李友年, 江　云, 李世華, 張振興

(1. 中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院， 河南 洛陽(yáng)　471009； 2. 東南大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院， 南京　210096)

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基于有限時(shí)間控制方法的三維空間導(dǎo)彈制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

李友年1, 江云1, 李世華2, 張振興2

(1. 中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院， 河南 洛陽(yáng)471009； 2. 東南大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院， 南京210096)

針對(duì)三維空間導(dǎo)彈攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)問(wèn)題,提出了一種基于有限時(shí)間反饋控制方法的新型制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律將目標(biāo)加速度視作制導(dǎo)系統(tǒng)的外部有界擾動(dòng),并引入切換函數(shù)來(lái)抑制系統(tǒng)擾動(dòng),經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的理論分析證明視線角速率能夠在有限時(shí)間收斂到零。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性。

導(dǎo)彈;目標(biāo)機(jī)動(dòng);三維空間制導(dǎo)律;有限時(shí)間控制

0　引　　言

制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)目標(biāo)是為自動(dòng)駕駛儀提供加速度指令， 使得導(dǎo)彈獲得最小的脫靶量， 從而有效地實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的攔截， 因此， 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)是實(shí)現(xiàn)精確制導(dǎo)的基礎(chǔ)[1]。 在傳統(tǒng)的三維制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中， 通常采用雙平面解耦的設(shè)計(jì)思想[2]， 即在視線角和視線角速率比較小的情況下， 導(dǎo)彈-目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程能在理想的碰撞點(diǎn)附近進(jìn)行線性化，將三維空間導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型簡(jiǎn)化成兩個(gè)二維平面導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型， 然后分別設(shè)計(jì)制導(dǎo)律。 這種方法由于設(shè)計(jì)相對(duì)簡(jiǎn)單、 可實(shí)現(xiàn)性強(qiáng)而被廣泛采納。 但是當(dāng)目標(biāo)作快速機(jī)動(dòng)飛行時(shí)， 視線角和視線角速率比較小的假設(shè)不再成立， 兩個(gè)平面之間存在耦合關(guān)系， 這給基于雙平面解耦的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)帶來(lái)了困難。 因此， 研究三維空間導(dǎo)彈制導(dǎo)律對(duì)提高導(dǎo)彈攔截大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)精度是非常有必要的。

文獻(xiàn)[3]針對(duì)耦合的三維空間制導(dǎo)模型， 研究了比例制導(dǎo)律； 文獻(xiàn)[4]基于李雅普諾夫穩(wěn)定性方法， 推廣了文獻(xiàn)[3]中的比例制導(dǎo)律； 針對(duì)導(dǎo)彈攔截機(jī)動(dòng)飛行目標(biāo)問(wèn)題， 文獻(xiàn)[5]擴(kuò)展了文獻(xiàn)[4]中比例制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)方法； 文獻(xiàn)[6]針對(duì)導(dǎo)彈攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)問(wèn)題， 研究了最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法， 其基于李群方法， 通過(guò)SO(3)群描述了導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系， 計(jì)算得到了非解耦條件下的三維制導(dǎo)律； 文獻(xiàn)[7]基于微分幾何方法， 設(shè)計(jì)了不依賴(lài)于剩余飛行時(shí)間的三維魯棒制導(dǎo)律； 文獻(xiàn)[8]基于L2/H∞控制方法， 設(shè)計(jì)了三維魯棒制導(dǎo)律； 文獻(xiàn)[9]基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法， 設(shè)計(jì)了一種根據(jù)視線角速率變化情況， 動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)非線性制導(dǎo)律增益的魯棒控制律； 文獻(xiàn)[10]基于θ-D次最優(yōu)控制方法， 設(shè)計(jì)了閉環(huán)形式的三維末制導(dǎo)律； 文獻(xiàn)[11]通過(guò)擴(kuò)展圓軌跡導(dǎo)引算法， 設(shè)計(jì)了帶碰撞角約束的三維制導(dǎo)律。 以上這些制導(dǎo)律是基于漸近收斂理論設(shè)計(jì)的， 隨著導(dǎo)彈技術(shù)的不斷發(fā)展， 導(dǎo)彈的飛行速度不斷提升， 精度要求也在不斷提高， 高速導(dǎo)彈在攔截目標(biāo)的制導(dǎo)過(guò)程中， 末制導(dǎo)時(shí)間很短甚至只有幾秒， 研究具有快速收斂特性的制導(dǎo)律是非常有必要的。 在實(shí)戰(zhàn)中， 目標(biāo)機(jī)動(dòng)性能也隨著先進(jìn)技術(shù)的應(yīng)用而不斷提高， 因此研究具有抗目標(biāo)機(jī)動(dòng)性能的制導(dǎo)律也是非常有必要的。

本文針對(duì)三維空間導(dǎo)彈攔擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)問(wèn)題， 基于有限時(shí)間反饋控制方法提出了一種新型制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法。

1　三維空間導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

三維空間中導(dǎo)彈-目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)如圖1所示。 圖中，M-XYZ為原點(diǎn)與導(dǎo)彈質(zhì)心重合的慣性坐標(biāo)系；φ為導(dǎo)彈-目標(biāo)的視線傾角， 其定義為視線與水平面MXY之間的夾角；θ為導(dǎo)彈-目標(biāo)的視線偏角， 其定義為視線在水平面的投影與慣性系的MX軸之間的夾角；r為導(dǎo)彈-目標(biāo)之間的距離。 (r,φ,θ)為原點(diǎn)在目標(biāo)質(zhì)心M的球坐標(biāo)系， 其坐標(biāo)軸矢量的單位矢量為(er,eθ,eφ)， 其中， er與視線方向重合， 由導(dǎo)彈指向目標(biāo)為正；eθ位于包含er的縱向平面內(nèi)， 指向上方為正；eφ方向按右手定則確定。

圖1三維空間中導(dǎo)彈-目標(biāo)的相對(duì)位置

導(dǎo)彈-目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的極坐標(biāo)方程為

(1)

(2)

(3)

其中： (atr, atθ, atφ)為目標(biāo)加速度在球面坐標(biāo)系(er,eθ,eφ)上的分量； (amr, amθ, amφ)為導(dǎo)彈加速度在球面坐標(biāo)系(er, eθ, eφ)上的分量。

(4)

(5)

假設(shè)1： 假設(shè)目標(biāo)加速度atθ(t)和atφ(t)有界且滿(mǎn)足|atθ(t)|≤dθ， |atφ(t)|≤dφ， 其中dθ和dφ為目標(biāo)加速度atθ(t)和atφ(t)的上界。

2　有限時(shí)間穩(wěn)定性定義及判定定理

在設(shè)計(jì)有限時(shí)間制導(dǎo)律之前， 先給出非線性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的定義和引理。 考慮如下非線性系統(tǒng)：

(6)

其中： f(x):U→Rn為在包含原點(diǎn)的開(kāi)區(qū)域U上對(duì)x的連續(xù)函數(shù)。

定義1：考慮式(6)， 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x=0為有限時(shí)間穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件[9]：

(1) 系統(tǒng)在零點(diǎn)的一個(gè)開(kāi)區(qū)域U0?U內(nèi)是Lyapunov穩(wěn)定的；

(2) 系統(tǒng)在U0內(nèi)是有限時(shí)間收斂的， 即對(duì)任意的初始值x0∈U0/{0}， 存在過(guò)渡時(shí)間T(x0)≥0， 使得定義在t∈[0,T(x0))上式(6)的解x(t,x0)∈U0/{0}滿(mǎn)足

(7)

若U=U0=Rn， 則原點(diǎn)是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

(8)

3　三維有限時(shí)間制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

定理1： 考慮三維空間制導(dǎo)系統(tǒng)式(4)～(5)。 如果假設(shè)1和假設(shè)2成立， 則三維空間有限時(shí)間制導(dǎo)律如下：

k1rcosφ|x1|α1sign(x1)+ε1sign(x1)

(9)

k2r|x2|α2sign(x2)+ε2sign(x2)

(10)

證明： 將式(9)代入式(4)， 將式(10)代入式(5)得到閉環(huán)系統(tǒng)方程：

(11)

(12)

取Lyapunov函數(shù)

(13)

對(duì)式(13)求一階導(dǎo)數(shù)并帶入式(11)和(12)得

(14)

(15)

(16)

于是， 式(14)可以化簡(jiǎn)為

(17)

4　數(shù)值仿真

仿真條件： 導(dǎo)彈初始位置xM0=0m， yM0=0m， zM0=0m； 導(dǎo)彈初始速度VM0=800m/s； 導(dǎo)彈初始飛行方位角度φM=15°， θM=5°； 目標(biāo)初始位置xT0=5 000m， yT0=4 000m， zT0=200m； 目標(biāo)飛行速度VT0=600m/s； 目標(biāo)初始飛行方位角度φT=10°， θT=5°； 重力加速度g=9.8m/s2； 導(dǎo)彈最大加速度輸出為40g。

選取如下傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律作為比較對(duì)象：

(18)

(19)

其中： N1和N2為比例制導(dǎo)律系數(shù)， 在仿真中選取N1=5， N2=5。

本文提出的制導(dǎo)律式(9)和式(10)選取為

(20)

(21)

在仿真中， 假定目標(biāo)機(jī)動(dòng)方式為

aTθ=5g-10gsin(t)

(22)

aTφ=-5g+10gcos(t)

(23)

圖2 視線傾角速率φ·輸出曲線圖3 視線偏角速率θ·輸出曲線圖4 視線傾角加速度指令aMφ輸出曲線

圖5 視線偏角加速度指令aMθ輸出曲線圖6 相對(duì)距離r輸出曲線

仿真得到的脫靶量和攔截時(shí)間如表1所示。

表1　脫靶量與攔截時(shí)間

可以看出， 在兩種制導(dǎo)律作用下導(dǎo)彈脫靶量均小于0.1m， 這說(shuō)明導(dǎo)彈能夠以直接撞擊的方式命中目標(biāo)。 從攔截時(shí)間上可以看出， 導(dǎo)彈在有限時(shí)間制導(dǎo)律的作用下， 能夠以較短的時(shí)間命中目標(biāo)， 而在比例制導(dǎo)律作用下， 需要更長(zhǎng)的時(shí)間才能命中目標(biāo)。

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Three-Dimensional Guidance Laws for Missile Based on Finite-Time Control Method

Li Younian1, Jiang Yun1, Li Shihua2, Zhang Zhenxing2

(1. China Airborne Missile Academy, Luoyang 471009, China; 2.Automation College, Southeast University, Nanjing 210096, China)

A new guidance law based on finite time feedback control method is proposed for the maneuvering target of three-dimensional missile interception. In this guidance law, the target acceleration is regarded as the external bounded disturbance of guidance system, and the switching function is introduced to restrain the disturbance of the system. By the theory analysis, it is proved that the line-of-sight angular rate can converge to zero in finite time.Numerical simulation results verify the effectiveness of this guidance law.

missile; target maneuver; three-dimensional guidance law; finite-time control

10.19297/j.cnki.41-1228/tj.2016.03.006

2015-07-30

航空科學(xué)基金項(xiàng)目(20130169002)

李友年(1964-)， 男， 山東日照人， 研究員， 研究方向?yàn)閷?dǎo)彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

TJ765.3

A

1673-5048(2016)03-0026-04