)行加密前，需要對(duì)圖像進(jìn)行隨機(jī)相位編碼，隨機(jī)相位矩陣作為密鑰與加密圖像進(jìn)行傳輸，占用了傳輸資源，給加密、傳輸帶來(lái)安全性隱患和資源負(fù)擔(dān)。ARNOLD變換是一種置亂變換[4]，其直接表現(xiàn)為將一副給定的數(shù)字圖像變成一副雜亂無(wú)章的圖像，圖像要表達(dá)的真實(shí)信息無(wú)法直觀地傳送到未授權(quán)者。即使利用高效計(jì)算機(jī)對(duì)各種可能的像素組合情況進(jìn)行復(fù)原計(jì)算，其花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間也是非常巨大的。

本文提出了基于MPFRFT和ARNOLD變換的圖像加密方法。首先利用MPFRFT的向量參數(shù)進(jìn)行ARNOLD變換產(chǎn)生隨機(jī)相位矩陣，對(duì)圖像進(jìn)行隨機(jī)相位編碼。然后利用MPFRFT對(duì)相位編碼圖像進(jìn)行加密。這樣ARNOLD置亂映射密鑰替代隨機(jī)相位矩陣，節(jié)約了密鑰空間，而安全性和抗攻擊性沒(méi)有降低。本文內(nèi)容安排如下：第一節(jié)對(duì)MPFRFT進(jìn)行簡(jiǎn)要的描述；第二節(jié)將給出廣義ARNOLD變換和本文提出的加密算法；第三節(jié)對(duì)算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并進(jìn)行仿真分析和結(jié)果討論；第四節(jié)給出本文結(jié)論。

1　MPFRFT定義

MPFRFT概念源于分?jǐn)?shù)傅里葉變換(FRFT)。MPFRFT是利用M周期加權(quán)的思想對(duì)FRFT的一種描述，而分?jǐn)?shù)傅里葉變換是傳統(tǒng)傅里葉變換(FT)的一種廣義形式，因此MPFRFT既豐富了FRFT的來(lái)源多樣性，也對(duì)傳統(tǒng)FT進(jìn)行了巧妙的內(nèi)涵擴(kuò)展，豐富了一維和二維信號(hào)處理的時(shí)頻處理工具。下面給出一維和二維分?jǐn)?shù)傅里葉變換和MPFRFT定義。

首先定義α階分?jǐn)?shù)傅里葉變換Fα如下[5]：

(1)

其中Kα(u,t)為分?jǐn)?shù)傅里葉變換核：

(2)

對(duì)圖像進(jìn)行加密本質(zhì)上是對(duì)二維信號(hào)f(t,s)進(jìn)行處理，所以αL,αR階二維分?jǐn)?shù)傅里葉變換FαL,αR定義如下[6]：

(3)

其中KαL,αR(u,v,t,s)為二階分?jǐn)?shù)傅里葉變換核：

(4)

二維信號(hào)f(t,s)的二維FRFT是線性的，滿足階數(shù)和角度的可加性、交換性、結(jié)合性等特征，二維FRFT的逆變換定義如下：

(u,v,t,s)dtds.

(5)

公式(5)表明對(duì)信號(hào)做二維FRFT后，要對(duì)信號(hào)進(jìn)行復(fù)原只需進(jìn)行相反階數(shù)的第二次FRFT，就可以得到變換前的信號(hào)形式。

Shih在1995年利用態(tài)函數(shù)提出FRFT的一種新的定義形式，基本思想是利用經(jīng)典的FT整數(shù)次冪運(yùn)算的四周期特征，將FRFT定義為四個(gè)態(tài)函數(shù)作為加權(quán)系數(shù)的線性組合，加權(quán)系數(shù)是FRFT冪次的連續(xù)函數(shù)。經(jīng)過(guò)研究人員的進(jìn)一步研究，將Shih加權(quán)類FRFT推廣到周期為任意整數(shù)(M≥2)的加權(quán)類FRFT[7]，其基本變換為：

(6)

(7)

其中

2　圖像加密

ARNOLD變換實(shí)際是一種點(diǎn)的位置移動(dòng)。設(shè)N階數(shù)字圖像矩陣上一點(diǎn)(x,y)，將點(diǎn)(x,y)變換到另一點(diǎn)(x′,y′)，定義如下[10]：

(8)

本文將MPFRFT和ARNOLD變換進(jìn)行結(jié)合，提出基于一種基于MPFRFT和ARNOLD變換的圖像加密算法。

設(shè)圖像X=(xn,m)N×M，加密過(guò)程如下所示：

步驟一：利用MPFRFT變換向量參數(shù)NL=(n0,n1,…,nML-1)，按照一定規(guī)則得到矩陣β(n, m)。對(duì)矩陣β(n, m)進(jìn)行ARNOLD變換得到矩陣β1(n, m), n∈[1,N], m∈[1,M]，對(duì)β1(n, m)進(jìn)行再一次的ARNOLD變換得到矩陣β2(n, m), n∈[1,N], m∈[1,M]；

步驟二：利用矩陣β1(n, m)進(jìn)行第一次相位編碼得到X?ejβ1(n,m)；

對(duì)于加密圖像Q進(jìn)行解密操作如下所示：

圖1　加密解密流程圖：(a)加密, (b)解密

步驟四：取圖像的幅度信息，得到解密圖像。

步驟一關(guān)于矩陣β的選取此處我們采用如下方法：先隨機(jī)選取向量參數(shù)NL=(n0,n1,…,nML-1)，其中ML-1等于加密圖像的一個(gè)維度長(zhǎng)度。然后將NL作為矩陣β的行向量依次排列，組成ML-1×MR-1矩陣β，其中MR-1為加密圖像的另一個(gè)維度長(zhǎng)度。

本文提出的基于MPFRFT和ARNOLD變換的圖像加密、解密方法具體流程見(jiàn)圖1所示。

3　仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文算法的安全性和抗攻擊性，對(duì)256×256像素的lena灰度圖像進(jìn)行加密和解密操作。兩次MPFRFT的密鑰分別為(0.6,1.2)和(0.3,1.5)。對(duì)圖像進(jìn)行加密，原圖像、加密圖像和解密圖像在圖2中分別給出。同時(shí)給出每種圖像對(duì)應(yīng)的直方圖。從直方圖中可以看出原圖像和解密圖像的灰度值主要集中在特定某些區(qū)域的灰度值，但是加密文件直方圖的灰度失去了這種特性，主要集中在中部，失去原有的灰度規(guī)律。

圖2　加密解密圖像和對(duì)應(yīng)的直方圖

本文方法將MPFRFT周期數(shù)、階數(shù)和向量參數(shù)等組成的密鑰進(jìn)行結(jié)合，不需要傳輸隨機(jī)相位矩陣，同時(shí)保持較高的安全特性。但是加密算法的抗攻擊性是圖像加密必須考慮的問(wèn)題。加密算法的抗攻擊性可以利用解密圖像與原圖像的平方根誤差(MSE)進(jìn)行描述，MSE的計(jì)算公式如下[11]：

(10)

其中E表示加密圖像，X表示原圖像，n, m表示像素位置。

圖3給出了本文提出算法、MPFRFT雙隨機(jī)相位編碼(double random phase, DRP)算法、FRFT雙隨機(jī)相位編碼算法等對(duì)圖像進(jìn)行加密和解密方法得到的MSE。從圖中可以看到本文提出的方法與MPFRFT雙隨機(jī)相位(加密方法的MSE非常接近，但是本文所提方法的密鑰要比MPFRFT隨機(jī)雙相位加密方法的密鑰少若干個(gè)數(shù)量級(jí)，其中具體量級(jí)與加密圖像的維度有關(guān)。如果圖像是M×N維度，則密鑰空間將減少O(1/max(m,n))。而對(duì)于FRFT雙隨機(jī)相位編碼加密方法在MSE上稍小于其他兩種方法，而且其密鑰數(shù)量與MPFRFT雙隨機(jī)相位加密方法具有相同數(shù)量級(jí)。所以本文所提加密方法相較于MPFRFT雙隨機(jī)相位編碼和FRFT雙隨機(jī)相位編碼方法具有很小的密鑰空間，但是仍然保留較強(qiáng)的安全性和抗攻擊能力。

圖3　不同加密方法對(duì)應(yīng)的MSE

4　結(jié)　語(yǔ)

本文所提算法是在MPFRFT和ARNOLD算法基礎(chǔ)上，利用ARNOLD變換對(duì)相位矩陣進(jìn)行置亂，再利用MPFRFT進(jìn)行圖像加密。相對(duì)于傳統(tǒng)的MPFRFT雙隨機(jī)相位加密方法不需要傳輸隨機(jī)相位矩陣作為密鑰，減小了密鑰空間，同時(shí)又具有很強(qiáng)的抗攻擊性。下一步將結(jié)合國(guó)際最新的圖像加密算法[12-13]，進(jìn)一步設(shè)計(jì)更為有效的加密結(jié)構(gòu)和方法，并用于海洋遙感圖像加密傳輸?shù)萚14]領(lǐng)域中。

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李洋(1983—)，男，遼寧省錦州市人，博士，工程師，主要研究方向?yàn)閳D像加密、多目標(biāo)跟蹤、信息融合等方面的研究工作；

E-mail：seenightrain@qq.com

王兆偉(1982—)，男，天津市人，博士，工程師，主要研究方向?yàn)橥ㄐ啪W(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)；

徐山峰(1981—)，男，河北省人，碩士，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)榇笮托畔⑾到y(tǒng)的總體設(shè)計(jì)；

張永利(1971—)，女，黑龍江省人，博士，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理研究。

Image Encryption Algorithm Based on Multiple-parameter Fractional Fourier and Arnold Transforms

LI Yang, WANG Zhao-wei, XU Shan-feng, ZHANG Yong-li

(China Academy of Electronics and Information Technology, Beijing 100041, China)

The image encryption by multiple-parameter fractional Fourier transform (MPFRFT) and double random phase encoding can provide the wider key space, and the encrypted image has the better security. However, random phase matrix, as keys for decrypting the data will be transferred with the encrypted image, which is not safe and discommodious. In this paper, we propose a new approach for image encryption based on the MPFRFT and ARNOLD transform. In the proposed image encryption scheme, a phase matrix is scrambled as random phase matrix by ARNOLD transform, and then encrypting the phase encoded image with MPFRFT. The simulations shows that the approach still has the better security and resistance to various attacks.

Multiple-parameter fractional Fourier transform (MPFRFT); Arnold transform; image encryption.

10.3969/j.issn.1673-5692.2016.02.008

2016-02-01

2016-03-05