李炯，林煒軒，程鶴登，陳榕杰，王江涌

（汕頭大學(xué) 理學(xué)院，廣東 汕頭 515063）

表面粗糙度是評(píng)定各機(jī)械零件表面加工質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)。表面粗糙度理論及標(biāo)準(zhǔn)在過去的幾十年里得到了巨大的發(fā)展，出現(xiàn)了接觸式（比較法、印模發(fā)和觸針法）和非接觸式（光切法、實(shí)時(shí)全息法、散斑法、光外差干涉法和AFM測(cè)量法）的粗糙度測(cè)量方法[1—2]。而隨著微機(jī)處理技術(shù)、集成電路技術(shù)等的發(fā)展，出現(xiàn)了圖像法、分形法、Motif 法、功能參數(shù)集法等各種評(píng)定方法[3—6]。由于對(duì)表面形貌描述的精度需求不斷增加，導(dǎo)致了描述表面粗糙度的參數(shù)也在不斷增加。我國 GB/T 3505—2009推薦了18個(gè)二維粗糙度參數(shù)專業(yè)術(shù)語用，以描述二維表面形貌特征[7]。而多達(dá)41個(gè)粗糙度參數(shù)卻又給實(shí)際應(yīng)用帶來了不便[8]。

高度分布函數(shù)是評(píng)估表面形貌的一個(gè)非常重要的指標(biāo)，雖然它直觀地給出了表面形貌高度的分布情形，但它與表面形貌并非有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。同一高度分布函數(shù)可以產(chǎn)生各種各樣的表面形貌，而不同的高度分布函數(shù)又可以用同樣的方式構(gòu)造出有關(guān)聯(lián)的表面形貌。一般情況下，表面形貌的高度分布函數(shù)滿足高斯型分布函數(shù)分布，但并非所有的表面形貌都滿足高斯型分布[9—10]。本文用同一高度分布函數(shù)(包括高斯和非高斯型)構(gòu)造不同的表面形貌，同時(shí)，用不同高度分布函數(shù)以同樣的方式構(gòu)造出表面形貌，再研究表征這些表面形貌各參數(shù)之間的關(guān)系。特別討論了非高斯型高度分布函數(shù)對(duì)表征表面形貌高度類粗糙度參數(shù)的影響，并在此基礎(chǔ)上提出了可以簡化表征參數(shù)數(shù)目的方案。

1 表征參數(shù)與高度分布函數(shù)

1.1 表面形貌的表征參數(shù)

現(xiàn)今評(píng)估和衡量表面形貌粗糙度的參數(shù)多達(dá) 41個(gè)，其大致可以分為：高度類參數(shù)(Amplitude parameters)、間距類參數(shù)(Spacing parameters)和混合類參數(shù)(Hybrid parameters)。不同類型的參數(shù)描述的對(duì)象有所差異，高度類參數(shù)對(duì)應(yīng)于表面形貌的縱向特性評(píng)定，間距類參數(shù)對(duì)應(yīng)于表面形貌的橫向特性評(píng)定，混合類參數(shù)是高度信息和間距信息的結(jié)合，任意高度或間距的變化都會(huì)導(dǎo)致混合類參數(shù)的改變[8]。其中，高度類參數(shù)作為比較重要的參數(shù)，多應(yīng)用于對(duì)表面形貌的描述[6,12]。因此，本文選取高度類的 16個(gè)參數(shù)來表征所構(gòu)造的表面形貌的相關(guān)特征，見表1。

表1 高度類參數(shù)列表Tab.1 List of the amplitude parameters

1.2 高度分布函數(shù)

高度分布函數(shù)（Height Distribution Function，HDF）是對(duì)表面形貌的高度分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的直方圖。因?yàn)楸砻嫘蚊彩怯珊芏嗖煌叨鹊狞c(diǎn)組成，可以將表面形貌看作一個(gè)數(shù)組。統(tǒng)計(jì)表面形貌在[y,y+δy]高度范圍內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，當(dāng)δy的值趨于零時(shí)，就能夠得到高度為y所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)n。將y作為橫軸，n作為縱軸，就可以得到該表面形貌所對(duì)應(yīng)的高度分布函數(shù)（HDF）。如圖1所示，左邊為表面形貌的剖面圖（profile），右邊即為表征該剖面的高度分布函數(shù)。圖2給出了本文將要討論的6種不同的高度分布函數(shù)。高度分布函數(shù)不僅包含了表面形貌的高度信息，而且還可以通過其構(gòu)造各種新的表面形貌。

2 同一高度分布函數(shù)構(gòu)造的表面形貌特征

2.1 余弦型高度分布函數(shù)構(gòu)建的表面形貌

給定一個(gè)余弦型的高度分布函數(shù)：h代表高度，p代表點(diǎn)數(shù)，-π/2≤h≤π/2（如圖 2b所示）。當(dāng)?取一定的抽樣間隔時(shí)（如h=0.0001時(shí)），則高度h和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)p都被分為一系列不連續(xù)的數(shù)值，那么就可以將h和p視作數(shù)組。表面形貌對(duì)應(yīng)的數(shù)組y大小為∑p，然后采用隨機(jī)（或某一特定）的取點(diǎn)排列形式，將點(diǎn)數(shù)p隨機(jī)賦值到數(shù)組y中，就構(gòu)造出一個(gè)表面形貌。

通過計(jì)算機(jī)模擬，可以得到一系列隨機(jī)排列、數(shù)組的大小均為∑p的表面形貌，具體的構(gòu)建方法如下：

1）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，利用計(jì)算機(jī)的隨機(jī)函數(shù)，選取表面形貌的隨機(jī)起點(diǎn)h0，則其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為p(h0)。

2）判斷原始數(shù)組p是否為零，如是，結(jié)束程序。

3）通過隨機(jī)函數(shù)，確定從原始數(shù)組取高度點(diǎn)的方向（左/右）、取點(diǎn)范圍Δh和取點(diǎn)間距n。

4）判斷高度對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)p(?)是否為為零，如不是，保存?，點(diǎn)數(shù)p(?)自減 1，跳到下一個(gè)高度?+n。

5）判斷高度?+n是否大于Δh，如是，返回第2步；否則，執(zhí)行第4步。

通過上述隨機(jī)取點(diǎn)、放置的方式，本文構(gòu)建了一系列不同的隨機(jī)數(shù)組，即一系列不同的、服從同一個(gè)余弦型高度分布函數(shù)的表面形貌。

2.2 參數(shù)統(tǒng)計(jì)

通過模擬，可以得到一系列隨機(jī)排列、數(shù)組大小均為∑p的表面形貌。本部分共進(jìn)行多次模擬，并選取其中10組數(shù)組（表面形貌）作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象。分別對(duì)所構(gòu)造的表面形貌的高度類粗糙度參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下。

2.2.1 與高度位置無關(guān)的參數(shù)

在高度類粗糙度參數(shù)中，Ra、Rq、Rsk和Rku與高度位置信息無關(guān)，因此，對(duì)所構(gòu)造的10個(gè)表面形貌來說，這4個(gè)參數(shù)保持一致，其大小Ra=0.577 μm，Rq=0.691 μm，Rsk=?1.30×10?5，Rku=2.194。

由于Ra與Rq反映的都是輪廓高度的變化情況，只要整體的表面形貌高度信息保持不變（即同一個(gè)高度分布函數(shù)），則Ra和Rq的數(shù)值都會(huì)保持一致，無論表面形貌的高度是按何種方式來隨機(jī)排列。

表面形貌的偏度Rsk通常是用來衡量表面形貌關(guān)于中線的對(duì)稱性。對(duì)于對(duì)稱的高度分布函數(shù)，表面形貌的偏度為零。這個(gè)參數(shù)可以分辨具有相同Ra、Rq參數(shù)的不同表面形貌。因?yàn)楦叨确植己瘮?shù)包含了除位置外所有的高度信息，所以，這10個(gè)表面形貌的數(shù)組元素都取自同一高度分布函數(shù)，其數(shù)組元素一樣，只是分配的位置不同。因此，Rsk參數(shù)具有相同的值。

表面形貌的峰度Rku通常是用來描述表面形貌的陡峭程度。如果Rku＜3，則表面形貌處于平峰態(tài)，只有少量尖銳的波峰和波谷；如果Rku＞3，則說明表面形貌處于尖峰態(tài)，具有較多尖銳的波峰和波谷。與Rsk參數(shù)相似，由于10個(gè)表面形貌的數(shù)組元素一樣，只是位置不同，所以表面形貌所包含的尖銳波峰和尖銳波谷數(shù)量應(yīng)該具有一致性，Rku的數(shù)值也相同。

2.2.2 由波峰、波谷決定的高度參數(shù)

由波峰、波谷決定的參數(shù)分別為：Rp（最大峰值）、Rv（最大谷值）、Rpm（輪廓峰平均高度）、Rvm（輪廓谷平均深度）、Rmax（輪廓最大的高度）和k（輪廓度因子）。其中，Rp、Rv、Rmax和k的數(shù)值分別具有相同的數(shù)值，與表面形貌的高度位置無關(guān)，且Rp=1.507 μm，Rv=1.508 μm，Rmax=3.141 μm，k=0.500；Rpm和Rvm的數(shù)值隨著表面形貌的不同而不同，如圖3所示（圖中的橫坐標(biāo)1至10表示表面形貌的編號(hào)，以下類同）。

由于給定的高度分布函數(shù)滿足-π/2≤h≤π/2，即高度的最小值、最大值分別是-π/2和π/2，因此構(gòu)建出的表面形貌最大谷值Rv和最大峰值Rp分別為-π/2和 π/2。此外，因?yàn)榱硪桓叨却植诙葏?shù)Rmax=Rp+Rv，根據(jù)以上的論述，Rmax的數(shù)值必定為π。而k=Rv/Rmax，由于Rv和Rmax的數(shù)值均保持不變，所以，k的數(shù)值也保持一定。

由于Rpm和Rvm計(jì)算的是5個(gè)抽樣長度內(nèi)的最大峰值的平均值與最大谷值的平均值。若5個(gè)最大的峰谷值不是均勻地分配在5個(gè)抽樣長度內(nèi)，則就會(huì)導(dǎo)致Rpm和Rvm參數(shù)數(shù)值的差異，因此，這兩個(gè)參數(shù)的大小受到峰谷位置的影響。

2.2.3 與表面形貌高度位置相關(guān)的參數(shù)

高度類粗糙度參數(shù)是統(tǒng)計(jì)表面形貌的縱向分布特征，但由于實(shí)驗(yàn)的表面形貌是將高度信息隨機(jī)分配在數(shù)組上，這便導(dǎo)致部分高度類參數(shù)在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)，會(huì)隨著表面形貌的橫向分布而呈現(xiàn)出不同的數(shù)值。在統(tǒng)計(jì)的參數(shù)中，Rz（微觀不平度十點(diǎn)平均高度）、Rti（局部最大峰谷高度）、Rtm（最大峰谷高度均值）、Ry（最大峰谷高度）、R3y（第三點(diǎn)高度）和R3z（第三點(diǎn)高度均值）便是隨高度位置信息變化而變化的粗糙度參數(shù)。以上各個(gè)參數(shù)隨表面形貌不同的變化情況如圖4所示。

由圖4中所顯示的參數(shù)數(shù)值的變化情況可以得出：參數(shù)Rz、Rti、Rtm、Ry、R3y、R3z（Rti和R3y沒有列出）是不斷變化的。由于10個(gè)構(gòu)造的表面形貌是通過對(duì)高度分布函數(shù)的高度信息進(jìn)行隨機(jī)排列而得到的新數(shù)組，對(duì)于每一個(gè)表面形貌，其波峰出現(xiàn)在一個(gè)位置的概率是不定的。而這部分所涉及的 6個(gè)高度類粗糙度參數(shù)都是隨高度位置而變化，因此這 6個(gè)粗糙度參數(shù)會(huì)隨著實(shí)際表面形貌的峰谷排列情況而改變，從而體現(xiàn)在表征表面形貌隨高度位置變化的參數(shù)數(shù)值的波動(dòng)，如圖4所示。

3 不同高度分布函數(shù)構(gòu)造的表面形貌特征

3.1 6種不同的高度分布函數(shù)

給定6種不同形狀的高度分布函數(shù)(見圖2），采用同一種方式來構(gòu)建表面形貌。其中，h代表高度，p代表點(diǎn)數(shù)，-π/2≤h≤π/2。每個(gè)高度分布函數(shù)都以對(duì)照組的高斯型高度分布函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行歸一化。此部分的表面形貌構(gòu)建方式同樣采用隨機(jī)的取點(diǎn)排列形式，將高度分布函數(shù)的點(diǎn)數(shù)p隨機(jī)賦值到數(shù)組y中，最后得到一個(gè)表面形貌。

對(duì)照組：高斯型高度分布函數(shù)。實(shí)驗(yàn)組：A對(duì)稱型非高斯高度分布函數(shù)，對(duì)稱型高度分布函數(shù)選用余弦型、等腰三角形和等腰梯形高度分布函數(shù)；B非對(duì)稱型非高斯高度分布函數(shù)，非對(duì)稱型高度分布函數(shù)選用三角形和直角三角形高度分布函數(shù)。

此部分的表面形貌構(gòu)建方式與之前的有所差異，其具體的構(gòu)建方法如下：

1）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，然后將從分布函數(shù)得到的高度排列∑p打亂，并定義表面形貌的最大高度差Δh。

2）利用程序的隨機(jī)函數(shù)，確定表面形貌y的起點(diǎn)y(1)并將其從∑p中剔除。

3）從高度排列∑p中提取高度點(diǎn)p，與y(1)進(jìn)行比較。如果滿足兩者之差在△?內(nèi)，則將其歸入到表面形貌y中，并將其作為起點(diǎn)（同時(shí)從∑p中剔除）；否則，把p與表面形貌的終點(diǎn)y(end)進(jìn)行比較，判斷是否滿足兩者差在Δh內(nèi)，如果滿足，則將其歸入到表面形貌y中，并將其作為終點(diǎn)（同時(shí)從∑p中剔除）。

4）檢測(cè)原始高度排列∑p是否為零，若是，則結(jié)束構(gòu)建；否則，返回第3步繼續(xù)構(gòu)建。

通過上述的程序過程，本文利用圖2給出的6種高度分布函數(shù)，用以上同一種方式構(gòu)建了一系列的隨機(jī)表面形貌，然后對(duì)粗糙度參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

3.2 參數(shù)統(tǒng)計(jì)

每種高度分布函數(shù)選取10個(gè)表面形貌作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，總共獲得60個(gè)表面形貌的數(shù)組元素，并對(duì)這些模擬表面進(jìn)行參數(shù)統(tǒng)計(jì)。所選用的參數(shù)是上述16個(gè)高度類粗糙度參數(shù)，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下。

3.2.1 由高度分布函數(shù)確定的參數(shù)

在高度類參數(shù)的統(tǒng)計(jì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)有4個(gè)參數(shù)只跟隨高度分布函數(shù)的變化而變化，它們與表面形貌高度位置的橫向分布無關(guān)。這 4個(gè)參數(shù)分別是Ra、Rq、Rsk、Rku，它們的數(shù)值變化隨高度分布函數(shù)的變化情況如圖5所示（圖中用i-trapezoid、i-triangle、ra-triangle分別表示等腰梯形，等腰三角形和直角三角形HDF，以下類同）。

在第2節(jié)已說明，對(duì)應(yīng)于同一個(gè)高度分布函數(shù)，Ra、Rq、Rsk、Rku保持?jǐn)?shù)值不變。而圖 5表示，隨著高度分布函數(shù)對(duì)稱性的逐漸消失，Ra、Rq呈現(xiàn)出正相關(guān)的情形，當(dāng)對(duì)稱性達(dá)到最小時(shí)（即直角三角形時(shí)），Ra、Rq值達(dá)到極大值，即隨著對(duì)稱性的消失，其數(shù)值有一定的增加趨勢(shì)。

而Rsk、Rku的變化趨勢(shì)雖不像負(fù)相關(guān)的情形，但也可明顯看出，當(dāng)對(duì)稱性消失時(shí)，Rsk和Rku的數(shù)值明顯小于對(duì)稱性時(shí)的數(shù)值。分布函數(shù)處于對(duì)稱的情況時(shí)，參數(shù)數(shù)值明顯區(qū)別于非對(duì)稱性時(shí)的參數(shù)數(shù)值。

3.2.2 由峰值、谷值限定的參數(shù)

在統(tǒng)計(jì)過程中，有4個(gè)參數(shù)始終保持不變，它們不隨高度分布函數(shù)的改變而變化，也不隨表面形貌的高度位置信息的變化而變化。這4個(gè)參數(shù)分別是Rp、Rv、Rmax和k。另外，參數(shù)Rz的數(shù)值雖然隨著高度分布函數(shù)形狀改變而變化，但其數(shù)值變化較小，因此將其歸入這部分中討論。它們的數(shù)值大小如表2所示。

由于在用計(jì)算機(jī)模擬表面形貌時(shí)，給定的6個(gè)高度分布函數(shù)的高度都在-π/2≤h≤π/2之間，類似于之前說明的情況，最大峰值、谷值的數(shù)值只能被限制在-π/2和π/2。因此，輪廓最大高度只會(huì)等于π，k只會(huì)等于1/2，不會(huì)隨高度位置信息的變化而發(fā)生改變。

表2 Rp、Rv、Rmax、Rz和 k的數(shù)值Tab.2 Values of Rp, Rv, Rmax, Rz and k

另外，Rz是表示最高峰值與最深谷值之間的差值平均值。由于計(jì)算機(jī)程序模擬表面形貌時(shí)，是將最深谷值設(shè)置為略微大于最高峰值的，因此Rz的數(shù)值是負(fù)值。此外，Rz數(shù)值的變化是因?yàn)樵跇?gòu)建表面形貌時(shí)，會(huì)存在某些高度點(diǎn)因不符合取點(diǎn)原則而被舍棄的情況，當(dāng)分布函數(shù)內(nèi)最大的（或最小的）幾個(gè)高度點(diǎn)被舍棄時(shí)，便會(huì)造成Rz數(shù)值的波動(dòng)。

3.2.3 隨高度分布函數(shù)變化的參數(shù)

除了以上9個(gè)參數(shù)，剩下7個(gè)參數(shù)（Rpm、Rvm、Ry、Rti、Rtm、R3y和R3z）都會(huì)隨著表面形貌的高度位置隨機(jī)改變而發(fā)生變化。對(duì)于同一種高度分布函數(shù)，這些高度類參數(shù)的數(shù)值都不是恒定的，而對(duì)于不同的高度分布函數(shù)，它們的數(shù)值也不相同，而且沒有顯示出一定隨對(duì)稱性改變的規(guī)律，更多地是顯示出數(shù)值的波動(dòng)。由于Rtm和Ry表示的是參數(shù)Rti的平均值和最大值，因此這三個(gè)參數(shù)的圖像變化情況是一致的。而R3z和R3y分別表示表面抽樣長度內(nèi)的第三點(diǎn)高度和第三點(diǎn)高度的最大值，其表征的內(nèi)容與Rti、Ry相似，因此這兩個(gè)參數(shù)的變化與Rtm、Ry和Rti極其相似。因此，可選用Ry來反映這四個(gè)參數(shù)的變化情況。這部分參數(shù)的數(shù)值變化見圖6。

由圖6的數(shù)據(jù)可以看出，這些參數(shù)隨著高度分布函數(shù)的不同而無規(guī)律波動(dòng)，這種數(shù)據(jù)的波動(dòng)是表面形貌的高度位置隨機(jī)分配和高度分布函數(shù)的差異所致。

4 結(jié)論

本文分別利用同一非高斯型高度分布函數(shù)和不同的非高斯型高度分布函數(shù)來構(gòu)建表面形貌，并分析其高度類粗糙度參數(shù)。根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得出的結(jié)論如下。

1）由同一種高度分布函數(shù)構(gòu)建的表面

當(dāng)高度類參數(shù)滿足對(duì)整個(gè)表面形貌的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)，忽略高度數(shù)據(jù)的位置情況或是與整個(gè)表面形貌的一些極值有關(guān)，這些極值不會(huì)隨著位置的變化而影響到本來的特性（如表面形貌的最高峰和最低谷）時(shí)，參數(shù)數(shù)值保持不變。

當(dāng)高度類參數(shù)只是滿足對(duì)局部表面形貌的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)位置的不同會(huì)造成參數(shù)的變化或與表面形貌的極值無關(guān)時(shí)，參數(shù)數(shù)值會(huì)表現(xiàn)出不確定性。

2）由不同種高度分布函數(shù)構(gòu)建的表面

從區(qū)分表面形貌的角度出發(fā)，可以根據(jù)要求減少參數(shù)的測(cè)量：若只需要分辨表面形貌時(shí)，可只測(cè)量Ra、Rq、Rsk、Rku。由于它們只和高度分布函數(shù)有關(guān)，且這4個(gè)參數(shù)會(huì)隨著高度分布函數(shù)對(duì)稱性的改變而發(fā)生變化，因此可通過測(cè)量這4個(gè)參數(shù)來簡要區(qū)分不同對(duì)稱性高度分布函數(shù)構(gòu)造的表面形貌。

當(dāng)測(cè)量出表面形貌的峰谷最大值時(shí)，可以根據(jù)其測(cè)量值來確定另外4個(gè)參數(shù)Rp、Rv、Rmax、k的數(shù)值，從而進(jìn)一步對(duì)表面形貌進(jìn)行區(qū)分。而如果需要對(duì)一個(gè)表面形貌的細(xì)節(jié)進(jìn)行細(xì)致分析時(shí)，可計(jì)算剩余的8個(gè)參數(shù)來分析其詳細(xì)的高度位置信息。

3）應(yīng)用

現(xiàn)應(yīng)用上述結(jié)論，對(duì)圖1中三種不同的表面形貌進(jìn)行表征區(qū)分。首先利用分布函數(shù)的形狀差異，可對(duì)比高斯型（或余弦型）表面形貌（圖1a或b）和三角形表面形貌（圖1c）。高斯型（余弦型）分布函數(shù)是對(duì)稱型的結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)的表面形貌的高度點(diǎn)均勻地分配在中線兩側(cè)，并且在中線位置的高度點(diǎn)最為集中。而非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的三角型分布函數(shù)，其表面形貌的高度點(diǎn)更多地集中于中線下方。對(duì)于滿足分布函數(shù)形狀差異較大的表面形貌，可以通過對(duì)比其縱向分布特征，即高度點(diǎn)的集中范圍來簡單表征形貌之間的差異，如通過對(duì)比圖1a與c的縱向分布差異來區(qū)分表面形貌。這是高度分布函數(shù)的一個(gè)直接應(yīng)用。

但在表征高斯型與余弦型這兩種表面時(shí)，由于它們的縱向特征較相似，無法簡單判斷，則必須利用粗糙度參數(shù)來表征其差異、區(qū)分。根據(jù)上述的選取建議，對(duì)比高斯型和余弦型表面時(shí)，可選用參數(shù)Ra（Ra-gau=0.6403、Ra-cos=0.7664）和Rku（Rku-gau=2.1524、Rku-cos=2.1940）來反映兩種表面剖面的細(xì)微差異，進(jìn)行初步簡單區(qū)分。假如需要對(duì)形貌的特征進(jìn)行較高精度的表征時(shí)，也可適當(dāng)?shù)剡x用其他參數(shù)（如Rpm、Rvm、Rti等）來分析表面形貌的橫向特征，進(jìn)而更精確地反映形貌的信息。